2023届 高三高考数学一轮复习 离散型随机变量的分布列及数字特征 课件 92张

第7讲离散型随机变量的分布列及数字特征第十一章计数原理、概率、随机变量及分布列1基础知识整合PARTONE唯一样本点明确的有限个一一列举加权平均数平均水平01．分布列性质的两个作用(1)利用分布列中各事件概率之和为1可求参数的值．(2)随机变量X所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求相关事件的概率．2．E(X)是一个实数，由X的分布列唯一确定．随机变量X是可变的，可取不同的值，E(X)描述X取值的平均状态．3．变量的方差与标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度，其中标准差与随机变量本身具有相同的单位．4．方差也是一个常数，它不具有随机性，方差的值一定是非负的．1．某人进行射击，共有5发子弹，击中目标或子弹打完就停止射击，射击次数为ξ，则“ξ＝5”表示的试验结果是(

)A．第5次击中目标

B．第5次未击中目标C．前4次未击中目标

D．第4次击中目标解析因为击中目标或子弹打完就停止射击，所以射击次数ξ＝5，则说明前4次均未击中目标．故选C.答案解析答案解析答案解析4．某街头小摊，在不下雨的日子一天可赚到100元，在下雨的日子每天要损失10元，若该地区每年下雨的日子约为130天，则此小摊每天获利的期望值约是(一年按365天计算)(

)A．60.82元

B．68.02元C．58.82元

D．60.28元答案解析5．(多选)设离散型随机变量X的分布列为若离散型随机变量Y满足Y＝2X＋1，则下列结果正确的有(

)A．q＝0.1B．E(X)＝2，D(X)＝1.4C．E(X)＝2，D(X)＝1.8D．E(Y)＝5，D(Y)＝7.2答案

X01234Pq0.40.10.20.2解析因为q＋0.4＋0.1＋0.2＋0.2＝1，所以q＝0.1，故A正确；又E(X)＝0×0.1＋1×0.4＋2×0.1＋3×0.2＋4×0.2＝2，D(X)＝(0－2)2×0.1＋(1－2)2×0.4＋(2－2)2×0.1＋(3－2)2×0.2＋(4－2)2×0.2＝1.8，故C正确；因为Y＝2X＋1，所以E(Y)＝2E(X)＋1＝5，D(Y)＝4D(X)＝7.2，故D正确．故选ACD.解析解析6．(2020·浙江高考)一个盒子里有1个红1个绿2个黄四个相同的球，每次拿一个，不放回，拿出红球即停，设拿出黄球的个数为ξ，则P(ξ＝0)＝________；E(ξ)＝________.12核心考向突破PARTTWO答案解析考向一离散型随机变量分布列的性质答案解析离散型随机变量分布列性质的应用(1)利用分布列中各概率之和为1可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个概率值均为非负数．(2)求随机变量在某个范围内取值的概率时，根据分布列，将所求范围内随机变量的各个取值的概率相加即可，其依据是互斥事件的概率加法公式．答案解析答案解析考向二求离散型随机变量的分布列解解解离散型随机变量分布列的求解步骤(1)明取值：明确随机变量的可能取值有哪些及每一个取值所表示的意义．(2)求概率：要弄清楚随机变量的概率类型，利用相关公式求出变量所对应的概率．(3)画表格：按规范要求形式写出分布列．(4)做检验：利用分布列的性质检验分布列是否正确．

