高一数学高中数学必修第二章平面向量单元总结复习测试题及含解析

高中高一数学高中数学必修第二章平面向量单元总结复习测试卷试题及含答案剖析高中高一数学高中数学必修第二章平面向量单元总结复习测试卷试题及含答案剖析14/14高中高一数学高中数学必修第二章平面向量单元总结复习测试卷试题及含答案剖析第二章测试(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每题5分，共60分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项吻合题目要求的)1．有以下四个表达式：|a＋b|＝|a|＋|b|；|a－b|＝±(|a|－|b|)；③a2>|a|2；④|a·b|＝|a|·|b|.其中正确的个数为()A．0B．2C．3D．4剖析关于①仅当a与b同向时成立．关于②左边|a－b|≥0，而右边可能≤0，∴不成立．关于③∵a2＝|a|2，∴a2>|a|2不成立．关于④当a⊥b时不成立，综上知，四个式子都是错误的．答案A2．以下命题中，正确的选项是()．a＝(－2,5)与b＝(4，－10)方向相同B．a＝(4,10)与b＝(－2，－5)方向相反C．a＝(－3,1)与b＝(－2，－5)方向相反D．a＝(2,4)与b＝(－3,1)的夹角为锐角剖析在B中，a＝(4,10)＝－2(－2，－5)＝－2b，∴a与b方向相反．答案B3．已知a，b均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a＋3b|＝()A.7B.10C.13D．4剖析∵|a＋3b|2＝(＋3)2＝2＋92＋6·＝1＋9＋6||||cos60°abababab13，∴|a＋3b|＝13.答案C4．已知向量a＝8＋1x，x，＝＋，其中x>0，若∥，2b(x1,2)ab则x的值为()A．8B．4C．2D．0剖析∵a∥b，∴(8＋12x)×2－x(x＋1)＝0，即x2＝16，又x>0，∴x＝4.答案B5．在△ABC中，M是BC的中点，AM＝1，点P在AM上且满→→→→→等于足AP＝2PM，则AP·＋PC()(PB)44A.9B.344C．－3D．－9→→→→剖析M为BC的中点，得PB＋＝2PM＝，PCAP→→→→∴AP·(PB＋PC)＝AP2.→→→2→2又∵AP＝2PM，∴|AP|＝3|AM|＝3.→→4∴AP2＝|AP|2＝9.答案A6．若向量a＝(1,1)，b＝(2,5)，c＝(3，x)，满足条件(8a－b)·c＝30，则x＝()A．6B．5C．4D．3剖析8a－b＝8(1,1)－(2,5)＝(6,3)，c＝(3，x)，∴(8a－b)·c＝(6,3)(3·，x)＝18＋3x.(8a－b)·c＝30，∴18＋3x＝30，x＝4.答案C7．向量a＝(－1,1)，且a与a＋2b方向相同，则a·b的取值范围是(

)A．(－1,1)C．(1，＋∞)

B．(－1，＋∞)D．(－∞，1)剖析

依题意可设

a＋2b＝λa(λ>0)，1则b＝2(λ－1)a，11∴a·b＝2(λ－1)a2＝2(λ－1)×2＝λ－1>－1.答案

B8．设单位向量e1，e2的夹角为60°，则向量3e1＋4e2与向量e1的夹角的余弦值为()35A.4B.3725537C.37D.37剖析∵(3e＋4)·＝32＋4·＝3×12＋4×1×1×cos60°＝1e2e1e1e1e25，|3e1＋4e2|2＝9e21＋16e22＋24e1·e2＝9×12＋16×12＋24×1×1×cos60°＝37.∴|3e1＋4e2|＝37.设3e1＋4e2与e1的夹角为θ，则55cosθ＝37×1＝37.答案D9．在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E为线段OD→→→的中点，AE的延长线与CD交于点F，若AC＝a，BD＝b，则AF＝()11A.4a＋2b

21B.3a＋3b11C.2a＋4b

12D.3a＋3b剖析

以下列图，

→→→AF＝AD＋DF，由题意知，DE：BE＝DF：BA＝1：3.→1→∴DF＝3AB.→1111121∴AF＝2a＋2b＋3(2a－2b)＝3a＋3b.答案B10．已知点B为线段AC的中点，且A点坐标为(－3,1)，B点坐13，则C点坐标为()标为2，2A．(1，－3)B.－5，544C．(4,2)D．(－2,4)→→剖析设C(x，y)，则由AB＝BC，得13132－－3，2－1＝x－2，y－2，17∴x－2＝2，x＝4，∴．?31y＝2，C(4,2)y－2＝2，答案C．已知＝≠，且关于x的方程2＋|a|x＋a·b＝0有实根，11|a|2|b|0x则a与b夹角的取值范围是()ππA.0，6B.3，πC.π2πD.π，36，π3剖析设a与b的夹角为θ，∵Δ＝|a|2－4a·b≥0，|a|2a·b|a|21∴a·b≤4，∴cosθ＝|a||b|≤4|a||b|＝2.π∵θ∈[0，π]，∴θ∈3，π.答案B→→→→12．在△ABC所在平面内有一点P，若是PA＋PB＋PC＝AB，则△PAB与△ABC的面积之比是()11A.3B.223C.3D.4剖析→→→→→→→→→由于PA＋＋＝＝－，所以＋＝，PBPCABPBPA2PAPC0PC→→＝－2PA＝2AP，所以点P是线段AC的三均分点(以下列图)．所以△1PAB与△ABC的面积之比是3.答案A二、填空题(本大题共4小题，每题5分，共20分．将答案填在题中横线上)13．已知a＝(2cosθ，2sinθ)，b＝(3，3)，且a与b共线，θ∈[0,2π)，则θ＝________.剖析由a∥b，得

