初中数学思想方法大全剖析

PAGEPAGE10/13一、宏观型思想方法数学思想是数学基础知识、基本技能的本质体现，是形成数学能力、数学意识的桥梁，是灵活应用数学知识、技能的灵魂。（一、转化(化归)思想解决数学问题就是一个不断转化的过程，把问题进行变换，使之化繁为简、化难为易、化生疏为熟悉，变未知为已知，从而使问题得以解决。不是对原来的问题直接解答，而是想方设法对它进行变形，直到把它转化成某个（某几个）就是把“新知识”转化为“旧知识把“复杂问题”转化为“简单问题可运用联想类比实现转化、利用“换元”、“添线”、消元法，配方法，进行构造变形实现转化、数形结合，实现转化。一般转化为特殊，有些代数问题，通过构造图形，化抽象为具g、化综合为单一；h、化一般为特殊。有加减法的转化，乘除法的转化，乘方与开方的转化，添辅助线，设辅助元等等都是实现转化的具体手段。因此，首先要认识到常用的很多数学方法实质就是转化的方法应用：A；B；CDE；F例子：减法转化成加法（减去一个数等于加上这个数的相反数；除法转化成乘法（除以一个不等于零的数等于乘以这个数的倒数；多项式的先化简再代入求值；单项式乘单项式可化归（特殊值法、特殊位置、设项、几何中添辅助线等；图形的变换（似变换；解斜三角形（多边形）时将其转化为解直角三角形；（二、数形结合思想数学的研究对象是现实世界中的数量关系）和空间形式“形，而“数”和“形”是系进行研究，从而形成问题解决的一种重要数学思想（以数解形，以形助数。数是形的抽象概括，形是数的直观体现，把数和形结合起来，从而把隐蔽的问题明朗化、抽象AB（或不等式C平面直角坐标系中的应用；D；E例如：在数轴上表示数；用数轴描述有理数的有关概念和运算（相反数、绝对值等概念，比较代数的不等式（组、方程和方程组，几何的几乎所有内容；函数方面（建立直角坐标系使点；通过对图形性质的研究去解决数量关系的问题。数式与图像之间的关系。④线段（角）的和、差、倍、分等问题，充分利用数来反映形。⑤解三角形，求角度和边长，引入了三角函数，这是用代数方法解决几何问题。⑥“圆”这一章中，贺的定义，点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系等都是化为数量关系来处理的。⑦统计初步中统计的第二种方法是绘制统计图表，用这些图表的反映数据的分情况，发展趋势等。实际上就是通过“形”来反映数据扮布情况，发展趋势等。实际上就是通过“形”来反映数的特征，这是数形结合思想在实际中的直接应用。（三、分类讨论思想由于题目的约束较弱（条件趋一般）有必要考察全面（所有不同情况，才能把握问题的实质，此时应当进行适当分类，就每一种情形研究讨论结论的真理性（正确性。在具体的求解过程中，整体问题转化为部分问题后，事实上增加了题设条件。把一个复杂的问题分成若干个相对简单的问题来处理。分为若干类，然后逐类进行讨论，再把这几类的结论汇总，得出问题的答案，这种解决问题的思想方法就是分类讨论的思想方法。分类讨论的思想方法的实质是把问题“分而治之，各个击破确定同一分类标准（2）恰当地对全体对象进行分类，按照标准对分类做到“既不重复又不遗（3）（4）综合概括小节，归纳得出结论。应用：A对问题的题设条件需分类讨论；B对求解过程中不便统一表述的问题进行分类讨论；C从图像中获取信息进行分类讨论；D；E值范围分不同情况讨论。乘方的符号法则；整式分类；研究平方根、立方根时，把数按正数、0、负数分类；按定义或按大小对实数进行分类；（四、数学建模思想（表示的一种数学结构（如多项式、方程式、不等式、函数式以及图形等。的的方法。此法多用于解决一些实际问题或较繁琐的数学问题。实际问题数学模型实际问题数学模型实际问题的解数学模型的解地表述出来的一种数学结构，把实际应用题中的等 量关系构建在方程组的模式，或其他模式。就是找到 一种解决问题的数学方法。数学模型是对客观事物的 空间形式和数量关系的一种反映。它可以是方程、函 数或其他数学式子，也可以是一个几何基本图形。利 用数学模型解决问题的一般数学方法就是数学模型方 法它的基本步骤如下图所示：模型有：方程模型，函数模型，几何模型，三角模型，不等式模型和统计模型等等。应用：A（合理、正确地画出几何图形；B（时，先抽象出一次函数或二次函数关系式的数学模型（即建模，再用函数的知识来解决这些实际问题。