2023学年安徽省合肥市七中、合肥十中联考高三3月份第一次模拟考试数学试卷（含解析）

2023学年高考数学模拟测试卷考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．一个正三角形的三个顶点都在双曲线的右支上，且其中一个顶点在双曲线的右顶点，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．2．若关于的不等式有正整数解，则实数的最小值为（）A． B． C． D．3．已知函数是上的减函数，当最小时，若函数恰有两个零点，则实数的取值范围是（）A． B．C． D．4．定义在R上的函数y=fx满足fx≤2x-1A． B． C． D．5．将函数的图像向左平移个单位长度后，得到的图像关于坐标原点对称，则的最小值为（）A． B． C． D．6．我国古代数学名著《九章算术》有一问题：“今有鳖臑(biēnaò)，下广五尺，无袤；上袤四尺，无广；高七尺.问积几何？”该几何体的三视图如图所示，则此几何体外接球的表面积为()A．平方尺 B．平方尺C．平方尺 D．平方尺7．已知正项等比数列满足，若存在两项，，使得，则的最小值为（）.A．16 B． C．5 D．48．集合，，则=()A． B．C． D．9．已知圆与抛物线的准线相切，则的值为（）A．1 B．2 C． D．410．已知，，为圆上的动点，，过点作与垂直的直线交直线于点，若点的横坐标为，则的取值范围是（）A． B． C． D．11．执行如图所示的程序框图若输入，则输出的的值为（）A． B． C． D．12．已知为等腰直角三角形，，，为所在平面内一点，且，则（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．设函数，则满足的的取值范围为________.14．已知（且）有最小值，且最小值不小于1，则的取值范围为__________.15．曲线在点处的切线方程是__________.16．设f（x）＝etx（t＞0），过点P（t，0）且平行于y轴的直线与曲线C：y＝f（x）的交点为Q，曲线C过点Q的切线交x轴于点R，若S（1，f（1）），则△PRS的面积的最小值是_____．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）某校为了解校园安全教育系列活动的成效，对全校学生进行一次安全意识测试，根据测试成绩评定“合格”、“不合格”两个等级，同时对相应等级进行量化：“合格”记分，“不合格”记分.现随机抽取部分学生的成绩，统计结果及对应的频率分布直方图如下所示：等级不合格合格得分频数624（Ⅰ）若测试的同学中，分数段内女生的人数分别为，完成列联表，并判断：是否有以上的把握认为性别与安全意识有关？是否合格性别不合格合格总计男生女生总计（Ⅱ）用分层抽样的方法，从评定等级为“合格”和“不合格”的学生中，共选取人进行座谈，现再从这人中任选人，记所选人的量化总分为，求的分布列及数学期望；（Ⅲ）某评估机构以指标（，其中表示的方差）来评估该校安全教育活动的成效，若，则认定教育活动是有效的；否则认定教育活动无效，应调整安全教育方案.在（Ⅱ）的条件下，判断该校是否应调整安全教育方案？附表及公式：，其中.18．（12分）已知函数，为的导数，函数在处取得最小值．（1）求证：；（2）若时，恒成立，求的取值范围．19．（12分）如图1，四边形为直角梯形，，，，，，为线段上一点，满足，为的中点，现将梯形沿折叠（如图2），使平面平面.（1）求证：平面平面；（2）能否在线段上找到一点（端点除外）使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，试确定点的位置；若不存在，请说明理由.20．（12分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）.以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，且曲线的极坐标方程为.（1）写出直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；（2）设直线上的定点在曲线外且其到上的点的最短距离为，试求点的坐标.21．（12分）已知分别是的内角的对边，且．（Ⅰ）求．（Ⅱ）若，，求的面积．（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求的值．22．（10分）已知函数，．（1）当时，求不等式的解集；（2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．

2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【答案解析】

因为双曲线分左右支，所以，根据双曲线和正三角形的对称性可知：第一象限的顶点坐标为，，将其代入双曲线可解得．【题目详解】因为双曲线分左右支，所以，根据双曲线和正三角形的对称性可知：第一象限的顶点坐标为，，将其代入双曲线方程得：，即，由得．故选：．【答案点睛】本题考查了双曲线的性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．2、A【答案解析】

根据题意可将转化为，令，利用导数，判断其单调性即可得到实数的最小值．【题目详解】因为不等式有正整数解，所以，于是转化为，显然不是不等式的解，当时，，所以可变形为．令，则，∴函数在上单调递增，在上单调递减，而，所以当时，，故，解得．故选：A．【答案点睛】本题主要考查不等式能成立问题的解法，涉及到对数函数的单调性的应用，构造函数法的应用，导数的应用等，意在考查学生的转化能力，属于中档题．3、A【答案解析】

