毕业论文-矩阵初等变换在高等代数中的应用

矩阵初等变换在高等代数中的应用摘要:本文介绍了矩阵初等变换在高等代数的一些应用,其中基础应用有求矩阵的秩,求矩阵的逆矩阵,求向量组的极大无关组,证明向量组等价,判断向量组的线性相关性,解矩阵方程和化二次型为标准型等.另外,本文的着重点是介绍矩阵初等变换在分块矩阵,线性空间,多项式问题中的应用,并用具体例子说明矩阵初等变换在以上应用中是如何应用的.关键词:初等变换分块矩阵线性空间多项式

ApplicationofMatrixElementaryTransformationintheAdvancedAlgebraAbstract:Thispaperintroducedsomeapplicationsofmatrixelementarytransformationinadvancedalgebra,suchasfoundtherankofmatrix,calculatedmatrixinverse,obtainedthemaximumirrelevantgroupofvectorgroup,proofedequivalenceofvectorgroup,determinedthelinearcorrelationofvectorgroup,solvedthematrixequationandtransformedquadraticformintocanonicalform.inaddition,thispapermainlyintroducedtheapplicationsofmatrixelementarytransformationintheproblemsofblockmatrix,linearspaceandpolynomial.andusedconcreteexamplestoillustratematrixelementarytransformationwashowtoapplyintheaboveapplication.Keywords:Elementarytransformation;blockmatrix;linearspace;polynomial

目录引言 引言矩阵初等变换在矩阵的应用中起着重要的作用.矩阵初等变换不只是在矩阵问题上得到应用,而且它也可以解决线性空间的一些问题和多项式的一些问题,可以避免计算过程繁琐的问题.由于用矩阵初等变换解答问题,可以使解答问题过程简单化,所以它也是研究高等代数中某些问题的一个必不可少的工具.对于矩阵初等变换的基本理论问题的研究已经较为成熟,很多数学学者在矩阵初等变换的应用这方面知识也进行了深入的研究,并得出了很多有价值的结论:文献[1]-[4]对于矩阵初等变换已有十分准确的定义,而且完整的概括出矩阵初等变换的所有性质;陈现平求可逆矩阵的逆矩阵的思路是利用矩阵初等变换法,这个方法和伴随矩阵法形成了一个对比,给出具体求逆矩阵的例子后,用这两个方法进行解答,可以发现用矩阵初等变换求逆更简单;朱小红给出了几种向量组线性相关性命题的证法,其中也包括矩阵初等变换法;宋利梅化二次型为标准形的解答方法是用矩阵初等变换;求多项式的最大公因式、商和余式,不是只能用辗转相除法,也可以用矩阵初等变换法,当多项式的次数较高时,可以明显的看出用矩阵初等变换法比用辗转相除法简单,文献[18]和[19]已经给出了用矩阵初等变换求多项式的最大公因式、商和余式具体的理论知识和应用.本文所参考的文献和这些学者的研究为本文所介绍的内容奠定了重要的基础,对以后拓展这方面的知识有着重要的意义,本文在已有理论的基础上对矩阵初等变换在高等代数中的若干应用进行了一些讨论和归纳,希望能够给以后有关这方面的学习带来帮助.

第1章矩阵初等变换的基本概念及性质以下所讨论的矩阵和向量都在数域上,表示单位矩阵.1.1矩阵初等变换的基本概念定义1.1[1]矩阵的初等行(列)变换为下列三种变换:交换矩阵的两行(列)的位置;矩阵的某一行(列)的所有元素乘以一个非零数;(3)用一个非零数乘以矩阵的某一行(列)的所有元素再把这行(列)已乘后所得的元素加到矩阵的另外一行(列)对应的元素上.定义1.2[1]初等矩阵是由经过一次初等变换得到的矩阵.定义1.3[1]若矩阵经过一系列初等变换化为矩阵,则和是等价的.下面的(1),(2)和(3)中的初等矩阵分别对应着定义1.1中的三种初等变换:让中的第两行(列)进行交换,得到:用非零数乘以的第行(列),得到:把的第行的倍加到第行,或把的第列的倍加到第列,得到:定义1.4[2]矩阵中非零子式的最高阶数称为的秩,记为.1.2矩阵初等变换的性质性质1.1[2]矩阵的每一种初等变换都是可逆的,即若矩阵经过一次初等行(列)变换变为矩阵,则矩阵也可以经过一次同种初等行(列)变换变为矩阵.性质1.2[2]初等矩阵都是可逆的:性质1.3[2][3]设是一个矩阵,对进行一次初等行(列)变换,就是在的左(右)边乘以相应的阶初等矩阵.,;,,性质1.4[2][3]设是任意的三个同型矩阵,矩阵的等价关系满足:自反性:;对称性:若,则;传递性:若,,则.

