上、下和性质与可积充要条件

一、上和与下和的性质由§2,

若

f

在[a,

b]

上有界,

则对[a,b]的分割T

:

x0

x1

xn

b,有相应的上和与下和:n

nS(T

)

Mi

Δxi

,

s(T

)

mi

Δxi

,i

1

i

1其中Mi

sup{

f

(mi

inf{

f

(i

1

,

xi

]},

i

1,

2, ,

n

,i

1

,

xi

]},

i

1,

2, ,

n.i

Mi

mi

sup

|

f

(

x)

f

(是

f

在[

xi-1

,

xi

]

上的振幅.[

xi1

,

xi

]

,n

nS(T

)

s(T

)

(

Mi

mi

)xi

i

xi

,i

1

i

1其中上和的几何意义:曲边梯形“外接”矩形下和的几何意义:曲边梯形“内接”矩形面积之和.面积之和.xyOaby

f

(

x)yOy

f

(

x)ab

x

i

1S(T

)

sup

f

(

i)Δ

n

i

1i

],

i

1,

2, ,

n,i

[

xi

1

,

xi

],

i

1,

2, ,

n.s(T

nf

f

(i

)Δxin

ni

1i

1

n即S(T

)是

i

1性质1

对固定分割

T

:

n证i

[xi

1

,xi

],f

(i

)

Mi

,i

1,2,,n,

f

(i

)Δxi

Mi

Δxi

S(T

),Δxi

i

[

xi

1

,

xi

],

i

1,

2, ,

nx0

x1

xn

b,有

0,s由up于()[,M],fii

[xi1

,xi],使于是nni

1

f

(i

)xi

(

Mi

b

a

)xii

1n

ii

1n

Mi

xi

i

1b

ax

S(T

)

.

.iif

(

)

Mb

a的一个上界.类似可证:所以证得i

)Δ

n

i

1S(T

)

sup

f

(i

],

i

1,

2, ,

n.s(T

n

i

1

f

(i

)Δxii

[

xi

1

,

xi

],

i

1,

2, ,

n.的分割,则S(T

)

S(T)

S(T

)

(M

m)

p

||

T

||,s(T

)

s(T)

s(T

)

(M

m)

p

||

T

||

.证为方便起见,记T0

T

,Ti

为添加i

个新分点后所得到的分割,T'

Tp

.设T1

中新加入的那个分点落在T

的某小区间Δk内,

它把

Δk

分为两小区间,

记为Δk

与Δk

.

此时设T'为分割T

添加p

个新分点后所得到性质2S(T0

)

S(T1

)n

Mi

Δ

xi

(

Mi

Δxi

Mk

Δxk

MkΔxk)i

1

i

k

Mk

(Δxk

Δxk)

(Mk

Δxk

MkΔxk)

(Mk

Mk

)Δxk

(Mk

Mk)Δxk.由于m

Mk

(或Mk)

Mk

M

,故有0

S(T0

)

S(T1

)

(M

m)Δxk

(M

m)

||

T

||

.同理有0

S(Ti

)

S(Ti

1

)

(

M

m)

||

Ti

||

.因此证得0

S(T0pi

0

[S(Tip1

(

M

m)||

Ti

||

(

M

m)

p

||

T

||

.i

0类似可证s(T

)

s(T)

s(T

)

(M

m)

p

||

T

||

.性质3

若T

与

T

为任意表示把T

与T

的所有分点合并得到的分割,则S(T

)

S(T),S(T

)

S(T

),s(T

)

s(T),s(T

)

s(T

).性质4

对于任意分割T

与T

,

总有

s(T)

S(T

).证令T

T

T

,则s(T)

s(T

)

S(T

)

S(T

).由性质2

可直接得到:TT定义3

设

f

是[a,b]

上的有界函数,

由性质4

知道S

inf

S(T

)

,

s

sup

s(T

)m(b

a)

s

S

M

(b

a).性质5都存在,分别称为

f

在[a,b

]上的上积分与下积分.

0,2(

M

m)

p

1lim

S(T||T

||

0

||T

||

0定理9.14

(

定理)证

0,

分割T,

使得

S(T)

S

2.

