钢结构稳定理论5课件

钢结构稳定理论-5钢结构稳定理论-5钢结构稳定理论-5第五章框（刚）架体系的稳定框架只承受作用于节点的竖向荷载，且按比例增加；框架中所有杆件是同时失稳的，且只在框架平面内失稳；框架中所有杆件均为等截面直杆；框架中所有杆件均在弹性范围内工作；忽略杆件自身轴向变形的影响。§5-1刚架稳定分析的位移法1）基本假设1．13“技术支持服务”指本合同附件三和四中规定的在合同设备和合同材料和合同产品的制造、检验、调试、操作和其它有关职能方面由转让方向合同工厂人员提供的技术咨询和技术指导。钢结构稳定理论-5钢结构稳定理论-5钢结构稳定理论-5第五章第五章框（刚）架体系的稳定框架只承受作用于节点的竖向荷载，且按比例增加；框架中所有杆件是同时失稳的，且只在框架平面内失稳；框架中所有杆件均为等截面直杆；框架中所有杆件均在弹性范围内工作；忽略杆件自身轴向变形的影响。§5-1刚架稳定分析的位移法1）基本假设第五章框（刚）架体系的稳定框架只承受作用于节点的竖向荷载假定框架达到稳定临界状态时，要发生微小的失稳变形。位移法的基本思路：对体系施加无穷刚臂和侧向支座，使结构变成没有富余自由度的完全超静定结构。结合结构力学中的位移法，如图所示体系的未知数个数(被人为约束的自由度个数)为：2）位移法的正则方程组4P5P6P81P2P3P7转角：1～6，6个侧移：7～8，2个共8个假定框架达到稳定临界状态时，要发生微小的失稳变形。2）位移法对临界状态的框架变形状态组成正则方程组。（由于所有节点上的外荷载在基本体系的附加约束中不引起任何反力，所以方程组是齐次的，如下：）自由度1的平衡方程自由度2的平衡方程自由度n的平衡方程正则方程组，常数项均为0对临界状态的框架变形状态组成正则方程组。（由于所有节点上的外3）框架的屈曲方程上式为0解时，Z1,Z2,….Zn=0，体系没有任何位移，框架没有失稳。因此框架失稳的条件为位移未知数的系数行列式为0，即框架的屈曲方程为：通过上述行列式为0，可以求解得到临界荷载P。3）框架的屈曲方程上式为0解时，Z1,Z2,….Zn=0，体说明：关键是确定这些系数的表达式rij；rij的物理意义是：当j自由度上有单位位移作用时，在被约束的自由度i上产生的反力；此时由于轴向力的存在（对杆轴而言），rij不再为常数，而是杆件轴向力的函数。『这与结构力学中的内容不同，结构力学位移法中的此系数为常数』说明：关键是确定这些系数的表达式rij；设框架中某压杆AB，在失稳前为状态（a），刚架失稳时为状态（b）。§5-2受压杆件的转角位移方程1）转角位移方程的推导注：剪力以y轴正向为正；弯矩以顺时针为正。设框架中某压杆AB，在失稳前为状态（a），刚架失稳时为状态（取任一长度x的隔离体，列挠曲线微分方程为：其中：同时令：则有：通解为：取任一长度x的隔离体，列挠曲线微分方程为：通解为：由边界条件：变形曲线方程为：由边界条件：变形曲线方程为：利用边界条件：得转角位移方程为：上式表明杆件端弯矩与转角位移和平动位移之间的关系。由此关系可以确定杆件产生单位位移时所需的端弯矩，即刚度系数rij。