高中数学好题速递400题

精选优质文档-----倾情为你奉上精选优质文档-----倾情为你奉上专心---专注---专业专心---专注---专业精选优质文档-----倾情为你奉上专心---专注---专业好题速递511．已知点是双曲线的左焦点，过且平行于双曲线渐近线的直线与圆交于点，且点在抛物线上，则该双曲线的离心率是（）A、B、C、D、解：由得或所以在上，所以，解得2．5名同学去听同时进行的4个课外知识讲座，每名同学可自由选择听其中的1个讲座，不同选法的种数是．答案：（或1024）好题速递521．过椭圆上一点作圆的两条切线，点为切点，过的直线与轴，轴分别交于两点，则的面积的最小值为．解：设，则直线的方程为，所以直线与轴，轴分别交于点的坐标为而，所以所以2．已知等式成立，则的值等于．答案：0好题速递531．已知两定点和，动点在直线上移动，椭圆以为焦点且经过点，则椭圆的离心率的最大值为．解：由于确定，所以离心率最大就是最小．所以问题等价于在直线上确定点，使取得最小值．结合对称性可得，点关于直线的对称点为所以所以2．正五边形ABCDE中，若把顶点A、B、C、D、E染上红、黄、绿、三种颜色中的一种，使得相邻顶点所染颜色不相同，则不同的染色方法共有种．答案：30好题速递541．已知数列和中，，是公比为的等比数列．记，若不等式对一切恒成立，则实数的取值范围是．解：因为，所以，所以解得若，则，即对一切正整数成立，显然不成立若，则对一切正整数成立，只要即可，即解得2．已知，则＝_____；______．答案：0，－2好题速递551．方程的曲线即为函数的图象，对于函数，有如下结论：①在上单调递减；②函数不存在零点；③函数的值域是；④的图象不经过第一象限，其中正确的个数是．解：由知，不能同时大于0，分类讨论：当时，表示双曲线的一部分当时，表示椭圆的一部分当时，表示双曲线的一部分作出图象可知①③④正确对于②的判断：由于是双曲线和的渐近线，所以结合图象可知曲线与直线没有交点，则不存在零点．2．若x∈A则∈A，就称A是伙伴关系集合，集合M={－1，0，，，1，2，3，4}的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为．答案：A具有伙伴关系的元素组有－1，1，、2，、3共四组，它们中任一组、二组、三组、四组均可组成非空伙伴关系集合，个数为C+C+C+C=15．好题速递561．已知正方形的棱长为1，是对角线上的两点，动点在正方体表面上运动，满足，则动点的轨迹长度的最大值为．解：动点的轨迹为线段的中垂面与正方体表面的截痕．2．若，则=．答案：32好题速递571．如图，在正方体中，当动点M在底面ABCD内运动时，总有，则动点M在面ABCD内的轨迹是．A．椭圆的一部分 B．双曲线的一部分C．抛物线的一部分 D．圆的一部分解：因为满足条件的动点在底面ABCD内运动时，动点的轨迹是以为轴线，以为母线的圆锥，与平面的交线即圆的一部分．2．从6名品学兼优的同学中选出4名去进行为期三天的宣传活动，每人一天，要求星期天有2人参加，星期五、星期六各有1人参加，则不同的选派方案共有种．答案：180好题速递581．已知函数，，，若，且当时，恒成立，则的最大值为．解：即即为取，中较大者．画出函数图象，且单调递增，所以单调递增区间，所以的最大值为5．2．若的展开式中的系数是．答案：14好题速递591．设正实数满足，则当取得最大值时，的最大值为．解：，所以当且仅当时，等号成立所以令，则原式所以的最大值为1.2．有5名学生站成一列，要求甲同学必须站在乙同学的后面（可以不相邻），则不同的站法有种．答案：60好题速递601．定义，设实数满足约束条件，则的取值范围是．解：作出所对应的区域如图所示：由图可知：2．某外商计划在四个候选城市投资3个不同的项目,且在同一个城市投资的项目不超过2个，则该外商不同的投资方案有种．答案：按条件项目可分配为与的结构，∴种．好题速递611．不等式对恒成立，则的取值范围是．解：经整理为对恒成立，当时，；当时，所以，二次函数开口向上对称轴所以需满足2．有两排座位，前排4个座位，后排5个座位，现安排2人就坐，并且这2人不相邻（一前一后也视为不相邻），那么不同坐法的种数是．答案：58好题速递621．已知为的外心，且，，则．