专题14情景探究类-备战2022年中考数学压轴题分类（全国通用）（解析版）

专题14情景探究类ー、解答题1.（2021•吉林省第二实验学校九年级阶段练习）（1）【教材回顾】如图①,点ハ、E分别是△A8C的边A8、边AC的中点,连结。E,则ハE是aABC的一条中位线.则和BC的数量关系是,位置关系是.（2）【提出问题】如图④，AB是以MN为直径的。。的一条弦,连结。4、OB,点M在AB的上方,点N在A8的下方,丄A8于P,NQ丄A8于。，点P、。均在弦A8上.已知MN=5,ZOAB=30°,求MP-NQ的值.为了解决上面的问题，进行了如下的探究，先看两种特殊情况:①如图②,当点N与点B重合时，点Q也与点B重合,点尸与点4重合,此时MP=AM,N0=O（点看成是长度为0的线段）,则MP-NQ=.（写出具体的数值）②如图③,当丄AB时，P、。重合,此时MP-NQ与OP的数量关系是ー,先根据条件易求。P的长度,则MP-N。:一.（写出具体的数值）（3）【解决问题】结合图④对应的一般情况和你的感知,请用严谨的数学方法求MP-N。的值.图① 图② 图③ 图④【答案】(1)DE=；BC；DE〃BC；(2)①2.5；②MP-QN=2OP,2.5；(3)MP-NQ^2.5.【分析】（1）根据中点定义证明△D4EsZ\BAC,即可;(2)①MN为直径,得出/M4N=90。,OB=OA,得出/O8A=NOAB=30。,在RsMAN中,MN=5,NMNA=3G°,MP=MA丄MN=二252.5,NQ=O,得出MP-NQ=2.5-0=2.5；②MN为。。直径,得出OA=OB=OM=ON=-MN=-?52.5,在RtムOAP中/Q4P=30。，2 2OA=2.5,得出。P=2OA=丄?2.51.25,QN=ON-OP=2.5-1.25=1.25,2 2MP^OP+OM^1.25+2.5=3.75即可:(3)连结,延长BO交。。于。,延长AO交。。于E,过。作OG丄AB与G,延长GO交。。于C,连结OE交MP与”,交CG于L,先证△ん。8纟Z\E。。(SAS),再证四边形HPGL为矩形,PH=LG,根据三角函数。い^EsinE=2.5x丄=9,OG=OAsinA=2.5x-=-,24 24LG=OL+OG=-+ソ=9=2.5,得出〃P=2.5,证明△MOD9ANOB(SAS),和4MDH”ANBQ442(SAS)艮卩可.【解析】(1)解:••・点。、E分别是△ABC的边Aタ、边AC的中点,AAD=-AB9AE=-AC2 2.AD1AE_\^AB~2'AC2.AD_AE_\ス万AC>2'9：ZDAE=ZBAC,:・Z\DAEsABAC,.DEADAE1 “••===—,Z.ADE-/B,BCABAC2:・DE〃BC,：.DE=；BC,DE〃BC,故答案为 =DE//BC；(2)①：MN为直径,，NMAN=90°,'：OB=OA,：.ZOBA=/OAB=30°,即ZMNA=Z084=30°,在RsMAN中,MN=5,NMNA=30°,：.MP=MA=丄MN=丄?52.5,NgO,MP-NQ=25-0=2.5；故答案为:2.5；②；MN为。。直径,:.OA=OB=OM=ON=-MN=-?52.5,2 2•；MN丄AB,P、。重合,，ZO以=90°,在RfAO4P中,ZOAP=30°,OA=2.5,：.OP^-OA=-?2.51.25,2 2QN=ON-OP=2.5-1.25=1.25,MP=OP+OM=1.25+2.5=3.75,MP-QN=3.75-1.25=2.5,MP-QN=2OP,故答案为:MP-QN=2OP,2.5；(3)连结,延长BO交。。于ハ,延长AO交。。于E,过〇作OG丄AB与G,延长GO交。。于C,连结DE交MP与H,交CG于L,设点M为ハと上任意一点在△ス。8和厶EOD中,OA=OE<ZAOB=NEOD,OB=OD:•△NOBmXEOD(SAS),:.NE;ZA=30°,ZODL=ZOBG,:‘DE"AB,丄AB,：.MP.LDE,:.NHPG=NPHL=90°,VCG±AB,JZt>G4=90。,•••四边形"PGL为矩形,：.PH=LGt15 15・O£=OEsinE=2.5x—=—,OG=OAsinA=2.5x—=—,24 24LG—OL^'OG——I—=—=2.5,442：.HP=2.5,在AMO。和△N03中,OM=ON/MOD=/NOB,OD=OB:•△MODqANOB(SAS),：.DM=BN,ZMDO=ZNBO,•：NODL=NOBG,

:.ZMDH=ZMDO-ZODL=ZNBO-ZOBG=ZQBN,,:NQLAB,：.NNQB=90o=NMHD,在△MO”和△NBQ中,Z.MDH=ZNBQ：./MHD=NNQB,MD=NB:•△MDHeANBQ(SAS),:・MH=NQ,：.MP・NQ=MP・MH=HP=25.CC【点睛】本题考查三角形相似判定与性质,直径所对圆周角性质,30。直角三角形性质,锐角三角函数,矩形的判定与性质,三角形全等判定与性质,线段和差,利用辅助线画出准确图形是解题关键.2.(2020•福建省泉州第一中学九年级阶段练习)定义:如图1,△ABC是等腰三角形,AB=AC,点P为△ABC内一点,若ZABP=NPCB(或ZP3C=ZACP),则称点P为等腰aABC的底角准卡点.A(I)若尸是底角准卡点.求证:/\BPCsKPA；(H)若AP:BP=1:2,求证:点尸是底角准卡点.(2)如图3,点尸是等腰底角准卡点,AB=AC.过点A作A£>〃BC交BP延长线于点D,连接CO,M是BC的中点,连接PM.求证:NBPM=ZADC.【答案】(1)(I)证明见解析;(II)证明见解析;(2)证明见解析.【分析】(1)(1)由NABP+NBA尸=90。，/(ス2+/区4尸=90。得ム3/1=/6尸，再由尸是底角准卡点得/C4P=NPCB,从而得出结论;(H)将绕着点A顺时针旋转90。得到△ADB,连接PO,由条件得△APDs△ハ尸§，再得出N尸BC=NACP从而得到结论;(2)延长尸M到点N,使得M/V=PM,得出ふBPM纟式NM,再分别找ふABDい*CB,△ADCsKNP,从而得出结论.证明;(I);AB=AC,：.ZABC=ZACB,厶BP+ZBAP=90°,ZCAP+ZBAP=90°,/.ZABP=ZCAP,,.•尸是底角准卡点,ェZABP=NPCB,NPBC=厶CP:"CAP=/PCB,，ABPCsKPA.(II)如图4,ZVIPC绕着点A顺时针旋转90。得到△4)3,连接PO,:△APC绕着点A顺时针旋转90。得到ふADB,AAP=AD9/DBA=厶CP.设AP—a»则AD-a,PD=y/2a，BP=2a,.AP_PD••1=•PDBP又・:ZAPD=NDPB=45°,：.AAPDsQPB,：.ZBDP=ZDAP=90。,：.NDBP=厶EC=45。,：.4DBA=4PBC，丁/DBA=ZACP,：./PBC=ZACP,••・点P是底角准卡点.如下图,延长PM到点N,使得MN=PM,・・・M是BC的中点,:,MB=MC,•••在/kB•和aCNM中,MB=MC/PMB=ZNMCMN=PM：./XBPM纟ふCNM,:・PB=CN,4PM=/PNC,ZPBM=ZNCM,:AD//BC,:.ZADB=/DBC,ZDAC=ZACB,；ZABD=NBCP：.AABDsaPCB,,竺ADPC~BP'.ACADPCCN:ZDAC=ZACB=ZPCN,：.aADCsgp,：.ZADC=4PNC,：.ZBPM=ZADC.