3.某校首届安琪杯教职工运动会上有一个扑克小游戏，游戏规则如下：甲、乙双方每局比赛均从5张扑克牌(3张红桃A,2张黑桃A)中轮流抽取1张，抽取到第2张黑桃A的人获胜，并结束该局比赛．每三局比赛为一轮．(1)若在第一局比赛中甲先抽牌，求甲获胜的概率；(2)若在一轮比赛中规定：第一局由甲先抽牌，并且上一局比赛输的人在下一局比赛先抽，每一局比赛先抽牌并获胜的人得1分，后抽牌并获胜的人得2分，未获胜的人得0分．求此轮比赛中甲得分X的分布列．解解解考向三离散型随机变量的数字特征多角度探究突破解解解解解离散型随机变量的期望与方差的常见类型及解题策略(1)求离散型随机变量的期望与方差．可依题设条件求出离散型随机变量的分布列，然后利用期望、方差公式直接求解．(2)由已知期望或方差求参数值．可依据条件利用期望、方差公式得出含有参数的方程(组)，解方程(组)即可求出参数值．(3)由已知条件，作出对两种方案的判断．可依据期望、方差的意义，对实际问题作出判断．解解5．(2021·潍坊一模)在一个系统中，每一个设备能正常工作的概率称为设备的可靠度，而系统能正常工作的概率称为系统的可靠度．为了增加系统的可靠度，人们经常使用“备用冗余设备”(即正在使用的设备出故障时才启动的设备)．已知某计算机网络服务器系统采用的是“一用两备”(即一台正常设备，两台备用设备)的配置，这三台设备中，只要有一台能正常工作，计算机网络就不会断掉．设三台设备的可靠度均为r(0＜r＜1)，它们之间相互不影响．(1)要使系统的可靠度不低于0.992，求r的最小值；(2)当r＝0.9时，求能正常工作的设备数X的分布列；(3)已知某高科技产业园当前的计算机网络中每台设备的可靠度是0.7，根据以往经验可知，计算机网络断掉可能给该产业园带来约50万的经济损失．为减少对该产业园带来的经济损失，有以下两种方案：方案1：更换部分设备的硬件，使得每台设备的可靠度维持在0.9，更换设备硬件的总费用为8万元；方案2：对系统的设备进行维护，使得设备可靠度维持在0.8，设备维护的总费用为5万元．请从期望损失最小的角度判断决策部门该如何决策．解(3)设方案1、方案2的总损失分别为X1，X2.采用方案1，更换部分设备的硬件，使得设备可靠度维持在0.9，由(2)可知计算机网络断掉的概率为0.001，所以E(X1)＝80000＋0.001×500000＝80500.采用方案2，对系统的设备进行维护，使得设备可靠度维持在0.8，由(1)可知计算机网络断掉的概率为0.008，所以E(X2)＝50000＋0.008×500000＝54000.E(X1)＞E(X2)，因此，从期望损失最小的角度，决策部门应选择方案2.解3课时作业PARTTHREE一、单项选择题1．(2021·云南、贵州、四川、广西四省名校联考)设随机变量X，Y满足Y＝2X＋b(b为非零常数)，若E(Y)＝4＋b，D(Y)＝32，则E(X)和D(X)分别为(

)A．4,8 B．2,8C．2,16 D．2＋b,16答案解析2．若随机变量X的分布列为则当P(X＜a)＝0.8时，实数a的取值范围是(

)A．(－∞，2] B．[1,2]C．(1,2] D．(1,2)解析由随机变量X的分布列，得P(X＜－1)＝0.1，P(X＜0)＝0.3，P(X＜1)＝0.5，P(X＜2)＝0.8，则当P(X＜a)＝0.8时，实数a的取值范围是(1,2]．故选C.答案解析

X－2－10123P0.10.20.20.30.10.13．一射手对靶射击，直到命中或子弹打完为止，每次命中的概率为0.6，现有4发子弹，则停止射击后剩余子弹数目的均值为(

)A．2.44 B．3.376C．2.376 D．2.4解析X＝k表示停止射击后剩余子弹的数目，P(X＝3)＝0.6，P(X＝2)＝0.4×0.6，P(X＝1)＝0.42×0.6，P(X＝0)＝0.43×(0.6＋0.4)，∴E(X)＝3×0.6＋2×0.4×0.6＋1×0.42×0.6＋0×0.43×(0.6＋0.4)＝2.376.故选C.答案解析4．签盒中有编号为1,2,3,4,5,6的六支签，从中任意取3支，设X为这3支签的号码之中最大的一个，则X的数学期望为(

)A．5 B．5.25C．5.8 D．4.6答案解析答案解析解析答案解析答案解析答案解析二、多项选择题9．已知某一随机变量X的分布列如下，且E(X)＝6.3，则下列结论正确的是(

)A．a＝7 B．b＝0.4C．E(aX)＝44.1 D．E(bX＋a)＝2.62解析由题意和分布列的性质得0.5＋0.1＋b＝1，且E(X)＝4×0.5＋0.1a＋9b＝6.3，解得b＝0.4，a＝7.∴E(aX)＝aE(X)＝7×6.3＝44.1，E(bX＋a)＝bE(X)＋a＝0.4×6.3＋7＝9.52，故A，B，C正确，D不正确．故选ABC.答案解析

X4a9P0.50.1b答案解析答案解析答案解析解析三、填空题13．随机变量X的分布列如下：其中a，b，c成等差数列，则P(|X|＝1)＝________.答案解析