首先根据为上的减函数，列出不等式组，求得，所以当最小时，，之后将函数零点个数转化为函数图象与直线交点的个数问题，画出图形，数形结合得到结果.【题目详解】由于为上的减函数，则有，可得，所以当最小时，，函数恰有两个零点等价于方程有两个实根，等价于函数与的图像有两个交点．画出函数的简图如下，而函数恒过定点，数形结合可得的取值范围为．故选：A.【答案点睛】该题考查的是有关函数的问题，涉及到的知识点有分段函数在定义域上单调减求参数的取值范围，根据函数零点个数求参数的取值范围，数形结合思想的应用，属于中档题目.4、D【答案解析】

根据y=fx+1为奇函数，得到函数关于1,0中心对称，排除AB，计算f1.5≤【题目详解】y=fx+1为奇函数，即fx+1=-f-x+1，函数关于f1.5≤2故选：D.【答案点睛】本题考查了函数图像的识别，确定函数关于1,0中心对称是解题的关键.5、B【答案解析】

由余弦的二倍角公式化简函数为，要想在括号内构造变为正弦函数，至少需要向左平移个单位长度，即为答案.【题目详解】由题可知，对其向左平移个单位长度后，，其图像关于坐标原点对称故的最小值为故选：B【答案点睛】本题考查三角函数图象性质与平移变换，还考查了余弦的二倍角公式逆运用，属于简单题.6、A【答案解析】

根据三视图得出原几何体的立体图是一个三棱锥，将三棱锥补充成一个长方体，此长方体的外接球就是该三棱锥的外接球，由球的表面积公式计算可得选项.【题目详解】由三视图可得，该几何体是一个如图所示的三棱锥，为三棱锥外接球的球心，此三棱锥的外接球也是此三棱锥所在的长方体的外接球，所以为的中点，设球半径为，则,所以外接球的表面积，故选：A．【答案点睛】本题考查求几何体的外接球的表面积，关键在于由几何体的三视图得出几何体的立体图，找出外接球的球心位置和半径，属于中档题.7、D【答案解析】

由，可得，由，可得，再利用“1”的妙用即可求出所求式子的最小值.【题目详解】设等比数列公比为，由已知，，即，解得或（舍），又，所以，即，故，所以，当且仅当时，等号成立.故选：D.【答案点睛】本题考查利用基本不等式求式子和的最小值问题，涉及到等比数列的知识，是一道中档题.8、C【答案解析】

先化简集合A,B，结合并集计算方法，求解，即可．【题目详解】解得集合，所以，故选C．【答案点睛】本道题考查了集合的运算，考查了一元二次不等式解法，关键化简集合A,B，难度较小．9、B【答案解析】

因为圆与抛物线的准线相切，则圆心为（3,0），半径为4，根据相切可知，圆心到直线的距离等于半径，可知的值为2，选B.【题目详解】请在此输入详解！10、A【答案解析】

由题意得，即可得点M的轨迹为以A，B为左、右焦点，的双曲线，根据双曲线的性质即可得解.【题目详解】如图，连接OP，AM，由题意得，点M的轨迹为以A，B为左、右焦点，的双曲线，.故选：A.【答案点睛】本题考查了双曲线定义的应用，考查了转化化归思想，属于中档题.11、C【答案解析】

由程序语言依次计算，直到时输出即可【题目详解】程序的运行过程为当n=2时，时，，此时输出.故选：C【答案点睛】本题考查由程序框图计算输出结果，属于基础题12、D【答案解析】

以AB,AC分别为x轴和y轴建立坐标系，结合向量的坐标运算，可求得点的坐标，进而求得，由平面向量的数量积可得答案.【题目详解】如图建系，则，，，由，易得，则.故选：D【答案点睛】本题考查平面向量基本定理的运用、数量积的运算，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【答案解析】

当时，函数单调递增，当时，函数为常数，故需满足，且，解得答案.【题目详解】，当时，函数单调递增，当时，函数为常数，需满足，且，解得.故答案为：.【答案点睛】本题考查了根据函数单调性解不等式，意在考查学生对于函数性质的灵活运用.14、【答案解析】

真数有最小值，根据已知可得的范围，求出函数的最小值，建立关于的不等量关系，求解即可.【题目详解】，且（且）有最小值，，的取值范围为.故答案为：.【答案点睛】本题考查对数型复合函数的性质，熟练掌握基本初等函数的性质是解题关键，属于基础题.15、【答案解析】