利用边界条件：工况1：2）受压杆件在各种单位位移下的反力计算NNlθa=1abMa工况1：2）受压杆件在各种单位位移下的反力计算NNlθa=1所以可得在单位转角θa=1作用下，引起的反力为：所以可得在单位转角θa=1作用下，引起的反力为：工况2：θa=1abNNlδ工况2：θa=1abNNlδ采用类似方法，可得各种边界条件下的反力，如下：由单位转角引起的反力θ=1abNNlEIQaQbMa采用类似方法，可得各种边界条件下的反力，如下：由单位转角引起θ=1abNNlEIMaθ=1abNNlEIMaθ=1abNNlEIQaQbMaMbθ=1abNNlEIQaQbMaMbθ=1abNNlEIMaMbθ=1abNNlEIMaMb由单位线位移引起的反力δ=1abNNlEIMaMa由单位线位移引起的反力δ=1abNNlEIMaMaδ=1abNNlEIMaMbMaδ=1abNNlEIMaMbMa横梁中单位转角的反力矩（无轴力）ablEIbMaQbMaθa=1Qa横梁中单位转角的反力矩（无轴力）ablEIbMaQbMaθaablEIbMaMaθa=1MbablEIbMaMaθa=1MbablEIbMaQbMaθa=1Qa可以证明，有轴力的杆端力表达式中，当N→0时，即φ→0时，Ma→无轴力时的Ma。以上结果可以直接应用于刚架稳定分析的位移法中。ablEIbMaQbMaθa=1Qa可以证明，有轴力的杆端力θ=1abNNlEIQaQbMaablEIbMaQbMaθa=1Qaθ=1abNNlEIQaQbMaθ=1abNNlEIQaQbMaablEIbMaQbMaθa钢结构稳定理论-5课件可能存在的失稳模式§5-3刚架稳定承载力计算方法1）单层铰接门式刚架（框架）HEIbPPEIcEIcl有侧向支撑时对称失稳无侧向支撑时反对称失稳可能存在的失稳模式§5-3刚架稳定承载力计算方法1）单层对称失稳（根据对称性简化成如下模型）HEIbPZ=1EIcl/2位移法方程组对称失稳（根据对称性简化成如下模型）HEIbPZ=1EIcl反对称失稳（根据对称性简化成如下模型）HEIbPZ=1EIcl/2由于Z1与δ相互关联，故只有Z1一个未知数。反对称失稳（根据对称性简化成如下模型）HEIbPZ=1EIc也通用存在对称和反对称失稳两种模式2）单层刚接门式刚架（框架）对称失稳（根据对称性简化成如下模型）HEIbPZ=1EIcl/2也通用存在对称和反对称失稳两种模式2）单层刚接门式刚架（框架反对称失稳（根据对称性简化成如下模型）HEIbPZ=1EIcl/2反对称失稳（根据对称性简化成如下模型）HEIbPZ=1EIc3）刚架计算长度系数的确定由前面介绍的屈曲方程可以求得在一定梁柱线刚度比ib/ic情况下的φ值。μ—计算长度系数3）刚架计算长度系数的确定由前面介绍的屈曲方程可以求得在一定梁柱线刚度比梁柱线刚度比所以给出不同梁柱线刚度比k1=ib/ic值，即可求出不同的μ值，因此可以构造出各种情况下的计算长度系数表格（规范中）。铰接刚接所以给出不同梁柱线刚度比k1=ib/ic值，即可求出不同的μ4）多层多跨刚架的弹性屈曲荷载无侧移框架有侧移框架4）多层多跨刚架的弹性屈曲荷载无侧移框架有侧移框架基本假设：刚架中的所有杆件同时屈曲；屈曲时节点处产生的梁端不平衡力矩按节点处柱线刚度成比例地分配给各柱；不计横梁中轴力的影响；对称失稳时：同一层的各横梁两端的转角大小相等，但方向相反；侧移失稳时：转角大小不但相等，而且方向相同。