基本不等式 题型练习-2023届高三数学一轮复习（含解析）

1.基本不等式题型练习例：已知实数a，b满足a＞0，b＞0，a+b=2，则下列结论正确的有（）A.的最小值为B.的最小值为3C.的最大值为3D.的最小值为21．若a，b∈（0，+∞），且，则的最小值为．2．设x、y∈R，a＞0，b＞0，若ax＝by＝3，a+2b＝，则的最大值为．3．已知a＞0，且a2﹣b+4＝0，则（）A．有最大值B．有最大值C．有最小值D．有最小值

4．若a，b∈R，ab＞0，则的最大值为．5．已知0，则的最小值是．6．设m＞n＞0，那么的最小值是．7．若正实数a，b满足a+b＝1，则函数f（x）＝abx2+（3b+1）x﹣36ab的零点的最大值为．8．已知a，b∈（0，+∞），且a2+3ab+4b2＝7，则a+2b的最大值为．

9．已知x，y∈R且满足2x2﹣y2+xy＝2，则x2+2y2的最小值是．10．若正数a，b满足a+b+2＝ab，则+的最小值是．11．已知正实数a，b满足2a+b＝4，则的最小值是．12．若实数a，b满足，则的最小值为．13．已知实数a＞0，b＞0，，则的最小值是．14．已知实数a，b满足，且a＞2b，则的最小值为．

15．已知正数x，y满足，则x+y的最小值与最大值的和为．16．若a＞1，b＞0，则的最小值为．17．已知a，b，c∈R+，且a＞4，ab+ac＝4，则的最小值是．18．已知正实数x，y满足，，则x+2y的最小值．

