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文档简介

2023学年高考数学模拟测试卷注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内。2.答题时请按要求用笔。3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试卷上答题无效。4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5.保持卡面清洁,不要折暴、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知双曲线的右焦点为,过原点的直线与双曲线的左、右两支分别交于两点,延长交右支于点,若,则双曲线的离心率是()A. B. C. D.2.若,,,点C在AB上,且,设,则的值为()A. B. C. D.3.盒中装有形状、大小完全相同的5张“刮刮卡”,其中只有2张“刮刮卡”有奖,现甲从盒中随机取出2张,则至少有一张有奖的概率为()A. B. C. D.4.某校为提高新入聘教师的教学水平,实行“老带新”的师徒结对指导形式,要求每位老教师都有徒弟,每位新教师都有一位老教师指导,现选出3位老教师负责指导5位新入聘教师,则不同的师徒结对方式共有()种.A.360 B.240 C.150 D.1205.函数的定义域为()A. B. C. D.6.已知双曲线的左、右焦点分别为,,点P是C的右支上一点,连接与y轴交于点M,若(O为坐标原点),,则双曲线C的渐近线方程为()A. B. C. D.7.若干年前,某教师刚退休的月退休金为6000元,月退休金各种用途占比统计图如下面的条形图.该教师退休后加强了体育锻炼,目前月退休金的各种用途占比统计图如下面的折线图.已知目前的月就医费比刚退休时少100元,则目前该教师的月退休金为().A.6500元 B.7000元 C.7500元 D.8000元8.设i为虚数单位,若复数,则复数z等于()A. B. C. D.09.已知,满足,且的最大值是最小值的4倍,则的值是()A.4 B. C. D.10.复数,是虚数单位,则下列结论正确的是A. B.的共轭复数为C.的实部与虚部之和为1 D.在复平面内的对应点位于第一象限11.已知集合A={x|x<1},B={x|},则A. B.C. D.12.《九章算术》中将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”.某“堑堵”的三视图如图,则它的外接球的表面积为()A.4π B.8π C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.设为定义在上的偶函数,当时,(为常数),若,则实数的值为______.14.《九章算术》第七章“盈不足”中第一题:“今有共买物,人出八,盈三钱;人出七,不足四,问人数物价各几何?”借用我们现在的说法可以表述为:有几个人合买一件物品,每人出8元,则付完钱后还多3元;若每人出7元,则还差4元才够付款.问他们的人数和物品价格?答:一共有_____人;所合买的物品价格为_______元.15.,则f(f(2))的值为____________.16.已知函数的定义域为R,导函数为,若,且,则满足的x的取值范围为______.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知函数,且.(1)若,求的最小值,并求此时的值;(2)若,求证:.18.(12分)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为2的菱形,,为等边三角形,平面平面ABCD,M,N分别是线段PD和BC的中点.(1)求直线CM与平面PAB所成角的正弦值;(2)求二面角D-AP-B的余弦值;(3)试判断直线MN与平面PAB的位置关系,并给出证明.19.(12分)已知函数,其中e为自然对数的底数.(1)讨论函数的单调性;(2)用表示中较大者,记函数.若函数在上恰有2个零点,求实数a的取值范围.20.(12分)在中,角所对的边分别是,且.(1)求;(2)若,求.21.(12分)已知函数,,.函数的导函数在上存在零点.求实数的取值范围;若存在实数,当时,函数在时取得最大值,求正实数的最大值;若直线与曲线和都相切,且在轴上的截距为,求实数的值.22.(10分)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足bcosA﹣asinB=1.(1)求A;(2)已知a=2,B=,求△ABC的面积.

2023学年模拟测试卷参考答案(含详细解析)一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、D【答案解析】

设双曲线的左焦点为,连接,,,设,则,,,和中,利用勾股定理计算得到答案.【题目详解】设双曲线的左焦点为,连接,,,设,则,,,,根据对称性知四边形为矩形,中:,即,解得;中:,即,故,故.故选:.【答案点睛】本题考查了双曲线离心率,意在考查学生的计算能力和综合应用能力.2、B【答案解析】

利用向量的数量积运算即可算出.【题目详解】解:,,又在上,故选:【答案点睛】本题主要考查了向量的基本运算的应用,向量的基本定理的应用及向量共线定理等知识的综合应用.3、C【答案解析】