基本假设：刚架中的所有杆件同时屈曲；回顾转角位移方程：求解得到Ma和Mb：回顾转角位移方程：求解得到Ma和Mb：其中：C是对应于近段转角的抗弯刚度系数；S是对应于远端转角的；S/C为弯矩传递系数。C、S、C/S随的变化关系如下：其中：C是对应于近段转角的抗弯刚度系数；S是对应于远端转角的C、S的定义域为（0，2π）。随着P/PE的增加，近端转角的抗弯刚度系数C降低，而远端S提高。轴向压力为0时，C＝4，S＝2，S/C＝0.5，相当于受弯构件，图中虚线所示。C、S的定义域为（0，2π）。无侧移失稳时：无侧移失稳时：利用受弯构件和压弯构件的转角位移方程，得到与A点有关的梁端和柱端力矩。建立A点的平衡方程：利用受弯构件和压弯构件的转角位移方程，得到与A点有关的梁端和将各端弯矩代入得：令表示AB柱上端梁线刚度之和与柱线刚度之和的比值。它反映了梁对柱的约束刚度。则上式为同理，对于AB柱的下端B点也有如下关系：其中：将各端弯矩代入得：则刚架的屈曲方程为：把C、S的三角函数代入，并令，经整理得关于计算长度系数的屈曲方程为：此方程即为钢结构设计规范附录中无侧移刚架计算长度系数的计算公式，可以通过数值方法求解。则刚架的屈曲方程为：把C、S的三角函数代入，并令计算长度系数也可通过下面计算公式计算：也可使用下面图形曲线得到计算长度系数：计算长度系数也可通过下面计算公式计算：也可使用下面图形曲线得钢结构稳定理论-5课件侧移失稳时：侧移失稳时：利用受弯构件和压弯构件的转角位移方程，得到与A点有关的梁端和柱端力矩。其中侧移角建立A点的平衡方程：利用受弯构件和压弯构件的转角位移方程，得到与A点有关的梁端和将各端弯矩代入得：令表示AB柱上端梁线刚度之和与柱线刚度之和的比值。则上式为同理，对于AB柱的下端B点也有如下关系：上述两个方程，三个未知数，还需一个方程。将各端弯矩代入得：再建立柱本身的平衡方程：而这样平衡方程可以写成：此时由三个方程构成一个关于AB杆两端转角θA、θB和相对位移Δ的方程组。方程组有解时，其系数行列式为0。再建立柱本身的平衡方程：这样平衡方程可以写成：把C、S的三角函数代入，并令，经整理得关于计算长度系数的屈曲方程为：此方程即为钢结构设计规范附录中侧移刚架计算长度系数的计算公式，可以通过数值方法求解。也可以使用实用公式：把C、S的三角函数代入，并令钢结构稳定理论-5课件刚架整体的P-Δ效应（二阶效应）§5-4有侧移刚架的弹性极限荷载刚架整体的P-Δ效应（二阶效应）§5-4有侧移刚架的弹性刚架在竖向和水平荷载的共同作用下，柱顶产生侧移Δ，则此时竖向荷载将对刚架产生一个附加的外弯矩PΔ，将继续增大侧移，降低弹性刚度，这种现象称之为P-Δ效应，或二阶效应。对刚架稳定有一定影响，特别是对高层结构不可忽略。对于整体刚架，外力与柱端反力的平衡条件为：刚架在竖向和水平荷载的共同作用下，柱顶产生侧移Δ，则此时竖向柱的侧移角为ρ，侧移为Δ＝ρlc，则左柱与右柱的力平衡方程为：将上两式相加，并代入前面的柱端反力，得：端弯矩可以使用上节的转角位移方程得到，并代入得：(1)(＃)柱的侧移角为ρ，侧移为Δ＝ρlc，则左柱与右柱的力平衡方程为由B点、C点的力矩平衡，可分别得到：(2)(3)由(1)(2)(3)式可以解得转角θA、θB和侧移角ρ：上式即为刚架二阶弹性分析的荷载P与侧移角ρ的关系式，同时考虑了P-δ效应和P-Δ效应。