【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、相似三角形的性质和判定以及全等三角形的性质和判定,熟练运用旋转构造全等三角形是解题的关键.3.(2022.吉林省第二实验学校九年级开学考试)【操作与发现】如图①,在正方形ABCD中,点N,M分别在边BC、CD上.连接AM.AN,MN.ZMAN=45°,将△AMひ绕点A顺时针旋转90。,点。与点B重合,得至リ△ABE.易证:4ANM%4ANE,从而可得:DM+BN=MN.图③图③⑴【实践探究】在图①条件下,若CN=6,CM=8,则正方形A8C£»的边长是⑵如图②,在正方形ABCC中，点/、N分别在边。C、BC上,连接AM、AN、MN,NMAN=45°,若tan/BAN=；,求证:M是C£＞的中点.(3)【拓展】如图③，在矩形A8C。中，AB=6,AD=8,点、M、N分别在边。C、BC上,连接AM、AN,已知/MAN=45。,BN=2,则ハM的长是.【答案】(1)12(2)见解析(3)4【分析】(1)证明AAMN^AEAN(SAS),得出MN=EN.证出MN=BN+DM.在/?/△CMN中,由勾股定理得出MN,求得BN+DM,设正方形A8C。的边长为X,得出方程,解方程即可求解;(2)设BN=x,DM=y,由(1)MN=BN+DM=x+y,由三角函数得出A8=3BN=3x,得出CN=BC-BN=2x,CM=CD-DM=3x-y,在,RmCMN中,由勾股定理得出方程:(2x)2+(3x-y)2=(x+y)2,整理得:3户2y,得出CM=2”尸y,得出DM=CM,即可得出结论;(3)延长A8至P,使BP=BN=2,过P作8C的平行线交。。的延长线于Q,延长⑷V交PQ于E,连接EM,则四边形4PQク是正方形,同样的方法在m△ 中,由勾股定理得出方程,解方程即可.解:,•・四边形A8CO是正方形,ェAB=CD=AD,ZBAD=ZC=ZD=90°f由旋转得::・BE=DM,ZABE=ZD=90°fAE=AMfNBAE二/DAM,：.ZBAE+ZBAM=ADAMEZ.BAM=ZBAD=90°,BPZEAA/=90°,,/ZMAN=45°9：.NEAN=90°-45°=45。,：.ZMAN=ZEAN,fAM=AE在4人”バ和AAEN中,\ZMAN=ZEAN,[AN=AN:、△AMN^XAEN(SAS),:,MN=EN.,:EN=BE+BN=DM+BN,:・MN=BN+DM.在,RtACMN中,MN=RnヽCM、府+82=13贝リBN+DM=IO,设正方形A8C。的边长为ス,贝リ828C-CNr-6,DM=CD-CM=x-8,.\x-6+x-8=10,解得:x=12,即正方形んBC。的边长是!2；故答案为:12；证明:设BN=x,DM=y,由(1)得;MN=BN+DM=x+y,VZB=90°,ian/BAN=—，3:・ian/BAN= =一,AB3：.AB=3BN=3x,：.CN=BC-BN=2x,CM=CD-DM=3x-y,在RfACMN中,由勾股定理得:(2x)2+(3x-y)2=(x+y)2,整理得:3x=2y,CM=2y-y=y,：.DM=CM,即M是8的中点;解:延长AB至P,使BP=BN=2,过P作BC的平行线交ハ。的延长线于。,延长4N交尸。于E,连接EM,如图③所示:图③则四边形んPQ。是正方形,/.PQ=DQ=AP=AB+BP=8,设Q腓r则/Q=8・ス,■:PQ〃BC,：.XABNsx、pe,.BNAB63PEAP84'工PE=-BN=-，3 3：.EQ=PQ-PE=S--=—f由（1）得:EM^PE+DM^-+x,在狡△QEM中,由勾股定理得:（手）2+（8メ）2=（；+x）2,解得：x=4,即DM的长是4；故答案为:4.【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、三角函数定义、相似三角形的判定与性质等知识;本题综合性强,有一定难度,证明三角形全等和由勾股定理得出方

程是解题的关键.4.(2021•甘肃兰州•中考真题)已知正方形ABCD,E,ド为平面内两点.E EE E图1 图2【探究建模】(1)如图1,当点E在边AB上时,DE丄DF,且B,C,尸三点共线.求证:A£=CF；【类比应用】(2)如图2,当点E在正方形A5CO外部时,DELDF，AELEF,且E,C,ド三点共线.猜想并证明线段AE,CE,Z)E之间的数量关系:【拓展迁移】(3)如图3,当点E在正方形ABC。外部时,AELEC,AE^AF,DE丄BE,且ハ，F,E三点共线，OE与AB交于G点.若Z)ド=3,AE=0,求CE的长.【答案】(1)见解析:(2)AE+CE=0DE:理由见解析(3)4忘【分析】(1)根据正方形性质以及题意证明、ADE^JCDF即可得出结论;(2)根据已知条件证明“。E%8尸(ん4S),然后证明ハ£。尸为等腰直角三角形即可得出结论:(3)先证明aBAE纟aZMRAAS),得出为等腰直角三角形,根据勾股定理以及等腰直角三角形的性质求出C”,EH的长度，即可得出结论.【解析】解:(1),•・四边形48。是正方形,B,C,ド三点共线,/.DC=DA.ZDAE=ZDCF=90°,•；DE丄DF,1,ZADC=/EDF=90。,:・ZADE=/CDF,在“IDE和△CDビ中,ZDAE=ZDCFヽDA=DC,ZADE=^CDF：.^ADE^CDF(ASA),,AE=CF\(2)DEIDF,四边形ABC。是正方形,JZADC=ZEDF=90°,AD=CD,JZADE=/CDF,VAE±EF,DE丄DF,,ZDEF+ZF=90。,ZAED+NDEF=90。,:.Z4ED=/凡在“僞£和中,ZADE=ZCDF，AAED=ZF,AD=CD二^ADE^CDF(AAS),二DE=DF,AE=CF,•，△互ジ为等腰直角三角形,丄EF=41DE,艮卩AE+CE=0DEヽ(3)过点。作。”丄CE于点”,连接8Q,,:ZDFA=ZFAE+ZFEA=9(r+ZFEAr,:ZAEB^AFEA+ADEB=9^Q+AFEA,:.ZAEB=ZDFA,ZBAE=9Q°-ZFAB.ZDAF=9Q°-ZFAB,,ZBAE=ZDAF,在ziBAE和/X/MF中,NBAE=NDAF<ムBEA=ZDFA,BA=DA：.aBAE^aDAF(AAS)：•DF=BE=3,FA=EA=y/2,,:ん七=幺=0且B4丄AE;•••△E4E为等腰直角三角形,:.EF=42x42=2,在肋△QE8中,DE=3+2=5,BE=3,,,DB=マ52+32=^34,:8。是正方A8CO对角线,:.AD=CD=，ど=,立'：ZFEA=45°：."EC=45。,，△。/花为等腰直角三角形,:.DH=EH=ユ近,2在RsDHC中,CH=y/DC2-DH2=|>/2,:.CE=CH+EH=->/2+-y/2=4y/2.2 2【点睛】本题考查了正方形的性质,全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形判定与性质，熟知性质定理是解本题的关键.（2021•江苏淮安♦中考真题）【知识再现】学完《全等三角形》一章后，我们知道“斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简称"ム定理）''是判定直角三角形全等的特有方法.【简单应用】如图（1）,在△ABC中,ZBAC=90°,AB=AC,点ハ、E分别在边AC、A8上.若CE=BD,则线段AE和线段A。的数量关系是 ..【拓展延伸】在△ABC中，NBAC=a（90〇<〇<180〇）,AB=AC=m,点。在边AC上.（1）若点E在边AB上,且CE=B。,如图（2）所示，则线段AE与线段AO相等吗?如果相等，请给出证明;如果不相等，请说明理由.（2）若点E在BA的延长线上,且CE=BD.试探究线段AE与线段A。的数量关系（用含有。、ノ”的式子表示）,并说明理由.【答案】【简单应用】AE=A£>;【拓展延伸】（1）相等,证明见解析;（2）AE-AO=2AC・cos（180°-a）,理由见解析【分析】简单应用:证明セ△AB。/RfAACE（HL）,可得结论.拓展延伸:（1）结论:AE^AD.如图（2）中,过点C作CM丄84交84的延长线于M,过点N作BNA.CA交CA的延长线于N.证明△CAM丝へBAN（A45）,推出CM=BN,AM=AN,证明RfACME纟RfABM）（/Z丄），推出EM=ON,可得结论.（2）如图（3）中,结论：AE-AD=2nfcos（180°-a）.在AB上取一点£,使得8。=CE',则A£）=AE.过点C作CT丄AE于ア.证明TE=TE,求出4T,可得结论.【解析】简单应用：解:如图（1）中,结论：AE=AD.图⑴理由:VZA=ZA=90°,AB=AC,BD=CE,：,欣△ABD^Rt^ACE(HL),：.AD=AE.故答案为：AE^AD.拓展延伸：（1）结论：AE=AD.图⑵理由:如图(2)中,过点。作CM丄B4交班的延长线于M,过点N作3N丄C4交。的延长线于M•；NM=NN=90。,4CAM=/BAN,CA=BA9，△。/纟△朋N(A4S),:・CM=BN,AM=AN,VZM=ZN=90°,CE=BD,CM=BN,：./?/△CMEすRムBND(HL),：.EM=DN,9：AM=ANt：.AE=AD.(2)如图(3)中,结论:AE-AD=2m^cos(180°-a).图⑶理由:在48上取一点E、使得8O=CE,则AO=AE.过点。作Cア丄4E于ア,•：CE=BD,CE=BD,：.CE=CE,,CT丄EE',

