2020年河南省开封市高考数学三模试卷(理科)

2020年河南省开封市高考数学三模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A＝{x|x＝3n+2，nN}，B＝{x|2＜x＜14}，则集合A∩B中元素的个数为（）A．5B．4C．3D．22．（5分）设复数z满足，则z的共轭复数为（）A．iB．﹣iC．2iD．﹣2i3．（5分）空气质量指数AQI是检测空气质量的重要参数，其数值越大说明空气污染状况越严重，空气质量越差．某地环保部门统计了该地区某月1日至24日连续24天的空气质量指数AQI，根据得到的数据绘制出如图所示的折线图，则下列说法错误的是（）A．该地区在该月2日空气质量最好B．该地区在该月24日空气质量最差C．该地区从该月7日到12日AQI持续增大D．该地区的空气质量指数AQI与这段日期成负相关4．（5分）“a＞b＞0”是“a+a2＞b+b2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）已知1，a1，a2，3成等差数列，1，b1，b2，b3，4成等比数列，则A．2B．﹣2C．±2D．的值为（）6．（5分）《九章算术》中将底面为长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”．现有一阳马，其正视图和侧视图是如图所示的直角三角形．若该阳马的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（）A．πB．2πC．6πD．24π7．（5分）如图程序框图是为了求出满足1+++…+＜1000的最大正整数n的值，那么在和两个空白框中，可以分别填（）A．“S＜1000”和“输出i1”B．“S＜1000”和“输出iC．“S≥1000”和“输出i1”D．“S≥1000”和“输出i2”2”8．（5分）设函数D（x）＝则下列结论正确的是（）A．D（x）的值域为[0，1]B．D（x）是偶函数C．D（x）不是周期函数D．D（x）是单调函数9．（5分）如图，在矩形ABCD中的曲线是y＝sinx，y＝cosx的一部分，点B（在矩形ABD内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（）），D（0，1），A．（1）B．（1）C．4（1）πD．4（1）π10．（5分）已知a＝2ln3，b＝3ln2，，则a，b，c的大小关系为（）A．a＞c＞bB．b＞c＞aC．c＞a＞bD．c＞b＞a11．（5分）已知等比数列{an}满足：a1＝4，Sn＝pan+1+m（p＞0），则取最小值时，数列{an}的通项公式为（）A．an＝4•3n1B．an＝3•4n1C．an＝2n+1D．an＝4n12．（5分）已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤），x＝﹣为f（x）的零点，x＝为y＝f（x）图象的对称轴，且x（A．5B．4C．3D．2，），|f（x）|＜1，则ω的最大值为（）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）设向量＝（m，﹣1），＝（1，2），且|•|＝||||，则m＝．14．（5分）设x，y满足约束条件，则z＝x+y的取值范围是．15．（5分）已知某超市为顾客提供四种结账方式：现金、支付宝、微信、银联卡，若顾客甲只带了现金，顾客乙只用支付宝或微信付款，顾客丙、丁用哪种方式结账都可以，这四名顾客购物后，恰好用了其中三种结账方式，则他们结账方式的可能情况有种．16．（5分）已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的右顶点为A，以A为圆心，半焦距c为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点．若|MN|＝c，则C的离心率为．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且bcosA+a＝c，D是BC边上的点．（Ⅰ）求角B；（Ⅱ）若AC＝7，AD＝5，DC＝3，求AB的长．18．（12分）如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，平面ABEF平面EFDC，△ADF是边长为的正三角形，直线AD与平面ABEF所成角为．