小学数学讲义六年级优秀

第1讲第一讲计算模块综合选讲(二)知识站牌级冬季级春季模块综合选讲计算模块综合选讲 级秋季结合级暑假裂项级暑假裂项与通项归纳复习小学阶段分数的计算.漫画释义第12级下优秀A版教师版1第1讲经典精讲1数与小数四则混合运算中常常用到凑整、分组、分小互化、约分、提取以及换元提取这些技巧基本形式：母积子和差和差：第一取决于分子拆成和或差，第二取决于算式整体的运算符号目的：裂成两项如果裂差，与前后相同相消；如果裂和，考虑凑整即

面，即ab，那么有 ( baa

n(n1)(n2)

n(n1)(n2)(n3)

形式的，我们有： [ 2n(n1) [ 3n(n1)(n2)

1. abcabcabc1001；2. abababab10101；

123n

n(n1)2

4. 122232n26

132333n3123n2

n2(n1)2

6. 7.

Saq0aq1n 1

a(qn1)aqn11q1

(q1)；8. n个

，其中n9．第12级下优秀A版教师版2第1讲例题思路例1：分组与凑整例：分数的四则运算硬算例3：提取例4：约分技巧例5：分数裂项例1(1)329

3.25317 523.273 11

11

3 9 1 2 334 17 4

9 2

4610.

60.273.145.

11

6 2 1 1717

8 79 6 2 【分析】(1)10 1 1717

1012

62417

87

64

19971998

1 11998

例2第12级下优秀A版教师版3第1讲 (1)1001.231 )(133 416 6191003 515

0.

)(1312)2 4

1 31.2551.251 4

1 5 2 4

58 451 2541 5 2 54113 3 44例312 7

92.59 17

111111 111111111 234534 342345

8 17

2.59

25

2

2.512

2.540100.

111111 111111 11 234534 342345

1 11 1 1 4 52

【想想练练】计算:4231216114 713

2313

4

1 13

第12级下优秀A版教师版4 第1讲

5.51.751 】本题观察发现除以5 18相当于乘以3.6则公因数就出来了.

75719 43421

3519 1 365.5 4 例4 (1)11111111

1324264839721242483612【】(1)

345623 45

(2)

1324264839721242483612

1324 124 23 9.123246100200300234468200300400

12313123231231003

123 23 234

1 4第12级下优秀A版教师版5第1讲尼斯世界纪录》.夏琨塔拉·戴维曾在全球各大学接受测试，现场示范其最著名的特殊能力：在28秒内计算出两个任意13位数的乘积.这项成就让戴维女士名列吉尼斯世界纪录，虽然这个记录后来被移除，原因是基于她的成绩远优于其它受测天才的计算能力.例5 2334

++ 11 =- 2105

12244771111161622222929371111111 =1-+-+-+- 22447711111616222229293737

__________.一位疯狂的艺术家为了寻找灵感，把一张厚为0.1毫米的很大的纸对半撕开，然后再撕成两半叠起来。假设他如此重复这一过程25次，这叠纸会有多厚？A、像山一样高 B、C、像一个人一样高 D.第12级下优秀A版教师版6第1讲杯赛提高200820072009 200820091 200920101

200820072009 2007200920091

200820072009 200920082010200720092008

知识点总结1数与小数四则混合运算中常常用到凑整、分组、分小互化、约分、提取以及换元提取这些技巧标志：母积子和差和差：第一取决于分子拆成和或差，第二取决于算式整体的运算符号目的：裂成两项，如果裂差，与前后相同相消；如果裂和，考虑凑整(1)对于分母两个因数： () baa n(n1)(n2)

n(n1)(n2)(n3)

形式的，我们有： [ 2n(n1) [ 3n(n1)(n2)

1) abcabcabc1001；2) abababab10101；

123n

n(n1)2

4) 122232n26

第12级下优秀A版教师版7第1讲

132333n3123n2

n2(n1)2

6) 家庭作业1. (1)121619_______.

1 4________.3

2335

34 47

4559

________.2 439 4122 439412

1113

1 3

4

413334

3. 301401501 3 79 38 7 64

10. 20132201

720133

73

4.