:.ET=TE','：AT=AC»cos(1800-a)=/7I.Cos(180°-«),：.AE-AD^AE-AE'=2AT=2m-cos(180°-a).【点睛】本题主要考査了全等三角形的性质与判定,等腰三角形的性质与判定,解直角三角形等知识，解题的关键在于能够熟练寻找全等三角形解决问题.(2021•江苏镇江・中考真题)如图1,NA=NB=/C=NO=NE=/尸=90。,AB,FE,0c为铅直方向的边,AF,ED,BC为水平方向的边，点E在A8,CD之间,且在A尸,BC之间，我们称这样的图形为乜图形’‘,记作"L图形A8C-OEr，.若直线将L图形分成面积相等的两个图形，则称这样的直线为该丄图形的面积平分线.【活动】图2小华同学给出了图1的面积平分线的ー个作图方案:如图2,将这个ム图形分成矩形AGE尺矩形G8CQ,这两个矩形的对称中心。，ユ所在直线是该L图形的面积平分线.请用无刻度的直尺在图1中作出其他的面积平分线.(作出ー种即可,不写作法,保留作图痕迹)图2图1【思考】如图3,直线O/Q是小华作的面积平分线，它与边BC,Aド分别交于点M,N,过MN的中点0的直线分别交边BC,4F于点P,Q,直线PQ(填‘‘是‘‘或"不是")L图形んBCQEF的面积平分线.0在L图形A8C£)£7;・形中,已知A8=4,BC=6.(1)如图4,CD=AF=1.①该ム图形的面积平分线与两条水平的边分别相交于点P,Q,求P0长的最大值;②该ム图形的面积平分线与边48,8分别相交于点G,H,当G”的长取最小值时,BG的长为ー.(2)设坐=r(r>0),在所有的与铅直方向的两条边相交的面积平分线中,如果只有与边AB,CO相交的面积平分线,直接写出，的取值范围ー.【答案】【活动】见解析;【思考】是;【应用】(1)①如:②［；(2)【分析】［活动］如图1,根据题意把原本图形分成左右两个矩形,这两个矩形的对称中心。,。2所在直线是该ム图形的面积平分线;［思考］如图2,证明△OQN冬40PM(AAS),根据割补法可得直线PQ是L图形ABCZJEF的面积平分线；［应用］(1)①建立平面直角坐标系,分两种情况;如图3-1和3-2,根据中点坐标公式和待定系数法可得面积平分线的解析式,并计算P和Q的坐标,利用两点的距离公式可得P。的长,并比较大小可得结论;②当G”丄AB时,G”最小,设BG=x,根据面积相等列方程,解出即可;(2)如图5,由已知得:CD=tAF,直线OE将图形分成上下两个矩形,当上矩形面积小于下矩形面积时,在所有的与铅直方向的两条边相交的面积平分线中,只有与边AB,CO相交的面积平分线,列不等式可得•的取值.【解析】解:【活动】如图1，直线〇ノ〇2是该ん图形的面积平分线;【思考】如图2,VZA=ZB=90°,：.AF//BC,：.ZNQO=ZMPO,•.•点。是MN的中点，：.ON=OM,在△OQN和AOPM中,ZNQO=NMPO•ZNOQ=NMOP,ON=OW.••△〇QN纟△〇PM(A4S),/.SAOQN=S&OPM,'：S隹彩ABMN=SMNFEDC,：.St^ABMN-SAOPM=SMNFEDC-SAOQN,BPSABPON=SCDEFQOM,:.SABPON+S4OQN=SCDEFQOM+S4OPM,即S棒柩ABPQ=SCDEFQP,.•.直线P。是厶图形A88Eド的面积平分线.故答案为:是;【应用】(1)①如图3,当P与B重合时,PQ最大,过点Q作QH丄BC于H,L图形ABCDEF的面积=4x6-(4-1)x(6-1)=9,VPQ是L图形ABCDEF的面积平分线,•••梯形CDQP的面积=う乂(DQ+BC)xCD=-,上 2即うx(DQ+6)xl=-,2 2ADQ=CH=3,APH=6-3=3,VQH=CD=1,由勾股定理得:PQ=V32+l2=Vio：长的最大值为加;②如图4,当G”丄A8时G”最短,过点E作EM丄A8于M,图4设8G=x,则MG=l-x,根据上下两部分面积相等可知,6x=(4-1)xl+(1-x)x6,解得即BG=:;4 4故答案为:フ;4CD(2)*.*=t(z>0),AF：.CD=tAFf在所有的与铅直方向的两条边相交的面积平分线中,只有与边4ルC。相交的面积平分线,如图5,直线OE将图形分成上下两个矩形,当上矩形面积小于下矩形面积时,在所有的与铅直方向的两条边相交的面积平分线中,只有与边A8,。。相交的面积平分线,即(4-MF)*AF<6MF,4,:.AF>ーー6,tV0<AF<6,4JOV--6V6,t.123 3故答案为:-<t<-.【点睛】本题是四边形的综合题,考查了应用与设计作图,矩形的性质和判定,四边形面积的平分,三角形全等的性质和判定等知识,并结合平面直角坐标系计算线段的长,明确面积平分线的画法,并熟练掌握矩形面积平分线是过对角线交点的性质是解题的关键.7.(2021•山东枣庄•中考真题)如图1,对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形.(1)概念理解:如图2,在四边形ABC。中，AB=AD,CB=C£>,问四边形ABC。是垂美四边形吗?请说明理由;(2)性质探究:如图1,垂美四边形んBC。的对角线AC,B。交于点。.猜想:AB2+CD2与ス。2+8じ2有什么关系?并证明你的猜想.(3)解决问题:如图3,分别以RtZXACB的直角边AC和斜边A8为边向外作正方形ACFG和正方形ん双応，连结CE,BG,GE,已知AC=4,AB=5,求GE的长.【答案】（1）四边形ABC。是垂美四边形,理由见解析;（2）A庁+C/y=Aが+BC?,证明见解析;（3）GE=x/73.【分析】（1）连接AC,8。,先根据线段垂直平分线的判定定理可证直线AC是线段B。的垂直平分线,再根据垂美四边形的定义即可得证；（2）先根据垂美四边形的定义可得AC丄8。,再利用勾股定理解答即可；（3）设CE分别交AB于点M,交BG于点、N,连接82CG,先证明△GAB=Z\C4E,得到ZABG=ZAEC,再根据角的和差可证/BNM=90。,即CE丄BG,从而可得四边形CGEB是垂美四边形,然后结合（2）的结论、利用勾股定理进行计算即可得.【解析】证明:（1）四边形A8C。是垂美四边形，理由如下:如图，连接ACBO,'/AB=AD,.•・点A在线段的垂直平分线上,,:CB=CD,