方程思想在解决问题时，通过已知量和未知量的联系，建立起方程或方程组，通过解方程或方程组，求出未知量的数值，从而使问题得以解决，这种通过立方程（组）去沟通已知和未知的联系的数学思想，就称为方程思想。符号语言将相等关系转化为方程（或方程组，再通过解方程（组）使问题获得解决。求值问题，当未知数不能直接求出时，一般需设出未知数x去求结果，这是解题中常见的具有导向作用的一种思想。分析问题中的数量关系,寻找已知量与未知量之间的相等关系。通过适当设元,利用已知条件、公式、定理中的已知结论来构造方程（组）,从而解决问题的一种思维方式。方程思想是把问题中的量划分为已知量和未知量，并把这些量用字母表示（x表示未知量利用方程的性质，不等式的性质使问题得以解决。例如：立方程（组）解应用题；利用判别式和韦达定理确定一元二次方程中待定系数（数；二次三项式的因式分解；利用韦达定理解形如韦达定理的二元二次方程组；函数思想想。函数思想的实质是用运动变化对应的观点去研究两个变量间的相互依赖关系。（习xy）表示，把量与量的关系抽象概括为函数模型，用运动、变化和对应的观点，通过的。应用：求最大（小）值；解决有关方程、不等式、圆的问题；解决大量的实际问题；（五、抽象和概括思维方法制的本质属性。本质属性的干扰，难以建立解题思路。答问题提供某种科学依据或一般原理。抽象和概括是密不可分的。抽象可以仅涉及一个对象，而概括则涉及一类对象。从不同角度考察同一事物会得到不同性质的抽象，即不同的属性。而概括则必须从多个对象的考察中寻找共同相通的性质。数学思维侧重于分析、提练、概括思维则侧重于归纳、综合。数学中的每一个概念都是对一类事物的多个对象通过观察和分析，抽象出每个对象的各种属性，再通过归纳、概括出各个对象的共同属性而形成的。在解决数学问题方面，得出数学的模型、模式，总结出解题的规律和方法，都是通过分析、比较、抽象、归纳等思维环节，最后进行理论概括的结果几何图形都是由现实事物去其物理性质，而只考虑其形状、大小、位置抽象出来的，这也是解决现实生活中问题的一个途径。（六、整体思想把握问题的内容和解题的方向和策略。整体思想注重问题的整体结构，将题中的某些元素或组合看成一个整体，从而化繁为简，化难为易。把问题放到整体结构中去考虑，就可以开拓解题思路，优化解题过程。从整体观点出发，通过研究问题的整体形式、整体结构、整体特征，从而对问题进行整体处理的解题思想方法。化简：1/（a+2）（a+3）+1/（a+3）（a+4）+/1（a+4）（a+5）1/n（n+1）=1/n-1/（n+1），将原分式分离变形。即原式=1/（a+2）-1/（a+3）+1/（a+3）-1/（a+4）+1/（a+4）-1/（a+5）=1/（a+2）-1/（a+5）=3/（a+2）（a+5）例子:求代数式的值；乘法公式中的字母可以表示代数式；●系统化件（定义、标准方程、图形、性质制成图表，进行比较，并形成系统化的知识。二、逻辑型思想方法（一、演绎推理是由大前提、小前提、结论三部分组成。例如，凡同边数的正多边形都是相似的。这两个正多边形的边数是相同的，所以这两个正多边形也是相似的。这里有三个判断，第一个判断提供了一般的原理原则，叫做三段论的大前提；第二个判断指出了一个特殊场合的情况，叫做小前提；联合这两个判断，说明一般原则和特殊情况间的联系，因而得出的第三个判断，叫做结论。公理化推理的逻辑快乐（二、归纳与猜想在解决数学问题时，从特殊的、简单的、局部的例子出发，通过观察类比联想进而猜想结果的思想方法。通过对一系列特殊问题的研究，概括出一类问题的一般性规律的思维方法。●数学归纳法的全部对象后归纳得出结论来。n＝1n0)时成立，这n＝kn＝k＋1何自然数（或n≥n0n∈N）n＝k＋1最终实现目标完成解题。n数列问题、几何问题、整除性问题等等。（三、比较的思维方法、逻辑思维的规律，但是却能获得研究发现，是确定解题方法的导火索。相互联系中表现出自己的许多属性。比较是一种判断性的思维活动，是确定所研究的对象的相同点和差异点的思维方法。应用：ABC比较。区别上明鉴，在联系上沟通；类比方法（推出它们在其他方面也可能相似，从而去建立猜想和发现真理的方法。通过类比可发现新旧知识的相同点和不同点，利用已有知识来认识新知识和加深理解新知识。通分、约分、运算等；由假分数化成带分数继而化为整数部分和分数部分的和，联想到在分子对比方法把两个几何图形的特征加以对比，才能发现它们的区别和联系才能深刻地理解，才能识别。