1324264839724129612424836124816

________.1 1 (2)100(1)(1)(1)(12 3

1)_________.第12级下优秀A版教师版8 第1讲

13241313242313243313244412413124231243312443

1324 124 23 3 9. (2)原式=100(1)(1)(1)(1

=100

3 3 3 3 3 58 8111114 1417 1720

___________.20

11 1111 13 32 588111114141717

3625483616. 362548186=____________. 362548361

第12级下优秀A版教师版9第2讲第二讲几何模块综合选讲（二）知识站牌级寒假级春季模块综合选讲级寒假级秋季

几何模块综合选讲(一)级秋季圆锥图形拆分变换、旋转轨迹问题.漫画释义第12级下优秀A版教师版 经典精讲一、相关公式圆的面积

r2；扇形的面积=r2

圆的周长=2r；扇形的弧长=2r

二、基本图形1、“弓形”:弓形一般不要求求周长,主要求面积.一般来说,“弓形”面积=扇形面积－三角形面积.(除了半圆)2、“弯角”:如图, “3、“谷子”:如图, “谷子”的面积“弓形面积4、“圆环”:如图, “圆环”面积=(R2r2),R、r分别是大小圆半径三、常用的思想方法:1、转化思想(复杂转化为简单,不熟悉的转化为熟悉的)2、等积变形(割补、平移、旋转等)3、借来还去(加减法)4、外围入手(从会求的图形或者能求的图形入手,看与要求的部分之间的“关系”)5、容斥(实际上容斥思想是贯穿于加减法始终的.我们把两部分面积加起来,去掉总面积,剩下的就是重叠部分面积.)6、差不变．例题思路例:扇形弯角谷子例3:图形变换(割补,平移,等积)2第12级下优秀A版教师版22 π2 226-4=2第2讲例1(1)已知:如图,半径为2,圆心角45,求扇形的弧长和面积(π取3.14).影部分面积(π取3)．阴影部分面积(π取3)．】(1)弧长45 23.1421.57【分析 360

,面积

D C 3.14221.57.

(2)弯角=正方形-1

2222431(平方厘米)；1则阴影部分的面积为

(),部分面积

2222)2(平方厘米).例2.厘米(π取3.14)?

a-R

【分析】设BCODa,OBOACDR,由已知πRRaR,于是有aπR．阴影部分的周长14圆周+a+R+a-R=4.12πR4.116.420.5(厘米)．【想想练练】已知:图中阴影部分的面积是25cm2,求圆环的面积(取3.14)．第12级下优秀A版教师版 【分析】设大圆半径为R,小圆半径为r,依题有

R2 25,即R2r250．2 则圆环面积为:πR2πr2π(R2r2)50π157(cm2)．例3已知如图所示四个全等的圆每个半径均为m,阴影部分的面积?2m 2m 【分析】我们虽没有学过圆或者圆弧的面积公式,但做一定的割补后我们发现其实我们并不需要知道这些公式也可以求出阴影部分面积．如图,割补后阴影部分的面积与正方形的面积相等,【想想练练】求如图中阴影部分的面积(取3.14)．,,减去一个等腰直角三角形,所以阴影部分的面积为

π4244

4.56．例4已知:如图,三角形ABC是直角三角形,AC4cm,BC2cm,求阴影部分的面积(取3.14)．4第12级下优秀A版教师版第2讲【分析】从图中可以看出,阴影部分的面积等于两个半圆的面积和与直角三角形ABC的面积之差,所以阴影部分的面积为:

42 π

2242

2.5π43.85

cm2)．:,)积相比,哪个更大?【分析】易得两个小圆面积之和等于大圆面积。根据重叠等于未覆盖,可知A=阴影.勒密一世（公元前323年－前283年）时期的亚历山大里亚，他最著名的著作《几何原本》第三卷圆与角，第四卷圆与正多边形，第五卷比例，第六卷相似，第七卷数论（一），从中吸取了丰富的营养，从而作出了许多伟大的成就。数学家欧几里得的一部不朽之作，果和精神于一书。既是数学巨著，又是哲学巨著，并且第一次完成了人类对空间的认识。人认为除《圣经》之外，没有任何其他著作，其研究、使用和传播之广泛，原本》相比。例5第12级下优秀A版教师版 已知:如图,正方形的边长是4厘米,圆形的半径是1厘米.当圆形绕正方形滚动一周又回到原来位置时,扫过的面积有多大(π取3.14)?【分析】如图,面积为:S2244244.56cm2 .一周又回到原来位置时,扫过的面积有多大(π取3.14)?【分析】如图,面积为:2232341830.56(平方厘米).把下列图形分成四小块，使它们形状大小完全相同，并且是已知图形的缩小版6第12级下优秀A版教师版第2讲杯赛提高已知:图中是一个钟表的圆面,图中阴影部分甲与阴影部分乙的面积之比是多少?

【分析】根据图形特点,可以把阴影部分甲与乙分别从不同的角度进行分解:阴影部分乙三角形小弓形；

的面积=圆的面积的

120°阴影部分的面积=面积的

部分乙的面积=B

11圆的面积的1 1:1．知识点总结1、“弓形”面积=扇形面积－三角形面积.(除了半圆)第12级下优秀A版教师版 2、“弯角”的面积=正方形－扇形3、“谷子”的面积=弓形面积×2=两个4正方形4、圆环面积=(R2r2),R、r分别是大小圆半径5、常用方法技巧:旋转、平移、对称、割补、容斥原理、差不变家庭作业1. 如图,三角形OAB的面积是5平方厘米,则阴影部分面积是____________平方厘米(π取3.14).】由题意:r25210,阴影部分面积1103.1452.85【分析

2. 厘米,则环形面积是______________平方厘米(π取3.14)．【分析】已知阴影部分的面积,也就是R2r250平方厘米,那么环形的面积为:πR2πr2π(R2r2)π50=157(平方厘米)．3. .8第12级下优秀A版教师版第2讲 【分析】:两个半圆减一个直角三角形()244

