第二章一元函数微分学-6函数单调性与极值

xyoy

f

(

x)xyoabABf

(

x)

0f

(

x)

0定理设函数

y

f

(x)在

[a,b]

上连续，在

(a,b)内可导

.（1）如果在(a,b)内

f

(x)

0，则

y

f

(x)在

[a,b]

上单调增加；(2)

如果在

(a,b)

内

f

(x)

0，则

y

f

(x)

在

[a,b]

上单调减少.abBAy

f

(

x)一、函数单调性的判别法1.

判别法:证

x1

,

x2

(a,b),

且

x1

x2

,

应用拉氏定理,得1

x2

)f

(

x2

)

f

(

x1

)

f

(

)(

x2

x1

0,若在(a,b)内，f

(x)

0,则f

(

)

0,

f

(x2

)

f

(x1

).

y

f

(x)在[a,b]上单调增加.若在(a,b)内，f

(x)

0,则f

(

)

0,

f

(x2

)

f

(x1

).

y

f

(x)在[a,b]上单调减少.例1函数

xey的

单调性.x在(0,)内,

y

0,函数单调增加.注意:函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性．解

y

ex

1.又

D

:(,).在(,0)内,

y

0,函数单调减少定义:若函数在其定义域的某个区间内是单调的，则该区间称为函数的单调区间.导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间的分界点．方法:用方程f

(x)

0的根及f

(x)不存在的点来划分函数f(x)的定义区间,然后判断区间内导数的符号.2.单调区间求法:例22确定函数f

(

12x

3的单调区间.解

D

:(,).6)(2

6(

x

1)(

x

2)x1

1,

x2

2.解方程f

(当

x

1时当1

x

2时当2

x

时f

(

x)

0,f

(

x)

0,f

(

x)

0,单调递增区间为:

(,1][1,2]在(,1]上单调增加在[1,2]上单调减少在[2,)上单调增加[2,).单调递减区间为:例3解x2

的单调区间.确定函数f

(x)

3

D

:

(,).

)当x

0时,导数不存在.当

x

0时当0

x

时f

(x)

0,

在(,0]上单调减少f

(x)

0,

在[0,)上单调增加x2y

3注意:区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性.例如,y

x3

,

y

0,x0但在(,)上单调增加.应用:利用单调性证不等式:若f

(x)

0

(x

(a,b))

f

(a)

f

(x)

f(b).f

(x)

0

(x

(a,b))

f

(a)

f

(x)

f

(b).例4立.成证.x1

x设f

(

),

则

f

(

x)

f

(x)在[0,)上连续,且(0,)可导，f

(x)

0,在[0,)上单调增加f

(0)

0,

f

(x)

f

(0)当x

0时x

ln(1

x)

0,即x

ln(1

x).例5

证明:20(sin2).0.

an(x2f

(

x)

sin

x

2

f

()x

证:令

f

(x)x

f

(

x)

f

(

)220(

0.

sin2).(2).

证明方程根的唯一性:当

f

(

x)

0 (

f

(

x)

0)

f

(

x)

0

的根唯一.例6

证明方程2xe

x

1

0证:2

2

212

1

0.f

(

x)

xex

1

f

(1)

1

e

4

1

2f

(1)

e

1

0,由零点存在定理,至少存在一点2

(1

,1),

f

(

)

e

1

0.2在1(

,1)有且仅有一个实根.f

(x)

ex2

2x2ex2

0.

f

(x)

.

xe

x2

1

0

在(1/2,1)内至多有一个实根得证oxbyy

f

(

x)a

x1x2x3x4x5

x6oxyoxyx0x0二、函数的极值1.

定义设函数f

(x)在区间(a,b)内有定义,x0是(a,b)内的一个点,如果存在着点x0的一个邻域,

对于这邻域内的任何点x,除了点x0外,

f

(

x)

f

(

x0

)均成立,

就称f

(x0

)是函数f

(x)的一个极大值;如果存在着点x0的一个邻域,对于这邻域内的任何点x,除了点x0外,f

(x)

f

(x0

)均成立,就称

f

(x0

)是函数f

(x)的一个极小值.函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.处具有导数,且在x

处取得极值,那末必定

f

'(

x

)

0

.0

0定义使导数做函数f

(x)的驻点.注意:可导函数f

(x)的极值点必定是它的驻点,但函数的驻点却不一定是极值点.例如,y

x3

,

y

x0

0,但x

0不是极值点.2.

函数极值的求法:(1)

必要条件:定理1(必要条件)设f

(x)在点x0xyoyx0o

x0x(是极值点情形)(2)

充分条件:定理2(第一充分条件)若在点x0

两旁:(1)

当x

x

f

(x)

0,当x

x0时,

f

(x)

0,则f

(x)在x0取极大值.(1)

当x

x0时,

f

(

0时,

f

(x)

0,则f

(x)在x0取极小值.xyoyx0o

x0求极值的步骤:求导数f

(x);求驻点，即方检查f

(x)在驻点左右的正负号,判断极值点;求极值.x(不是极值点情形)例5解23求出函数xf的

极值.2令f

(得驻点

x1

1,

x2

3.

列表x(,1)

1(1,3)3(3,)f

(

x)00f

(

x)极大值极小值极小值f

(3)

22.极大值f

(1)

10,6

3(

x

1)(

x

3)23Mm图9f

形如下0

0设

f

(

x)

在

x

处

具

有

二

阶

导

数

,

且

f

'(

x

)

0

,0f

''(x

)

0,那末0

0(1)当

f''(

x

)

0时,

函数

f

(

x)在x

处取得极大值;00(2)当

f''(

x

)

0时,

函数

f

(

x)在x

处取得极小值.[2]定理3(第二充分条件)证(略)(1)x

x)

f

(

x

)f

(

x00x0

f

(

x0

)

lim

0,故f

(x0

x)

f

(x0

)与x异号当x

0时当x

0时有f

(

x0

x)

f

(

x0

)

0,有f

(

x0

x)

f

(

x0

)

0,所以,函数f

(x)在x0

处取得极大值例6解求出函数f

(令

f

(

得驻点

x1

4,

x2

2.3)(23

2x0f2的4

极值.

24

3(

x

4)(

x

2)故极大值f

(4)

60,

f

(

x)

6x

6,

f

(4)

18

0,f

(2)

18

0,故极小值f

(2)

48.f

(

2

24x

20

图形如下Mm注意:

()00,()

时

在ff

处不一定取极值,仍用定理2.例7解2求出函数f

(x)

1

(x

2)3的极值.323

1f

2)(2)

当x

2时,f

(x)不存在.当x

2时当x

2时f

(

x)

0;f

(

x)

0.

为ffx

的极大值((2但函数f

(x)在该点连续.注意:函数的不可导点,也可能是函数的极值点.M步骤:求驻点和不可导点;求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比较大小,那个大那个就是最大值,那个小那个就是最小值;注意:如果区间内只有一个极值,则这个极值就是最值.(最大值或最小值)三、函数的最大值、最小值及应用问题解

2)((6

14

的在[3,4]例8

求函数y

2上的最