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文档简介

2定义几何意义性质计算法应用二重积分定义几何意义性质计算法应用三重积分一、主要内容31、二重积分的定义4２、二重积分的几何意义当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积．当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值．5性质１当为常数时，性质２３、二重积分的性质6性质３对区域具有可加性性质４若为D的面积性质５若在D上，特殊地7性质６性质７（二重积分中值定理）8４、二重积分的计算［X－型］

X-型区域的特点：

穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.（１）直角坐标系下9

Y型区域的特点：穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.［Y－型］10（２）极坐标系下11125、二重积分的应用(1)体积设S曲面的方程为：曲面S的面积为(2)曲面积13当薄片是均匀的，重心称为形心.(3)重心14薄片对于x轴的转动惯量薄片对于y轴的转动惯量(4)转动惯量15薄片对

轴上单位质点的引力为引力常数(5)引力16二、典型例题解17例2解X-型18例3解先去掉绝对值符号，如图19解20解积分区域如图21解用极坐标计算(如图),

22例7解23

设为曲面所围成的空间封闭区域,(1)求的表面积；(2)求的体积；

解

区域如图所示2425例2

在均匀的半径为R的圆形薄片的直径上,要接上一个一边与直径等长的同样材料的均匀矩形薄片,匀薄片的重心恰好落在圆心上,的另一边长度应为多少?提示:

建立坐标系如图,由对称性知重心纵坐标得为使整个均问接上去的均匀矩形薄片有即?26

运用对称性时,必须兼顾被积函数与积分区域两个方面.两个方面的对称性要相匹配,才能利用.

1.若关于轴对称,对,则有(1)当时，(2)当

时，

2.若关于轴对称,对,则有

(1)当时，

(2)当

时，27解积分域D是圆域,关于x,y轴对称,所以28例2

计算其中D由所围成.解

令(如图所示)显然,在在上上29例3

计算二重积分其中(1)D为圆域(2)D由直线解

(1)

利用对称性围成.30(2)积分域如图

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