答案：一．基本不等式（共17小题）1．若a，b∈（0，+∞），且，则的最小值为（）A．9 B．3 C．1 D．【分析】结合基本不等式得到（）（）＝b+4+1+＝5+b+≥5+2＝9，进而求解结论．【解答】解：∵a，b∈（0，+∞），且，（）（）＝b+4+1+＝5+b+≥5+2＝9，当且仅当b＝时等号成立，∴9（）≥9，故≥1，即的最小值为1．故选：C．【点评】本题考查了基本不等式在求最值中的应用，属于中档题．2．设x、y∈R，a＞0，b＞0，若ax＝by＝3，a+2b＝，则的最大值为1．【分析】由ax＝by＝3化简得+＝log3ab，再由基本不等式可得2ab≤＝6，从而可得ab≤3，从而确定最大值．【解答】解：∵ax＝by＝3，∴x＝loga3，y＝logb3，∴＝log3a，＝log3b，∴+＝log3a+log3b＝log3ab，∵2ab≤＝6，∴ab≤3，故ab的最大值为3，当且仅当a＝2b＝时，等号成立，故+＝log3ab≤log33＝1，故+的最大值为1，故答案为：1．【点评】本题考查了对数式与指数式的互化，对数函数的单调性及基本不等式在求最值中的应用，同时考查了整体思想与转化思想的应用，属于中档题．3．已知a＞0，且a2﹣b+4＝0，则（）A．有最大值 B．有最大值 C．有最小值 D．有最小值【分析】由a2﹣b+4＝0可得b＝a2+4，则a+b＝a2+a+4，即＝，从而＝3﹣＝3﹣＝3﹣，进一步结合a＞0即可利用基本不等式进行求解．【解答】解：由a2﹣b+4＝0，得b＝a2+4，则a+b＝a2+a+4，即＝，又a＞0，所以＝3﹣＝3﹣＝3﹣≥3﹣＝3﹣＝，当且仅当a＝，即a＝2，b＝8时等号成立，所以有最小值，无最大值，故选：D．【点评】本题考查基本不等式的运用，考查学生的逻辑推理和运算求解的能力，属于基础题．4．若a，b∈R，ab＞0，则的最大值为（）A． B． C．2 D．4【分析】利用基本不等式求解即可．【解答】解：因为a4+4b4＝（a2）2+（2b2）2≥4a2b2，当且仅当a2＝2b2时取等号，所以，又，当且仅当，即时取等号，联立方程组，解得，所以，当且仅当时取等号，则的最大值为．故选：A．【点评】本题考查了基本不等式的理解与应用，主要考查了基本不等式求解最值的应用，在使用基本不等式求解最值时要满足三个条件：一正、二定、三相等，属于中档题．5．已知0，则的最小值是（）A．5 B．6 C．7 D．8【分析】根据＝2（）（x+）﹣1，利用基本不等式求解即可．【解答】解：因为0，所以＝+＝﹣1＝2（）（x+）﹣1＝2（2+）﹣1≥2（2+2）﹣1＝7，当且仅当，即x＝时取等号，此时的最小值是7．故选：C．【点评】本题考查了利用基本不等式求解最值，考查了转化思想，属于基础题．6．设m＞n＞0，那么的最小值是8．【分析】由已知结合基本不等式即可求解．【解答】解：m＞n＞0，则＝＝＝8，当且仅当m﹣n＝n且，即m＝1，n＝时取等号．故答案为：8．【点评】本题主要考查了利用基本不等式求解最值，属于基础题．7．若正实数a，b满足a+b＝1，则函数f（x）＝abx2+（3b+1）x﹣36ab的零点的最大值为（）A． B． C．2 D．3【分析】令f（x）＝0整理得，利用基本不等式“I”的代换可得，求解不等式即可判断．【解答】解：f（x）＝0，则则，，∴，而≥5+2＝9，当且仅当a＝2b时取等，∴，∴x≤﹣12或0＜x≤3，故选：D．【点评】本题考查了二次函数的性质与图象，基本不等式的应用，属中档题．8．已知a，b∈（0，+∞），且a2+3ab+4b2＝7，则a+2b的最大值为（）A．2 B．3 C．2 D．3【分析】先变形，再利用基本不等式求最值即可．【解答】解：∵7＝（a+2b）2﹣ab＝（a+2b）2﹣a•2b≥（a+2b）2﹣（）2＝，则（a+2b）2≤8，即|a+2b|≤2，又a，b∈（0，+∞），所以0＜a+2b≤2当且仅当a＝2b＝时取等号，∴a+2b的最大值为2．故选：C．【点评】本题考查了基本不等式在求最值中的应用，属于中档题．9．已知x，y∈R且满足2x2﹣y2+xy＝2，则x2+2y2的最小值是．【分析】由已知可得2x﹣y）（x+y）＝2，然后换元令2x﹣y＝m，x+y＝n，用含m，n的式子表示x，y，代入到所求式子后结合基本不等式可求．【解答】解：2x2﹣y2+xy＝2⇒（2x﹣y）（x+y）＝2，令2x﹣y＝m，x+y＝n，则x＝，y＝，且mn＝2，所以x2+2y2＝（）2+2×（）2＝﹣＝，当且仅当时取等号，此时x2+2y2的最小值．故答案为：．【点评】本题主要考查了利用基本不等式求解最值，换元法的应用可以简化基本运算，属于基础题．10．若正数a，b满足a+b+2＝ab，则+的最小值是2．【分析】由已知得，a＝＞0，从而可得b＞1，然后把a＝代入所求式子，结合基本不等式即可求解．【解答】解：因为正数a，b满足a+b+2＝ab，所以a＝＞0，所以b＞1，则+＝＝b﹣1+，当且仅当b﹣1＝，即b＝1+时取等号，故则+的最小值2．故答案为：2．【点评】本题主要考查了基本不等式在最值中的应用，属于基础题．11．已知正实数a，b满足2a+b＝4，则的最小值是（）A． B．4 C． D．【分析】根据已知得到2a+4+b＝8，进而利用“1”的代换即可求解结论．【解答】解：∵正实数a，b满足2a+b＝4，∴2a+4+b＝8，∴＝+＝（+）×（2a+4+b）×＝（6++）≥（6+2）＝，当且仅当2a+4＝b时等号成立．故选：D．【点评】本题考查了利用基本不等式求最值，关键是对“1”的代换，利用基本不等式求最值要注意：“一正、二定、三相等”，是基础题．12．若实数a，b满足，则的最小值为（）A．6 B．4 C．3 D．2【分析】先变形得到（2a﹣1）+（b﹣1）＝1，再利用“1”的代换和基本不等式求最值即可．【解答】解：∵，∴2a﹣1＞0，b﹣1＞0，∴（2a﹣1）+（b﹣1）＝1，∴＝++2＝（+）[（2a﹣1）+（b﹣1）]+2＝++4≥2+4＝6，当且仅当＝，即a＝，b＝时等号成立，∴的最小值为6，故选：A．【点评】本题考查了基本不等式在求最值中的应用，属于中档题．13．已知实数a＞0，b＞0，，则的最小值是．【分析】可根据得出，然后即可得出，然后根据基本不等式即可求出的最小值．【解答】解：∵，∴，且a＞0，b＞0，∴＝，当且仅当，即时取等号，∴的最小值是．故答案为：．【点评】本题考查了分离常数法的运用，基本不等式求最值的方法，考查了计算能力，属于中档题．14．已知实数a，b满足，且a＞2b，则的最小值为（）A．1 B． C．4 D．【分析】先得到ab＝1，再合理变形得到＝a﹣2b+，最后利用基本不等式求最值即可．【解答】解：∵，∴＝1﹣＝，∴ab＝1，∵a＞2b，∴a﹣2b＞0，∴＝＝a﹣2b+≥2＝4，当且仅当a﹣2b＝，即a＝+1，b＝时取等号，∴的最小值为4，故选：C．【点评】本题考查了利用基本不等式求最值问题，合理变形是关键，属于中档题．15．已知正数x，y满足，则x+y的最小值与最大值的和为（）A．6 B．5 C．4 D．3【分析】利用基本不等式变形得，，然后把进行变形代换，解二次不等式可求．【解答】解：因为xy≤，当且仅当x＝y时取等号，所以，所以，又＝x+y+，所以x+y+≤5，即（x+y）2﹣5（x+y）+4≤0，解得，1≤x+y≤4．所以x+