...点C在线段5。的垂直平分线上,.,.直线AC是线段8。的垂直平分线,即AC丄BD,...四边形ABC。是垂美四边形:^AB2+CD2^AD2+BC2.证明如下:•.•四边形ABC。是垂美四边形,/.AC±BD,：.ZAOD=ZAOB=ABOC=Z.COD=90°,由勾股定理得:AD2+BC-=OA2+OD2+OB-+OC2,AB2+CD2=OA2+OB2+OC2+OD2,AB2+CD2=AD2+BC2;(3)如图，设CE分别交AB于点”，交BG于点N,连接8E,CG,G••・四边形ACFG和四边形ABDE都是正方形,/.Z.CAG=NBAE=90°,AG=AC,AB=AE,：.ZCAG+ZfiAC=NBAE+ZBAC,即NGAB=ZC4£,AG=AC在XGAB和、CAE中，,NG4B=NCAE,AB=AE：.△GABsAC4£(S45),:.ZABG=ZAEC,又〈NA£C+NAM£=90。,ZAME=ZBMN,：.ZABG+^BMN=90P,：.NBNM=90。,即C£丄BG,••・四边形CG£B是垂美四边形,由（2）得:CG2+BE2=CB2+GE2,；AB是R/aACB的斜边,且AC=4,AB=5,:.BC2=AB2-AC2=9,AG=AC=4,AE=AB=5,在RtcACG中,CG2=AC2+AG2=32,在RfAABE中,BE2=AB2+AE2=5Q,.,.9+GE2=32+50,解得GE=J万或GE=-J万（不符题意,舍去），故GE的长为J万.【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定定理与性质、线段垂直平分线的判定、勾股定理等知识点,正确理解垂美四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题关键.8.（2021•内蒙古鄂尔多斯・中考真题）旋转是ー种重要的图形变换，当图形中有一组邻边相等时往往可以通过旋转解决问题.(1)尝试解决:如图①,在等腰R/aABC中,ZBAC=90°,AB=AC,点M是BC上的一点,BM=1cm,。ノ0=2cm,将^ABM绕点A旋转后得到AAOV,连接MN,则AM=cm.(2)类比探究:如图②，在“筝形”四边形A8C。中,ム8=ん。=48=8,ム3丄3。于点B,4J丄8于点。，点尸、。分别是AB、"＞上的点,且/PCB+NQCD=NPCQ,求aAPQ的周长.(结果用。表示)(3)拓展应用：如图③，已知四边形ABC£),AD=CD,ZADC=60°,ZABC=75°,AB=25/2,BC=2,求四边形 的面积.【答案】(1)巫:(2)2a：(3)5けー22【分析】(1)由旋转的性质可得AABM丝/XACN,从而得出/MC7V=NACB+NAC7V=9O。，再根据勾股得出AM的长;(2)将aBCP绕点C旋转后得到△DCM,利用S4S得出△QCP纟△QCM,从而得出aAPQ的周长(3)连接BD,由于/1D=C。，所以可将△8CL＞绕点ハ顺时针方向旋转60。，得到△D4夕,连接8夕，延长BA,作冊ELBE：易证△AFザ是等腰直角三角形，△AEB是等腰直角三角形，利用勾股定理计算4E=B，E=应,BB'=2下,求AA8所和△8。タ的面积和即可.【解析】ABAC=90°,AB=AC,：.AB=AACB=45°,将△ABM绕点A旋转后得到△4C7V,此时4B与AC重合,由旋转可得:△ABM冬ふACN,/.ABAM=ACAN,AM=AN,BM=CN=\,NB=NACN=45°,NMCN=AACB+AACN=90°,/MAN=ZABC=90°,:•MN=7CMユ+CN2=V22+12=お二AM=AN=—xy/5=—；2 2VAD1CD,CB=CD,ABJLBC,•・将△BCP绕点。旋转后得到此时3c与OC重合,••△BCP会ヘDCM,・・NDCM=NPCB,BP=DM,PC=CM,・・/PCB+/QCD=/PCQ,.・./DCM+ZQCD=NPCQ,4QCM=/PCQ,9：PC=CM,QC=QC,エヘQCPmへQCM,：.PQ=QM,：.^PQ的周长=AQ+AP+PQ=AQ+A尸+QM=AQ+AP+DQ+DM=AQ+AP+DQ-^BP=AD+AB,•/AB=AD=a,l.APQ的周长=2。;(3)如图,连接BD,由于んAC。,所以可将△8。ク绕点。顺时针方向旋转60。,得到△DAB1,连接延长8A,作ダELBE；AD=CD-NCDB=ZADB'BD=B'D:.へBCD纟へB，ADSnnif；ABCD=S四边"DBA,"：ZABC=15°,NAOC=60°,.\ZBAB'=135°：.NB'AE=45°,BA=BC=2：.B'E=AE^yfi,BE-AB+AE=2忘+嫗=34，BA=オ闾2+(3れピ=2お,.•等边△0二8所上的高==2栃x，=后,：..S„„=-ABB'E=-x2-j2xy/2=2S\BDB=-x275x715=55/3,**•S四边偌ABCD=S四边彫BDB，A=S△BDB'-SaABBu=5-^3—2；

B'BB'B【点睛】本题考查了图形的旋转变换,三角形全等,勾股定理,等积代换思想,类比思想等.构造直角三角形，求出三角形的髙是解决问题的关键.9.(2021.内蒙古赤峰.中考真题)数学课上，有这样一道探究题.如图,已知aABC中，AB=AC=m,BC=n,/84C=a(0°<a<180°),点尸为平面内不与点A、C重合的任意一点，将线段CP绕点P顺时针旋转a,得线段PC,E、ド分别是CB、CD的中点，设直线AP与直线Eド相交所成的较小角为少,探究キ三的值和タ的度数与机、〃、a的关系，请你参与学习小组的探究过程,并完成以下任务:(1)填空:【问题发现】小明研究了£=60。时,如图1,求出了る7= ，B= PA小红研究了a=9O。时,如图2,求出了芸= ,P= PA【类比探究】他们又共同研究了a=120。时，如图3,也求出了竺:【归纳总结】

