项目六统计基本分析指标-平均指标和变异指标课件

项目六

统计基本分析指标（2）

——平均指标和变异指标《统计学》课件项目六

统计基本分析指标（2）

——平均指标和

教学目的与要求

通过本项目学习，了解平均指标和变异指标的意义和种类，掌握各种计算方法及其应用条件，能够应用平均指标和变异指标进行基本的统计分析。

教学重点与难点

重点：各种加权平均数的计算方法和应用条件；理解计算和应用平均指标的原则；标准差的计算；

难点：正确理解加权平均计算方法中的权数；权数的正确选择；变异系数计算的必要性。教学目的与要求本项目的主要任务1平均指标的种类及其计算方法2计算和应用平均指标应注意的问题3变异指标的种类及其计算方法本项目的主要任务1平均指标的种类及其计算方法2计算和应用平均任务一

理解平均指标概念及特点

掌握平均指标种类及计算任务一

理解平均指标概念及特点

掌握平均指标种类

一、平均指标的概念及作用平均指标

静态平均指标

动态平均指标反映总体各单位在某一数量标志下标志值的一般水平反映研究对象在不同时间上的水平的一般水平平均指标：简单地说就是若干变量值的平均。一、平均指标的概念及作用平均静态动

平均指标与总量指标和相对指标的特点比较平均指标还是：

④抽象化数值⑤代表性数值⑥集中趋势比较项目总量指标相对指标平均指标①表现形式绝对数相对数平均数②是否带计量单位必须带一般为%必须带③数值大小与总体范围的关系有无无平均指标与总量指标和相对指标的特点比较平均指标还

平均指标的作用------对现象进行对比分析（1）个别不能代表一般。利用平均指标可以对同类现象在不同空间、不同时间上进行比较，以反映其水平的高低等。如：

2008年我国城镇不同性质单位就业人员平均劳动报酬单位性质平均劳动报酬（元）企业事业机关28163

2925133209资料来源：《2009年中国统计年鉴》(之后年鉴已无该分类）平均指标的作用------对现象进行对比分析（1）个2013年通过审核150万人最热职位9441：12013年项目六-统计基本分析指标——平均指标和变异指标课件2011年城镇单位就业人员年平均工资职工行业类别年平均工资（元）城镇单位就业人员年平均工资1.农林牧渔业2.建筑业3.制造业4.教育5.信息传输、计算机服务和软件业6.金融业…..41799194693210336665431947091881109……（资料来源：中国统计年鉴-2012年）2011年城镇单位就业人员年平均工资在分析现象之间的依存关系时，也不能用个别代表一般。现以某企业为例，如研究学历和工资依存关系，不能用四个学历的单个人的工资来说明问题，也不能用不同学历工资总额来说明问题，而要用平均工资才能反映其内在真实的依存关系。

某企业职工学历及工资资料

指标名称研究生本科生专科生专科以下月工资总额（元）

42000＜75000＜100000＜125600职工人数（人）

153050100平均工资（元）

2800＞2500＞2000＞1256

平均指标的作用------分析现象之间的依存关系（2）在分析现象之间的依存关系时，也不能用若2010年某地区GDP为2.2万亿，“十二五”计划期间经济平均增长速度为7%，那么该地区到2015年GDP就会达到3.09万亿，若人口2015年该地区人口为8500万人，则人均36353元。

平均指标的作用------利用平均指标进行推算（3）若2010年某地区GDP为2.2万亿，“十二五”计划平均指标计算方法算术平均法简单调和平均法中位数和众数几何平均法调和平均法加权算术平均法简单算术平均法简单几何平均法加权调和平均法加权几何平均法二、平均指标的种类及计算方法平均指标计算方法算术简单调和平均法中位数和

（一）算术平均法算术平均法：根据总体各单位标志值的算术和计算的平均数。其基本公式为：

【需要注意】

⑴区分平均数与具有“平均”含义的强度相对数；⑵此公式是基本公式，具体形式要看所给资料而定。

由于掌握的资料不同，可将算术平均法分为：

简单算术平均法和加权算术平均法。（一）算术平均法算术平均法：根据总体各单位标志值的算术

1.简单算术平均法简单算术平均法的应用条件

若掌握的是未经分组整理的总体各单位的具体标志值，可采用简单算术平均法，计算各标志值的算术和再除以总体单位数即可。用这种方法计算的平均数，称为简单算术平均数。用公式表示如下：