先计算出总的基本事件的个数,再计算出两张都没获奖的个数,根据古典概型的概率,求出两张都没有奖的概率,由对立事件的概率关系,即可求解.【题目详解】从5张“刮刮卡”中随机取出2张,共有种情况,2张均没有奖的情况有(种),故所求概率为.故选:C.【答案点睛】本题考查古典概型的概率、对立事件的概率关系,意在考查数学建模、数学计算能力,属于基础题.4、C【答案解析】

可分成两类,一类是3个新教师与一个老教师结对,其他一新一老结对,第二类两个老教师各带两个新教师,一个老教师带一个新教师,分别计算后相加即可.【题目详解】分成两类,一类是3个新教师与同一个老教师结对,有种结对结对方式,第二类两个老教师各带两个新教师,有.∴共有结对方式60+90=150种.故选:C.【答案点睛】本题考查排列组合的综合应用.解题关键确定怎样完成新老教师结对这个事情,是先分类还是先分步,确定方法后再计数.本题中有一个平均分组问题.计数时容易出错.两组中每组中人数都是2,因此方法数为.5、C【答案解析】

函数的定义域应满足故选C.6、C【答案解析】

利用三角形与相似得,结合双曲线的定义求得的关系,从而求得双曲线的渐近线方程。【题目详解】设,,由,与相似,所以,即,又因为,所以,,所以,即,,所以双曲线C的渐近线方程为.故选:C.【答案点睛】本题考查双曲线几何性质、渐近线方程求解,考查数形结合思想,考查逻辑推理能力和运算求解能力。7、D【答案解析】

设目前该教师的退休金为x元,利用条形图和折线图列出方程,求出结果即可.【题目详解】设目前该教师的退休金为x元,则由题意得:6000×15%﹣x×10%=1.解得x=2.故选D.【答案点睛】本题考查由条形图和折线图等基础知识解决实际问题,属于基础题.8、B【答案解析】

根据复数除法的运算法则,即可求解.【题目详解】.故选:B.【答案点睛】本题考查复数的代数运算,属于基础题.9、D【答案解析】试题分析:先画出可行域如图:由,得,由,得,当直线过点时,目标函数取得最大值,最大值为3;当直线过点时,目标函数取得最小值,最小值为3a;由条件得,所以,故选D.考点:线性规划.10、D【答案解析】

利用复数的四则运算,求得,在根据复数的模,复数与共轭复数的概念等即可得到结论.【题目详解】由题意,则,的共轭复数为,复数的实部与虚部之和为,在复平面内对应点位于第一象限,故选D.【答案点睛】复数代数形式的加减乘除运算的法则是进行复数运算的理论依据,加减运算类似于多项式的合并同类项,乘法法则类似于多项式乘法法则,除法运算则先将除式写成分式的形式,再将分母实数化,其次要熟悉复数相关基本概念,如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭为.11、A【答案解析】∵集合∴∵集合∴,故选A12、B【答案解析】

由三视图判断出原图,将几何体补形为长方体,由此计算出几何体外接球的直径,进而求得球的表面积.【题目详解】根据题意和三视图知几何体是一个底面为直角三角形的直三棱柱,底面直角三角形的斜边为2,侧棱长为2且与底面垂直,因为直三棱柱可以复原成一个长方体,该长方体外接球就是该三棱柱的外接球,长方体对角线就是外接球直径,则,那么.故选:B【答案点睛】本小题主要考查三视图还原原图,考查几何体外接球的有关计算,属于基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、1【答案解析】

根据为定义在上的偶函数,得,再根据当时,(为常数)求解.【题目详解】因为为定义在上的偶函数,所以,又因为当时,,所以,所以实数的值为1.故答案为:1【答案点睛】本题主要考查函数奇偶性的应用,还考查了运算求解的能力,属于基础题.14、753【答案解析】

根据物品价格不变,可设共有x人,列出方程求解即可【题目详解】设共有人,由题意知,解得,可知商品价格为53元.即共有7人,商品价格为53元.【答案点睛】本题主要考查了数学文化及一元一次方程的应用,属于中档题.15、1【答案解析】

