3.2二维离散型随机变量的分布律和性质市公开课金奖市赛课一等奖课件

第1页§2二维离散型随机变量分布律及性质一、二维离散型随机变量联合概率分布定义

若二维随机变量可能取值全体为有限或可数多个数组，则称为二维离散型随机变量．第2页象一维离散型分布那样，能够用一个概率分布来表示二维离散型分布．设二维离散型随机变量可能取值为,记则联合概率分布律（简称分布律）也可用以下表3-1表示：其中：第3页对二维离散型随机变量，由图3-1知离散型随机变量和联合分布函数为：

(2.1)第4页例1

一口袋中有三个球，它们依次标有数字1、2、2.从这袋中任取一球后，不放回袋中，再从袋中任取一球.设每次取球时，袋中各个球被取到可能性相同．以

、分别记第一次、第二次取得球上标有数字，求

概率分布．解：第5页二、二维离散型随机变量边缘概率分布二维随机变量作为一个整体，含有分布函数,而和都是随机变量，也分别含有分布函数，记之为，．依次称为二维随机变量关于和边缘分布函数．边缘分布函数能够由分布函数所确定，实际上 即（2.2） 同理 （2.3）

对离散型随机变量，由（2.1）和（2.2）

可得：第6页设是二维离散型随机变量，它概率分布如表3-1所表示，那么同理可得关于边缘概率分布也是离散，它概率分布如表3-4.其中：以后把记作。所以关于边缘概率分布也是离散，它概率分布如表3-3.第7页例2设二维离散型随机变量概率分布如表3-5,求关于及关于边缘概率分布.解：第8页解：可能取值为数组（1，2）、（2，1）、(2，2).下面先算出取每组值概率．第一次取得1概率为，第一次取得1后，第二次取得2概率为1.所以，按乘法定理，得第一次取得2概率为，第一次取得2后，第二次取得1、2概率都为．

同理可得

于是，所要求概率密度

如表3-2.第9页解：求得边缘概率分布如表3-6所表示,我们常将边缘分布律写在联合分布律表格边缘上，如上表所表示，这便是“边缘分布律”这个词由来．第10页三、二维离散型随机变量条件概率分布前面第一章讨论过事件条件概率．在事件发生条件下事件发生条件概率为

这里

对二维随机变量，我们考虑在其中一个变量取固定值条件下，另一个变量概率分布．这么得到或概率分布叫条件分布．对二维离散型随机变量,设,考虑在随机变量

取得可能值条件下，随机变量取它任一可能值条件概率第11页由上述随机事件条件概率公式可得：(2.4)第12页易知，上述条件概率满足概率分布性质同理，设，则可得到在时随机变量条件概率分布为：

(1)(2)且(1)(2)第13页例3设二维离散形随机变量概率分布如表3-7,求时关于条件概率分布及时关于条件概率分布。解：第14页解由 得条件概率分布为：由 得 时关于条件概率分布为：求得边缘概率分布为:第15页四、

独立性下面借助于随机事件相互独立性，引入随机变量相互独立性概念，已知任二事件相互独立充分必要条件是:,从而有以下定义定义

设及，分别是二维随机变量联合分布函数和边缘分布函数．若对全部有即=（2.6）则称随机变量是相互独立．第16页当为离散型随机变量时，是相互独立条件（2.6）式等价于：对于全部可能取值有反之，若存在使得，则称不独立．即(2.7)第17页例4相互独立，填以下表3-8空白处值解：第18页解故又相互独立，所以所以从而从而 所以同理第19页例5设表示把硬币掷三次时头两次掷出正面次数，表示这三次投掷中出现正面总次数那么，二维随机变量概率分布如表3-9所表示.问随机变量是不是相互独立？解：第20页解

仔细观察概率分布表及由它算出边缘概率分布，发觉

于是有所以不是相互独立随机变量．其实，我们从实际背景轻易得出，头两次掷出正面次数必定要影响三次掷出正面次数，故不可能相互独立。第21页例6证实离散型随机变量独立充分必要条件是：对实数轴上任意两个点集

有 （2.8）

成立．解：第22页证实若对任意两个点集有（2.8）成立，则当依次为单点集时，仍有：成立，所以独立．反之，若独立，则