式中：代表平均数x代表各标志值∑是总和符号n代表标志值个数1.简单算术平均法简单算术平均法的应用条件

2、加权算术平均法加权算术平均法的应用条件

若资料为各组标志值和权数（次数或比重）的变量数列，应采用加权算术平均法，即以各组标志值为变量，以各组次数或比重为权数进行加权平均。计算公式如下：

式中：x为各组标志值；f为各组次数2、加权算术平均法加权算术平均法的应用条件

单项数列资料平均指标的计算（例1）

某企业20名职工日产量资料日产量（件）x人数f产量xf

%

591261043090483050201.54.52.4合计201681008.4注意⑴以比重为权数计算的结果与用绝对数计算结果完全一样。⑵本例为单项数列资料。若为组距数列，需先算组中值。单项数列资料平均指标的计算（例1）组距数列资料平均指标的计算（例2）按月工资分组（元）组中值（元）x职工人数（人）f工资总额xf7000以下

6500

20

130000

7000—8000

7500

25

187500

8000—9000

8500

30

255000

9000—10000

9500

15

142500

10000以上

10500

10

105000合计

—

100

820000某公司按工资水平分组资料表组距数列资料平均指标的计算（例2）按月工资分组（元）组中值（

加权平均数的影响因素各组权数（次数或比重）各组标志值(x)1.若各组标志值不变，各组单位数同时扩大或缩小相同的倍数则平均数不变；2.若各组单位数不变，各组标志值同时扩大或缩小相同的倍数，平均数也随之扩大或缩小相同的倍数。3.若各组权数是相等的，则用加权算术平均和简单算术平均的计算结果是相同。加权各组权数（次数或比重）各组标志值(x

【加权算术平均法计算步骤】各组标志值乘次数得各组标志总量加总得到总体标志总量计算总体单位总量总体标志总量除以总体单位总量【加权算术平均法计算步骤】各组加总总体权数选择问题各组标志值与各组单位数之积要有实际意义，即二者之积为算术平均数算式中的分子（总体标志总量）权数选择问题各组标志值与各组单位数之积要有实际【课堂讨论1】

(2)若甲企业计划销售额为1000万，计划完成程度为50%，乙计划销售额为10万，计划完成程度为150%，能否说这两个企业平均计划完成程度为100%呢？计划完成程度%组中值%x门市部数90—100100—110110—12095105115528合计—15讨论计算该公司平均计划完成程度时是否以各组门市部数为权数进行计算？(3)某公司下属15个门市部计划完成情况见下表：(1)若甲企业计划完成程度为50%，乙为150%，能否说这两个企业平均计划完成程度为100%呢？【课堂讨某集团公司下属甲、乙、丙三个子公司生产同一种产品，有关资料如下表:公司名称人数（人）单位产品原材料消耗量（公斤/件）x甲乙丙3002005005.05.54.8合计1000—讨论能否以人数为权数计算该集团公司所属三个子公司的单位产品原材料平均消耗量？【课堂讨论2】某集团公司下属甲、乙、丙三个子公司生产同一种产品，有关资料

正确选择权数实例（1）某公司下属15个门市部计划完成情况资料计划完成程度%组中值%x门市部数计划销售额（万元）f实际销售额（万元）xf90—100100—110110—1209510511552810080010095840115合计—1510001050正确选择权数实例（1）某公司下属15个门市部计划完成情

正确选择权数实例（续）分析：由于各组规模不同，销售额存在差别。各组计划完成程度在平均计划完成程度计算时作用是不同的，规模大的门市部计划完成程度对平均计划完成程度影响作用大。门市部数不能作权数。此问题在实际工作中尤其是要注意的。根据此例，应以计划完成程度为变量，以计划销售额为权数进行加权算术平均（此处套用加权算术平均的算法，但和基本公式的要求并不一致）。正确计算是：正确选择权数实例（续）分析：由于各组规模不同，销

正确选择权数实例（2）根据表中资料计算三个公司的单位产品原材料平均消耗量：公司名称人数（人）f单位产品原材料消耗量（公斤/件）x产量（万件）q甲乙丙3002005005.05.54.82.01.53.0合计1000—6.5正确选择权数实例（2）根据表中资料计算三个公司的单位产

正确选择权数实例（续）方法二：平均单位产品原材料消耗量（以“产量”作权数）方法一：平均单位产品原材料消耗量（以“人数”作权数）正确选择权数实例（续）方法二：平均单位产品原材料消耗量（二）调和平均法导例：某种蔬菜甲、乙、丙三个市场的价格分别为每千克0.5