C、S中体现了P-δ效应的影响，上式分母中最后一项体现了P-Δ效应的影响。(a)由B点、C点的力矩平衡，可分别得到：(2)(3)由(1)(2如果忽略柱轴力P对抗弯刚度的影响，取C＝4，S＝2，（即忽略P-δ效应），且梁柱线刚度比K1＝1.0，则二阶弹性分析（只考虑P-Δ效应）的近似公式为：(b)如果只考虑一阶弹性分析，像结构力学位移法求解内力那样，（令公式＃中的柱轴力P＝0），可得此时荷载P与侧移角ρ的关系：此时的侧移角完全由水平力αP引起。(c)如果忽略柱轴力P对抗弯刚度的影响，取C＝4，S＝2，（即忽略当α＝0时，由(1)(2)(3)三式的系数行列式为0，也可得有侧移刚架的分岔屈曲荷载为：将(a)(b)(c)(d)四个临界荷载与侧移角的关系式画成曲线形式。

(a)二阶分析，考虑P-δ、P-Δ效应；

(b)二阶分析，只考虑P-Δ效应；

(c)一阶弹性分析；

(d)小挠度理论的分岔荷载；(d)当α＝0时，由(1)(2)(3)三式的系数行列式为0，也可得(a)(b)(c)(d)可见二阶效应影响显著，有侧移刚架中是不能忽略的。弹塑性分析时极限荷载可能远远低于弹性分析。(a)(b)(c)(d)可见二阶效应影响显著，有侧移刚架中是如图所示多层刚架，承受水平荷载H和竖向荷载q。一阶分析时，可以分为两个过程计算，并将两个过程中的各杆弯矩相叠加：b是bracedframe的缩写；s是sidesway的缩写；§5-5有侧移刚架二阶弹性分析近似解如图所示多层刚架，承受水平荷载H和竖向荷载q。b是brace二阶分析的近似解就是利用一阶分析结果，对MⅠs乘以放大系数α2i

：下面来研究α2i的取值。如图所示悬臂柱的二阶弯矩为：二阶分析的近似解就是利用一阶分析结果，对MⅠs乘以放大系数α把tgu级数展开：于是得：把tgu级数展开：所以悬臂柱的二阶弯矩为对于悬臂柱：所以利用上述二式相等，得：所以悬臂柱的二阶弯矩为对于悬臂柱：所以利用上述二式相等，得：对于多层多跨框架时，可用∑N代替P，∑H代替H，则得到钢结构设计规范中的公式：∑N－所计算楼层各柱轴心压力之和；∑H－产生层间侧移Δu的所计算楼层及以上各层水平力之和；Δu－按一阶弹性分析求得的所计算楼层的层间侧移；h－所计算楼层的高度；对于多层多跨框架时，可用∑N代替P，∑H代替H，则得到钢结构假想水平力：notionalforce用假想水平力考虑实际框架中必然存在的初始缺陷：如柱子的初倾斜、初弯曲、残余应力和塑性变形等。现假设柱子有初倾斜Δ0，则柱底产生附加弯矩QΔ0，这相当于柱顶有一假想水平力Hn，如图所示。§5-6规范中假想水平力Hni及内力计算为一百分数，各国规范取值不一。假想水平力：notionalforce§5-6规范中假我国新规范在分析各种情况后，考虑Ψn与框架的层数和钢材的屈服点大小的关系，并参照国外规范，取：

