力学本学期所有课件-3.4牛顿运动定律应用

§3.4

运动定律的应用应用

定律应注意:图.是瞬时关系.①研究对象——质点.②将其它物体对该质点的作用归结为力.画③加速度是相对于惯性系的.④

F

ma是矢量式.解题中选择适当的坐标系，⑤

F

ma写成分量式.⑥正确写出约束方程.§3.4.1质点的直线运动在直角坐标系中，

第二定律分量式为

Fix

max

Fiy

may

Fiz

maz第三定律分量式Fx

FxFy

Fy典型例子之一是“直线Fz

Fz”,下图是示意图.+_+_[例题1]

英国

大学物理教师阿特伍德(Ge

eAtwood,1746—1807)， 设计机巧的演示实验，他为验证 第二定律而设计的滑轮装置，称作“阿特伍德机”，该机是最早出现验证

定律的最好设备，于1784年页于“关于物体的直线运动和转动”一文中(下）.物理学进行研究需要建立理想模型.在理论模型中，重物和m1和m2可视作质点；滑轮是“理想的”，即绳和滑轮的质量不计，轴承摩擦不计，绳不伸长.求重物后物体加速度及物体对绳的拉力.m12mx1mWFT2mWFT[解]选地球为惯性参考系.取质点m1和m2为体，受力如图由W2

FT2

m2a2不计绳和滑轮质量，有1

T1第二定律,有

m1a1W

FFT1

FT2

FT建立坐标系Ox，约束关系x1

x2

πR

l

常量对时间求两次导数，得d2

x1

d2

x2a1

x

2

2

a2

xdt

dt第二定律分量式m1

g

FT

m1a1xm2

g

FT

m2a2

x

m2a1x1

2

(m1

m2

)g2

xm

ma

a求解，得

1

xg

2m1m2F1

2m

mT[ ]若

m1>

m2

，a1x

为正，

a2x为负，表明

m1的加速度与x

轴正向相同；若m1<m2

，则a1x为负，表明m1的加速度与

x轴的正向相反；若

m1=

m2

，加速度为零，即加速度的方向大小均取决于

m1和m2

.更深一层的

（

）1

2

(m1

m2

)g1

x2

xm

ma

ag

2m1m2F1

2m

mT[例题2

抽象得] 斜面质量为m1

，滑块质量为

m2

，m1与

m2

之间、

m1与平面之间均无摩擦，用水平力

F推斜面.问斜面倾角

应多大，

m1和

m2相对

.m1m2FOxym1FFNFN1W1m2FN

2W2，因而有[解]受力分析如右上图,m1和m2相对共同的加速度a.根据第二、三定律，得N

1

N1F

F

W

F

m1a2

N2W

F

m2aFN1

FN

2直角坐标中分量式F

FN1

sin

m1aFN2

sin

m2am2

g

FN2

cos

0解方程得

arctan[F

(m1

m2

)

g]§3.4.2

变力作用下的直线运动若已知力求运动学方程，需作积分计算.动力学方程为d2

x

dxm

F

(t,

x,

)dt

2

x

dt)dtdxd2

xmdt

2x

F

(t,

x,或若已知力、坐标和速度的初始条件，可通过积分求解方程.（设方程为线性的.）[例题3]

已知一质点从

自高空下落，设重力加速度始终保持一常量，质点所受空气阻力与其速率成正比.求质点速度并与 下落相比.[解]

建立以开始下落处为坐标原点且铅直向下的坐标系Oy.又选开始下落时为计时起点.W

mgF

vfv

—质点速度为常量动力学方程为重力阻力dtm

dv

W

(v

)它在Oy

轴的投影为ydvy

g

vdt

m该式可写作

g)

dtmmyy(

v

m

d(

v

g)m

t作不定积分，得mg

vy

Ce因

t

＝0，v

y

0

故

C

mg

，于是mmg

tv

y

(1

e

)Otvyvy

max红色直线表示

下落蓝色曲线表示有阻力时，最后可达一极限——终极速度vy

max

mg

/

终极速度与高度无关落体2ghvy

max

与高度有关mmg

tv

y

(1

e

)

Fit

matv2

Fin

m

§3.4.3质点的曲线运动在自然坐标系中，质点动学方程分量式

Fin

——法向力(各力在法线方向投影的代数和)

Fit

——切向力(各力在切线方向投影的代数和)

——曲率半径应用：[例题4]

紫竹院公园有一旋风 机，大意如图所

示.设大圆盘转轴OO´

与铅直方向成

=18°，匀速转动，角速度为0=

0.84

rad/s.

离该轴

R

＝2.0

m

处又有与

OO´平行的PP´，绕

PP´

转动的座椅与

PP´

轴距离为

r=1.6m.为简单起见，设转椅于大圆盘.设椅座光滑，侧向力全来自扶手.又设两游客质量均为m=60

kg.求游客处于最高点B和较低点A处时受座椅的力.FPAFNAWFPBFNBWBenAetP

ANAF

F

W

maAF

F

W

maBP

BNB[解]游客作圆周运动.A、B二人受力分析如上右图根据

第二、三定律，得分量式FNBt

W

cos

0PAn

0F

W

sin

m

2

(R

r

)0FNAt

W

cos

0FPBn

W

sin

m

2

(R

r

)解之得FNBt

m0FPAn

m[

2

(R

r

)

g

sin

a]FNAt

m0FPBn

m[

2

(R

r

)

g

sin

a]FA3°etAAenBFB16.3°BFNAt

559NFNBt

559NFPAn

164NFPBn

29.3NPAn

NAt

F

2

58.310NF

2FA

NBtPBn

F

2

56.010

NF

2FB

与et

约成16.3°与en

约成3°§3.4.4

质点的平衡质点平衡条件——质点处于平衡时，作用于质点的合力等于零.

Fi

0质点平衡方程直角坐标系中的分量式

Fix

0

Fiy

0

Fiz

0[例题5]

将绳索在木桩上绕几圈，能使绳的一端受到极大拉力，例如拴着一头牛，只要用很小的力拽住绳的另一端，即可将绳索固定，原因在哪里？如图表示绳与圆柱体在AB弧段上接触且无相对滑动，弧AB对应的和FT

分别表示A点和B点圆心角

称为“包角”FT0绳的张力.设绳与圆柱间的静摩擦系数为0，不计绳的质量.求在FT0

一定的条件下，FT

的最大值FT

max

.ABT0FFTABFT0FT[解]在绳AB段上受力如右上图所示.截取小弧段对应于圆心角d

，FT

FT

dFTNFFTdTF

0Fenet静摩擦力F0圆柱体给绳的支撑力

FN根据质点平衡方程，得FT

FT

FN

F0

0设张力建自然坐标系，将上式投影，并考虑到F0

F0max

0FN得22TT

(F

dF

)

cos

d

0T

0

N

F

cos

d

Fd很小sin

d

d

,

cos

d

1,2

2

2略去二级无穷小量，得dFT

0FNd

d