（Ⅰ）求证：EFAD；（Ⅱ）若EF＝2CD＝2，四边形ABEF为平行四边形，求平面ADF与平面BCE所成锐二面角的余弦值．19．（12分）为评估设备M生产某种零件的性能，从设备M生产零件的流水线上随机抽取100件零件最为样本，测量其直径后，整理得到下表：直径/mm58596162636465666768697071273合计件数1135619331844211100经计算，样本的平均值μ＝65，标准差＝2.2，以频率值作为概率的估计值．（1）为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为X，并根据以下不等式进行评判（p表示相应事件的频率）：p（μσ＜X≤μ+σ）≥0.6826．P（μ2σ＜X≤μ+2σ）≥0.9544P（μ3σ＜X≤μ+3σ）≥0.9974．评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；仅满足其中两个，则等级为乙，若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部不满足，则等级为丁．试判断设备M的性能等级．（2）将直径小于等于μ2σ或直径大于μ+2σ的零件认为是次品（i）从设备M的生产流水线上随意抽取2件零件，计算其中次品个数Y的数学期望E（Y）；（ii）从样本中随意抽取2件零件，计算其中次品个数Z的数学期望E（Z）．20．（12分）已知椭圆C：（a＞b＞0），四点P1（0，），P2（，1），P3（1，），P4（1，﹣）中恰有三点在椭圆C上．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）过C的右焦点F作斜率为k的直线l1与C交于A，B两点，直线l：x＝4与x轴交于点E，M为线段EF的中点，过点B作直线BNl于点N．证明：A，M，N三点共线．21．（12分）已知函数f（x）＝exa，g（x）＝a（x1），（常数aR）．（Ⅰ）当g（x）与f（x）的图象相切时，求a的值；（Ⅱ）设φ（x）＝f（x）﹣g（x2），讨论φ（x）在（0，+∞）上零点的个数．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），在以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ＝asinθ（aR且a≠0）．（Ⅰ）求直线l的极坐标方程及曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）已知A（ρ1，θ）是直线l上的一点，B（ρ2，θ+）是曲线C上的一点，ρ1R，ρ2R，若最大值为2，求a的值．的[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x1|．（Ⅰ）求函数y＝f（x）﹣f（x+1）的最大值；（Ⅱ）若f（|a2|+3）＞f（（a2）2+1），求实数a的取值范围．2020年河南省开封市高考数学三模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A＝{x|x＝3n+2，nN}，B＝{x|2＜x＜14}，则集合A∩B中元素的个数为（）A．5B．4C．3D．2【解答】解：A＝{x|x＝3n+2，nN}，B＝{x|2＜x＜14}；A∩B＝{5，8，11}；A∩B中元素个数为3．故选：C．2．（5分）设复数z满足，则z的共轭复数为（）A．iB．﹣iC．2iD．﹣2i【解答】解：由，得，则z的共轭复数为i．故选：A．3．（5分）空气质量指数AQI是检测空气质量的重要参数，其数值越大说明空气污染状况越严重，空气质量越差．某地环保部门统计了该地区某月1日至24日连续24天的空气质量指数AQI，根据得到的数据绘制出如图所示的折线图，则下列说法错误的是（）A．该地区在该月2日空气质量最好B．该地区在该月24日空气质量最差C．该地区从该月7日到12日AQI持续增大D．该地区的空气质量指数AQI与这段日期成负相关【解答】解：由折线图可知：该月2日指数AQI值最小，因此空气质量最好；该月24日指数AQI值最大，因此空气质量最差；该地区从该月7日到12日AQI值是持续增大；该地区的空气质量指数AQI与这段日期成正相关；故选：D．4．