设T

由p

个分点所构成,令则当

||

T

||

时,

T

T

至多比T

多

p

个新分点,因此由性质2

和性质3,得到S(T

)

(M

m)

p

||

T

||

S(T

T)

S(T),S

S(T

)

S(T)

(M

m)

p

||

T||

S

S

,2

2lim

S(T

)

S.||T

||

0则||T

||

0lim

s(T

)

s.类似可证:定理9.15

(可积的第一充要条件)f

在[a,

b]

上可积的充要条件是:

f

在[a,

b]

上的上积分与下积分证

(必要性)

设

f

在[a,b]

上可积,

0当||

T

||

时,有ni

1

f

(i

)

xi

J

,二、可积的充要条件nJ

f

(i

)

xi

J

.i

1即由性质1,得J

s(T

)

S(T

)

J

,即因此由|

S(T

)

J

|

, |

s(T

)

J

|

.定理,得到lim

S(T||T

||

0

||T

||

0从而

0

,

0

,

当||

T

||

时,定理,故证得S

s.(充分性)设S

s

J

,则由S

lim

S(T

)

J

和

s

lim

s(T

)

J

,T

0

T

0ni

1J

s(T

)

S(T

)

J

.由于

i

[

xi

1

,

xi

],

s(T

)

f

(i

)xi

S(T

),ni1因此

f

(i

)

xi

J

.即

f

在[a,

b]

上可积,定理9.16

(可积的第二充要条件)f

在[a,b]

上可积的充要条件是:

0

,

分割T

,使

S(T

)

ni

Δxi

.i

1f

(

x)dx

J

.ba且几何意义

由上和与下和的几何意义知道,上述充要条件的几何意义为:的一系列小矩形面积之和可以达到任意小,只要对[a,b]的分割T

足够地细.Oxabyi

Δ

xi

Ty

证

(必要性)

设

f

在[a,b]

上可积,

则lim

S(T

)

s(T

)

S

s

0.||T

||

0因此,

0

,

0

,

当||

T

||

时,

就有S(T

)

(充分性)

若

T

,

使

S(T

)

s(T

)

,

则0

S

s

S(T

)

s(T

)

.由

的任意性,必有S

s.依据可积的第一充要条件,证得f

(x)可积.定理9.17

(可积的第三充要条件)f

在[a,b]

上可积的充要条件是:

0,

0,

存在分割T

,使得属于T

的所有小区间中,

对应于振幅k

的那些小区间Δk

的总长Δxk

.k证

(必要性)

设

f

在[a,b]

上可积,由可积的第二充要条件,

存在分割T

,

使

k

Δxk

.

于是k

Δ

kΔxk

k

Δxk

,k

'

k

k即得Δxk

.k

'(充分性)任给

0,取

,

0,2(b

a)

2(

M

m)存在T

,

使k

的Δ

k

的总长Δxk

.k设

T

中满足

k

的那些小区间为Δ

k

,

则k

Δk

k

Δ

xk

k

k

kΔ

xk

(M

m)Δ

xk

Δxk

k

k

(

M

m)

(b

a)

.2

2因此证得

f

在[a,

b]

上可积

.T

:

x0

x1

xn

b是[a,b]上任一分割.求证lim||T

||

0xini

1ixf

(

x

)i

1abg(

x)d

x

f

(

x)g(

x)d

x.nfi

1件,

0

,

0

,

当

||

T

||

时,

i

Δ

xi

M

.设

f

(

x),

g(

x)

在[a,

b]

上可积,例1证设|

g(x)|

M

,x

[a,b].由可积的第二充要条因此有ng(

x)dx

i

1i

1xxii

1xixii

1n

f

(

x

)f

(

x)g(

x)dxn

i1xii|

f

(

x)

f

(

x

)

|

|

g(

x)

|

dxxi

1

Mnfi

ii

1

x

.g(

x)dx

baxn

ixif

(

x)g(

x)dxf

(

x

)i

1i

1g(

x)d

x

f

(

x)g(

x)d

x.xin||

T

||

0

i

1bixf

(

x

)i

1a即

lima

(t

)

b

,

t

[

,

].积.求证:

f

在[

,

]

上可续,

故

0

,

x,

x

[

a,b],

|

x

x

|

时,

必有|

f

(

x)

f