第2章矩阵初等变换的基础应用以下所讨论的矩阵和向量在数域上.2.1求矩阵的秩定理2.1[3]矩阵的秩不会随着矩阵初等变换而改变.定理2.2[3]行秩列秩.所有的矩阵,都可以经过可数次初等行变换化为阶梯形矩阵.另外,由于矩阵的秩不会随着矩阵初等变换而改变,所以为了求出一个矩阵的秩,只需要用初等行变换把它化为阶梯形矩阵,这个阶梯形矩阵中非零行的总个数就是原来矩阵的秩.例2.1求矩阵的秩.解具体过程为:由最后一个矩阵知的秩为3.2.2求矩阵的逆矩阵定义2.1[4][5]设是阶矩阵,若存在阶矩阵,使得(2.1)则矩阵是可逆的,的逆矩阵就是,表示为:.如果不存在满足(2.1)的矩阵,则称矩阵是不可逆的.如果阶矩阵可逆,则它的逆矩阵是唯一的.定义2.2[5]设为阶矩阵,为中元素的代数余子式,则称矩阵为的伴随矩阵,记为.定理2.3[5]阶矩阵可逆的充要条件为,如果可逆,则.(2.2)伴随矩阵法就是用(2.2)式求逆矩阵的方法.因为,故有直到化为,这时就化为了.例2.2已知,判断矩阵是否可逆,如果可逆,求.解方法1:由于,所以矩阵可逆.用伴随矩阵法,矩阵各元素的代数余子式为故方法2:用初等变换法,对进行行初等变换,过程如下:=故用方法1求的逆,由于为阶矩阵,先求出它的个代数余子式,然后写出再用公式算出的逆.显而易见,用方法1求矩阵的逆时,当矩阵的阶数越高,要求的代数余子式就越多,这个求解逆矩阵的过程就越繁琐,而用方法2时,只需要进行行变换即可.故用矩阵初等变换求逆矩阵更好.2.3判定向量组的线性相关性和求它的极大线性无关组定理2.4[6]设则向量组线性相关的充要条件是向量组线性无关的充要条件是.从上述的定理可以知道:要求出一个向量组的一个极大线性无关组,首先构成矩阵,再对施行初等行变换化为阶梯形矩阵.若,则此向量组的极大线性无关组就是此向量组本身;若,则的首非零元所在列对应的原来向量即构成原向量组的一个极大线性无关组.例2.3判断的线性相关性,并求出它的一个极大线性无关组,其中:解构造矩阵具体过程为:由最后一个矩阵可以看出,故此向量组线性相关,是的一个极大线性无关组.2.4证明向量组等价定义2.3[7]若向量组中的向量均可以由向量组中的向量线性表出,则称可由线性表出.若也可由线性表出,则称与等价.上述定理我们用另外一种说法可以叙述为:设如果可由线性表出,且则此两向量组等价.因此,判断两向量组是否等价,只需要对以与为列构成的矩阵进行初等变换,直到最终将化为阶梯形矩阵为止,从所得阶梯形矩阵分别得到.若,则此两向量组等价,否则两向量组不等价.例2.4与是否等价,其中:解以为列构成矩阵,过程如下:从阶梯形矩阵可以看出所以,此两向量组等价.2.5解矩阵方程用矩阵初等变换求解方程(可逆)的步骤为:因为,故,直到当化为时,就化为矩阵,即为所求的解.例2.5求解矩阵方程的解,其中,.解方法1:先求出,构造矩阵故则方法2:用初等变换法从最后一个矩阵可以看出此方程组的解为比较上述两种方法,可以看出用方法1求解矩阵方程,需要分两步进行,而用方法2求解时,只需要一步即可,所以用方法2求解矩阵方程较好.2.6化二次型为标准形对任意的二次型一定存在可逆非退化线性替换将其化为标准形,即为对称矩阵找到一个可逆矩阵,使得为对角矩阵.另外,由于可逆,故存在初等矩阵使得,从而有是一个对角矩阵[8][9].由上面可知化二次型为标准形的初等变换法的过程为:首先,写出二次型的矩阵,构造矩阵,然后对矩阵每进行一次初等行变换后,对进行一次同样的初等列变换,当化为时,单位矩阵就化为,最后可得到非退化线性变换,在这个变换下二次型化为标准形.例2.6化二次型为标准形.解由已知得,此二次型的矩阵为,具体过程为:从而非退化线性替换为,则原二次型化为