4.56.4. 12___________

【分析】如图,连接BD,可知阴影部分的面积与三角形BCD的面积相等,即为11121236．225. 图中的长方形的长与宽的比为8:3,则阴影部分的面积是___________(π取3.14)． 20 【分析】如右图,设半圆的圆心为O,连接OC．从图中可以看出,OC20,OB20416,根据勾股定理可得BC12．阴影部分面积等于半圆的面积减去长方形的面积,为:

2 π20 (162)12200π384244

6. 一只狗被拴在底座为边长3m的等边三角形建筑物的墙角上(如图),绳长是4m,则狗所能到的地方的总面积是_____________(π取3.14)．【分析】如图所示,狗活动的范围是一个半径4m,圆心角300°的扇形与两个半径1m,圆心角120°的扇形之和．所以答案是43.96m2．第12级下优秀A版教师版 第4讲第四讲数论模块综合选讲（二）知识站牌级春季级春季级寒假级秋季进制级秋季的九主要是对质数合数,因数,倍数,数的复习和巩固.漫画释义第12级下优秀A版教师版 ppp p a a. papp p aa 经典精讲一、质数、合数、分解质因数1．判断一个数是否为质数的方法,P

p(均为整数),使得p能够整除P,那么

P就不是大的P,我们可以先找一个大于且接近P的平方数K2,再列出所有不大于K的质数,用这些质数去除P,如没有能够除尽的那么P就为质数.是质数.2．分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来,叫做分解质因数．例如：30235其中2、3、5叫做30的质因数．又如12223223,2、3都叫做12的质因数,其中后一个式子叫做分解质因数的标准式,在求一个数因数的个数和因数的和的时候都要用到这个标准式．分解质因数往往是解数论题目的突破口可以帮助我们分析数字的特征．3．因数个数定理设自然数n的质因数分解式如 1 2

d(n)(a

1)

1

p12p11

2a

p22p21

p2 n 二、因数、倍数1．最大公因数与最小公倍数有如下一些基本关系①ABmambmmab(A,B)[A,B],即两个数的最大公因数与最小公倍数之积等于②最大公因数是A、B、AB、AB及最小公倍数的因数．2．求一组最简分数的最大公因数与最小公倍数a例如：(8,2)(8,2)2915 2第12级下优秀A版教师版第4讲⑵求一组最简分数的最小公倍数先将各个分数化为假分数；求出各个分数分子的最小公倍数a；求出各个分数分母的最大

例如：[3,5][3,5]15412 (4,12) 三1．定义我们把一个自然数平方所得到的数叫做完全平方数或叫做平方数如.121,224,329,…,112121,122144,…其中1,4,9,…,121,144,…都叫做完全平方数．平方数分解质因数后它的质因数必定会成对出现2．完全平方数的有关性质性质2：完全平方数的因数一定有奇数个,反之亦然．因为完全平方数的质因数分解中每个质因数出现的次数都是偶数次.6,,性质4：如果一个完全平方数的个位是0,则它末尾连续的0的个数一定是偶数个．如果一个性质如果一个自然数介于两个连续的完全平则它不是完全平方数性质6：平方差公式:a2b2(ab)(ab)4例题思路模块三：例5：平方数例1观察下面几个数并回答下面的问题24,30,60,91,2011,2014（1）出现的质数是__________.（2）将合数分解质因数.第12级下优秀A版教师版 （3）根据分解式,回答每个合数有多少个因数.（4）另外写出一个有8个因数的数.6??【分析】（1）17,2011（2）932,24233,30235,602235,91713,201421953（3）因数个数为指数加1连乘,因此9有3个因数,24有8个因数,30有8个因数,60有12个因数,91有4个因数,2014有8个因数.（4）只要能写成a7或bc3或def形式的数均可.（5）有3个因数的数的形式是a2,平方后的形式为a4,因数个数为5.也可拿具体数据尝试.（6）有6个因数的数的形式可能是a5或bc2,平方后的形式为a10或b2c4,因数个数为11或15（7）有9个因数的数的形式可能是a8或b2c2，因此原数可能是a4或bc，因数个数为5个或4个.想想练练：567有多少个因数?【分析】567347，共10个因数.例2,.【分析】40235,442211,45532,63732,65513,782313,993211,105357,要使每组四个数的乘积相等,需要每组含有相同的质因数,看质因数2,第一组含有40,第二组含有44,78,再看11,13,第一组应有40,99,65,再看5第二组应有44,78,45,105,例3在下面的横线处填上适当的数1. (18,45)___,(72,42)___,(38,2014)___2. (12,18,30)___,(24,40,88)___,(15,75,200)___3. [12,15]___,[25,40]___,[36,60]___4. [3,6,9]___,[8,12,20]___,[38,106,1007]___5.