利用导数的几何意义计算即可.【题目详解】由已知，，所以，又，所以切线方程为，即.故答案为：【答案点睛】本题考查导数的几何意义，考查学生的基本计算能力，要注意在某点处的切线与过某点的切线的区别，是一道容易题.16、【答案解析】

计算R（t，0），PR＝t﹣（t），△PRS的面积为S，导数S′，由S′＝0得t＝1，根据函数的单调性得到最值.【题目详解】∵PQ∥y轴，P（t，0），∴Q（t，f（t））即Q（t，），又f（x）＝etx（t＞0）的导数f′（x）＝tetx，∴过Q的切线斜率k＝t，设R（r，0），则k，∴r＝t，即R（t，0），PR＝t﹣（t），又S（1，f（1））即S（1，et），∴△PRS的面积为S，导数S′，由S′＝0得t＝1，当t＞1时，S′＞0，当0＜t＜1时，S′＜0，∴t＝1为极小值点，也为最小值点，∴△PRS的面积的最小值为．故答案为：．【答案点睛】本题考查了利用导数求面积的最值问题，意在考查学生的计算能力和应用能力.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）不需要调整安全教育方案.【答案解析】

（I）根据题目所给数据填写好列联表，计算出的值，由此判断出在犯错误概率不超过的前提下，不能认为性别与安全测试是否合格有关.（II）利用超几何分布的计算公式，计算出的分布列并求得数学期望.（III）由（II）中数据，计算出，进而求得的值，从而得出该校的安全教育活动是有效的，不需要调整安全教育方案.【题目详解】解：（Ⅰ）由频率分布直方图可知，得分在的频率为，故抽取的学生答卷总数为，.性别与合格情况的列联表为：是否合格性别不合格合格小计男生女生小计即在犯错误概率不超过的前提下，不能认为性别与安全测试是否合格有关.（Ⅱ）“不合格”和“合格”的人数比例为，因此抽取的人中“不合格”有人，“合格”有人，所以可能的取值为,.的分布列为：20151050所以.（Ⅲ）由（Ⅱ）知：.故我们认为该校的安全教育活动是有效的，不需要调整安全教育方案.【答案点睛】本小题主要考查列联表独立性检验，考查超几何分布的分布列、数学期望和方差的计算，所以中档题.18、（1）见解析；（2）.【答案解析】

（1）对求导，令，求导研究单调性，分析可得存在使得，即，即得证；（2）分，两种情况讨论，当时，转化利用均值不等式即得证；当，有两个不同的零点，，分析可得的最小值为，分，讨论即得解.【题目详解】（1）由题意，令，则，知为的增函数，因为，，所以，存在使得，即．所以，当时，为减函数，当时，为增函数，故当时，取得最小值，也就是取得最小值．故，于是有，即，所以有，证毕．（2）由（1）知，的最小值为，①当，即时，为的增函数，所以，，由（1）中，得，即．故满足题意．②当，即时，有两个不同的零点，，且，即，若时，为减函数，（*）若时，为增函数，所以的最小值为．注意到时，，且此时，（ⅰ）当时，，所以，即，又，而，所以，即．由于在下，恒有，所以．（ⅱ）当时，，所以，所以由（*）知时，为减函数，所以，不满足时，恒成立，故舍去．故满足条件．综上所述：的取值范围是．【答案点睛】本题考查了函数与导数综合，考查了利用导数研究函数的最值和不等式的恒成立问题，考查了学生综合分析，转化划归，分类讨论，数学运算能力，属于较难题.19、（1）证明见解析；（2）存在点是线段的中点，使得直线与平面所成角的正弦值为.【答案解析】

（1）在直角梯形中，根据，，得为等边三角形，再由余弦定理求得，满足，得到，再根据平面平面，利用面面垂直的性质定理证明.（2）建立空间直角坐标系：假设在上存在一点使直线与平面所成角的正弦值为，且，，求得平面的一个法向量，再利用线面角公式求解.【题目详解】（1）证明：在直角梯形中，，，因此为等边三角形，从而，又，由余弦定理得：，∴，即，且折叠后与位置关系不变，又∵平面平面，且平面平面.∴平面，∵平面，∴平面平面.（2）∵为等边三角形，为的中点，∴，又∵平面平面，且平面平面，∴平面，取的中点，连结，则，从而，以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系：则，，则，假设在上存在一点使直线与平面所成角的正弦值为，且，，∵，∴，故，∴，又，该平面的法向量为，，令得，∴，解得或（舍），综上可知，存在点是线段的中点，使得直线与平面所成角的正弦值为.【答案点睛】本题主要考查面面垂直的性质定理和向量法研究线面角问题，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.20、（1）的普通方程为．的直角坐标方程为（2）（-1，0）或（2，3）【答案解析】