第3章矩阵初等变换的其它应用以下所讨论的矩阵和向量在数域上.表示维向量空间,为正整数.3.1分块矩阵初等变换在分块矩阵问题中的应用本节介绍了分块矩阵的初等变换的概念及其在求分块矩阵的逆,在分块矩阵的特征多项式问题方面的应用.为更明显的表达出含义,我们用单位矩阵来表示每种变换,把阶单位矩阵作分块,即.分块初等矩阵是对作对应的初等变换所得到的矩阵.定义3.1[10][11]对施行下列三种初等变换:分块对换矩阵:对进行两行(列)对换,用矩阵表示为;分块倍法矩阵:的某一行(列)左乘(右乘)一个非奇异矩阵,用矩阵表示为;分块消法矩阵:的某一行(列)乘以非零阵加到的另一行(列)上,用矩阵表示为和初等矩阵与初等变换的关系一样,用分块初等矩阵左(右)乘任意一个可以使得乘法能够进行的分块矩阵,这即为对这个分块矩阵进行相应的分块初等变换.分块矩阵左(右)乘一个定义3.1(1)中所得的矩阵等同于将该矩阵进行两行(列)互换,用矩阵表示为:左(右)乘等同于进行对应的行(列)变换,用矩阵表示为:用分块消法矩阵右乘任意一个矩阵,结果为:显然,在(3)中,适当的选择,可使.例如,当可逆时,取,则,于是有:对于类似于这样的矩阵,用以上的初等变换法可以轻易的求出它的行列式,逆矩阵.下面用例题将此方法来更清楚的表达出来.例3.1已知,当可逆时,求.解由于及可得例3.2分别是和矩阵,证明证因为所以又因为所以由以上两式得性质3.1[11][12](1)(2)(3)下面给出证明:(1)(2)(3)定理3.1[13]设阶方阵是非奇异阵的充分必要条件是:矩阵可以经过初等变换化为矩阵,且变换的次数是可数的,表示.其中,,证因为非奇异,所以为分块初等矩阵,则与有相同的分块,于是(3.1)同时(3.2)因为分块初等矩阵的逆还是分块初等矩阵,比较(3.1)和(3.2)可知初等行变换把化为时,对也进行这种变换,就可以得到.于是此定理得证.例3.3设阶方阵,且均是非奇异阵,其中,求.解所以推论3.1(1)(2)例3.4设阶方阵且均是非奇异阵,其中,求解所以推论3.2(1)(2)例3.5设分别为阵与阵,且是阶非奇异矩阵,证明是非奇异矩阵,并求出它的逆.证考虑阶矩阵,由定理3.1得:由于是阶非奇异矩阵,所以故由此可知是非奇异矩阵,且.推论3.3[14]当为阶矩阵且非奇异,则也非奇异,且例3.6设分别为阵与阵,则证构造矩阵和则有:又所以由以上的计算过程可以得出:3.2矩阵初等变换在线性空间问题中的应用3.2.1求向量空间中向量在一组基下的坐标定义3.2[15][16]若的一组基为.设是中的任意一个向量,于是可由基唯一地线性表示:我们称系数为在基下的坐标,记为例3.7设的一组基底为,,求向量在此基下的坐标.解设,具体过程为:所以向量在基下的坐标就是3.2.2求从一组基到另一组基的过渡矩阵定义3.3[17]设和为的两组基,以为列构成矩阵以为列构成矩阵且有则称为从基到基的过渡矩阵,是基到基的过渡矩阵.当时上面求过渡矩阵的过程就是解矩阵方程的过程.例3.8设是的两组基,其中求由基到基的过渡矩阵.解设此过渡矩阵为,设,具体过程为:所以,从基到基的过渡矩阵为3.2.3求一组向量生成的子空间的基与维数设由向量组生成的子空间为,则有:的基就是的极大线性无关组.例3.9在中,求由向量生成的子空间的基与维数,其中解设具体过程为:由矩阵可得是向量组的一个极大线性无关组,故的一组基为且3.2.4求两个子空间的和与交的维数在中,设要计算空间与空间的维数,先设利用初等行变换求矩阵列向量组的极大线性无关组,从而得到空间的一个基,基的向量个数即为空间的维数.