元、0.4元和0.2元。若：⑴甲、乙、丙三个市场各买1千克；⑵甲、乙、丙三个市场分别买3千克、5千克、10千克；⑶甲、乙、丙三个市场各买1元；⑷甲、乙、丙三个市场分别买5元、8元、10元。要求分别计算该种蔬菜的平均购买价格。（注意：不能是三种蔬菜，不同质；也不是早、中、晚三个时间，不同时。静态平均）分析：无论什么资料，蔬菜平均价格都是购买额除以购买量。即：（二）调和平均法导例：某种蔬菜甲、乙、丙三个市场的价格分别为

（二）调和平均法（续1）根据以上资料，蔬菜平均购买价格计算分别为：简单算术平均法加权算术平均法简单调和平均法加权调和平均法（二）调和平均法（续1）根据以上资料，蔬菜平均购买价格

（二）调和平均法（续2）调和平均法：变量值倒数的算术平均数的倒数，又称倒数平均法。在统计实践中，有时因缺乏总体的单位数资料，不能直接采用算术平均法方法进行计算，这时需要将算术平均法的形式加以改变。调和平均法常常作为算术平均法的变形来使用。⑵在各组标志总量不等时，应采用加权调和平均法：⑴在各组标志总量都是1时，采用简单调和平均法：（二）调和平均法（续2）调和平均法：变量值倒数的算术

（二）调和平均法（续3）实例：某企业购进某种原材料三批，已知每批购进价格和购进金额，要求计算该种原材料的平均价格。资料见下表：批次价格（元/千克）x购进额（元）m购进量（千克）第一批第二批第三批

607080

60001400056000100200700合计

—

76000

1000（二）调和平均法（续3）实例：某企业购进某批次价格（元/千克）x购进量（千克）f购进额（元）xf第一批第二批第三批

607080

10020070060001400056000合计

—

1000

76000加权算术平均法与加权调和平均法的比较批次价格购进量购进额（元）第一批

加权算术平均法与加权调和平均法的应用

股民老张先后3次购买了中国石油的股票，具体购买情况如下：1.分别在32元、20元和15元时购买2000股3000股和5000股；2.分别在32元、20元和15元时购买96000元30000元和75000元；要求分别计算老张所购买的中国石油的平均购买价格。加权算术平均法与加权调和平均法的应用股民老张先后3次国家和地区2006年2007年2008年2009年2010年2006-2010年平均增长率世界总计5.25.32.8-0.65.03.5美国2.72.00.0-2.62.80.9欧元区3.02.90.5-4.11.80.8日本2.02.4-1.2-5.24.30.4中国12.714.29.69.210.311.2（三）几何平均法导例1：平均速度的计算问题？？若只有某一年的速度能说明问题吗？2006-2010年世界主要国家和地区经济增长率比较单位：%国家和地区2006年2007年2008年2009年2010年导例2：某工厂生产某种产品需要先后经过四个车间（四个工序），已知四个车间的合格率分别为80%、90%、85%和70%，求四个车间的平均合格率？1车间80%2车间90%4车间70%3车间85%导例2：某工厂生产某种产品需要先后经过四个车间（四个工分析：每个车间计算合格率的基数是不一样的。若投入生产100件产品的原材料，经过第一车间只能生产80件并进入到第二车间（基数就变成了80），各车间基数依次减少。由于各比率的基数不同，比率不能直接相加求总比率。针对此例，总合格率不等于80%+90%+85%+70%。分析：每个车间计算合格率的基数是不一样的。若投入生产100件

（三）几何平均法（续1）几何平均法：ｎ个变量值连乘积的ｎ次方根。应用条件：总比率（或总速度）等于各比率（或各速度）之积时，求平均比率（或平均发展速度）时才可以用几何平均法，否则不可用。几何平均法平均的变量值的形式是相对数。在计算平均比率、平均速度或平均利率等情况时使用。

（三）几何平均法（续1）几何平均法：ｎ个变量值连

（三）几何平均法（续2）实例：某企业生产一种产品需先后经过20个车间，各车间合格率资料如下：

合格率%x车间数f708085905384合计20（三）几何平均法（续2）实例：某企业生产一

（三）几何平均法（续3）

应用：某公司向商业银行申请一笔贷款，期限为10年，以复利来计息。10年的利率分别是：第1年至第2年为3%，第3年至第5年为4.5%，第6年至第7年为5%，第8年至第9年为5.5%，第10年为6%，求该笔贷款的平均年利率。（三）几何平均法（续3）应用：某公司向商业若本金为A，年利率为r,则各年末本利之和123第1年末第2年末第3年末n第n年末若本金为A，年利率为r,则各年末本利之和123第1年末第2年分析：由于银行对贷款的计息以复利计算，则各年的利率不能直接相乘。因此，必须先将各年利率换算成各年本利率，即“1+年利率”。再以各年本利率相乘得到总本利率。若各年利率相等，则n年后的总利率为：分析：由于银行对贷款的计息以复利计算，则各年的利率不能直接相