其中：αy为钢材强度影响系数，对Q235取1.0；Q345取1.1；Q390取1.2；Q420取1.25；ns为框架总层数。因而得第i层柱顶的假想水平力为：我国新规范在分析各种情况后，考虑Ψn与框架的层数和钢材的屈服我国新规范的二阶分析假想水平力取值较有些国外规范（如英国规范小），特别是当楼层总数ni较大时。但我国规范规定Hni应与实际水平荷载（如风荷载）同时考虑，而国外规范有规定不同时考虑的。我国新规范的二阶分析假想水平力取值较有些国外规范（如英国规范框架最不利内力设计值在采用一阶弹性分析时，常先计算各种荷载单独作用下的内力，然后进行最不利内力组合。满足叠加原理。二阶弹性分析时，荷载与位移呈非线性关系，叠加原理不再适用。为得到最不利内力，必须先进行荷载组合，分别计算内力，取最不利值。好在多层框架的荷载一般比较简单，只有竖向恒荷和活荷以及水平风荷和假想概念力，组合情况较少。框架最不利内力设计值钢结构稳定理论-5课件THANKYOUTHANKYOU67钢结构稳定理论-5钢结构稳定理论-5钢结构稳定理论-5第五章框（刚）架体系的稳定框架只承受作用于节点的竖向荷载，且按比例增加；框架中所有杆件是同时失稳的，且只在框架平面内失稳；框架中所有杆件均为等截面直杆；框架中所有杆件均在弹性范围内工作；忽略杆件自身轴向变形的影响。§5-1刚架稳定分析的位移法1）基本假设1．13“技术支持服务”指本合同附件三和四中规定的在合同设备和合同材料和合同产品的制造、检验、调试、操作和其它有关职能方面由转让方向合同工厂人员提供的技术咨询和技术指导。钢结构稳定理论-5钢结构稳定理论-5钢结构稳定理论-5第五章第五章框（刚）架体系的稳定框架只承受作用于节点的竖向荷载，且按比例增加；框架中所有杆件是同时失稳的，且只在框架平面内失稳；框架中所有杆件均为等截面直杆；框架中所有杆件均在弹性范围内工作；忽略杆件自身轴向变形的影响。§5-1刚架稳定分析的位移法1）基本假设第五章框（刚）架体系的稳定框架只承受作用于节点的竖向荷载假定框架达到稳定临界状态时，要发生微小的失稳变形。位移法的基本思路：对体系施加无穷刚臂和侧向支座，使结构变成没有富余自由度的完全超静定结构。结合结构力学中的位移法，如图所示体系的未知数个数(被人为约束的自由度个数)为：2）位移法的正则方程组4P5P6P81P2P3P7转角：1～6，6个侧移：7～8，2个共8个假定框架达到稳定临界状态时，要发生微小的失稳变形。2）位移法对临界状态的框架变形状态组成正则方程组。（由于所有节点上的外荷载在基本体系的附加约束中不引起任何反力，所以方程组是齐次的，如下：）自由度1的平衡方程自由度2的平衡方程自由度n的平衡方程正则方程组，常数项均为0对临界状态的框架变形状态组成正则方程组。（由于所有节点上的外3）框架的屈曲方程上式为0解时，Z1,Z2,….Zn=0，体系没有任何位移，框架没有失稳。因此框架失稳的条件为位移未知数的系数行列式为0，即框架的屈曲方程为：通过上述行列式为0，可以求解得到临界荷载P。3）框架的屈曲方程上式为0解时，Z1,Z2,….Zn=0，体说明：关键是确定这些系数的表达式rij；rij的物理意义是：当j自由度上有单位位移作用时，在被约束的自由度i上产生的反力；此时由于轴向力的存在（对杆轴而言），rij不再为常数，而是杆件轴向力的函数。『这与结构力学中的内容不同，结构力学位移法中的此系数为常数』说明：关键是确定这些系数的表达式rij；设框架中某压杆AB，在失稳前为状态（a），刚架失稳时为状态（b）。§5-2受压杆件的转角位移方程1）转角位移方程的推导注：剪力以y轴正向为正；弯矩以顺时针为正。设框架中某压杆AB，在失稳前为状态（a），刚架失稳时为状态（取任一长度x的隔离体，列挠曲线微分方程为：其中：同时令：则有：通解为：取任一长度x的隔离体，列挠曲线微分方程为：通解为：由边界条件：变形曲线方程为：由边界条件：变形曲线方程为：利用边界条件：得转角位移方程为：上式表明杆件端弯矩与转角位移和平动位移之间的关系。