24(,)___35

1510,[ ]___2233

（选讲）【分析】1. 4第12级下优秀A版教师版第4讲 想想练练：有3根铁丝,长度分别是

20厘米、48厘米、72厘米.现在要把它们截成长度相等的小段,每根都不能有剩余,每一小段最长是多少厘米一共可以截成多少小段【分析】(20,48,72)4,因此每小段最长为4厘米,共可以截成35小段.例4 【分析】（1）根据最小公倍数最大公因数AB,知道B180309060（2）假设这两个数是21a和21b,易得21ab126,所以ab6,由a和b互质,那么就有61623两种情况．所以甲、乙是：21121,216126或21242,21363两【分析】由于两个自然数的积两数的最大公因数两数的最小公倍数,可以得到,最大公因数是4501503,设这两个数分别为3a、3b,那么(a,b)1,且ab150350,所以a和b可以取1和50或2和25,所以这两个数是3和150或6和75．有位印度数学家叫卡普利加,在一次旅行中,遇到猛烈的暴风雨,电闪雷鸣过后,他看到路边一块里程碑被雷电劈成两半,一半上刻着30,另一半刻着25.这时,卡普利加的脑际中忽然发现了一个绝妙的数学关系:30+25=55,5523025把劈成两半的数加起来,和再平方,正好是原来的数.按照第一个发现者的名字这种怪数被命名为卡普列加数例5（1）两个平方数的差能否是5?（2）两个平方数的差能否是6?第12级下优秀A版教师版 （3）两个平方数的差能否是8?（4）通过上面三题,你能总结出两平方数之差有什么特征吗?,的差为60,求这三个数.则a2b2(ab)(ab)51(32)(32)3222（2）a2b2(ab)(ab)6,因为a+b与a-b的奇偶性相同,而6不能拆成同奇偶的两数相乘,因此没有两个平方数差6.（3）a2b2(ab)(ab)42(31)(31)3212（5）设这三个数从大到小分别为A2、B2、C2,那么有以有AC14,AC10或AC70,AC2,分别解得A12,C2和A36,C34,122144、8264、224．“六一”儿童节,某小队全体同学（十人）去玩电子游戏,但每次只能一个人玩.同学们都,.、2,队伍,剩下的再从队头开始报数,报单数的再离开……,最后剩下谁,谁就先玩.小聪明很快找到了第一个先玩的应站的位置想想看小聪明站在____.答案：8号杯赛提高一次考试,参加的学生中有 ,1 ,1 ,其余的得差,已知参加考试的学生不满100人,那么7得优4得良3得中6第12级下优秀A版教师版ppp p a a. pa第4讲得差的学生有多少人?有：8412212823人．知识点总结1.分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来,叫做分解质因数．2.因数个数定理: 1 2

d(n)(a1)(a1

3.短除模型：ABmambmmab(A,B)[A,B],即两个数的最大公因数与最小公倍数之积等于这两个数的积.4.最简分数的最大公因数与最小公倍数的求法(子同母反)：

bd(,)ac

[a,c]

bd,ac

[b,d](a,c)5. 性质2：完全平方数的因数一定有奇数个,反之亦然．因为完全平方数的质因数分解中每个质因数出现的次数都是偶数次.6,,性质4：如果一个完全平方数的个位是0,则它末尾连续的0的个数一定是偶数个．如果一个完全平方数的个位是5,则其十位一定是2,且其百位一定是0,2,6中的一个．性质如果一个自然数介于两个连续的完全平方数之间则它不是完全平方数性质6：平方差公式:a2b2(ab)(ab)4家庭作业1. 第12级下优秀A版教师版 【分析】32318个2. 【分析】根据四个全为奇数,来分解质因数．3465573311．3. (35,63)___,(14,35,49)___,[18,20]___,[30,40,50]___【分析】7,7,180,6004. 【分析】由于两个自然数的积两数的最大公因数两数的最小公倍数,可以得到,最大公因数是3601203,设这两个数分别为3a、3b,那么(a,b)1,且ab120340,所以a和b可以取1和40或5和8,所以这两个数是3和120或15和24．5. 【分析】a2-b2=19=1×19,a=10,b=9.9×9+4=85.6.

a______.【分析】602235,当a=15时,每个质数的指数均为偶数,因此a最小为15.8第12级下优秀A版教师版第5讲第五讲数列数表模块综合选讲知识站牌级寒假级春季模块综合选讲―从杨辉三角谈起级寒假――从日历谈起级暑假列进阶级春季列初步数列，日历型数表，三角型数表.漫画释义第12级下优秀A版教师版 经典精讲数表就是把数列中各项按一定顺序排布成一定形状后形成的表格.首先,数表具有数列的一般特征,即各项与其项数之间具有特定的对应关系,可以用通项公式或递推关系表示出来;其次,数表又不等同于普通数列,由于具有一定的形状,因此各项必须受其所在位置的限制,这点是需要特别注意的.数列与数表问题常用的思考方法有1.观察：观察是解决数列数表问题的根本前提,许多数列数表问题首先就是找规律问题,这需要2.对应：找准数列的项与其项数及位置的对应关系,必要时要用代数式表示出来;3.周期性：许多数列数表问题是周期问题,特别是某些求某数在第几行第几列的问题;4.递推关系：即数列的某项与其前面某些项之间的一种代数关系;5.整体及动态分析;6.利用特殊位置：比如中间项,拐角,最大数或最小数等;7.结合奇偶分析或整除分析等.杨辉三角形,又称贾宪三角形,帕斯卡三角形,是二项式系数在三角形中的一种几何排列.(如下图) 21 33 46 5101051它有以下一些特点(更多的特点并未列出)：1. 每个数等于它上方两数之和.2. 每行数左右对称,由1开始逐渐变大.3. 第n行的数有n个.4. 第n行所有数之和为