（5分）“a＞b＞0”是“a+a2＞b+b2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：a＞b＞0a2＞b2，可得a+a2＞b+b2．反之不一定成立，例如取a＝﹣3，b＝﹣1时．“a＞b＞0”是“a+a2＞b+b2”的充分不必要条件．故选：A．5．（5分）已知1，a1，a2，3成等差数列，1，b1，b2，b3，4成等比数列，则A．2B．﹣2C．±2D．的值为（）【解答】解：1，a1，a2，3成等差数列，可得a1+a2＝4，1，b1，b2，b3，4成等比数列，可得b22＝4，1，b2，4同号，所以b2＝2，故选：A．＝2，6．（5分）《九章算术》中将底面为长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”．现有一阳马，其正视图和侧视图是如图所示的直角三角形．若该阳马的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（）A．πB．2πC．6πD．24π【解答】解：如图所示，该几何体为四棱锥PABCD．底面ABCD为矩形，其中PD底面ABCD．AB＝1，AD＝2，PD＝1．则该阳马的外接球的直径为PB＝．该阳马的外接球的表面积为：．故选：C．7．（5分）如图程序框图是为了求出满足1+++…+＜1000的最大正整数n的值，那么在和两个空白框中，可以分别填（）A．“S＜1000”和“输出i1”B．“S＜1000”和“输出iC．“S≥1000”和“输出i1”D．“S≥1000”和“输出i2”2”【解答】解：由于程序框图是为了求出满足1+++…+＜1000的最大正整数n的值，故退出循环的条件应为S≥1000，由于满足1+++…+≥1000后，（此时i值比程序要求的i值多一），又执行了一次i＝i+1，故输出的应为i2的值．故选：D．8．（5分）设函数D（x）＝则下列结论正确的是（）A．D（x）的值域为[0，1]B．D（x）是偶函数C．D（x）不是周期函数D．D（x）是单调函数【解答】解：函数D（x）＝，函数值域为{0，1}，故A不正确；当x为有理数时，﹣x必为有理数，此时f（﹣x）＝f（x）＝1；当x为无理数时，﹣x必为无理数，此时f（﹣x）＝f（x）＝0．故f（x）是偶函数，即B正确；对于任意的有理数T，当x为有理数时，x+T必为有理数，此时f（x+T）＝f（x）＝1；当x为无理数时，x+T必为无理数，此时f（x+T）＝f（x）＝0；即函数是周期为任意非0有理数的周期函数，故C不正确；D（2）＝1，D（3）＝1，D（）＝0，D（）＝0．显然函数D（x）不是单调函数，故D不正确；故选：B．9．（5分）如图，在矩形ABCD中的曲线是y＝sinx，y＝cosx的一部分，点B（在矩形ABD内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（）），D（0，1），A．（1）B．（1）C．4（1）πD．4（1）π【解答】解：＝＝．．由测度比是面积比可得，此点取自阴影部分的概率是P＝故选：B．．10．（5分）已知a＝2ln3，b＝3ln2，A．a＞c＞bB．b＞c＞aC．c＞a＞bD．c＞b＞a【解答】解：a＝2ln3＝ln9，，则a，b，c的大小关系为（）b＝3ln2＝ln8＜ln9＝a，c＝c＞a＞b，故选：C．，11．（5分）已知等比数列{an}满足：a1＝4，Sn＝pan+1+m（p＞0），则取最小值时，数列{an}的通项公式为（）A．an＝4•3n1B．an＝3•4n1C．an＝2n+1D．an＝4n【解答】解：等比数列{an}满足：a1＝4，Sn＝pan+1+m＝4p•qn+m（p＞0），由等比数列的求和公式sn＝可得，4p+m＝0则＝p+＝1，当且仅当p＝即p＝时取等号，此时Sn＝an+12，（n≥2）两式相减可得，an＝，即an+1＝3an（n≥2）S1＝a22，a2＝12＝3a1等比数列{an}满足：a1＝4，公比q＝3此时，an＝4•3n故选：A．112．（5分）已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤），x＝﹣为f（x）的零点，x＝为y＝f（x）图象的对称轴，且x（A．5B．4C．3D．2，），|f（x）|＜1，则ω的最大值为（）【解答】解：函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤），x＝﹣为f（x）的零点，x＝为y＝f（x）图象的对称轴．