由此关系可以确定杆件产生单位位移时所需的端弯矩，即刚度系数rij。利用边界条件：工况1：2）受压杆件在各种单位位移下的反力计算NNlθa=1abMa工况1：2）受压杆件在各种单位位移下的反力计算NNlθa=1所以可得在单位转角θa=1作用下，引起的反力为：所以可得在单位转角θa=1作用下，引起的反力为：工况2：θa=1abNNlδ工况2：θa=1abNNlδ采用类似方法，可得各种边界条件下的反力，如下：由单位转角引起的反力θ=1abNNlEIQaQbMa采用类似方法，可得各种边界条件下的反力，如下：由单位转角引起θ=1abNNlEIMaθ=1abNNlEIMaθ=1abNNlEIQaQbMaMbθ=1abNNlEIQaQbMaMbθ=1abNNlEIMaMbθ=1abNNlEIMaMb由单位线位移引起的反力δ=1abNNlEIMaMa由单位线位移引起的反力δ=1abNNlEIMaMaδ=1abNNlEIMaMbMaδ=1abNNlEIMaMbMa横梁中单位转角的反力矩（无轴力）ablEIbMaQbMaθa=1Qa横梁中单位转角的反力矩（无轴力）ablEIbMaQbMaθaablEIbMaMaθa=1MbablEIbMaMaθa=1MbablEIbMaQbMaθa=1Qa可以证明，有轴力的杆端力表达式中，当N→0时，即φ→0时，Ma→无轴力时的Ma。以上结果可以直接应用于刚架稳定分析的位移法中。ablEIbMaQbMaθa=1Qa可以证明，有轴力的杆端力θ=1abNNlEIQaQbMaablEIbMaQbMaθa=1Qaθ=1abNNlEIQaQbMaθ=1abNNlEIQaQbMaablEIbMaQbMaθa钢结构稳定理论-5课件可能存在的失稳模式§5-3刚架稳定承载力计算方法1）单层铰接门式刚架（框架）HEIbPPEIcEIcl有侧向支撑时对称失稳无侧向支撑时反对称失稳可能存在的失稳模式§5-3刚架稳定承载力计算方法1）单层对称失稳（根据对称性简化成如下模型）HEIbPZ=1EIcl/2位移法方程组对称失稳（根据对称性简化成如下模型）HEIbPZ=1EIcl反对称失稳（根据对称性简化成如下模型）HEIbPZ=1EIcl/2由于Z1与δ相互关联，故只有Z1一个未知数。反对称失稳（根据对称性简化成如下模型）HEIbPZ=1EIc也通用存在对称和反对称失稳两种模式2）单层刚接门式刚架（框架）对称失稳（根据对称性简化成如下模型）HEIbPZ=1EIcl/2也通用存在对称和反对称失稳两种模式2）单层刚接门式刚架（框架反对称失稳（根据对称性简化成如下模型）HEIbPZ=1EIcl/2反对称失稳（根据对称性简化成如下模型）HEIbPZ=1EIc3）刚架计算长度系数的确定由前面介绍的屈曲方程可以求得在一定梁柱线刚度比ib/ic情况下的φ值。μ—计算长度系数3）刚架计算长度系数的确定由前面介绍的屈曲方程可以求得在一定梁柱线刚度比梁柱线刚度比所以给出不同梁柱线刚度比k1=ib/ic值，即可求出不同的μ值，因此可以构造出各种情况下的计算长度系数表格（规范中）。铰接刚接所以给出不同梁柱线刚度比k1=ib/ic值，即可求出不同的μ4）多层多跨刚架的弹性屈曲荷载无侧移框架有侧移框架4）多层多跨刚架的弹性屈曲荷载无侧移框架有侧移框架基本假设：刚架中的所有杆件同时屈曲；屈曲时节点处产生的梁端不平衡力矩按节点处柱线刚度成比例地分配给各柱；不计横梁中轴力的影响；对称失稳时：同一层的各横梁两端的转角大小相等，但方向相反；侧移失稳时：转角大小不但相等，而且方向相同。基本假设：刚架中的所有杆件同时屈曲；回顾转角位移方程：求解得到Ma和Mb：回顾转角位移方程：求解得到Ma和Mb：其中：C是对应于近段转角的抗弯刚度系数；S是对应于远端转角的；S/C为弯矩传递系数。C、S、C/S随的变化关系如下：其中：C是对应于近段转角的抗弯刚度系数；S是对应于远端转角的C、S的定义域为（0，2π）。