解：所以由正弦定理得，所以2．将4个相同的白球和5个相同的黑球全部放入3个不同的盒子中，每个盒子既要有白球，又要有黑球，且每个盒子中都不能同时只放入2个白球和2个黑球，则所有不同的放法种数为种．答案：12好题速递631．已知，函数的零点分别为，函数的零点分别为，则的最小值为．解：由题可知所以当且仅当时，2．某高三学生希望报名参加某6所高校中的3所学校的自主招生考试，由于其中两所学校的考试时间相同，因此该学生不能同时报考这两所学校．该学生不同的报考方法种数是．（用数字作答）答案：16好题速递641．已知实数满足，，且，则的取值范围是。解：由得又，故，即又，所以所以所以是方程的两个小于不等实根所以，解得本题是2014年浙江文科16题的变式，虽然多加了的条件，本质上还是利用法解决2．有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座，规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同的坐法种数是种．答案：346好题速递651．已知函数，，若的图象关于轴对称，则．解：此函数由外函数与内函数复合而成由复合函数的奇偶性判定法则：“内偶则偶，内奇同外”可知，若为偶函数，只需为偶函数即可，故对称轴，所以2．由0，1，2，3这四个数字组成的四位数中，有重复数字的四位数共有个．答案：174个好题速递661．已知离心率为的椭圆与双曲线有相同的焦点，且直线分别与椭圆相交与两点，与双曲线相交于两点，若依次为线段的四等分点，则．解：设，则所以且，所以化简得，解得，所以2．5名志愿者进入3个不同的场馆参加工作，则每个场馆至少有一名志愿者的概率为。解：好题速递671．已知双曲线，圆，过双曲线第一象限内任意一点作圆的两条切线，其切点分别为．若与轴、轴分别交于两点，则（）A、B、C、D、解：直线当，，当，，2．将一个棋盘中的8个小方格染成黑色，使得每行、每列都恰有两个黑色方格，则有种不同的染色方法。解：解第一行染2个黑格有种染法，第一行染好后，有如下三种情况：（1）第二行染的黑格与第一行同列，这时其余两行只有1种染法；（2）第二行染的黑格与第一行均不同列，这时第三行有种染法，第四行随之确定；（3）第二行染的黑格恰有一个与第一行同列，这样的染法有4种，而第一、第二行染好后，第三行染的黑格必然有一个于上面的黑格均不同列，这是第三行的染法有2种，第四行随之确定。因此共有种。好题速递681．已知函数单调递减，函数图象关于对称，实数满足不等式，则的最小值为．解：函数图象关于对称，得到图象关于对称所以是奇函数，且是减函数又，所以所以，画出可行域如图．视为可行域内的点与定点之间距离的最小值的平方，由图可知2．从个男生，个女生，中任选2个人当组长，假设事件表示选出的2个人性别相同，事件表示选出的2个人性别不同。如果的概率和的概率相等，则的可能值为。解：由于所以即是完全平方数，且所以或解得或（不合条件，舍去）好题速递691．已知椭圆的左、右焦点为，过的直线与圆相切于点，并与椭圆交于两点，若，则椭圆的离心率为．解：连结，由圆与直线相切得所以，且，所以，在直角中，由勾股定理得化简得，所以2．某学校的数学课外小组有4个女生，3个男生，要从他们中挑选3人组成代表队去参加比赛，则代表队男生、女生都有的概率为．解：好题速递701．已知，其中．若对任意的非零实数总存在唯一的非零实数，使得成立，则的取值范围是．解：当，显然不合题意，舍去当时，问题等价于，即，所以2．有4名优秀大学毕业生被某公司录用，该公司共有5个科室，由公司人事部门安排他们到其中3个科室上班，每个科室至少安排一人，则不同的安排方案种数为．解：好题速递711．设实数使得不等式对任意实数恒成立，则满足条件组成的集合是。解法一：设当时，所以所以，解得当时，所以所以，解得综上，解法二：由齐次化思想，令，则原不等式为转化为对任意恒成立易得所以，解得2．将号码为的九个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同。甲从袋中摸出一个球，其号码为，放回后，乙从此袋中再摸出一个球，其号码为，则使不等式成立的事件发生的概率为．解：列举法：，，共45种，，共7种，，共5种，，共3种，，共1种所以好题速递721．