X－101Pabc14．数字1,2,3,4任意排成一排，若数字K恰好出现在第K个位置上，则称为一个巧合，若巧合个数为ξ，则P(ξ＝0)＝________.答案解析答案解析1解析四、解答题17．(2021·新高考八省联考)一台设备由三个部件构成，假设在一天的运转中，部件1,2,3需要调整的概率分别为0.1,0.2,0.3，各部件的状态相互独立．(1)求设备在一天的运转中，部件1,2中至少有1个需要调整的概率；(2)记设备在一天的运转中需要调整的部件个数为X，求X的分布列及数学期望．解(1)设部件1需要调整为事件A，部件2需要调整为事件B，部件3需要调整为事件C，由题意可知，P(A)＝0.1，P(B)＝0.2，P(C)＝0.3.部件1,2中至少有1个需要调整的概率为1－[1－P(A)][1－P(B)]＝1－0.9×0.8＝1－0.72＝0.28.(2)由题意可知X的取值为0,1,2,3，且P(X＝0)＝[1－P(A)][1－P(B)][1－P(C)]＝(1－0.1)×(1－0.2)×(1－0.3)＝0.504，P(X＝1)＝P(A)[1－P(B)][1－P(C)]＋[1－P(A)]P(B)[1－P(C)]＋[1－P(A)]·[1－P(B)]P(C)＝0.1×0.8×0.7＋0.9×0.2×0.7＋0.9×0.8×0.3＝0.398，解P(X＝2)＝P(A)P(B)[1－P(C)]＋P(A)[1－P(B)]P(C)＋[1－P(A)]P(C)P(B)＝0.1×0.2×0.7＋0.1×0.8×0.3＋0.9×0.2×0.3＝0.092.P(X＝3)＝P(A)P(B)P(C)＝0.1×0.2×0.3＝0.006，故X的分布列为数学期望E(X)＝0.504×0＋0.398×1＋0.092×2＋0.006×3＝0.6.解

X0123P(X)0.5040.3980.0920.00618．A，B两个投资项目的利润率分别为随机变量X1和X2，根据市场分析，X1和X2的分布列分别如下表：(1)在A，B两个投资项目上各投资100万元，Y1和Y2分别表示投资项目A和B所获得的利润，求方差D(Y1)，D(Y2)；(2)将x(0≤x≤100)万元投资项目A,100－x万元投资项目B，f(x)表示投资项目A所得利润的方差与投资项目B所得利润的方差的和．求f(x)的最小值，并指出x为何值时，f(x)取得最小值．X15%10%P0.80.2X22%8%12%P0.20.50.3解(1)根据题意，知Y1和Y2的分布列分别如下表：从而E(Y1)＝5×0.8＋10×0.2＝6，D(Y1)＝(5－6)2×0.8＋(10－6)2×0.2＝4，E(Y2)＝2×0.2＋8×0.5＋12×0.3＝8，D(Y2)＝(2－8)2×0.2＋(8－8)2×0.5＋(12－8)2×0.3＝12.解Y1510P0.80.2Y22812P0.20.50.3解19．某城市美团外卖配送员底薪是每月1800元，设每月配送单数为X，若X∈[1,300]，每单提成3元，若X∈(300,600]，每单提成4元，若X∈(600，＋∞)，每单提成4.5元，饿了么外卖配送员底薪是每月2100元，设每月配送单数为Y，若Y∈[1,400]，每单提成3元，若Y∈(400，＋∞)，每单提成4元，小王想在美团外卖和饿了么外卖之间选择一份配送员工作，他随机调查了美团外卖配送员甲和饿了么外卖配送员乙在2020年4月份(30天)的送餐量数据，如下表：表1：美团外卖配送员甲送餐量统计日送餐量x(单)131416171820天数2612622表2：饿了么外卖配送员乙送餐量统计(1)设美团外卖配送员月工资为f(X)，饿了么外卖配送员月工资为g(Y)，当X＝Y∈(300,600]时，比较f(X)与g(Y)的大小关系；(2)将4月份的日送餐量的频率视为日送餐量的概率．①计算外卖配送员甲和乙每日送餐量的均值E(x)和E(y)；②请利用所学的统计学知识为小王作出选择，并说明理由．日送餐量y(单)111314151618天数4512351解解解20．(2021·新高考Ⅱ卷)一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代……，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设X表示1个微生物个体繁殖下一代的个数，P(X＝i)＝pi(i＝0,1,2,3)．(1)已知p0＝0.4，p1＝0.3，p2＝0.2，p3＝0.1，求E(X)；(2)设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p是关于x的方程：p0＋p1x＋p2x2＋p3x3＝x的一个最小正实根，求证：当E(X)≤1时，p＝1，当E(X)>1时，p<1；(3)根据你的理解，说明(2)问结论的实际含义．解故f′(x)有两个不同零点x1，x2，且x1<0<1≤x2，且x∈(－∞，x1)∪(x2，＋∞)时，f′(x)>0；x∈(x1，x2)时，f′(x)<0.故f(x)在(－∞，x1)，(x2，＋∞)上单调递增，在(x1，x2)上单调递减，若x2＝1，因为f(x)在(x2，＋∞)上单调递增，且f(1)＝0