随着P/PE的增加，近端转角的抗弯刚度系数C降低，而远端S提高。轴向压力为0时，C＝4，S＝2，S/C＝0.5，相当于受弯构件，图中虚线所示。C、S的定义域为（0，2π）。无侧移失稳时：无侧移失稳时：利用受弯构件和压弯构件的转角位移方程，得到与A点有关的梁端和柱端力矩。建立A点的平衡方程：利用受弯构件和压弯构件的转角位移方程，得到与A点有关的梁端和将各端弯矩代入得：令表示AB柱上端梁线刚度之和与柱线刚度之和的比值。它反映了梁对柱的约束刚度。则上式为同理，对于AB柱的下端B点也有如下关系：其中：将各端弯矩代入得：则刚架的屈曲方程为：把C、S的三角函数代入，并令，经整理得关于计算长度系数的屈曲方程为：此方程即为钢结构设计规范附录中无侧移刚架计算长度系数的计算公式，可以通过数值方法求解。则刚架的屈曲方程为：把C、S的三角函数代入，并令计算长度系数也可通过下面计算公式计算：也可使用下面图形曲线得到计算长度系数：计算长度系数也可通过下面计算公式计算：也可使用下面图形曲线得钢结构稳定理论-5课件侧移失稳时：侧移失稳时：利用受弯构件和压弯构件的转角位移方程，得到与A点有关的梁端和柱端力矩。其中侧移角建立A点的平衡方程：利用受弯构件和压弯构件的转角位移方程，得到与A点有关的梁端和将各端弯矩代入得：令表示AB柱上端梁线刚度之和与柱线刚度之和的比值。则上式为同理，对于AB柱的下端B点也有如下关系：上述两个方程，三个未知数，还需一个方程。将各端弯矩代入得：再建立柱本身的平衡方程：而这样平衡方程可以写成：此时由三个方程构成一个关于AB杆两端转角θA、θB和相对位移Δ的方程组。方程组有解时，其系数行列式为0。再建立柱本身的平衡方程：这样平衡方程可以写成：把C、S的三角函数代入，并令，经整理得关于计算长度系数的屈曲方程为：此方程即为钢结构设计规范附录中侧移刚架计算长度系数的计算公式，可以通过数值方法求解。也可以使用实用公式：把C、S的三角函数代入，并令钢结构稳定理论-5课件刚架整体的P-Δ效应（二阶效应）§5-4有侧移刚架的弹性极限荷载刚架整体的P-Δ效应（二阶效应）§5-4有侧移刚架的弹性刚架在竖向和水平荷载的共同作用下，柱顶产生侧移Δ，则此时竖向荷载将对刚架产生一个附加的外弯矩PΔ，将继续增大侧移，降低弹性刚度，这种现象称之为P-Δ效应，或二阶效应。对刚架稳定有一定影响，特别是对高层结构不可忽略。对于整体刚架，外力与柱端反力的平衡条件为：刚架在竖向和水平荷载的共同作用下，柱顶产生侧移Δ，则此时竖向柱的侧移角为ρ，侧移为Δ＝ρlc，则左柱与右柱的力平衡方程为：将上两式相加，并代入前面的柱端反力，得：端弯矩可以使用上节的转角位移方程得到，并代入得：(1)(＃)柱的侧移角为ρ，侧移为Δ＝ρlc，则左柱与右柱的力平衡方程为由B点、C点的力矩平衡，可分别得到：(2)(3)由(1)(2)(3)式可以解得转角θA、θB和侧移角ρ：上式即为刚架二阶弹性分析的荷载P与侧移角ρ的关系式，同时考虑了P-δ效应和P-Δ效应。

C、S中体现了P-δ效应的影响，上式分母中最后一项体现了P-Δ效应的影响。(a)由B点、C点的力矩平衡，可分别得到：(2)(3)由(1)(2如果忽略柱轴力P对抗弯刚度的影响，取C＝4，S＝2，（即忽略P-δ效应），且梁柱线刚度比K1＝1.0，则二阶弹性分析（只考虑P-Δ效应）的近似公式为：(b)如果只考虑一阶弹性分析，像结构力学位移法求解内力那样，（令公式＃中的柱轴力P＝0），可得此时荷载P与侧移角ρ的关系：此时的侧移角完全由水平力αP引起。(c)如果忽略柱轴力P对抗弯刚度的影响，取C＝4，S＝2，（即忽略当α＝0时，由(1)(2)(3)三式的系数行列式为0，也可得有侧移刚架的分岔屈曲荷载为：将(a)(b)(c)(d)四个临界荷载与侧移角的关系式画成曲线形式。

(a)二阶分析，考虑P-δ、P-Δ效应；

(b)二阶分析，只考虑P-Δ效应；

(c)一阶弹性分析；

(d)