独立性二维函数

关于独立性二维函数1第1页，共19页，2022年，5月20日，8点9分，星期五2

设(X,Y)是二维连续型随机变量，X与Y独立的充分必要条件是f(x,y)=fX(x)fY(y)

设(X,Y)是二维离散型随机变量，其分布律为Pi,j=P{X=xi,Y=yj},i,j=1,2,...，则X与Y独立的充分必要条件是对任意i,j，Pij=Pi.P.j

由上述定理可知，要判断两个随机变量X与Y的独立性，只需求出它们各自的边缘分布，再看是否对(X,Y)的每一对可能取值点,边缘分布的乘积都等于联合分布即可第2页，共19页，2022年，5月20日，8点9分，星期五3

设n维随机变量(X1,X2,...,Xn)的分布函数为F(x1,x2,...,xn),(X1,X2,...,Xn)的k（1k<n)维边缘分布函数就随之确定，如关于(X1,X2,…

Xk)的边缘分布函数是FX1,…,Xk（x1,...,xk)=F(x1,…,xk,,,...,)若Xk的边缘分布函数为FXk(xk),k=1,2,…,n,五．n维随机变量的边缘分布与独立性则称X1,X2,...Xn

相互独立，或称(X1,X2,...Xn)是独立的第3页，共19页，2022年，5月20日，8点9分，星期五4若Xk的边缘密度函数为fXk(xk),k=1,2,…,n,

对任意的(x1,x2,…,xn)Rn，

f(x1,x2,…,xn)＝fX1(x1)fX2(x2)…fXn(xn)则称X1，X2，…，Xn相互独立。对于连续型随机变量,设n维随机变量(X1,X2,...,Xn)的密度函数为f(x1,x2,...,xn),(X1,X2,...,Xn)的k（1k<n)维边缘密度函数就随之确定，如关于(X1,X2,…

Xk)的边缘密度函数是第4页，共19页，2022年，5月20日，8点9分，星期五5

设n维随机变量(X1,X2,...Xn)的分布函数为FX(x1,x2,...xn)；m维随机变量(Y1,Y2,…Ym)的分布函数为FY(y1,y2,…ym),

X1,X2,...Xn,Y1,Y2,…Ym组成的n+m维随机变量（X1,X2,...Xn,Y1,Y2,…Ym)的分布函数为F(x1,x2,...xn,y1,y2,…ym).如果F(x1,x2,...xn,y1,y2,…ym)=FX(x1,x2,...xn)FY(y1,y2,…ym)则称n维随机变量(X1,X2,...Xn)与m维随机变量(Y1,Y2,…Ym)独立。第5页，共19页，2022年，5月20日，8点9分，星期五6二维随机变量边缘分布边缘分布律边缘分布函数边缘概率密度独立性第6页，共19页，2022年，5月20日，8点9分，星期五7EX.设某昆虫的产卵数X服从参数为50的泊松分布，又设一个虫卵能孵化成虫的概率为0.8,且各卵的孵化是相互独立的，求此昆虫产卵数X与下一代只数Y的联合分布律.解:已知由题意,在X=k的条件下,由乘法公式,X与Y的联合分布律为第7页，共19页，2022年，5月20日，8点9分，星期五83.6两个随机变量函数的分布

一、二维离散型随机变量函数的分布律例1设二维随机变量(X,Y)的分布律为XY12123求Z=X+Y的分布律.解:Z=X+Y的全部可能取值为(2,3,4,5),其分布律为Z2345第8页，共19页，2022年，5月20日，8点9分，星期五9一般地,设二维离散型随机变量（X，Y），(X,Y)～P(X＝xi,Y＝yj)＝pij，i,j＝1,2,…则Z＝g(X,Y)～P{Z＝zk}＝＝pk,k＝1,2,…(X,Y)(x1,y1)(x1,y2)…(xi,yj)…pijp11p12pijZ=g(X,Y)g(x1,y1)g(x1,y2)g(xi,yj)或第9页，共19页，2022年，5月20日，8点9分，星期五10二、多个随机变量函数的密度函数1、一般的方法：分布函数法若(X1,X2,…,Xn)~f(x1,x2,…,xn),(x1,x2,…,xn)Rn,Y=g(X1,X2,…,Xn),则可先求Y的分布函数:然后再求出Y的密度函数:第10页，共19页，2022年，5月20日，8点9分，星期五112、几个常用函数的密度函数

(1)和的分布已知(X,Y)～f(x,y),(x,y)R2,求Z＝X＋Y的密度。

zx+y=z

x+yz

第11页，共19页，2022年，5月20日，8点9分，星期五12例2.

设随机变量X与Y独立且均服从标准正态分布，求证：Z=X+Y服从N（0，2）分布。

一般地，设随机变量X1,X2，...,Xn独立且Xi服从正态分布N(i,i2),i=1,...,n,则第12页，共19页，2022年，5月20日，8点9分，星期五13

(2)极大(小)值的分布(p60)

设X1,X2,…,Xn相互独立，其分布函数分别为F1(x1),F2(x2),…,Fn(xn)，记M＝max{X1,X2,…,Xn},N＝min{X1,X2,…,Xn}则,M和N的分布函数分别为第13页，共19页，2022年，5月20日，8点9分，星期五14例3.设系统L由两个相互独立的子系统联接而成，联接的方式分别为(i)串联，(ii)并联，如图所示设L1,L2的寿命分别为X与Y，已知它们的概率密度分别为其中>0，>0,试分别就以上两种联结方式写出L的寿命Z的概率密度．第14页，共19页，2022年，5月20日，8点9分，星期五15第二章小结.第15页，共19页，2022年，5月20日，8点9分，星期五16多维随机变量分布函数函数的分布离散型——分布律归一性概率计算归一性概率计算连续型——概率密度归一性概率计算·分布函数与概率密度的互变边缘分布律边缘分布函数独立性边缘概率密度均匀分布正态分布第16页，共19页，2022年，5月20日，8点9分，星期五171.同时掷两颗骰子，以X表示其中小的点数，以Y表示其中大的点数.求二维随机变量(X,Y)的分布律.并求P{Y>4}2.随机变量X与Y的联合概率密度为

(1)求(2)判断X与Y是否独立.第17页，共19页，2022年，5月20日，8点9分，星期五183．随机变量X与Y独立且均服从正态分布，求4.有一矩形目标，长边长为20，短边长为10.火炮向该矩形目标射击，射向垂直于