（三）几何平均法（续4）

分析：由于各年利率不等，就可以采用加权几何平均法计算年平均本利率，最后，用年平均年本利率减1就是平均年利率。计算过程如下：年均本利率＝

=104.65%则该公司10年贷款平均年利率为4.65%。（三）几何平均法（续4）分析：由于各年利率不等，就根据总体各标志值计算平均数，会受极端值影响，处理方法是：去掉极端值，如评委打分，常采取去掉最高或最低值的方法；另外还可以通过众数和中位数来避免此种情况的发生。

【需要注意】根据总体各标志值计算平均数，会受极端值影响，处理方法是：去掉（四）众数众数：总体中出现次数最多的标志值。出现次数越多，众数的代表性就越强。计算和应用众数的条件是总体单位数较多且有明显的集中趋势。（集贸市场的随行就市）（四）众数众（五）中位数中位数：将总体各单位标志值按从小到大的顺序排列，处于中间位置的数值。若总体单位数是偶数，则处于中间的两个标志值的算术平均数是中位数。实际中，也常用年龄中位数说明人口老龄化问题。普查年份195319641982199020002010年龄中位数21.7020.2022.9125.2530.8535.20需要注意：中位数和组中值的区别？？（五）中位数中位数：将总体各单位标志值按从小到大的顺序任务二

计算和应用平均指标应注意的问题任务二

计算和应用平均指标

一、同质性是计算和应用平均指标的基础平均指标是反映同质总体各单位标志值一般水平的指标，平均指标要保证在同质总体内计算。注意：同质性是相对的。研究目的不同，同质性所指也不同。例如：研究城乡收入差别时，城镇居民和农村居民分属两个不同总体，应分别计算其平均收入；研究不同行业职工工资水平差别时，则城镇职工又分属不同的行业，此时的同质性是指行业相同。有时候甚至在一个企业职工性质也有很大差异如农民工和非农民工，前者收入非常低。一、同质性是计算和应用平均指标的基础二、用组平均数补充说明总平均数在同质总体中，又存在不同类型的组，而总体各组间还存在很大差别。平均指标若没有科学的分组，那就往往掩盖矛盾，成为笼统的指标，甚至成为虚构的指标。总平均数抽象掉了总体内各组的差异，它也不能全面说明总体特征。因此，就需通过分组，分别计算各组平均数以补充说明总平均数。二、用组平均数补充说明总平均数在同质总体中，又存在不同类型的

【课堂讨论】

资料：若A公司职工月平均工资为2550元，B公司职工月平均工资为1650元。从工资水平考虑，你认为应该选择哪个公司合适？为什么？【A、B两公司职工月工资水平资料学历

A公司

B公司职工人数工资总额（元）平均工资（元）职工人数工资总额（元）平均工资（元）人%人%研究生本科生专科生中专生其他100403020105020151053200001000006000024000600032002500200012006001002004005008005102025403500006000008800007500007200003500300022001500900总计2001005100002550200010033000001650【问题思考】若仅从工资考虑，你选哪公司？为什么？请解释同学历职工B公司都高于A公司而总平均工资却低于A公司的原因？A、B两公司职工月工资水平资料三、用次数分布资料补充说明总平均数总平均数掩盖了差异状况。为了全面深入地分析问题，我们不能只看现象总的平均水平，还必须了解总体单位在各组次数分布情况，把总平均数与次数分布资料相结合。现以某公司下属的50个分公司年度产量计划完成情况为例来说明。情景设计：某公司统计人员向公司老总汇报总公司计划完成情况。按计划完成程度分组（%）公司数（个）比重（%）80—9090—100100—110110—120120—130363010161260202合计50100三、用次数分布资料补充说明总平均数总平均数掩盖了差异状况。为

四、平均数分析与典型事例相结合

平均数说明的是总体某一变量值的一般水平，它体现的是一定范围内社会经济现象的共性，但同时却掩盖了现象的个性特征。因此，为了丰富平均数对社会现象的认识作用，往往还需要结合具体的典型事例，特别是要研究先进和落后的典型，以补充平均数之不足。四、平均数分析与典型事例相结合平均

