《金新学案》高考数学总复习 9.5空间向量的坐标运算 文 大纲人教

第5课时空间向量的坐标运算(9B)1．向量的直角坐标运算设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则①a＋b＝

；②a－b＝

；③λa＝

(λ∈R)；④a·b＝

；(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)(a1－b1，a2－b2，a3－b3)(λa1，λa2，λa3)a1b1＋a2b2＋a3b3编辑ppt2．夹角与距离公式(1)夹角公式：设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，编辑ppt其中dA，B表示A与B两点间的距离，这就是空间两点间的距离公式．3．平面的法向量(1)向量垂直于平面：如果表示向量a的有向线段所在的直线

平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作a⊥α.(2)平面的法向量：如果a⊥α，那么向量a叫做平面α的法向量．垂直于编辑ppt1．已知向量a＝(－1,1，－1)，b＝(2,0，－3)，则a·b等于(

)A．－5

B．－4C．2D．1答案：

D编辑ppt2．若a＝(2x,1,3)，b＝(1，－2y,9)，如果a与b为共线向量，则(

)答案：C编辑ppt3．若四边形ABCD为平行四边形，且A(4,1,3)，B(2，－5,1)、C(3,7，－5)，则顶点D的坐标为(

)A.B．(2,3,1)C．(－3,1,5)D．(5,13，－3)解析：设D的坐标为(x，y，z)，∵ABCD为平行四边形，答案：

D编辑ppt4．已知平面α和β的法向量分别是(－1,3,4)和(x,1，－2)，若α⊥β，则x＝________.解析：因为α⊥β，所以两个平面的法向量也垂直，因此(－1,3,4)·(x,1，－2)＝0，即x＝－5.答案：－55．已知向量a＝(－1,2,3)，b＝(1,1,1)，则向量a在向量b方向上的射影为________．答案：编辑ppt空间向量的坐标运算类似于平面向量的坐标运算，利用空间向量基本定理可将证明四点共面及直线与平面平行等问题转化为解方程组．编辑ppt

已知A(4,1,3)、B(2,3,1)、C(3,7，－5)，点P(x，－1,3)在平面ABC内，求x.解析：∵A(4,1,3)、B(2,3,1)、C(3,7，－5)、P(x，－1,3)，编辑ppt[变式训练]

1.若a＝(1,0,0)，b＝(1,1,0)，c＝(1,1,1)．(1)求证：a，b，c不共面；(2)试用a，b，c表示向量d＝(5,3,6)．解析：(1)证明：假设a，b，c共面，由a，b，c不共线可知，c＝λa＋μb，即(1,1,1)＝λ(1,0,0)＋μ(1,1,0)，编辑ppt编辑ppt涉及利用向量平行或向量垂直的充要条件的主要题型有两个：一是已知向量中含有某个参数，要求我们来求参数的值；二是利用向量平行与垂直的充要条件证明“线线平行与垂直或线面平行与垂直”的问题．编辑ppt编辑ppt编辑ppt编辑ppt[变式训练]

2.设a＝(1,5，－1)，b＝(－2,3,5)．(1)当(λa＋b)∥(a－3b)时，求λ的值；(2)当(a－3b)⊥(λa＋b)时，求λ的值．解析：∵a＝(1,5，－1)，b＝(－2,3,5)，∴a－3b＝(1,5，－1)－3(－2,3,5)＝(1,5，－1)－(－6,9,15)＝(7，－4，－16)，λa＋b＝λ(1,5，－1)＋(－2,3,5)＝(λ，5λ，－λ)＋(－2,3,5)＝(λ－2,5λ＋3，－λ＋5)．编辑ppt编辑ppt利用直线的方向向量和平面的法向量，可以判定直线与直线，直线与平面，平面与平面的平行和垂直．编辑ppt

如图，已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，且AB＝AA1，D、E、F分别为B1A、C1C、BC的中点．(1)求证：DE∥平面ABC；(2)求证：B1F⊥平面AEF.证明：如图建立空间直角坐标系A－xyz，令AB＝AA1＝4，则A(0,0,0)，E(0,4,2)，F(2,2,0)，B(4,0,0)，B1(4,0,4)．(1)取AB中点为N，则N(2,0,0)，C(0,4,0)，D(2,0,2)，编辑ppt编辑ppt编辑ppt[变式训练]

3.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点，作EF⊥PB于点F，(1)证明：PA∥平面EDB；(2)证明：PB⊥平面EFD.证明：如图所示建立空间直角坐标系，D为坐标原点，设DC＝a.(1)连接AC，AC交BD于G，连接EG.编辑ppt依题意得A(a,0,0)，P(0,0，a)，E.∵底面ABCD是正方形，∴G是此正方形的中心，编辑ppt编辑ppt1．空间任一点P的坐标的确定方法：过P分别作三个坐标平面的平行平面(或垂面)，分别交坐标轴于A、B、C三点，当与i的方向相同时，x＞0；反之x＜0，同理可确定y，z的值．2．一个向量在空间直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标．即若A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则＝(x2，y2，z2)－(x1，y1，z1)＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)．3．空间向量的坐标运算同平面向量的坐标运算类似，只是空间向量需用唯一确定的有序实数组x，y，z表示，实质没有改变．编辑ppt通过近三年高考试题的统计分析可以看出，有以下的命题规律．1．考查热点：空间坐标运算的应用．2．考查形式：多以解答题求后两问．3．考查角度：一是对空间坐标运算的单独考查，试题难度较小；二是利用空间坐标运算求空间角和距离，是整个立体几何命题中热点．4．命题趋势：仍以空间几何为载体，体现空间坐标运算的应用．编辑ppt(12分)(2009·浙江卷)如图，平面PAC⊥平面ABC，△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，E，F，O分别为PA，PB，AC的中点，AC＝16，PA＝PC＝10.(1)设G是OC的中点，证明FG∥平面BOE；(2)证明在△ABO内存在一点M，使FM⊥平面BOE，并求点M到OA，OB的距离．编辑ppt规范解答：

(1)证明：如图，连结OP，以点O为坐标原点，分别以OB，OC，OP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系O－xyz.则O(0,0,0)，A(0，－8,0)，B(8,0,0)，C(0,8,0)，P(0,0,6)，E(0，－4,3)，F(4,0,3)．由题意，得G(0,4,0)．又直线FG不在平面BOE内，所以FG∥平面BOE.6分编辑ppt[阅后报告]本题解答的难点是如何确定M的坐标，再求得M坐标后，易忽略对所求结果进行验证．编辑ppt1．(2010·广东卷)若向量a＝(1,1，x)，b＝(1,2,1)，c＝(1,1,1)，满足条件(c－a)·(2b)＝－2，则x＝________.解析：

∵a＝(1,1，x)，b＝(1,2,1)，c＝(1,1,1)，∴c－a＝(0,0,1－x)，2b＝(2,4,2)．∴(c－a)·(2b)＝2(1－x)＝－2，∴x＝2.答案：2编辑ppt2．(2010·湖北卷)如图，在四面体ABOC中，OC⊥OA，OC⊥OB，∠A