广东省茂名市高州市石鼓中学2023学年高三第三次模拟考试数学试卷（含解析）

2023学年高考数学模拟测试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．等比数列的各项均为正数，且，则()A．12 B．10 C．8 D．2．已知、是双曲线的左右焦点，过点与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点，若点在以线段为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是（）A． B． C． D．3．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高二丈，问：积几何?”其意思为：“今有底面为矩形的屋脊状的楔体，下底面宽3丈，长4丈，上棱长2丈，高2丈，问：它的体积是多少?”已知l丈为10尺，该楔体的三视图如图所示，其中网格纸上小正方形边长为1，则该楔体的体积为（）A．10000立方尺B．11000立方尺C．12000立方尺D．13000立方尺4．下列四个结论中正确的个数是（1）对于命题使得，则都有；（2）已知，则（3）已知回归直线的斜率的估计值是2，样本点的中心为（4,5），则回归直线方程为；（4）“”是“”的充分不必要条件.A．1 B．2 C．3 D．45．圆心为且和轴相切的圆的方程是（）A． B．C． D．6．已知复数满足，则=（）A． B．C． D．7．已知中，角、所对的边分别是，，则“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．既不充分也不必要条件 D．充分必要条件8．下列说法正确的是（）A．“若，则”的否命题是“若，则”B．在中，“”是“”成立的必要不充分条件C．“若，则”是真命题D．存在，使得成立9．若的展开式中含有常数项，且的最小值为，则（）A． B． C． D．10．已知，，则（）A． B． C． D．11．已知集合，，则A． B．C． D．12．已知定点都在平面内，定点是内异于的动点，且，那么动点在平面内的轨迹是（）A．圆，但要去掉两个点 B．椭圆，但要去掉两个点C．双曲线，但要去掉两个点 D．抛物线，但要去掉两个点二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．设实数x，y满足，则点表示的区域面积为______.14．若非零向量，满足，，，则______.15．观察下列式子，，，，……，根据上述规律，第个不等式应该为__________．16．函数的图像如图所示，则该函数的最小正周期为________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）在边长为的正方形，分别为的中点，分别为的中点，现沿折叠，使三点重合，构成一个三棱锥.（1）判别与平面的位置关系，并给出证明；（2）求多面体的体积.18．（12分）如图，过点且平行与x轴的直线交椭圆于A、B两点，且.（1）求椭圆的标准方程；（2）过点M且斜率为正的直线交椭圆于段C、D，直线AC、BD分别交直线于点E、F，求证：是定值.19．（12分）设数阵，其中、、、．设，其中，且．定义变换为“对于数阵的每一行，若其中有或，则将这一行中每个数都乘以；若其中没有且没有，则这一行中所有数均保持不变”（、、、）．表示“将经过变换得到，再将经过变换得到、，以此类推，最后将经过变换得到”，记数阵中四个数的和为．（1）若，写出经过变换后得到的数阵；（2）若，，求的值；（3）对任意确定的一个数阵，证明：的所有可能取值的和不超过．20．（12分）已知是等差数列，满足，，数列满足，，且是等比数列.（1）求数列和的通项公式；（2）求数列的前项和.21．（12分）设椭圆的右焦点为，过的直线与交于两点，点的坐标为．（1）当直线的倾斜角为时，求线段AB的中点的横坐标；（2）设点A关于轴的对称点为C，求证：M，B，C三点共线；（3）设过点M的直线交椭圆于两点，若椭圆上存在点P，使得（其中O为坐标原点），求实数的取值范围．22．（10分）在三棱柱中，四边形是菱形，，，，，点M、N分别是、的中点，且.（1）求证：平面平面；（2）求四棱锥的体积.