例如：线段的中点和角平分线的区别和联系；（四、举反例证明假命题的方法、反驳●反驳阐明真理，反驳的作用则在于揭露谬误，捍卫真理。反驳与证明又是密切联系的，如果确定了常用的反驳法有以下三种：⑴构造一反例。即举出一个例子，说明它具备命题的全部条件，但不具有命题的结论。⑵假定命题成立，推出荒谬结果，从而证明了该命题是虚假的。例如，证明“零可以作除数”是错误的。2-2=3-32(1-1)=3(1-1)2=3⑶论证与该命题相矛盾的命题是真实的，根据矛盾律则推出原命题是虚假的是假命题，只需举出一个反例就可以了。举反例是证明一个命题是假命题的一般方法。●反证法反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法。反证法可以分为归谬反证法(结论的反面只有一种)与穷举反证法(结论的反面不只一种)。用反证法证明一个命题的步骤，大体上分为：(1)反设；(2)归谬；(3)结论。例如：是/不是；存在/不存在；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于；大(小)于/不大(小)于；都是/不都是；至少有一个/n/至多有(n1)个；至多有一个/至少有两个；唯一/至少有两个。的公理、定义、定理、公式矛盾；与反设矛盾；自相矛盾。与前面所讲的方法不同，反证法是属于“间接证明法”一类，是从反面的角度思考问题的(Hadamard)对反证法的实质作过概括盾的原因是假设不成立，所以肯定了命题的结论，从而使命题获得了证明。反证法所依据的是逻辑思维规律中的“矛盾律”和“排中律AA应用反证法证明的主要三步是：否定结论→推导出矛盾→结论成立。实施的具体步骤是：第一步，反设：作出与求证结论相反的假设；第二步，归谬：将反设作为条件，并由此通过一系列的正确推理导出矛盾；第三步，结论：说明反设不成立，从而肯定原命题成立。在应用反证法证题时，一定要用到“反设”进行推理，否则就不是反证法。用反证法证题的命题，改变其思维方向，从结论入手进行反面思考，问题可能解决得十分干脆。（五在由几个简单的、个别的、特殊的情况去研究、探索、归纳出一般的规律、性质或公式，例子：研究幂的运算规律；从具体例子，并归纳二次根式的性质；运用二次根式的性质化简二次根式；（六、分析法和综合法立的条件，每一步的目的明确，容易找到证题思路，但表达啰嗦。直截了当、简单清晰，但有时不容易把握方向，找不准证题思路。所以，研究数学问题时，一般总是先用分析法去想，在分析的基础上用综合法写出来。例如：立方程解应用题；三、操作技巧型思想方法数学基本方法是做好题、迅速做题、准确做题的关键。1.分解因式法还有如利用拆项添项、求根分解、换元、待定系数等等。是进行分式运算的关键（通分、约分、去分母时一般都需先分解因式元二次方程组；2.通分3.约分分式运算；4.去分母分式运算；配方法形式。要的恒等变形的方法。配方法是对数学式子进行一种定向变形（）的技巧，通过配方找到已知和未知的联系，从而化繁为简。何时配方，需要我们适当预测，并且合理运用“裂项”与“添项xy线的平移变换等问题。配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2灵活运用，可得到各种基本配方形式，如：a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝(a－b)2＋2ab；3b3a2＋ab＋b2＝(a＋b)2－ab＝(a－b)2＋3ab＝(a＋2)2＋（1

b）2；a2＋b2＋c2＋ab＋bc＋ca＝2[(a＋b)2＋(b＋c)2＋(c＋a)2]a2＋b2＋c2＝(a＋b＋c)2－2(ab＋bc＋ca)＝(a＋b－c)2－2(ab－bc－ca)＝…结合其它数学知识和性质，相应有另外的一些配方形式，如：1＋sin2α＝1＋2sinαcosα＝（sinα＋cosα）2；1 1 1x2x2＝(x＋x2－2＝(x－x2＋2；……等等。应用：因式分解；化简根式；证明等式和不等式；解一元二次方程；一元二次方程求根公式的进而求得抛物线的顶点坐标（或最大、最小值）和对称轴；求函数的极值和解析式；推导抛物y=ax2+bx+cxA(x,0)、B(x,0)之间的距离公式（P234；1 2消元法解方程组的基本思想是消元，将多元逐步变为二元、一元方程来解决。