先求f(1),再根据f(1)值所在区间求f(f(1)).【题目详解】由题意,f(1)=log3(11–1)=1,故f(f(1))=f(1)=1×e1–1=1,故答案为:1.【答案点睛】本题考查分段函数求值,考查对应性以及基本求解能力.16、【答案解析】

构造函数,再根据条件确定为奇函数且在上单调递减,最后利用单调性以及奇偶性化简不等式,解得结果.【题目详解】依题意,,令,则,故函数为奇函数,故函数在上单调递减,则,即,故,则x的取值范围为.故答案为:【答案点睛】本题考查函数奇偶性、单调性以及利用函数性质解不等式,考查综合分析求解能力,属中档题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)最小值为,此时;(2)见解析【答案解析】

(1)由已知得,法一:,,根据二次函数的最值可求得;法二:运用基本不等式构造,可得最值;法三:运用柯西不等式得:,可得最值;(2)由绝对值不等式得,,又,可得证.【题目详解】(1),法一:,,的最小值为,此时;法二:,,即的最小值为,此时;法三:由柯西不等式得:,,即的最小值为,此时;(2),,又,.【答案点睛】本题考查运用基本不等式,柯西不等式,绝对值不等式进行不等式的证明和求解函数的最值,属于中档题.18、(1)(2)(3)直线平面,证明见解析【答案解析】

取中点,连接,则,再由已知证明平面,以为坐标原点,分别以,,所在直线为,,轴建立空间直角坐标系,求出平面的一个法向量.(1)求出的坐标,由与所成角的余弦值可得直线与平面所成角的正弦值;(2)求出平面的一个法向量,再由两平面法向量所成角的余弦值可得二面角的余弦值;(3)求出的坐标,由,结合平面,可得直线平面.【题目详解】底面是边长为2的菱形,,为等边三角形.取中点,连接,则,为等边三角形,,又平面平面,且平面平面,平面.以为坐标原点,分别以,,所在直线为,,轴建立空间直角坐标系.则,,,,1,,,0,,,,,,0,,,,,,,.,,设平面的一个法向量为.由,取,得.(1)证明:设直线与平面所成角为,,则,即直线与平面所成角的正弦值为;(2)设平面的一个法向量为,由,得二面角的余弦值为;(3),,又平面,直线平面.【答案点睛】本题考查线面平行的证明,考查二面角的余弦值的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查推理能力与计算能力,属于中档题.19、(1)函数的单调递增区间为和,单调递减区间为;(2).【答案解析】

(1)由题可得,结合的范围判断的正负,即可求解;(2)结合导数及函数的零点的判定定理,分类讨论进行求解【题目详解】(1),①当时,,∴函数在内单调递增;②当时,令,解得或,当或时,,则单调递增,当时,,则单调递减,∴函数的单调递增区间为和,单调递减区间为(2)(Ⅰ)当时,所以在上无零点;(Ⅱ)当时,,①若,即,则是的一个零点;②若,即,则不是的零点(Ⅲ)当时,,所以此时只需考虑函数在上零点的情况,因为,所以①当时,在上单调递增。又,所以(ⅰ)当时,在上无零点;(ⅱ)当时,,又,所以此时在上恰有一个零点;②当时,令,得,由,得;由,得,所以在上单调递减,在上单调递增,因为,,所以此时在上恰有一个零点,综上,【答案点睛】本题考查利用导数求函数单调区间,考查利用导数处理零点个数问题,考查运算能力,考查分类讨论思想20、(1)(2)【答案解析】

(1)根据正弦定理到,得到答案.(2)计算,再利用余弦定理计算得到答案.【题目详解】(1)由,可得,因为,所以,所以.(2),又因为,所以.因为,所以,即.【答案点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理,意在考查学生的计算能力.21、;4;12.【答案解析】

由题意可知,,求导函数,方程在区间上有实数解,求出实数的取值范围;由,则,分步讨论,并利用导函数在函数的单调性的研究,得出正实数的最大值;设直线与曲线的切点为,因为,所以切线斜率,切线方程为,设直线与曲线的切点为,因为,所以切线斜率,即切线方程为,整理得.所以,求得,设,则,所以在上单调递增,最后求出实数的值.【题目详解】由题意可知,,则,即方程在区间上有实数解,解得;因为,则,①当,即时,恒成立,所以在上单调递增,不符题意;②

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