再由公式可得空间的维数.例3.10在中取求空间的维数与空间的维数.解显然,设由矩阵可得,.则由上述公式得:的维数为,的维数为.3.3矩阵初等变换在多项式问题中的应用3.3.1求多项式的最大公因式求解高等代数数域上两个或多个多项式的最大公因式时,辗转相除法是普遍被使用的方法.然而当多项式的次数偏高时,用这个方法求最大公因式,其计算过程不是很简单.为了更简便的求出多项式的最大公因式,我们给出下面的思路[18]:设数域上的两个多项式为:其中当时,令当时,令性质3.2[18](1)(2)若则(3)上面给出的性质及二行矩阵可以反映出下面的内容[18]:(1)将此矩阵进行两行互换后,不改变这两个多项式的最大公因式.(2)当时,有,故.于是当其中的前面的个数为,因为与的地位是对称的,所以可以左右平行移动该矩阵中的任意一行,平移后该矩阵对应的空位用填充,这样得出的矩阵还是对应着这两个多项式的最大公因式.另外,当是非零常数时,有:(3.3)从(3.3)式可知,可以对二行矩阵进行初等行变换求出.过程为:(1)根据多项式的系数作出对应的二行矩阵;(2)利用初等行变换把中的端首(左端或右端)的元素化为0.(下面规定:和分别表示第行乘以数和第行的倍加到第行的初等变换).(3)为了去掉中端首(左端或右端)为0元素,向左(或向右)平移这一行即可,这样说明的次数在减小.(“”是表示去掉端首为0的操作).重复进行(1),(2)和(3),当中的两行元素对应成比例时结束.为了更加清楚的表示出这个求解过程,下面给出两个例题:例3.11设,求解方法1:用辗转相除法 用等式写出来就是:因此方法2:用初等变换法故通过观察以上两种方法的解题步骤,可以知道方法2更适合求多项式的最大公因式.例3.12求多项式的最大公因式,其中,,解作三行矩阵并进行初等变换:所以3.3.2矩阵的初等变换与商和余式设构造阶矩阵使其满足[19]:矩阵的前列由向量组成,是第个元素,其中为的次项的系数.(1)矩阵的第列到第列构成分块矩阵(2)矩阵的最后一列为其中为的次项的系数,即对进行初等行变换,化成的形式.设矩阵的最后一列为:则用去除得商和余式:,例3.13求用去除所得的商及余式其中:解根据以上所给的解题思路,过程为:从而有经过以上的讨论我们可以看出,利用矩阵初等变换方法求解商和余式时计算比较简单,而应用行列式的辗转相除法进行计算的时候相对来说比较复杂.

结论本文第一章是介绍矩阵初等变换的基本概念和一些重要的性质,然后用了两章的内容总结了它在高等代数问题中的应用.第二章讲述了它在求逆矩阵,求矩阵的秩,求向量组的极大无关组,证明向量组等价,判断向量组的线性相关性,解矩阵方程和化二次型为标准形问题中的应用,具体内容是先写出矩阵初等变换是如何解决这些问题的理论知识,然后再给出例题,这样可以让理论知识在实际例题的解题过程中更加明了的表现出来,更进一步的体会到理论知识的内涵.第三章是本文的主要内容,不仅讲述了矩阵初等变换在分块矩阵问题上的应用,而且讲述了它在非矩阵问题线性空间问题和多项式问题上的应用.本文着重讲述了矩阵初等变换在这些知识点上是如何使用的,可以从例题中简单明了的看出来.另外,通过矩阵初等变换方法在求矩阵的逆,解矩阵方程,求解多项式的最大公因式与用其它方法求矩阵的逆,解矩阵方程,求解多项式的最大公因式进行比较,可以明显的看出用矩阵初等变换方法解这些问题更加简便.总之,矩阵初等变换法在这些问题中的作用是将复杂的问题简单化,使得计算过程不繁杂冗长.

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