2

3cosθ＝6sinθ，∵cosθ≠0，3

π

7π∴tanθ＝3，又θ∈[0,2π)，∴θ＝6或6.7答案6或6π14．假设|a|＝25，b＝(－1,3)，若a⊥b，则a＝________.剖析设a＝(x，y)，则有x2＋y2＝20.①a⊥b，∴a·b＝0，∴－x＋3y＝0.②由①②解得x＝32，y＝2，或x＝－32，y＝－2，∴a＝(32，2)，或a＝(－32，－2)．答案(32，2)或(－32，－2)→→15．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若AB·AC→→BA·BC＝2，那么c＝__________.剖析由题知→→→→AB·AC＋BA·BC＝2，→→→→→→→→→AB·AC－AB·BC＝AB·(AC＋CB)＝AB2＝2?c＝|AB|＝2.答案216．关于平面向量a，b，c，有以下三个命题：①若a·b＝a·c，则b＝c；②若a＝(1，k)，b＝(－2,6)，a∥b，则k＝－3；③非零向量a和b满足|a|＝|b|＝|a－b|，则a与a＋b的夹角60°.其中真命题的序号为________．(写出所有真命题的序号)剖析当a＝0时，①不成立；关于②，若a∥b，则－2k＝6，∴k＝－3，②成立；关于③，由于|a|＝|b|＝|a－b|，则以|a|，|b|为邻边的平行四边→形为菱形，如图．∠BAD＝60°，AC＝a＋b，由菱形的性质可知，a与a＋b的夹角为∠BAC＝30°.答案②三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)已知|a|＝3，|b|＝2，a与b的夹角为60°，c＝3a＋5b，d＝ma－3b.(1)当m为何值时，c与d垂直？(2)当m为何值时，c与d共线？(1)令c·d＝0，则(3a＋5b)·(ma－3b)＝0，3m|a|2－15|b|2＋(5m－9)a·b＝0，29解得m＝14.29故当m＝14时，c⊥d.(2)令c＝λd，则3a＋5b＝λ(ma－3b)(3－λm)a＋(5＋3λ)b＝0，∵a，b不共线，53－λm＝0，λ＝－3，∴解得5＋3λ＝0，9m＝－5.9故当m＝－5时，c与d共线．18．(12分)以下列图，在△ABC中，∠C为直角，CA＝CB，D是CB的中点，E是AB上的点，且AE＝2EB，求证：AD⊥CE.证明

设此等腰直角三角形的直角边长为

a，则→→→→→→AD·CE＝(AC＋CD)·(CA＋AE)→→→→→→→→AC·CA＋CD·CA＋AC·AE＋CD·AE＝－a2222a222＋0＋a·3a·＋·a·2232＝－a2＋23a2＋13a2＝0，→→∴AD⊥CE，∴AD⊥CE.19．(12分)已知在△ABC中，A(2，－1)，B(3,2)，C(－3，－1)，→AD为BC边上的高，求|AD|与点D的坐标．→解设D点坐标为(x，y)，则AD＝(x－2，y＋1)，→→BC＝(－6，－3)，BD＝(x－3，y－2)，→→∵D在直线BC上，即BD与BC共线，→→∴存在实数λ，使BD＝λBC，(x－3，y－2)＝λ(－6，－3)．x－3＝－6λ，∴∴x－3＝2(y－2)，y－2＝－3λ，x－2y＋1＝0.①→又∵AD⊥BC，∴AD·BC＝0，(x－2，y＋1)·(－6，－3)＝0.∴－6(x－2)－3(y＋1)＝0.②x＝1，由①②可得y＝1.→∴|AD|＝1－22＋22＝5，→即|AD|＝5，D(1,1)．．分在直角坐标系中，已知→→→＝(4，－4)，OB＝(5,1)，OB20(12)OA→→→OA方向上的射影数量为|OM|，求MB的坐标．设点M的坐标为M(x，y)．→→

→∵OB在OA方向上的射影数量为

|OM|

，→→→→∴OM⊥MB，∴OM·MB＝0.→→OM＝(x，y)，MB＝(5－x,1－y)，∴x(5－x)＋y(1－y)＝0.→→又点O，M，A三点共线，∴OM∥OA.xy∴＝.4－4x5－x＋y1－y＝0，x＝2，∴xy解得4＝，y＝－2.－4→→→∴MB＝OB－OM＝(5－2,1＋2)＝(3,3)．21．(12分)如图，在平面斜坐标系xOy中．∠xOy＝60°，平面上任一点P→关于斜坐标系的坐标是这样定义的；若OP＝xe1＋ye2(其中e1，e2分别为与x轴，y轴同方向的单位向量)，则点P的斜坐标为(x，y)．(1)若点P的斜坐标为(2，－2)，求点P到O的距离|OP|；(2)求以O为圆心，以1为半径的圆在斜坐标系xOy中的方程．→→(1)由于点P的斜坐标为(2，－2)，故OP＝2e1－2e2，|OP|2(2e1－2e2)2＝8－8e1·e2＝8－8cos60°＝4，→∴|OP|＝2，即|OP|＝2.→(2)设圆上动点M的坐标为(x，y)，则OM＝xe1＋ye2，→|OM|＝1.故(xe1＋ye2)2＝1.∴x2＋y2＋2xye1·e2＝1.即x2＋y2＋xy＝1.故所求方程为x2＋y2＋xy－1＝0.．分如图，在四边形中，→→λ∈，→22(12ABCD＝λADR)＝)BC(|AB|→，→→，且△是以为斜边的直角三角形．＝－CD＝3BCDBC|AD|2|CB|2(1)求λ的值；→→(2)求CB·BA的值．→→(1)由于BC＝λAD，所以BC∥AD，→→|BC|＝λ|AD|.→→由于|AB