最后他们终于共同探究得出规律:-= （用含…，的式子表示）ノ=（用含a的式子表示）.【答案】⑴【问题发现】白6。。;冬45。:【类比探究】见⑵题的解析:【归纳总结】【分析】（1）当a=60°时,AABC和△PDC都是等边三角形,可证ムACP^/XECF,从而有空=4,AP2NQ=/?=/ACB=60。;当ク=90。时,△4和△POC都是等腰直角三角形,同理可证△ACPs^ecド即可解决，依此可得出规律;（2）当a=120°,可证式=正,空=且,从而有孚=CA,由/ECド=/ACP,可得AC2CP2 CFCPAPCA^AFCE即可解决问题.【解析】（1）【问题发现】如图1,连接AE,PF,延长EEA尸交于点Q,当a=60。时,△ABC和△POC都是等边三角形,.,.ZPCD=ZACB=60°,PC=CD,AC=CB,E分别是Cハ、BC的中点，.CF\CE_1PC~2'AC2'.CFCEPCAC又「NACP=NECF,：.AACPs/^ECF, =—,ZCEF=ZCAP,AP2Z0=P=ZACB=60。，当a=90。时,△ABC和△POC都是等腰直角三角形,如图2,连接A£,PF,延长所、AP交于点。，

连接AE,E为8c的中点AE±BC,连接AE,E为8c的中点AE±BC,,.sinhO'延长EF、AP交于点0E分别是Cハ、BC的中点由此,可归纳出EF.CECFAC=CP'.CECA・« =—，CFCP又•；NECF=NACP,•••△尸CAs△ドCE,.•.空=生=3,NCEF=NCAP,APAC2：.NQ=P=ZACB=30°.【点睛】本题主要考查了三角形相似的判定与性质,通过解决本题感受到:图形在变化但解决问题的方法不变,体会“变中不变’’的思想.10.(2021•湖北襄阳•中考真题)在aABC中,ZACB=90°,—=/n,D是边BC上一点,BC将7\ABD沿A。折叠得到aAED,连接BE.(1)特例发现：如图1,当山=1,AE落在直线AC上时,①求证：ZDAC=ZEBC；②填空:豊的值为;CE(2)类比探究:如图2,当mwl,4E与边BC相交时,在上取一点G,使厶CG=NBCE,CG交AE于点、H.探究要的值(用含m的式子表示),并写出探究过程;CE(3)拓展运用:在(2)的条件下,当m=立,。是8c的中点时,若EBEH=6,求CG2的长.

BBBB【答案】(1)①见解析:®1；⑵をS见解析:(3)CGf【分析】(1)①根据折叠性质证明即可；②当机=1,证明aAC/注aBCE,即可得出关的值；CE(2)延长Aハ交BE于点ド,根据折叠性质证明△ACGs/\BCE,即可得出结论:(3)由(2)可知四=亞=生=机=也,设CG=x,则47=伝,CE=4ix，BE=2x,BECEBC2可得△AG"纟△EC”,再由勾股定理列方程求解即可.【解析】解:(1)①证明:延长A£＞交5E于点ド.[3由折叠得[3由折叠得/AF3=90。=NAC3./.ZDAC+ZADC=ZBDF+NEBC=90°.*.*ZADC=NBDF,：."AC=NEBC.②当〃，=1,即 =1时,BC可知AC=8C,在ム48和十a中,ZDAC=NEBC<NACD=/BCE=9伊,AC=BC/.^ACD^^BCE(AAS),・・・CD=CEt.••生=1.CE故答案为:1；(2)解:ア总=加.CE理由:延长んO交班于点ド,由折叠得厶れ6=90。=ム6.ZADC+^DAC=ZBDF+ZCBE=90°fZADC=ZBDF,/.ZDAC=ZCBEf'：ZACG=ZBCEfjAACGsAfiCE,,CGAC•• ==.CEBC(3)解:由折叠得/Aド8=90。,BF=FE,V。是BC的中点,JDF//CE,/.NBEC=NBFD=90°,ZAGC=ZECG,NGA"=ZCE4,由⑵知△ACGs/^BCE,:.NAGC=N3瓦:=90。，TOC\o"1-5"\h\zAGCGAC 72 ===m=—,\o"CurrentDocument"BECEBC 2QO是8C的中点,・・.8C=28,CG,0DC1 =tanZ.GAC= =-尸,AG ACV2设CG=x,则ん?=伝,CE=y/2x^BE=2x,：.AG=CE,-ZGAH=NHEC,ZAHG=4cHE,：.MGH乌4ECH,/.AH=EH.GH=CH,：.GH=-xf2在Rt~4GH中,由勾股定理得A〃=ノんア+6〃2 ,■:EBEH=6,2x-x=6,解得x=±JI(负值舍去)，二CG=应.【点睛】本题为三角形综合题,考查折叠的性质,全等三角形判定与性质,相似三角形的判定及性质,勾股定理等知识点,根据折叠性质找到角度之间的关系是解题的关键.11.(2021•山东东营•中考真题)已知点。是线段A8的中点，点尸是直线/上的任意一点,分别过点A和点B作直线，的垂线，垂足分别为点C和点ハ.我们定义垂足与中点之间的距离为“足中距”.(1)［猜想验证］如图1,当点P与点。重合时,请你猜想、验证后直接写出“足中距”。C和OD的数量关系是.(2)［探究证明］如图2,当点P是线段A8上的任意一点时,‘‘足中距’’。C和。。的数量关系是否依然成立，若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由.(3)［拓展延伸］如图3,①当点尸是线段BA延长线上的任意一点时，’'足中距"OC和。。的数量关系是否依然成立,若成立，请给出证明;若不成立，请说明理由;②若/COC=60。，请直接写出线段4C、BD、OC之间的数量关系.【答案】(1)OC=OD,(2)仍然成立,证明见解析；(3)①仍然成立,证明见解析；②AC+BD=^OC【分析】(1)根据三角形全等可得;(2)方法一:过点0作直线EF//CD,交BD于点F,延长AC交Eド于点E,证明VCOE纟V0OF即可,方法二:延长CO交BD于点E,证明AAOCgABOE即可;(3)①方法一:过点〇作直线EF//CD,交BD于点F,延长CA交EF于点E,证明△COE%DO尸,方法二:延长CO交。B的延长线于点E,证明IOC四aBOE；②延长C。交ハB的延长线于点E,证明aAOCgaBOE,根据已知条件得出0E=>/5CO.【解析】•.,。是线段AB的中点:.OA=OB-,-ACll,BD1.1：.ZACO=ZBDO在/iACO和ふBDO中OA=OB■Z.ACO=NBDOZ.AOC=ムBOD：.AACO纟△BDO(AAS)•••OC=OD(2)数量关系依然成立.证明(方法一):过点。作直线所〃C£>,交BD于点F,延长4c交EF于点E.D,/EF//CD,ZDCE=ZE=ZCDF=90°••・四边形C£ドハ为矩形.，NOめ=90。,CE=DF由(1)知,OE=OF<\△COE^aDOF(SAS),・・・OC=OD.证明(方法二):延长。。交3Q于点上,VACLCD,BDLCD,/.AC/IBD，・"・NA=NA,•.•点。为ん3的中点,/.AO=BOf又マZAOC=ZBOE,，△AOC^aBOE(ASA),/.OC=OE,,/NCDE=90。,OD=OC,(3)①数量关系依然成立.证明(方法一)：过点〇作直线E/〃CQ,交BD于点、F,延长C4交Eド于点区丁EF//CD丄ZDCE=NE=NCDF=90。••・四边形CEED为矩形./.ZOFD=90°,CE=DF由（1）知,OE=OF：.△COE^aDOF（SAS）,:,OC=OD.10分证明（方法二）:延长CO交08的延长线于点日VAC±CD,BDLCD,：.AC//BD,工ZACO=ZE,••・点。为AB的中点,工んO=80,又「ZAOC=ZBOE9：.△AOC^a6O£(AAS),:.OC=OEf丁ZCDE=90°,/.OD=OC,②如图,延长co交ハ8的延长线于点区VACA.CD,BDエCD,/.AC//BD,工ZACO=ZEf，点。为A8的中点,AO=BO,又・:ZAOC=ZBOE,：,△/IOC^aBOE(AAS),AC=BE,こAC+BD=BE+BD=DE•/ZCDE=90°,/COD=60°/.OD=OC•.•NCOD=60。.-.ZDCE=60°DF r-—=tanZDCE=tan60°=J3CD:*DE=&DAC+BD^^OC.【点睛】此题主要考查了三角形全等的性质与判定,直角三角形的性质,锐角三角函数,根据题意找到全等的三角形,证明线段相等,是解题的关键.12.(2021•浙江衢州•中考真题)【推理】如图1,在正方形A8C。中，点E是C。上ー动点，将正方形沿着8E折叠,点C落在点ド处,连结CF,延长C尸交AO于点G.(1)求证:へBCE/CDG.【运用】(2)如图2,在【推理】条件下，延长Bド交于点Z/.若照=2,CE=9,求线段OEHF5的长.【拓展】(3)将正方形改成矩形，同样沿着BE折叠，连结C尸,延长C尸,Bド交直线A。于G,两点，若黑=に黑=:，求段的值(用含え的代数式表示).BCHF5EC