⑵加减消元法⑶把两方程相乘或相除；⑷降次法⑴因式分解降次法：解一元二次方程、二元二次方程组；⑵换元法：化，使问题易于解决。解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究变得容易处理。换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，证简化。它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。换元的方法有：局部换元、三角换元、均值换元等。局部换元又称整体换元，是在已知或形才能发现。例如解不等式：4x＋2x－2≥0，2x＝t（t>0），二次不等式求解和指数方程的问题。三角换元，应用于去根号，或者变换为三角形式易求时，主要利用已知代数式中与三角知x1x识中有某点联系进行换元x1x

x＝sin2α，α∈[0,

2]，问题变成了熟悉的求三角函数值域。为什么会想到如此设，其中主要应该x、yx2＋y2＝r2（r>0）时，则可作三角代换x＝rcosθ、y＝rsinθ化为三角问题。S Sx＋y＝Sx＝2＋t，y＝2－t我们使用换元法时，要遵循有利于运算、有利于标准化的原则，换元后要注重新变量范围t>0α∈[0,2]。如：解可化为一元二次方程的分式方程、分式方程组；二次三项式的因式分解；9.待定系数法某种关系，从而解答数学问题，这种解题方法称为待定系数法。f(x)g(x)的充要条件af(a)g(a)；或者两个多项式各同类项的系数对应相等。待定系数法解题的关键是依据已知，正确列出等式或方程。使用待定系数法，就是把具有使用待定系数法，它解题的基本步骤是：第一步，确定所求问题含有待定系数的解析式；第二步，根据恒等的条件，列出一组含待定系数的方程；第三步，解方程组或者消去待定系数，从而使问题得到解决。① 利用对应系数相等列方程；② 由恒等的概念用数值代入法列方程；③ 利用定义本身的属性列方程；④ 利用几何条件列方程。程。求函数解析式的重要方法（据已知自变量和函数值〈或者点的坐标〉来确定函数的解析式；10.特殊化方法在探索某问题的过程中，先抛开其一般的情形，而抓住其个别的、局部的特殊情形，并通过对（的研究洞察出一般情形所应用：AB求规律。特殊值法和辅助线的添加11.几何变换法平移、旋转变换，轴对称，相似变换（1）（2）（3）12.面积法且用它来证明平面几何题有时会收到事半功倍的效果。运用面积关系来证明或计算平面几何题的方法，称为面积法。它是几何中的一种常用方法。也很容易想到。应用：⑴利用面积法求线段的长；⑵利用面积法证线段等式；⑶利用面积法证线段不等式；⑷利用面积法求线段的比割补法、分解组合思想能把在内容和形式上，和教材上的公式、定理所需要具备的条件不完全一样的数学问题，通过对问题的分解、拆割，或者合成、拼补等手段，将问题转化为符合公式、定理所要求的形式，并运用公式、定理来加以解决。1、因式分解：x22xyy2a22abb2 ；2CEDB90A45E30,求重叠部分的面积。ABDE6,11/13PAGEPAGE13/13分解图形法简化。定义法说，定义是基本概念对数学实体的高度抽象。用定义法解题，是最直接的方法。公式法比较法比差法；比商法构造法在解题时，我们常常会采用这样的方法，通过对条件和结论的分析，构造辅助元素，它可以是一个图形、一个方程(组)、一个等式、一个函数、一个等价命题等，架起一座连接条件和结论的桥梁，从而使问题得以解决，这种解题的数学方法，我们称为构造法。运用构造法解题，可以使代数、三角、几何等各种数学知识互相渗透，有利于问题的解决。判别式法与韦达定理ax2+bx+c=0（a、b、cR，a≠0）根的判别，△=b2-4ac，不仅用来判定根三角运算中都有非常广泛的应用。韦达定理除了已知一元二次方程的一个根，求另一根；已知两个数的和与积，求这两个数等简单应用外，还可以求根的对称函数，计论二次方程根的符号，解对称方程组，以及解一些有关二次曲线的问题等，都有非常广泛的应用。逆向变换的方法例如:公式和法则的逆向运用；参数法（数，以此作为媒介，再进行分析和综合，从而解决问题。直线与二次曲线的参数方程都是用参数法解题的例证。换元法也是引入参数的典型例子。辨证唯物论肯定了事物之间的联系是无穷的，联系的方式是丰富多采的，科学的任务就是信息，顺利地解答问题。用字母表示数会用字母表示数，进行式的运算和讨论一些数学问题。如会列方程解应用题，会用换元