小学数学讲义暑假五年级第4讲枚举法进阶优秀A版

第四讲站牌级秋季合进阶级秋季数进阶级春季

五年级暑假枚举法进阶级寒假数初步合初步用枚举法计算较复杂的几何，数论等问题释义第9级上优秀A版教师版1引入枚举法虽然是一种最简单，最基本的计数方法，但在生活中有很多的应用．例如，破译电脑密.组合，直到得到正确的密码．只要有足够的时间和存储空间，枚举密码原则上是可行的.目标1. 掌握枚举法不重不漏的方法：分类，2. 灵活运用枚举法解决各种计数问题．精讲枚举常用的方法有列表法、树形图、标数法、找规律及公式法．（1）列表法例：有一张伍拾元，4张贰拾元，8张拾元．要拿出80元，可以有多少种不同的拿法？（2）树形图如他第一天在A市，第五天又回到A市，问他有几种不同的游览方案？2 第9级上优秀A版教师版第一天第二天第三天第四天第五天

（3）标数法例：如图，从A到B的最短路线有多少条？（4）找规律:适用于规律性强，情形较多的题．用逐一列举来解．但通过适当的分类，逐一分析后，可利用公式解答．思路模块1：例1-2，树形图，标数法；模块2：例3-4，分类，定序枚举；1如图,从起点走到终点,要求取出每个站点上的旗子,并且每个站点只允许通过一次,有法。

种不同的走第9级上优秀A版教师版3 ,：

共4种不同的走法。2如图为一幅街道图，从A出发经过十字路口B，但不经过C走到D的不同的最短路线有 条.D

18B

C

B A A 1 【分析】到各点的走法数如右图所示.所以最短路径有条.想想练练：一只兔子沿着方格的边从A到

B,规定上只能往上或往右走，但是必须经过一座独木桥MN,这只兔子有_____种不同的走法

【分析】标数法，如右图．4 第9级上优秀A版教师版【铺垫】如图所示，沿线段从A到B有多少条最短路线？

3 6

F点的走法数．如图所示，使用标数法得到从A到B共有10种不同的走法．

A

B【拓展】小强从A点出发，到达B点的最短路线有________条．

【分析】标数法，如右图，132条．第9级上优秀A版教师版5举法与密码破译穷举法是一种针对于密码的破译方法。这种方法很像数学上的“完全归纳法”，并在密码能找到真正的密码。利用这种方法我们可以运用计算机来进行逐个推算，也就是说我们破解一个密码也都只是一个时间问题。当然如果破译一个有8位而且可能拥有大小写字母、数字以及符号的密码用普通的家用电脑可能会用掉几个月甚至更多的时间去计算，其组合方法可能有几千万亿种组合。这样长”密码范围，很大程度上缩短了破译时间。3数一数图中共有多少个正方形想想练练：数一数图中共有多少个三角形？【分析】把图中最小三角形作为基数，然后按含有几个基数的三角形分类进行枚举．含一个基数的三角形共有8个；含两个基数的三角形共有4个；含四个基数的三角形共有4个；综上，整个图形中共有三角形84416个．6 第9级上优秀A版教师版4三条边的边长均为整数,且最长边的边长是8厘米,这样的三角形共有多少种？(提示：三角形两边边长之和大于第三边),71,（1,）（8,）5(学生版中仅有4)(1)从1～10中每次取两个不同的整数相加,和大于10的共有多少种取法？(3)从1～10中每次取两个不同的整数相加,和大于11的共有多少种取法？(5)从1～100中每次取两个不同的偶数相加,和大于101的共有多少种取法？(6)从1～100中每次取两个不同的奇数相加,和大于101的共有多少种取法？(7)从1～100中每次取两个不同的整数相加,和不超过150的共有多少种取法？因此,根据加法原理,共有：1+2+3+4+5+4+3+2+1=25种取法使和大于10．通过枚举也要能发,,择．因此此题答案为1+2+3+…+49+50+49+…+3+2+1=2500.第9级上优秀A版教师版7(3)同(1)题的方法,枚举如下：,101010,10共有1+2+3+4+4+3+2+1=20种取法．此题中间的“拐弯”数有两个,需要注意．(4)同(3)题,答案为1+2+3+…+49+49+…+3+2+1=2450.(5)枚举找规律．98,10096,98,10054,56,…,10052,54,…,10054,…,100因此答案为1+2+3+…+24+25+24+…+3+2+1=625(律．97,9995,97,9953,55,…,9953,55,…,99因此答案为1+2+3+…+24+24+…+3+2+1=600(7)枚举找规律．50--1008 第9级上优秀A版教师版51--1002--993--984--9775,76因此答案为(99+98+97+…+51)+(50+48+…+4+2)=3675+650=4325想想练练：从1～10中每次取两个不同的整数相加,和小于12的共有多少种取法？【分析】设第一个数小于第二个数．枚举如下：Q先生和S先生、P先生在一起做游戏.Q先生用两张小纸片，各写一个数.这两个数都人只能看见对方额头上的数Q先生不断地问：你们谁能猜到自己头上的数吗?“.”P先生说：“我也猜不到.”S先生又说：“我还是猜不到.”P先生又说：“我也猜不到.”S先生仍然猜不到；P先生也猜不到.S先生和P先生都已经三次猜不到了.可是，到了第四次，S先生喊起来：“我知道了!”P先生也喊道：“我也知道了!”问：S先生和P先生头上各是什么数?点总结第9级上优秀A版教师版9枚举法的核心是分类，有序枚举常用的方法：列表法、树形图、标数法、找规律、公式法．提高,(提示：三角形两边边长之和大于第三边)【分析】三角形两边之和大于第三边．分类如下：(2，3，4)，(2，4，5)，(2，5，6)，(，6，7)，(2，7，8)，(2，8，997，9)，(4，8，9)(5，6，7)，(5，6，8)，(5，6，9)，(，7，8)，(5，7，9)，(5，8，9(6，7，8)，(6，7，9)，(6，8，9)(78，9共计：6+8+9+6+3+1=33种．1. 【分析】小于2000的四位数千位数字是1，要它数字和为26，只需其余三位数字和是25．因为十9总计共1＋2＋3=6个．2. 【分析】小于2000的四位数千位数字是1，要它数字和为24，只需其余三位数字和是23．因为十百位为5时，只有1599一个；根据加法原理，总计共1234515个．3. 10第9级上优秀A版教师版别为1元、2元、3元、4元,而且每种书至少买了一本．那么,共有多少种不同的购买方法？【分析】先从25元中各买四种书1册，这样还剩下25-1-2-3-4=15元钱，用15元钱买6本书，可有书不买．列表如下：4.