双曲线的左右焦点分别为，过作圆的切线分别交双曲线的左、右支于，且，则双曲线的渐近线方程为．解：结合图形可得所以即解得所以渐近线方程为2．将两个和两个共四个字母填入方格表的9个小方格中，每个小方格内至多填入1个字母，若使相同字母既不同行也不同列，则不同的填法共有种．解：法一：使2个不同行不同列的填法有（或）种使2个不同行不同列的填法也18种其中不符合要求的有（1）2个方格中都填入有18种（2）2个方格中仅有1个填入有种故共有种法二：先后，填有18种填法填（两个记为）分3种情况：（1）所在行、列中不含，此时有（2）所在行、列中含1个，此时有（3）所在行、列中含2个，此时有所以在确定的情况下，的填法有种所以共有种好题速递731．已知满足，，且，则的取值范围是．解：，又所以的终点既在圆内（含边界），又在圆内（含边界），，所以转化为求在方向上的投影的大小由图可知所以2．某人有5把钥匙，其中有1把是办公室的钥匙，但他忘了是哪一把，于是他便将5把钥匙逐一不重复试开，则恰好第三次打开抽屉的概率是．解：既可以，也可以评注：这题其实说明了买彩票不分先后，抽签不分先后。好题速递741．若正实数满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围是．解：令，则由均值不等式得，即，解得所以等价于在上恒成立所以，解得或2．在1，2，3，4，5，6这6个数字中任取3个相加，和是3的倍数的概率是．解：1+2+3，1+2+6，1+3+5，1+5+6，2+3+4，2+4+6，3+4+5，4+5+6好题速递751．是平行四边形所在的平面内的一点，，，则。解法一：设为与的交点，取的中点则，所以由转基底得得又三点共线，而不共线，所以，即所以解法二：特殊值法，平行四边形取边长为1的正方形，以为原点，以为轴建系，则设，则所以，，，解得2．复数中，，、都在这十个数中取值，这样所得的数为虚数的概率是．解：好题速递761．已知的外接圆的圆心为，满足：，，且，，则。解法一：，所以，即所以外接圆的圆心就在边的中点，所以所以解法二：，所以，又，所以解法三：取的中点，取的三等分点，则又，所以三点共线所以，所以点评：本题是三角形外心与向量融合的典范，常规套路要熟悉。2．若从数字1，2，3，4，5中任取两个不同的数字构成一个两位数，则这个两位数大于40的概率是．解：好题速递771．已知抛物线的焦点为，为坐标原点，设为抛物线上的动点，则的最大值为。解法一：设点，则令，则所以解法二：设，，则所以，所以所以2．若从数字1，2，3，4，5中任取3个不同的数字构成一个没有重复数字的三位数，其中奇数一定要排在奇数位的概率是．解：好题速递781．已知正实数满足，，则实数的取值范围是。解法一：由得由得，即由均值不等式，所以，所以解法二：由，可将视为方程的两个正根故，即解法三：由，且，设所以所以2．10幅不同的画，其中水彩画1幅，油画5幅，国画4幅，若随机地排成一行展出，则同一品种的画连在一起，并且水彩画不放在两段的概率是．解：好题速递791．长方体的底面是边长为的正方形，若在侧棱上至少存在一点，使得，则侧棱的长的最小值为。解：设，以为坐标原点建系，则，，，所以，所以若使侧棱上存在一点，则只需有实根所以，解得2．袋中装有6只白球和4只黑球，若从中任意抽出3只球，则其中至少有一只是黑球的概率是．解：好题速递801．已知中，，，点是线段（含端点）上的一点，且，则的取值范围是。解：作图：以为直径作圆，由知在方向上的投影为即在上运动，连结并双向延长交圆于所以当且仅当点与或重合时，取得最大值为1；当时取值无限接近2．箱子里有100个零件，其中90个是正品，10个是次品，从中任取5个，这5个中有4个正品，1个次品的概率是．解：好题速递811．在平面直角坐标系中，直线与圆交于两点，为坐标原点，若圆上有一个满足，则。解法一：将两边平方，得，又圆心到直线的距离为所以所以，所以解法二：由得设与交于点，则三点共线。，且所以利用得所以过作的垂线交于，根据圆心到直线的距离为得解得2．从1，2，3，4，5五个数中随机地依次选取三个不同的数，则所取的三个数按照挑选的顺序排列恰能构成等差数列的概率是．解：好题速递821．