图1 图2图1 图2备用图【答案】(D见解析:(2)DE=3V10；(3)"+、或版y7T【分析】(1)根据ASA证明△8CE必8G；(2)由(1)得CE=DG=9,由折叠得/BC尸=NB尸C,进ー步证明叱=〃G,由勾股定理得“尸2+小ユ=。”2+£＞庁,代入相关数据求解即可:(3)如图,连结”E,分点“在ハ点左边和点H在。点右边两种情况,利用相似三角形的判定与性质得出DE的长，再由勾股定理得”尸+圧、。”2+。ズ，代入相关数据求解即可・【解析】(1)如图,由a8C£折叠得到，：.BE±CF,ZECF+ZBEC=90°.又・•・四边形ABC。是正方形,.-.ZD=ZBCE=90°,.".ZECF+ZCGD=90°,：.ZBEC=ZCGD,又フ正方形んBC。,BC=CD,,.△BCE^CDG(AAS).(2)如图,连接后”,由(1)得ふBCE©CDG,:.CE=DG=9、由折叠得6C=8尸,CE=FE=9,・.ABCF=NBFC.•・四边形A3C。是正方形,.・.AD//BC,・.ZBCG=ZHGF9又・:4BFC=NHFG,;.4HFG="GF,・.HF=HG.HD

~HFごZD=ZHFE=90。:.Hド+FEヽDH士+DE".-.52+92=42+DE2,DE=3710（ハE=-3如舍去）.（3）如图,连结HE,,—,HD4、 — DE由已知=ニ可设ハ"=4〃2，HG=5rn,可令二く"二ス,Hr5 EC①当点”在ハ点左边时,如图,同（2）可得,HF=HG,:.DG=9m,由折叠得5E丄CF,:.ZECF+ZBEC=90°,又・.•ZD=90°,ZECF+ZCGD=90°,:.NBEC=NCGD,又・.•乙BCE=ZD=90°,:&DGs4bCE,DGCDCE~BCCDABt ==K,BCBC9m_kCE1:.CE=—=FEcl9mx：.DE= ・・・N£>=4加£=90。,:.hf、fe2=dh2+de2.②当点”在。点右边时,如图,同理得HG=Hド,：.DG=m,同理可得△BCEs/\CDG,

b阳グ口m1717 .ncinx可得CE=—=FEf..DE=—j—,HF2+FE：=DH2+DE?，：.(5m)2：.(5m)2+:.x=yj9k2+\(x=-5y號2+1舍去)•後屈+1後屈+1【点睛】此题主要考查了正方形的性质,矩形的性质,折叠的性质,全等三角形的判定与性质,勾股定理,相似三角形的判定与性质,在应用全等三角形的判定时,要注意三角形间的公共边和公共角,必要时添加适当辅助线构造三角形.13.(2021•四川达州.中考真题)某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两要互相垂直的线段做了如下探究:【观察与猜想】(1)如图1,在正方形A8C。中，点E,尸分别是AB,A。上的两点,连接。E,CF,DELCF,(2)如图2,在矩形ABC£＞中，AD=1,CO=4,点E是上的一点，连接CE,BD,CF且CE丄8£),则テス的值为.D1J【类比探究】(3)如图3,在四边形ABCZ)中,厶="=90。,点E为AB上一点,连接。E,过点C作OE的垂线交a的延长线于点G,交的延长线于点F,求证:DEAB=CFAD^【拓展延伸】(4)如图4,在他AA8の中,ZBA£>=90°,A0=9,tanZADB=-,将△48。沿翻折,点A落在点C处得ACB。，点E,ド分别在边AB, 上，连接£)E,CF,且。E丄CF.AA①求《ズ的值;②连接班',若AE=1,直接写出所'的长度.【答案】(1)1;(2)チ(3)证明见解析;(4)①}②8F=g，29.【分析】(1)先根据正方形的性质可得=厶=N8F=90°,再根据直角三角形的性质可得NADEu/DCF,然后根据三角形全等的判定定理与性质可得0E=C尸,由此即可得出答案;(2)先根据矩形的性质可得/4=NC£)E=90。，再根据直角三角形的性质可得厶DB=NDCE,然后根据相似三角形的判定与性质即可得;(3)如图(见解析)，先根据矩形的判定与性质可得AB=CM,NG=ZA=N”=90。,再根据宜角三角形的性质、对顶角相等可得/FC〃=N的,然后根据相似三角形的判定可得QEA〜©FH,由此即可得证；(4)①如图(见解析),先证出»EA〜/FG,从而可得会=2,再分别在RtAABDCFCGCG和阳△4)〃中,解直角三角形可得4"=机质,然后根据翻折的性质可得DfflAC,AC=2AH=^y/10,最后利用メOC的面积公式求出CG的长，由此即可得出答案;,可求出ド,可求出ドGつ,再根据翻折的②先根据(4)①中,相似三角形的性质可得"="=：FGCF3性质可得8=4)=9,然后在自△8G中,利用勾股定理可得。G=?,从而可得最后在冊△4?ド中,利用勾股定理即可得.【解析】解:（1）,.・四边形んBC。是正方形,/.AD=DC,ZA=NCDF=90°,.•.ZAT）E+ZCD£=90o,•••DE1.CF,.*.ZDCF+ZCDE=90°,厶DE=NDCF,Z4=ZC。产=90。在△?1£）石和△0。ド中,AD=DCNADE=4DCF：.^ADE^^CF（ASA）tDE=CF,,de..=1;CF•.・四边形ABCQ是矩形,z.ZA=ZCD£=90°,z.ZADB+ZCDB=90°,-CEA.BD,:.NDCE+/CDB=90。,:・ZADB=/DCE,亠ハ,匚[Z4=ZCD£=90°在△A£>8和aDCE中,\[ZADB=ZDCE/.△ADB-aDCE,.CECD4 ==—•BDAD7(3)如图,过点C作CH丄Aド交瓶的延长线于点”，CG1.EG,ZA=ZB=90°,:.ZG=ZH=ZA=ZB=90°,••・四边形48C4为矩形,/.AB=CH,NFCH+NCFH=/DFG+NFDG=90°,:ZCFH=4DFG,："FCH=/FDG,/Z.EDA-Z.FDG,,ZFCH=ZEDA,[ZEDA=ZFCH在但和△0田中,レ="二无。’J»EA〜EFH,.DEADCF~CH'.DEAD'CFABf：.DEAB=CFAD；