2n1.例题思路模块一：例1-2,数列问题模块二：例3-4,日历型数表模块三：例5-6,三角型数表2第12级下优秀A版教师版第5讲例1(1)2,4,6,8,____,12.(2)1,3,5,7,____,11.(3)1,4,7,10,13,_____.(4)1,4,9,16,____,36.(5)1,2,4,8,16,____.(6)2,6,12,20,30,_____.(7)1,3,6,10,15,_____.【分析】答案分别为10,9,16,25,32,42,21,第n项依次为2n,2n-1,3n-2,n2,2n1,n(n-1),常用这些规律.【想想练练】按规律填数：2,5,10,17, 【分析】通项为n21,26,50例2

1,12,2,1

】需要求出9【分析 分母是8的分数共有28115(个),前8组共有11582

64．再算出,1~9 9共有9个分数,所以共有64973(个)．巧解为82973【想想练练7.】从开始到以6为分母的分数,共6236个数,3【分析 7第1次出现在第36+3=39个数,第2次出现在第72247个数.例31,2024．现在将这列自然数排成以下数表规定横排为行,竖排为列,则2005在数表中位于第________第12级下优秀A版教师版 【分析】观察可知第n行的第1个数是n2,第n列的第1个数是n21．由于442193620052025452,所以第45行的第1个数是1936,第45列的第1个数是202512024．由于20242005120,所以2005在第20行第45列．例4(1)123,(2)252,(3)999,能否办到?请说出理由．12 3 45 678 910111213141516171819202122232425262728…… ,4第12级下优秀A版教师版第5讲年杨辉在南宋度宗年间,古城钱塘（今杭州）有一位少年,聪明好学,尤其喜爱数学.但由于当时数学书籍很少,这个少年只能零碎地收集一些民间流传着的算题,并反复研究,从中增长知识.一天,这个少年无意中听说100多里的郊外有位老秀才,不仅精通算学,而且还珍藏了许这位少年,不屑地说：“小子不去读圣书,要学什么算学?！”只云阔不及长十二步,问长阔共几何?’（用现在的话来说就是：长方形面积等于864平方步已知它的宽比长少12步；问长和宽的和是多少步?）你回去慢慢算吧,什么时候算出来,什么时候再来”.说完便往椅子上一靠,闭目养起神来,心里却暗暗发笑：“小子一定犯难了,这道出点头绪（此题的解法一般要用到二次方程）,即使他懂得算学,是算不出来的.”谁料,正当老秀才闭目思量时,少年说话了：“老先生,学生算出来了,少年演算出来的草稿纸瞪大了眼睛看起来：“啊,这小子是从哪里学来的?居然用这么简单的方法就算出来了.妙哉！老朽不如.”老秀才转过脸来,算,怠慢了,请问高姓大名?”“学生杨辉,字谦光.”后来的事,同学们都能想象出来了,在老秀才的指导下,杨辉通读了许多古典数学文献,数学知识得到全面、系统地发展.经过不懈的努力,有数学“宋元第三杰”之誉.例5523 789101211【分析】观察规律.每n行有n个数,奇数行是从大数到小数,偶数行是从小到大;123n

第12级下优秀A版教师版

,63642016(3)1+2+3+…+19+5=195(4)1+2+3++21-8+1=224?处应填的数为___.99 45 39 36 28 72 27 18 21 ? 13 答案：72,99数字和为7+2+9+9=27；27,45数字和为18；18,39数字和为21；21,36数字杯赛提高如图,按规律排列的三角形数阵(杨辉三角),那么第10行中左起第3个数是__________．【分析】第n行的第3个数为Cn21,因此第10行左起第3个数为C9236家庭作业1. 按规律填空：32.25,64.5,129, ,516．【分析】2582. 一数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4…请根据其规律指出第100个数是几?6第12级下优秀A版教师版第5讲3. 自然数按一定的规律排列如下从排列规律可知,123排在第 行,第 4. 下图是一个由整数组成的三角形．试研究它的组成规律,从而确定出x的数值． 5. 2345678910【分析】123245305.6. 第12级下优秀A版教师版 【分析】发现这个数表的奇数行是奇数,偶数行是偶数,而31是个奇数,所以这一行的数必定是奇数.,8第12级下优秀A版教师版第7讲第七讲几何模块综合选讲(三)知识站牌级春季级春季模块综合选讲级寒假级秋季图形拆分