+φ＝mπ，φ＝nπ+．（m，nZ）ω＝2（nm）+1，即ω为奇数．下面验证ω＝5不符合题意，当ω＝5时，可得φ＝，函数f（x）＝sin（5x+），，且x（，）时，5x+，不符合x（而，），|f（x）|＜1，则ω的最大值为3，故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）设向量＝（m，﹣1），＝（1，2），且|•|＝||||，则m＝﹣．【解答】解：向量＝（m，﹣1），＝（1，2），且|•|＝||||，则与共线，m•2解得m＝﹣．1）•1＝0，故答案为：﹣．14．（5分）设x，y满足约束条件，则z＝x+y的取值范围是[2，+∞）．【解答】解：由x，y满足约束条件化目标函数z＝x+y为y＝﹣x+z，作出可行域如图，由图可知，当直线y＝﹣x+z过点A时直线在y轴上的截距最小，由，解得A（，），z有最小值为2．故答案为：[2，+∞）15．（5分）已知某超市为顾客提供四种结账方式：现金、支付宝、微信、银联卡，若顾客甲只带了现金，顾客乙只用支付宝或微信付款，顾客丙、丁用哪种方式结账都可以，这四名顾客购物后，恰好用了其中三种结账方式，则他们结账方式的可能情况有20种．【解答】解：这四名顾客购物后，恰好用了其中三种结账方式，当结账方式为现金、支付宝、微信，则他们结账方式有（1+当结账方式为现金、支付宝、银联卡，则他们结账方式有1+当结账方式为现金、支付宝、银联卡，则他们结账方式有1+）＝10（种），＝5（种），＝5（种），综合得：这四名顾客购物后，恰好用了其中三种结账方式，则他们结账方式的可能情况有10+5+5＝20种，故答案为：20．16．（5分）已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的右顶点为A，以A为圆心，半焦距c为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点．若|MN|＝c，则C的离心率为．【解答】解：设点A（a，0）到渐近线bxay＝0的距离为d，则d＝，又根据勾股定理可得d2＝c2）2，即＝c2，＝，e44e2+4＝0，e2＝2，又e＞1，所以e＝．故答案为：．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且bcosA+a＝c，D是BC边上的点．（Ⅰ）求角B；（Ⅱ）若AC＝7，AD＝5，DC＝3，求AB的长．【解答】解：（Ⅰ）bcosA+a＝c，A+B+C＝π，由正弦定理得：sinBcosA+sinA＝sinC，即：sinBcosA+sinA＝sin（A+B），sinBcosA+sinA＝sinAcosB+cosAsinB，即：sinA＝sinAcosB，sinA≠0，cosB＝，B＝；（Ⅱ）在△ADC中，若AC＝7，AD＝5，DC＝3，由余弦定理，得cosADC＝所以ADC＝在△ABD中，AD＝5，BB＝，ADB＝＝＝﹣，，，由正弦定理得，＝，所以AB＝＝5×＝．18．（12分）如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，平面ABEF平面EFDC，△ADF是边的正三角形，直线AD与平面ABEF所成角为长为．（Ⅰ）求证：EFAD；（Ⅱ）若EF＝2CD＝2，四边形ABEF为平行四边形，求平面ADF与平面BCE所成锐二面角的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）过D作DOEF，交EF于点O，连结OA，由平面ABEF平面EFDC，得OD平面ABEF，ODOA，又DF＝DA，OD＝OD，ODFODA，OF＝OA，由直线AD与平面ABEF所成角为由DF＝DA＝，得OD＝OA＝OF＝1，又AF＝，得OFOA，，得，由OFOD，OFOA，OD∩OA＝O，得EF平面OAD，AD平面OAD，EFAD．解：（Ⅱ）由（Ⅰ）得，OF，OA，OD两两垂直，以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，由题意EF＝2，OF＝1，OE＝CD＝1，四边形ABEF为平行四边形，ABEF，AB平面EFDC，由题意EF＝2，OF＝1，OE＝CD＝1，四边形ABEF为平行四边形，ABEF，AB平面EFDC，EF平面EFDC，AB平面EFDC，平面ABCD∩平面EFDC＝CD，ABCD，CDOE，F（1，0，0），A（0，1，0），D（0，0，1），E（﹣1，0，0），C（﹣1，0，1），B（﹣2，1，0），＝（﹣1，0，1），＝（﹣1，1，0），＝（0，0，1），＝（﹣1，1，0），设平面ADF的法向量＝（x，y，z），则，取x＝1，得＝（1，1，0），cos＜＞＝＝＝．