2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【答案解析】

由等比数列的性质求得，再由对数运算法则可得结论．【题目详解】∵数列是等比数列，∴，，∴．故选：B.【答案点睛】本题考查等比数列的性质，考查对数的运算法则，掌握等比数列的性质是解题关键．2、A【答案解析】双曲线﹣=1的渐近线方程为y=x，不妨设过点F1与双曲线的一条渐过线平行的直线方程为y=（x﹣c），与y=﹣x联立，可得交点M（，﹣），∵点M在以线段F1F1为直径的圆外，∴|OM|＞|OF1|，即有+＞c1，∴＞3，即b1＞3a1，∴c1﹣a1＞3a1，即c＞1a．则e=＞1．∴双曲线离心率的取值范围是（1，+∞）．故选：A．点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a，b，c的方程或不等式，再根据a，b，c的关系消掉b得到a，c的关系式，建立关于a，b，c的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.3、A【答案解析】由题意，将楔体分割为三棱柱与两个四棱锥的组合体，作出几何体的直观图如图所示：

沿上棱两端向底面作垂面，且使垂面与上棱垂直，

则将几何体分成两个四棱锥和1个直三棱柱，

则三棱柱的体积V1四棱锥的体积V2=13×1×3×2=2【答案点睛】本题考查三视图及几何体体积的计算，其中正确还原几何体，利用方格数据分割与计算是解题的关键．4、C【答案解析】

由题意，（1）中，根据全称命题与存在性命题的关系，即可判定是正确的；（2）中，根据正态分布曲线的性质，即可判定是正确的；（3）中，由回归直线方程的性质和直线的点斜式方程，即可判定是正确；（4）中，基本不等式和充要条件的判定方法，即可判定．【题目详解】由题意，（1）中，根据全称命题与存在性命题的关系，可知命题使得，则都有，是错误的；（2）中，已知，正态分布曲线的性质，可知其对称轴的方程为，所以是正确的；（3）中，回归直线的斜率的估计值是2，样本点的中心为（4,5），由回归直线方程的性质和直线的点斜式方程，可得回归直线方程为是正确；（4）中，当时，可得成立，当时，只需满足，所以“”是“”成立的充分不必要条件．【答案点睛】本题主要考查了命题的真假判定及应用，其中解答中熟记含有量词的否定、正态分布曲线的性质、回归直线方程的性质，以及基本不等式的应用等知识点的应用，逐项判定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．5、A【答案解析】

求出所求圆的半径，可得出所求圆的标准方程.【题目详解】圆心为且和轴相切的圆的半径为，因此，所求圆的方程为.故选：A.【答案点睛】本题考查圆的方程的求解，一般求出圆的圆心和半径，考查计算能力，属于基础题.6、B【答案解析】

利用复数的代数运算法则化简即可得到结论.【题目详解】由，得，所以，.故选：B.【答案点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，属于基础题.7、D【答案解析】

由大边对大角定理结合充分条件和必要条件的定义判断即可.【题目详解】中，角、所对的边分别是、，由大边对大角定理知“”“”，“”“”.因此，“”是“”的充分必要条件.故选：D.【答案点睛】本题考查充分条件、必要条件的判断，考查三角形的性质等基础知识，考查逻辑推理能力，是基础题．8、C【答案解析】

A：否命题既否条件又否结论，故A错.B：由正弦定理和边角关系可判断B错.C：可判断其逆否命题的真假，C正确.D：根据幂函数的性质判断D错.【题目详解】解：A：“若，则”的否命题是“若，则”，故A错.B：在中，，故“”是“”成立的必要充分条件，故B错.C：“若，则”“若，则”，故C正确.D：由幂函数在递减，故D错.故选：C【答案点睛】考查判断命题的真假，是基础题.9、C【答案解析】展开式的通项为，因为展开式中含有常数项，所以，即为整数，故n的最小值为1．所以.故选C点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第项，再由特定项的特点求出值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第项，由特定项得出值，最后求出其参数.10、D【答案解析】

分别解出集合然后求并集.【题目详解】解：，故选：D【答案点睛】考查集合的并集运算，基础题.11、D【答案解析】

因为，，所以，，故选D．12、A【答案解析】

根据题意可得,即知C在以AB为直径的圆上.【题目详解】,，,又，,平面,又平面，故在以为直径的圆上，又是内异于的动点，所以的轨迹是圆，但要去掉两个点A,B故选：A【答案点睛】本题主要考查了线面垂直、线线垂直的判定，圆的性质，轨迹问题，属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【答案解析】

先画出满足条件的平面区域，求出交点坐标，利用定积分即可求解.【题目详解】画出实数x，y满足表示的平面区域，如图（阴影部分）：则阴影部分的面积，故答案为：【答案点睛】本题考查了定积分求曲边梯形的面积，考查了微积分基本定理，属于基础题.14、1【答案解析】