几何模块综合选讲(一)级秋季圆锥长正方体，圆柱、圆锥，三视图，旋转问题.漫画释义第12级下优秀A版教师版 经典精讲1、基本计算：S 侧面积2个底面积2rh2r2V r2h n22S 侧面积底面积= l 注：l是母线，即从顶点到底面圆上的线段长.(V 1r2h圆锥体 S(abacbc)2a、.Vabc或VShS6a2(a为正方体棱长)Va3或VSh2、三视图与空间想象：(1)积木块表面积的求法：三视图(是主视图、俯视图、左视图的总称).，(2)正方体的11种展开图．2第12级下优秀A版教师版第7讲例题思路例1：基本计算2例：较复杂的组合图形计算例：三视图与空间想象例14(2)一个无盖的长方体水槽，长5米，宽0.5米，高0.4米，做这个水槽至少要铁皮_______平方米.将它注满水，水的体积是_________立方米.(3)两个完全相同的长方体的长、宽、高分别为5厘米、4厘米、3厘米，把它们拼在一起可组成一个新长方体，在这些长方体中，表面积最小的是________平方厘米_______立方厘米.那么底面半径为4厘米，高为_______厘米的圆锥和这个圆柱的体积相同(取.

(1)长+宽+高=3649,高=9421分米.(2)长方体表面积:(50.50.50.40.45)9.4平方米,注意到水槽没有上面,9.450.56.9平方米;体积为50.50.41立方米.(3)可组成一个新长方体，所以拼接的两个面是完全相同的两个面，拼接成的长方体的面积，即等于原来的两个长方体的面积之和减去拼接在一起的两个面的面积，所以，在拼成的长方体中，表面积最小的为拼接的两个面的面积最大的情况，而原来的长方体中最大的面为54这个面，所以，在拼成的这些长方体中，表面积最小的为：(4)圆柱表面积22522262.825.1287.92平方厘米；体积22562.8立方534 例2那么得到的两个旋转体的体积之比是多少?第12级下优秀A版教师版 【分析】左边正方形旋转所围成的体积为：22416；围成的体积为：

618所以两者所围成的体积之比为8:9.【想想练练】如图，ABCD是矩形，BC6cm，AB10cm，对角线AC、BD相交O．E、F分A E D O B F C 【分析】扫出的图形如右上图所示，白色部分实际上是一个圆柱减去两个圆锥后所形成的图形．和为

1π32530π90(立方厘米)；3圆柱的体积为π3210270(立方厘米)，所以白色部分扫出的体积为27090180(立方厘米)．例3米.求这个粮囤的体积是________立方米(取3.14).4第12级下优秀A版教师版第7讲【分析】底面半径12.5623.142米，体积222220.625.122.51227.632

立方米.块，面积增加50.24平方厘米；如果被削成一个最大的圆锥体，那么体积减少了________立方厘米(取3.14).【分析

42rh48，4r250.24

r=2h=3.r2h

3.1422325.12

立方厘米例4求以下立体图形的体积和表面积(取3)(单位：厘米).【分析】体积：821212208172819203648

厘米，:34

(8222812)720，720+800=1520平方厘米.第12级下优秀A版教师版 阿基米德（公元前287年—公元前212年），伟大的古希腊哲学家、数学家、物理学家、力学家，静态力学和流体静力学的奠基人。这里有对数学上“无穷”的超前研究，贯穿全篇的则是如何将数学模型进行物理上的；是一个圆锥体积的四倍，这个圆锥的底等于球的大圆，高等于球的半径。阿基米德还指出，如果等边圆柱中有一个内切球，则圆柱的全面积和它的体积，分别为球表面积《》，——。“阿基米德羊皮书”提供的《方法论》和《十四巧板》这两篇阿基米德遗作的重新问正因为他的杰出贡献，许多人都认为：任何一张开列有史以来三个最伟大的数学家的名单之中必定会包括阿基米德而另外两位通常是牛顿和高斯例5(1)已知：如图，将15个棱长为1厘米的正方体堆放在桌子上，把表面刷上红漆，则涂上红漆的部分面积是____平方厘米..(3)思思在桌面上摆了一些大小一样的正方体木块，摆完后从正面看如下左图，从侧面看如下右图，那么他最多用了_____块木块，最少用了_____块木块.6第12级下优秀A版教师版第7讲【分析】(1)涂上红漆的部分面积即为表面积，由三视图法，前面、后面面积均为7，左面、右面面积均为6，上面面积为10，所以红色面积为(76)21036(cm2).如果题目问未涂上红漆的面积为：90-36=54(cm2).(2)(998)2254平方厘米.(3)从上往下看，分别如左下图和右下图所示图中数字为每一格的木块数1，(2)已知：正视图和侧视图都如图所示，那么这个立体图形最少_______块木块.(1) (2)