(4)①过。作(4)①过。作CG丄于点G,连接AC交80于点”,・：CFエDE,ZBAD=90°f：.ZFCG+ZCFG=ZCFG+ZEDA=90°,J/FCG=/EDA,"EDA=/FCG在△£)£4和△¢7尸G中,く ,[ZE4D=ZFGC=90°**•^DEA〜iCFG,.DEADCF~CG'AD3在RtAABO中,tanZAO3=「=二,AD=9,:.AB=AD3在RIYADH中,tanZADH=——=-,DH3设A"=a,则OH=3a,AH1+DH2=AD2«即イ+(3af=92,a=或a=一而>/?5(舍去)，AH=—>/i0,DH=ム1。,由翻折的性质得:DH1AC,AC=2AH=^4W,•：sAnr=-ACDH=-ADCG,A-x-ViOx—5A0=-x9CG,25 10 2解得CG二三,DEAD9 5 -=.—=-CFCG273;TDE5②由（4）①已证:QEA〜tCFG、—CF3AE_DE_5・FGCF~3'・・・AE=1,5 3= 解得ドG=g,FG3 5由翻折的性质得:CO=AD=9,在Rt卫DG中,DG=ylCD2-CG2=y,/.AF=AD-FG-DG=9---—=~,555在RmABF中,BF=Jab2+AF2=ネ+（1）2=2,29.【点睛】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质、翻折的性质、解直角三角形等知识点,较难的是题（4）①,通过作辅助线,构造直角三角形和相似三角形是解题关键.14.（2021•吉林长春•中考真题）实践与探究操作ー：如图①,已知正方形纸片48CD,将正方形纸片沿过点A的直线折叠,使点B落在正方形ABC。的内部,点8的对应点为点M,折痕为AE,再将纸片沿过点A的直线折叠,使A。与AM重合,折痕为4凡则㈤ド=度.操作二:如图②，将正方形纸片沿Eド继续折叠,点C的对应点为点N.我们发现,当点E的位置不同时，点N的位置也不同.当点E在BC边的某ー位置时，点N恰好落在折痕4E上,则NA肝=度.在图②中,运用以上操作所得结论,解答下列问题:(1)设4M与Nド的交点为点P.求证△ANg△尸NE：.(2)若ん8=け，则线段AP的长为.【答案】操作ー:45°,操作二:60°；(1)证明见解析;(2)2ホー2【分析】操作ー:直接利用折叠的性质,得出两组全等三角形，从而得出㈤E=NE4M,,?MAF?反。,从而得出』以ド的值;操作二:根据折叠的性质得出及VCEF@/NEF,从而得出?BEA?AEF?FEC,即可求得/A£ド的度数;(1)首先利用ム叱=60°,得出?MAP30靶PAF=15?厕464F=45。,从而得出AAA不为等腰宜角三角形,即可证得/VW陰X/WE；(2)利用三角函数或者勾股定理求出BE的长，则=设ハド=羽那么ドC=6-x,在RfAE尸C中,利用勾股定理得出。F的长，也就是/ド的长，即可求得所的长,进而可得结果.【解析】操作一:45°,证明如下:;ハ记ム折叠得到△んWE,^ADF折叠得到aAAZ厂,：.7ABE@AMENADF@AMF,/.?BAE?MAE丄彳物M,MAF=?DAF-1MAD,2 2?EAF?EAM?MAF-1BAM-IMAD-(!BAM?MAD)=1x90°=45°,2故填：45°；操作二:60°.证明如下：:\ABE@JAME,：.?BEA?AEM,又マACEF沿着EF折叠得到ふENF,,NCEF@NEF,/.?NEF?FEC,?BEA?AEF?FEC-?BEC60?,3故填：60°；(1)证明:由上述证明得7CEF@JNEF,?NEC?CEF60?,/.?NFE?CFE,?C?ENF,.•四边形ABC。为正方形,.,.ZC=ZD=90°,/.?CFE2NFE30?,?ENF?ANF90?,又,：YADF诬AMF,ェ2D?AMF90?,在和中,V?ANP?PMF90?,?NPA?MPF,：.?NAP?MFP30?,：.?BAE?NAP30?,：.?MAF?FAD15?,:.?NAF2NAP?PAF30?15?45?,•••△4Vド为等腰直角三角形,即AN=NF,在△んVP和VEVE中:NNAP=/NFE;彳AN=N尸ZANP=NENF：./^ANP^FNE(ASA)(2)由题可知△AB七是直角三角形,NBAE=30。,.,„R.„BE_BE不••tan?BAE =='——,AB网3解得8E=1,：.BE=EM=\,EC=5/3-1,设。ド=x,则MF=x,CF=6-x,在Rt4CEF中,CE2+CF2=EF2