已知是定义在上的奇函数，当时，，函数，如果对于，使得，则实数的取值范围是。解：，若对于，使得，只需的值域包含于的值域即可。即，解得2．在同一层楼有一排8间会议室，现要安排4个不同学科的研讨会在这8间研讨室，要求任意两个研讨会不相邻的安排方法有种．解：好题速递831．在平行四边形中，于，交于点，若，，则。解：以为坐标原点，以为轴，设，，则，所以，，，，代入，解得【评注】坐标法是解决向量问题的最后必杀技。2．小明手中有5张扑克牌，其中2张为不同花色的K，3张为不同花色的A。规定每次只能出同一种点数的牌（可以只出一张，也可出多张），出牌后不再收回，且同一次所出的牌不考虑顺序。若小明恰好4次把牌出完，则他不同的出牌方式共有种．解：型共有种，型共有种，共有96种。好题速递841．已知点，其中，且和为方程的两组不同实数解。若四边形是矩形，则此矩形绕轴旋转一周得到的圆柱的体积的最大值为．解：由得，得2．某校数学学科有5门兴趣特长类选修课程，假设甲、乙、丙三位同学随机选课，且规定每人选3门课程，则每门课程都被选中的概率为．解法一：记事件为“每人选3门课程”，事件A为“每门课程都被选中”，则事件包含的基本事件数总数为，(1)恰有2门课程未被选中的基本事件数；(2)恰有1门课程未被选中的基本事件数；故事件A包含的基本事件数为，所以所求的概率P(A)．解法二：记事件为“每人选3门课程”，事件A为“每门课程都被选中”，则事件包含的基本事件数总数为，(1)当甲、乙恰有相同的3门课程时，甲、乙有种选课结果，丙有种选课结果，故事件A的基本事件数；(2)当甲、乙恰有相同的2门课程时，甲、乙有种选课结果．当甲、乙、丙有2门课程相同时，丙有种选课结果；当甲、乙、丙只有1门课程相同时，丙有种选课结果；当甲、乙、丙没有课程相同时，丙有种选课结果．故事件A的基本事件数；(3)当甲、乙恰有相同的1门课程时，甲、乙有种选课结果，丙有种选课结果，故事件A的基本事件数．所以事件A包含的基本事件数为，所以所求的概率P(A)．好题速递851．已知，动点分别在射线上运动，使得的面积恒为。点为中点，，则的最小值为。解：由题意可知为的重心，设，则由得以为原点，为轴建系，则，所以，则所以2．从6人中选4人分别到巴黎，伦敦，悉尼，莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这6人中甲，乙两人不去巴黎游览的概率为。解：好题速递861．若对任意的，不等式恒成立，则的最大值为，的最小值为。解：当时，恒成立，此时当时，令，则在时单调递增，所以所以，即2．某商场开展促销抽奖活动，摇出的中奖号码是8，2，5，3，7，1，参加抽奖的每位顾

客从0～9这10个号码中任意抽出六个组成一组，若顾客抽出的六个号码中至少有5

个与摇出的号码相同（不计顺序）即可得奖，则中奖的概率是。解：好题速递871．若是椭圆焦点三角形的内心，的角平分线交于，则。解法一：设，则又的角平分线交于，所以所以因为也是的角平分线，所以解法二：特殊情况法：因为题干里没有说是哪个焦点三角形，但却要求求定值，所以选取上顶点作为，则内心在轴上，设，则由得，所以2．某中学的一个研究性学习小组共有10名同学，其中男生x名（3≤x≤9），现从中选出

3人参加一项调查活动，若至少有一名女生去参加的概率为，则。解：，单调递减故好题速递881．已知是椭圆的两个焦点，直线过焦点与椭圆交于两点，是以为直角的等腰直角三角形，则椭圆离心率。解：设，，，则可求得所以所以，所以变式：已知是椭圆的两个焦点，直线过焦点与椭圆交于两点，是直角三角形，则椭圆离心率的取值范围是。解：（1）当时，若直线的斜率不存在，则，即，解得若直线的斜率存在，设直线的方程为，代入椭圆方程得则由得所以即所以，所以，即，所以（2）当时，有解，即所以，即综上可得，2．已知集合A={12，14，16，18，20}，B={11，13，15，17，19}，在A中任取一个元素用表示，在B中任取一个元素用表示，则所取两数满足的概率为。解：好题速递891．若等差数列满足，则的最大值为。解法一：由得而，所以所以整理得关于的方程有实根所以，解得解法二：由题可设，公差所以当且仅当时，2．在圆周上有10个等分点，以这些点为顶点，每3个点可以构成一个三角形，如果随机选择3个点，刚好构成直角三角形的概率是。