4+3+2+1+2+3+4=19块.第12级下优秀A版教师版 ，，整个瓶高的4占瓶4.现在瓶内只剩一部分牛奶

，，奶占整个牛奶瓶容积的几分之几(奶瓶的内径忽略不计)?答：先把奶瓶正放，用直尺量出瓶子里牛奶的高度记为；再把瓶子倒过来，量出从牛奶液面到瓶底的高度记为b.所以a+b就是整个奶瓶容积的圆柱体高度。则牛奶占整个牛奶瓶容积的ab

杯赛提高一个大长方体，有许多种拼法，其中表面积最小的是_______平方厘米.【分析】每个长方体表面积为22，6个共132；拼在一起时会失去几个表面；想要结果最大，失去的面，最小值为132481866.知识点总结1、基本计算：立体图形 表面积 8第12级下优秀A版教师版第7讲S 侧面积2个底面积2rh2r2V r2hS 侧面积底面积=nl2r2 注：l是母线，即从顶点到底面圆上的线段长.( 1r2h圆锥体 S(abacbc)2a、.Vabc或VShS6a2(a为正方体棱长)Va3或VSh2、三视图与空间想象：(1)积木块表面积的求法：三视图(是主视图、俯视图、左视图的总称).三视图中，俯视图可能出现少木块的情况．(2)正方体的11种展开图．家庭作业1. 分别求以下图形的体积(取3).

【分析】圆锥

6624

圆柱1010103000.长方体：5610300.2.

轴，的立体图形中，体积最小的是_______立方厘米(π取3.14).【分析】以3cm的边为轴旋转一周所得到的是底面半径是4cm，高是3cm的圆锥体，体积为第12级下优秀A版教师版

42316(cm3)

以4cm的边为轴旋转一周所得到的是底面半径是3cm，高是4cm的圆锥体，体积为

32412(cm3)

以5cm的边为轴旋转一周所得到的是底面半径是斜边上的高3452.4cm的两个圆锥，

3.142.4259.630.144(cm3)

3. 张大爷去年用长2米、宽1米的长方形苇席围成容积最大的圆柱形粮囤．今年改用长3米宽2米的长方形苇席围成容积最大的圆柱形的粮囤．则今年粮囤的容积是去年粮囤容积的_____倍.【】底面周长是，半径是

2

，

32( 2 4

4

年粮囤底面积是

224

4

224

1)4.5.

因此，今年粮囤容积是去年粮囤容4. 一个正方体的纸盒中，恰好能放入一个体积为

6.28立方厘米的圆柱体，纸盒的容积是______立方厘米(取3.14).【分析】圆柱的高与底面直径都等于正方体的棱长，即6.28=3.14×棱长×

棱长2所以(棱长)=6.28483.14，即纸盒的容积是8立方厘米.5. 为_________.俯视图 正视图 10第12级下优秀A版教师版第7讲【分析】

共10个，表面积为(666)2

642平方厘米.6. 中放进棱长6厘米的正方体铁块后，水面没有淹没铁块．这时水面高________厘米.【分析】把放入铁块后的玻璃杯看作一个底面右图的新容器，底面积是72—6×6=36(平方厘米)．180厘米)第12级下优秀A版教师版11第8讲第八讲数论模块综合选讲（三）知识站牌级春季级春季模块综合选讲六年级寒假 级秋季进制秋季的九对带余除法、余数性质、同余问题、中国剩余定理的复习和巩固.漫画释义第12级下优秀A版教师版 经典精讲1. 一般地，如果a是整数，b是整数(b0),若有abqr，或者abqr,0rb；当r0时，我们称a能被b整除；当r0时，我们称a不能被b整除，r为a除以b的余数，q为a除以b的商．2. 若两个整数a，b被自然数m除有相同的余数，那么称a，b对于模m同余，用“同余式”表示为abmodm意味着(我们假设ab)abmk，k是整数，即m|ab．若两个数a，b除以同一个数c得到的余数相同，则a，b的差一定能被c整除．3. ①被除数除数商余数；除数(被除数余数)商；商(被除数余数)除数；②余数小于除数．③如果a,b除以c的余数相同，就称a,b对于除数c来说是同余的，且有a与b的差能被c整除．(a,b,c均为自然数)④a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和(或这个和除以c的余数)．，c例如：23,19除以5的余数分别是3和4，所以(2319)除以5的余数等于(34)除以5的余数．⑤a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之积(或这个积除以c的余数)．例如：23,16除以5的余数分别是3和1，所以(2316)除以5的余数等于313．，c例如：23,19除以5的余数分别是3和4，所以(2319)除以5的余数等于(34)除以5的余数．4. 绝招一：减同余．例如AaBbd,则有Nd[A,B]n，而N的最小值是N[A,B]d;绝招二：加同补．例如：AaBbe;则有Ne[A,B]n，而N的最小值是N[A,B]e;绝招三：中国剩余定理．绝招四：逐步满足法．2第12级下优秀A版教师版第8讲例题思路模块一：例1-3，带余除法模块二：例4，同余模块三：例5，剩余例1 .【分析】(1)18×5+6=96.(2)本题的商和余数已经知道了，若想被除数最小，则需要除数最小即可，除数最小是819，所以本题答案为：20×(8+1)+8=188.(3)因为最大的三位数为999，999501949，所以满足题意的三位数最大为：999-49+8=958.402÷10=40…2.因此商和余数的和是40+2=42.例25.164＋34573268397×62438+5637【分析】此题用的是“和余同余于余和，差余同余于余差，积余同余于余积，方余同余于余方”果如下：第12级下优秀A版教师版 164＋34573268－397×62438+5637注：差余同余于余差时，若是小减大，则需要借数.方余同余于余方，实质是找周期.分析11，2351606，，，，，，10例3，(2)75除以一个自然数，余数是3，则这个自然数有多少种可能.35.(2)75-3=72，722332，共12个因数，但余数小于除数，因此要去掉1，2，3这三种可想想练练一个两位数除325余数是