(6-1)2+(けーX)2=(1+X)2解得ア26-3,则EF=x+1=273-2,:AANP^^FNE(ASA).'.AP=EF=2•有-2.【点睛】本题考查正方形的性质,折叠的性质,全等三角形的判定,勾股定理,解题的关键是熟练运用折叠的性质，找出全等三角形.15.(2021•山东槐荫♦二模)如图1.在边长为I个单位长度的小正方形组成的网格中,AABC的三个顶点均在格点上.(1)【操作发现】图1图2图图1图2图3①请按要求画图:将AABC绕点A顺时针方向旋转90。,点8的对应点为点ダ,点C的对应点为点。.连接B夕;②在①中所画图形中，ZAB'B=°.(2)【问题解决】如图2,在RfAABC中，BC=\,延长CA到。，使C£>=1,斜边顺时针90。到AE,连接DE,求/ADE的度数.(3)【拓展延伸】如图3,在四边形ABC。中，AE丄BC,NBAE=NADC,BE=CE=\,CD=3,AD=kAB(k为常数)，求B。的长(用含ん的式子表示).【答案】(1)①见解析;②45；NAOE=135°;(3)8。=，4炉+9【分析】(1)①根据旋转角,旋转方向画出图形即可.②只要证明△ABタ是等腰直角三角形即可.(2)如图2,过点E作E"丄Cハ交C。的延长线于”.证明即可解决问题.(3)如图3中,由AE丄BC,8E=EC,推出A8=4C,将△绕点A逆时针旋转得到△ACG,连接。G.则B3=CG,只要证明/GOC=90。,可得CG貝DG?+CD2,由此即可解决问题.①如图1中,△ABC即为所求.②由作图可知，△ABB，是等腰直角三角形,故答案为45.如图2中,过点E作EHLCD交CD的延长线于H.B,:ZC=ZBAE=Z//=90°,・・・Z3+ZC43=90。,ZC48+ZE4"=90。,:.ZB=NEAH,\*AB=AE,:.XABC9XEAH(AAS),：.BC=AH,EH=ACf•；BC=CD,：.CD=AH,工DH=AC=EH,:・/EDH=45°,：.ZADE=135°.如图3中,连接AC,•；AE丄BC,BE=EC,：.AB=AC,将△43。绕点A逆时针旋转得到AACG,连接。G,G图3VZBAD=ZCAG,：.ZBAC=ZDAGf*：AB=AC9AD=AG,：.ZABC=ZACB=ZA£>G=ZAGO,:.AABCs^ADG,,:AD=kAB,:・DG=kBC=2k,VZBAE+ZAfiC=90°,NBAE=NADC,：.ZAOG+ZADC=90。,，ZGDC=90°,---CG=VdG2+CD2="4标+32=>/4公+9,,BD—CG="k?+9•【点睛】本题考查了几何问题中应用旋转的创新性题型,考查了旋转的性质,全等三角形的性质和判定,勾股定理,相似三角形的性质和判定等,正确作出辅助线是解答本题的关键.16.（2021・山东台儿庄・二模）问题探究:小红遇到这样ー个问题:如图1,ZkABC中,AB=69AC=4,A。是中线,求AO的取值范围.她的做法是:延长到E,使。E=AO,连接BE,证明△纟△CA3;请回答:(1)小红证明△BEハ丝△。。的判定定理是:；(2)AD的取值范围是；(3)方法运用:如图2,4。是△4BC的中线,在A。上取一点尸,连接Bド并延长交AC于点E,使AE=EF,求证:BF=AC.(4)如图3,在矩形A8C。中，—=-,1¢B。上取一点F,以ジ为斜边作RtABEF,且一BC2 BE=1,点G是。ド的中点,连接EG,CG,求证:EG=CG.【答案】(DSAS(2)1<AD<5(3)见解析(4)见解析【分析】(1)由“SAS'可证ムBED纟ふCAD；(2)由全等三角形的性质可得AC=BE=4,由三角形的三边关系可求解;(3)延长A。至H,使人。=。冃，连接BH,由“SAS’可证△BH。丝△¢4。,可得AC=BH,NCAD=NH,由等腰三角形的性质可得ノ//=N8ド”，可得8ド=5"=AC；(4)延长CG至N,使NG=CG,连接EN,CE,NF,由“SAS'可证△NGド丝Z\CG。，可得CD=NF,NCDB=NNFG,通过证明△BECs△尸EM可得/BEC=NFEN,可得/BE尸=/NEC=90°,由直角三角形的性质可得结论.解:.•エハ是中线,:.BD=CD,又・：NADC=NBDE,AD=DE,纟△CAO(SAS),故答案为:SAS；■:4BED出ACAD,：.AC=BE=4,在AABE中,48-BE<AE<AB+BE,：.2<2AD<IO,：.1<AD<5,故答案为:1<AO<5；如图2,延长A£>至“，使连接8”,H:・BD=CD,又,：/ADC=NBDH,AD=DH,：./^ADC^AHDB(SAS),:・AC=BH,/CAD=/H,■:AE=EF,：.ZEAF=NAFE,:・/H=NBFH,:・BF=BH,：.AC=BF；(4)如图3,延长CG至N,使NG=CG,NA D上B C图3•.•点G是。尸的中点,:.DG=GF,又,：NNGF=NDGC,CG=NG,连接EN,NF,・レ。是△A8C的中线,•・•△NG尸纟/XCG。(SA5),:,CD=NF,/CDB=/NFG,1-2

=

B-c4万

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里DA一A:.tanZADB=—,tanZ.EBF=—,2 2:.NADB=NEBF,•:AD"BC,：./ADB=/DBC,：.NEBF=/DBC,:・/EBC=2/DBC,•：NEBF+NEFB=9伊,ZDBC+ZBDC=90°,:.NEFB=NBDC=NNFG,ZEBF+ZEFB+ZDBC^ZBDC=180°,:.2NDBC+ZEFB+ZNFG=180°,又・:NNFSNBFE+NEFN=180°,：.ZEFN=2ZDBC,:"EBC=/EFN,..ABCD1EFサハ_诋BCBC2BE.BEEFBC~NF:.△BECsAFEN,：.NBEC=NFEN,：.NBEF=NNEC=90。,又・:CG=NG,JEG=、NC,2：.EG=GC.【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质和判定,相似三角形的性质和判定,直角三角形的性质,延长三角形的中线构造全等三角形是解题的关键.17.（2021•山东章丘・二模）（1）问题:如图①，在ROABC中，AB=AC,。为BC边上ー点（不与点8,C重合）,将线段A。绕点A逆时针旋转90。得到AE,连接EC,则线段BC,DC,EC之间满足的等量关系式为图①（2）探索:如图②，在放AABC与中,AB=AC,AD=AE,将ハAOE绕点A旋转，使点。落在8c边上，试探索线段AO,BD,C。之间满足的等量关系,并证明结论;图②（3）应用:如图3,在四边形ABC。中，NA8C=NACB=NAOC=45。.若8。=12,CD=4,求A£＞的长.图③【答案】(1)BC=CD+CE；(2)CD2+BD2=2AD2,理由见解析;(3)8【解析】解:(1)•.•将线段AO绕点A逆时针旋转90。得到AE,AZDAE=90°,AD=AE,又/BAC=90°,，NBAC=NDAE,：.ZBAD=ZCAE,在△ABO和△ACE中,AB=AC，ZBAD=ZCAEAD=AE：.AABD^AAC£(SAS),：.CE=BD,又BC=CD+BD,；.BC=CD+CE：故答案为:BC=CD+CE.(2)CD2+BD2=2AD2,理由如下:连接CE,BD c图②由(1)题同理可证△AB。纟△ACE,：.CE=BD,NACE=NB,又/BAC=90°,N4CB+NB=90。,ZDCE=ZACB+ZACE=90°,，CD2+CE2=DE2,在Z?，△?!£)£・中,AD2+AE2=DE2>又AD=AE,二DE2=2AD1：-CD2+BD2=2AD2;(3)作AE丄AO,取AE=AO,连接CE,DE,由（1）同理可证△84。纟△CAE,：.BD=CE=\2,,：ZADC=ZEDA=45°,：.NEDC=90。,DE=y/cE2~CD2=V122-42=8^>VZDA£=90°,AE=AD,2AD2=DE2=128,\'AD>0,：.AD=S.【点睛】本题考查等腰直角三角形的判定与性质,全等三角形的判定与性质,垂线段最短,以及勾股定理等知识,证明△84。纟△C4E是解题的关键.18.（2021•山东历城•二模）（1）［感知］如图I,在正△ABC的外角/CA”内引射线AM,作点C关于AM的对称点E（点E在/。H内）,连接BE,BE、CE分别交AM于点F、G,求NFEG的度数.(2)［探究］把(1)中的‘‘正△ABC’改为“正方形4BZ5C,其余条件不变,如图2,类比探究,可得:①NFEG=°；②猜想线段Bド、AF.FG之间的数量关系,并说明理由.(3)［拓展］如图3,点A在射线8”上，AB=AC,ZBAC=a(0°<a<180°),在/CA”内引射线4M,作点C关于AM的对称点E(点E在/CA”内)，连接BE,BE、CE分别交AM于点尸.G.则线段BEAド、Gド之间的数量关系为.FG【答案】(1)30°；(2)①45；②BF=4iAF+近FG,见解析:(3)BF=2AF»siny2a【分析】(1)利用等腰三角形的性质,三角形内角和定理解决问题即可.(2)①作出AECB的外接圆。A,利用圆周角定理解决问题即可.②猜想:BF=41AF+y［2FG.连接C尸,在阳上取一点7,使得/连接C7.证明△BCT^^ACF,推出——=——=嫗，推出8r=JJAFAFAC可得结论.(3)连接CF,BC,在B尸上取一点T,使得ウ=(7尸.构造相似三角形，利用相似三角形的性质解决问题即可.【解析】解(1)如图1,,Z点E是点C关于AM的对称点,/.ZAGE=90°,AE=AC,Z1=Z2.,.•正△ABC中,/BAC=60。，AB=AC,：.AE^AB,得/3=N4.在AABE中,Zl+Z2+60°+Z3+Z4=180°,•,.Zl+Z3=60°.在△AEG中，ZFEG+Z3+Z1=9O°,二ZFEG=30°.(2)①