解：直径有5条，故直角三角形有好题速递901．已知在数列中，，，对任意，都有，成立，则数列的通项公式为。解：若是偶数时，，所以若是奇数时，所以综上，对任意，又所以对任意，综上可得，评注：这是夹逼原理在数列中的应用。2．为了支持拆迁工作，某镇决定接受一批移民，其中有3户互为亲戚关系，将这3户移民随机安置到5个村民组，则这3户中恰好有2户安置到同一村民组的概率为。解：好题速递911．若满足，则。解：又所以即解得或所以评注：本题是夹逼原理的应用。2．已知10个产品中有3个次品，现从其中抽出若干个产品，要使这3个次品全部被抽出的概率不小于0.6，则至少应抽出产品个。解：，即，解得好题速递921．已知是边长为的正三角形，为的外接圆的一条直径，为的边上的动点，则的取值范围是。解：的外接圆的半径为2由极化恒等式可得由图易得，所以2．已知P箱中有红球1个，白球9个，Q箱中有白球7个，（P、Q箱中所有的球除颜色外完全相同）．现随意从P箱中取出3个球放入Q箱，将Q箱中的球充分搅匀后，再

从Q箱中随意取出3个球放入P箱，则红球从P箱移到Q箱，再从Q箱返回P箱中的概率等于。解：好题速递931．在中，，，，是的内心，若，其中，则动点的轨迹所覆盖的面积为。解：由余弦定理得的内切圆半径而，其中，则动点的轨迹所覆盖的区域如图所示就是平行四边形，即2．儿童节到了，幼儿园里做了一个亲子游戏，甲、乙、丙三位小朋友随机进入4个房间找爸爸（小朋友可以进入同一个房间），四个房间里分别有一个人，其中三个是甲乙丙的爸爸，则至少有一个小朋友找到爸爸的概率为。解：变式：儿童节到了，幼儿园里做了一个亲子游戏，甲、乙、丙三位小朋友随机进入4个房间找爸爸，每个房间只能进一个小朋友，四个房间里分别有一个人，其中三个是甲乙丙的爸爸，则至少有一个小朋友找到爸爸的概率为。解法一：我们来算背面，即没有小朋友找到自己的爸爸。如果无人去第四个房间，那就是3个小朋友不找自己的爸爸有2种情况；如果有人去第四个房间，那就是种情况；故解法二：我们来算背面，即没有小朋友找到自己的爸爸。把问题加强为甲乙丙丁四个小朋友找爸爸，其中甲乙丙不能找到自己的爸爸，丁没有要求。这样就分了两类，一类是丁找自己的爸爸，那么就是3个小朋友不找自己的爸爸，有2种；另一类是丁也不找自己爸爸，那么就是4个小朋友不找自己的爸爸，有9种，共11种，故解法三：再正面算，有一个小朋友找到自己的爸爸有种，有两个小朋友找到自己的爸爸有种，有三个小朋友找到自己的爸爸有1种，故共有13种。概率为好题速递941．已知是椭圆和双曲线的公共顶点，是双曲线上的动点，是椭圆上的动点（都异于），且满足，其中，设直线的斜率分别为，若，则。解：设点由于结合椭圆和双曲线的对称性知：所以，所以三点共线，所以又而所以，又，所以2．袋中装有黑球和白球共7个,从中任取2个球都是白球的概率为，现有甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取，乙再取，……取后不放回，直到两人中有一人取到白球时既终止，每个球在每一次被取出的机会是等可能的（1）求袋中所有的白球的个数；

（2）求甲取到白球的概率解：（1），解得（2）好题速递951．若直线与不等式组表示的平面区域无公共点，则的取值范围是。解：不等式组表示的平面区域是由，，围成的三角形区域。直线与不等式组表示的平面区域无公共点，则满足：（无解）或，画出在如图所示的三角形区域（不含边界和原点），所以2．一位学生每天骑自行车上学，从他家到学校共有5个交通岗，假设他在每个交通岗遇到红灯是相互独立的，且首末两个交通岗遇红灯的概率均为p，其余3个交通岗遇红灯的概率均为

（Ⅰ）若，求该学生在第三个交通岗第一次遇到红灯的概率；

（Ⅱ）若该学生至多遇到一次红灯的概率不超过，求的取值范围．解：（1）（2）即，解得又，故好题速递961．在中，内角所对应的边分别为，且边上的高为，则的最大值为，此时内角的值为。解法一：由所以所以当时，解法二：以为轴，中点为原点建系，则，，所以当时，当时，，当且仅当时取等号所以令，单调递减，所以当时，即时，此时，，则，所以由对称性可知，时也一样。2．某人抛掷一枚硬币，出现正反的概率都是，构造数列，使，记，则时的概率为。解：，需四次中有3次正面，1