“问题”转化为整除问题.方法为用被除数减去余数，即得到一个除数的倍数；或者是用被除数加上一个“除数与余数的差”，也可以得到一个除数的倍数.例4果.这班里共有_______位小朋友..桔子，20块饼干，12粒奶糖.这班里共有_______位小朋友.小朋友.4第12级下优秀A版教师版第8讲费马数22n 人们一般把整数看作最基本的数，其它数都由整数衍生出来.然而专业的数学人士却不.”的费马，.费马，F(n)=22 1，则当

n分别等于0、1、2、3、4时，，

F67297(5死后

67年，25岁的瑞士数学家欧拉证明：

F

42949672976416700417和费马开了个大玩笑这又是一个合情推理失败的案例同学们寻找质数之旅就需要依赖大家的智慧啦例5【分析】(1)“加上3后被3除余1”其实原数还是余1，同理这个两位数除以4、5都余1，这样，这个数就是[3，4，5]+160+1=611.(3)利用口诀：三人同行七十稀，五树梅花廿一枝,七子团圆正半月,除百零五便得知(70×2+21×3+15×6)÷105…83.4便士买了一所崭新的豪华居所，那么我付5磅的钞票应该找回我多少钱？【答案】1磅8先令8便士第12级下优秀A版教师版 杯赛提高44知识点总结1. 一般地，如果a是整数，b是整数(b0),若有abqr，或者abqr,0rb；当r0时，我们称a能被b整除；当r0时，我们称a不能被b整除，r为a除以b的余数，q为a除以b的商．2. 若两个整数a，b被自然数m除有相同的余数，那么称a，b对于模m同余，用“同余式”表示为abmodm意味着(我们假设ab)abmk，k是整数，即m|ab．3. ①被除数除数商余数；除数(被除数余数)商；商(被除数余数)除数；②余数小于除数．③和之余同余于余之和.④差之余同余于余之差.⑤积之余同余于余之积.4. ：绝招三：中国剩余定理．绝招四：逐步满足法．6第12级下优秀A版教师版第8讲家庭作业1. 2. 3. 23547×35794分别除以5，8，9的余数之和为_____.【分析余数之和为3+6+3=12.4. 100除以一个自然数，余数是4，则这个自然数有多少种可能.12-4=85. .本语文本.这班里共有_______位学生.【分析】85-3=82，130-7=123，(82，123)=41，共41名学生.6. 【分析】法1：中国剩余定理”：(70×2+3×21+4×15)÷105…53753.第12级下优秀A版教师版 第9讲第九讲组合模块综合选讲（二）知识站牌级寒假春季模块综合选讲（二）模块综合选讲（一）级秋季理进阶级秋季中的计数级暑假题综合对组合中最值问题，体育比赛，统筹问题，构造论证等问题的复习漫画释义第12级下优秀A版教师版 经典精讲组合数学可以一般地描述为：组合数学是研究离散结构的存在、计数、分析和优化等问题的一门学科.来说组合数学解决的主要有以下几个问题：1.是否存在?2.存在――构造或论证3.不存在――论证4.存在的话,上下限――最值问题5.共有多少种情况――计数6.哪种情况最佳――统筹与最优化,必胜策略例题思路例1(1)四边均为正整数,且周长为100米的长方形(包括正方形),面积最大为____,最小为____.(2)面积为100平方米,且四边均为正整数的长方形(包括正方形),周长最大为____,最小为____.【分析】(1)和一定,差小积大,差大积小.周长为100,长与宽的和为50,50=25+25=49+1,面积最大为252625平方米,最小为49149平方米.(2)积一定,差小和小,差大和大.100=100×1=10×10,因此周长最大为2×(100+1)=202米,最小【想想练练三个自然数的和是19,它们的乘积最大可能是多少【分析】在和相同的情况下,差越小,积越大.19667,乘积最大为667252.2第12级下优秀A版教师版第9讲例2有10支队伍参加比赛：(1)如果采用单循环赛(每两队赛

1场),需比赛________场.(2)如果进行淘汰赛(胜者继续比赛,负者下场)产生冠军,共需比赛________场.(3)如果进行双循环赛(每两队赛2场),需比赛________场.(4)如果在2-0赛制下(胜者得2分,负者得0分,无平局),单循环赛结束后,所有队的总积分为___分,每个队的得