3元、4元,而且每种书至少买了一本．那么,共有多少种不同的购买方法？24-下：共2种．5.

8元钱去商店买冰激凌有三种冰激凌售价分别是

5元一支、2元一支和1元一支．如8,？【分析】有顺序地思考买法,如下表：5218(元)248(元)22148(元)所以,共有7种不同的买法．6. 巍巍给他的四个小伙伴每人写了一张贺卡并且装在信封里错了信封，问一共有多少种错装信封的可能？第9级上优秀A版教师版11 所以，共有9种可能．情况，因此共有3×3=9种可能．7. 的路线共有多少条？—A —A —P—P—A |1—3—1| | 1——7—21| | | | 1—2—4—15—4—2—1| | | | | | 1—2—4—8—31—8—4—2—1【分析】要想拼出英语“APPLE”的单词，必须按照“A→P→P→L→E”的次序拼写．在图中的每一种318. 图形．数一数图中共有多少个三角形？【分析】法1：分类枚举按三角形的边长分类枚举，设最小的等边三角形边长为1，则边长为2的三角形有122319个；边长为3的三角形有1225个；边长为4的三角形有123个；边长为5的三角形有1个；12第9级上优秀A版教师版 如果把这条线段补上，共有48个三角形；擦掉线段后，三角形减少241007个，9. 的选法？【分析】设每边长度为n,

12394n

解得7

n11.25

共1+1+5+1+1=9种选法．作业1.一个学生假期往A、B、C三个城市游览．他今天在这个城市，明天就到另一个城市．假如他AA？ 【分析】 AAA2.在下图的街道示意图中，C处因施工不能通行，从A到B的最短路线有多少条？CA

B

A等于到它左侧点的走法数与到它下侧点的走法数之和．而C是一个特殊的点，因为不能通行，所以不可能有路线经过C，可以认为到达C点的走法数是0．接下来，可以从左下角开始，按照加法原理，依次向上向右填上到各点的走法数．如图，从A到B的最短路线有6条．第9级上优秀A版教师版133.把等边三角形的每一条边都4等分，过各分点作边的平行线，得到如下图形．数一数图中共有多少个三角形？【分析】按三角形的边长分类枚举，设最小的等边三角形边长为1，则边长为2的三角形有12317个；边长为3的三角形有123个；综上，共有1673127个．4.有长度分别为2,3,4,5,6的线段各一条,从中选出三条来组成三角形．那么有多少种不同的选法？【分析】三角形两边之和大于第三边．分类如下：(2,34)(2,4,5)(,5,6(3,4,5)(3,4,6)(3,5,6);(4,5,6).共有7种不同的选法．5.从1～8中每次取两个不同的数相加，和大于10的共有多少种取法？【分析一共有3+2+2+1+1=9种取法．6种可能．【分析】白球的数最多，红球的数最少，可以通过红球分类，最后用白球的数来补充剩下的．枚举如下(注：当其他球确定后，白球也就定下来了．此表中白球并未写出)：红球(不超过3)黄球(不超过4)白球(不超过5)1114第9级上优秀A版教师版版传球后，球恰巧又回到A手中，那么不同的传球方式共多少种？A5种不同方式．所以，不同的传球方式共有55=10种．

中向右向下的方向走）小君家

学校1 1 1 1 【分析】如右图，标数法．共10种．【学案3】把等边三角形的每一条边都4等分，过各分点作边的平行线，然后再擦掉一条线段，得到如下图形．数一数图中共有多少个三角形？【分析】法1：分类枚举按三角形的边长分类枚举，设最小的等边三角形边长为1，则边长为2的三角形有11215个；第9级上优秀A版教师版15边长为3的三角形有112个；边长为4的三角形有1个；综上，共有1452122个．如果把这条线段补上，共有27个三角形；擦掉线段后，三角形减少22105个，所1,成多少个不同的三角形?(