根据向量的模长公式以及数量积公式，得出，解方程即可得出答案.【题目详解】，即解得或（舍）故答案为：【答案点睛】本题主要考查了向量的数量积公式以及模长公式的应用，属于中档题.15、【答案解析】

根据题意，依次分析不等式的变化规律，综合可得答案．【题目详解】解：根据题意，对于第一个不等式，，则有，对于第二个不等式，，则有，对于第三个不等式，，则有，依此类推：第个不等式为：，故答案为．【答案点睛】本题考查归纳推理的应用，分析不等式的变化规律．16、【答案解析】

根据图象利用，先求出的值，结合求出，然后利用周期公式进行求解即可．【题目详解】解：由，得，，，则，，，即，则函数的最小正周期，故答案为：8【答案点睛】本题主要考查三角函数周期的求解，结合图象求出函数的解析式是解决本题的关键．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）平行，证明见解析；（2）.【答案解析】

（1）由题意及图形的翻折规律可知应是的一条中位线，利用线面平行的判定定理即可求证；（2）利用条件及线面垂直的判定定理可知，，则平面，在利用锥体的体积公式即可．【题目详解】（1）证明：因翻折后、、重合，∴应是的一条中位线，∴，∵平面，平面，∴平面；（2）解：∵，，∴面且，，，又，．【答案点睛】本题主要考查线面平行的判定定理，线面垂直的判定定理及锥体的体积公式，属于基础题．18、（1）；（2）证明见解析.【答案解析】

（1）由题意求得的坐标，代入椭圆方程求得，由此求得椭圆的标准方程.（2）设出直线的方程，联立直线的方程和椭圆方程，可得关于的一元二次方程，设出的坐标，分别求出直线与直线的方程，从而求得两点的纵坐标，利用根与系数关系可化简证得为定值.【题目详解】（1）由已知可得：，代入椭圆方程得：椭圆方程为；（2）设直线CD的方程为，代入，得：设，，则有，则AC的方程为，令，得BD的方程为，令，得，证毕.【答案点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，是难题．19、（1）；（2）；（3）见解析.【答案解析】

（1）由，能求出经过变换后得到的数阵；（2）由，，求出数阵经过变化后的矩阵，进而可求得的值；（3）分和两种情况讨论，推导出变换后数阵的第一行和第二行的数字之和，由此能证明的所有可能取值的和不超过．【题目详解】（1），经过变换后得到的数阵；（2）经变换后得，故；（3）若，在的所有非空子集中，含有且不含的子集共个，经过变换后第一行均变为、；含有且不含的子集共个，经过变换后第一行均变为、；同时含有和的子集共个，经过变换后第一行仍为、；不含也不含的子集共个，经过变换后第一行仍为、．所以经过变换后所有的第一行的所有数的和为.若，则的所有非空子集中，含有的子集共个，经过变换后第一行均变为、；不含有的子集共个，经过变换后第一行仍为、．所以经过变换后所有的第一行的所有数的和为．同理，经过变换后所有的第二行的所有数的和为．所以的所有可能取值的和为，又因为、、、，所以的所有可能取值的和不超过．【答案点睛】本题考查数阵变换的求法，考查数阵中四个数的和不超过的证明，考查类比推理、数阵变换等基础知识，考查运算求解能力，综合性强，难度大．20、（1），；（2）【答案解析】试题分析：（1）利用等差数列，等比数列的通项公式先求得公差和公比，即得到结论;（2）利用分组求和法，由等差数列及等比数列的前n项和公式即可求得数列前n项和．试题解析：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，由题意得d===1．∴an=a1+（n﹣1）d=1n设等比数列{bn﹣an}的公比为q，则q1===8，∴q=2，∴bn﹣an=（b1﹣a1）qn﹣1=2n﹣1，∴bn=1n+2n﹣1（Ⅱ）由（Ⅰ）知bn=1n+2n﹣1，∵数列{1n}的前n项和为n（n+1），数列{2n﹣1}的前n项和为1×=2n﹣1，∴数列{bn}的前n项和为；考点：1.等差数列性质的综合应用；2.等