所求的锐二面角的余弦值为．19．（12分）为评估设备M生产某种零件的性能，从设备M生产零件的流水线上随机抽取100件零件最为样本，测量其直径后，整理得到下表：直径/mm5859161362563664196533661867468469270171273合计件数11100经计算，样本的平均值μ＝65，标准差＝2.2，以频率值作为概率的估计值．（1）为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为X，并根据以下不等式进行评判（p表示相应事件的频率）：p（μσ＜X≤μ+σ）≥0.6826．P（μ2σ＜X≤μ+2σ）≥0.9544P（μ3σ＜X≤μ+3σ）≥0.9974．评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；仅满足其中两个，则等级为乙，若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部不满足，则等级为丁．试判断设备M的性能等级．（2）将直径小于等于μ2σ或直径大于μ+2σ的零件认为是次品（i）从设备M的生产流水线上随意抽取2件零件，计算其中次品个数Y的数学期望E（Y）；（ii）从样本中随意抽取2件零件，计算其中次品个数Z的数学期望E（Z）．【解答】解：（Ⅰ）P（μσ＜X≤μ+σ）＝P（62.8＜X≤67.2）＝0.8≥0.6826，P（μ2σ＜X≤μ+2σ）＝P（60.6＜X≤69.4）＝0.94≥0.9544，P（μ3σ＜X≤μ+3σ）＝P（58.4＜X≤71.6）＝0.98≥0.9974，因为设备M的数据仅满足一个不等式，故其性能等级为丙；…（4分）（Ⅱ）易知样本中次品共6件，可估计设备M生产零件的次品率为0.06．（ⅰ）由题意可知Y～B（2，（ⅱ）由题意可知Z的分布列为），于是E（Y）＝2×＝；…（8分）ZP012故E（Z）＝0×+1×+2×＝．…（12分）20．（12分）已知椭圆C：（a＞b＞0），四点P1（0，），P2（，1），P3（1，），P4（1，﹣）中恰有三点在椭圆C上．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）过C的右焦点F作斜率为k的直线l1与C交于A，B两点，直线l：x＝4与x轴交于点E，M为线段EF的中点，过点B作直线BNl于点N．证明：A，M，N三点共线．【解答】（Ⅰ）解：由椭圆的对称性，可知椭圆必过P3（1，），P4（1，﹣），又＜，P2（，1）不在椭圆C上，，即a2＝4，b2＝3．椭圆C的标准方程为；（Ⅱ）证明：F（1，0），设直线l1的方程为y＝k（x1），代入椭圆方程可得：（3+4k2）x28k2x+4k212＝0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则由题意，M（，0），N（4，y2），，．，，由＝3k（x11）＝0，得kAM＝kMN，A，M，N三点共线．21．（12分）已知函数f（x）＝exa，g（x）＝a（x1），（常数aR）．（Ⅰ）当g（x）与f（x）的图象相切时，求a的值；（Ⅱ）设φ（x）＝f（x）﹣g（x2），讨论φ（x）在（0，+∞）上零点的个数．【解答】解（Ⅰ）当g（x）与f（x）的图象相切时，设切点A（x0，）；f′（x）＝ex，在A处的切线斜率为A处的切线方程为：y+a＝．（xx0）．即y＝．，解得a＝e．（Ⅱ）φ（x）＝）＝f（x）﹣g（x2）＝exax2，令h（x）＝1ax2ex，φ（x）在（0，+∞）的零点个数与h（x）在（0，+∞）上零点的个数相同．（1）当a≤0时，h（x）＞0，h（x）在（0，+∞）上无零点；（2）当a＞0时，h′（x）＝ax（x2）ex，可得h（x）在（0，2）递减，在（2，+∞）递增，故h（x）min＝h（2）＝1，h（2）＞0时，即时，h（x）在（0，+∞）上无零点；h（2）＝0时，即a＝时，h（x）在（0，+∞）上由一个零点；h（2）＜0时，即时，h（0）＝1，h（