五、平均指标与变异指标相结合

【问题防范：平均数“陷阱”】

某人生产了以下8个零件，平均尺寸为6mm，正好等于标准尺寸，是否意味着这个人生产的零件都合格？125678910

五、平均指标与变异指标相结合【问题防范：平均数“陷阱”】

如某市环保局资料：“本市平均的空气污染指数已降到警界线以下”但你切不要以为生活在本市是十分安全的，因为可能你所生活的那个社区或你所工作的那个单位是本市污染最严重的社区或单位。假如你继续在该社区或单位工作，就会严重损害你的健康。【问题防范：平均数“陷阱”】如某市环保局资料

【问题防范：平均数“陷阱”】某人要找到一份工资较高的工作，一天他看到一则招聘广告“本公司现有员工19名，现诚聘1名技术工人。本公司人均月薪3200元以上。”于是他就高兴去应聘，并很幸运地被录取了，但他第一个月拿到的正常月薪只有500元。他说该公司的招聘广告说谎，但该广告确实没有说谎。实情：该公司的平均工资是这样计算出来的：经理月薪25000元；经理秘书15000元；两名中层主管月薪10000元；其他员工月薪500元。【问题防范：平均数“陷阱”】某人要找到一份工资较高的工作，结论：平均指标要和变异指标相结合

谨防平均数“陷阱”平均指标反映总体一般水平，掩盖了差异（组与组的差异和总体单位的差异），而综合反映个体差异也是认识研究总体的重要数量特征。变异指标就是反映总体各单位标志值（或属性）差异或离散程度的统计指标，因此，二者应该相结合，这样对总体数量特征认识得才更为全面。

结论：平均指标要和变异指标相结合任务三

理解变异指标概念及作用

掌握平均指标种类及计算任务三

理解变异指标概念及作用

掌握平均指标种类一、变异指标的概念及作用

★变异指标：反映总体各单位差异（数量或属性）或离散程度的综合指标，又称标志变动度。变异指标是反映总体数量特征的重要指标。平均指标掩盖了总体内各单位的差异，然而总体内各单位的差异则是客观存在的，这就需要进一步计算能够反映总体各单位差异程度或离散程度的变异指标。如果说平均指标说明总体单位的集中趋势，那么变异指标则说明总体单位的离中趋势。一、变异指标的概念及作用★变异指标：反映总体各单位差

★

变异指标的作用

☆

变异指标可以衡量平均数代表性的大小；甲：306090120150180210乙：120120120120120120120☆

反映社会经济活动过程的均衡性、稳定性；

如收入分配的均衡；降雨量的均衡等；产品质量的稳定；考试成绩的稳定；农作物高产稳产等；稳定则容易判断事物的性质☆

变异指标是抽样推断中确定样本容量的重要依据。★变异指标的作用☆变异指标可以衡量平均数代

二、变异指标的种类及计算变异指标全距平均差标准差变异系数离散系数加权式平均差简单式平均差简单式标准差加权式标准差是非标志标准差全距系数平均差系数标准差系数二、变异指标的种类及计算变异指标全距平均差标准

（一）全距（极差）

未分组资料：全距R=最大值-最小值组距分组资料：全距R=最高组上限-最低组下限

若为开口组，可先求出组中值，再利用组中值求得全距。组距资料求出的全距只是全距的近似值。全距用以说明被研究现象中标志值变动的最大范围。全距计算简单，易懂，在实际工作中常用于产品质量的检验和控制。但由于它受两个极端数值的影响，其测定结果，难以准确反映变量的实际离散程度。因此，它只是测定变量变异程度的一种粗略方法。（一）全距（极差）未分组资料：全距R=最大值-最小值

（二）

平均差

平均差是总体各单位标志值与其算术平均数离差的平均。由于各个变量值对算术平均数离差总合恒等于零，因而，采用离差绝对值的形式计算平均差。平均差与全距不同，它考虑了总体中个单位变量值得变动影响，对整个变量值的离散趋势有较充分的代表性。由于掌握资料不同，平均差可分为简单平均式和加权平均式两种。（二）平均差平均差是总体各单位标志值与其算

（三）标准差

标准差：总体各单位标志值与其算术平均数的离差平方的算术平均数的平方根，即方差的平方根，又称均方根差。（是非标志的标准差也是标准差，此概念不妥。应叫做标志值的标准差更为合适）标准差的特点：意义与平均差基本相同，但在数学处理上它是采用平方的方法来消除离差的正负号。其灵敏性也更高，是最常用的变异指标。标准差的计算：根据资料不同，标准差的计算分为：简单式、加权式和是非标志的标准差三种形式。（三）标准差标准差：总体各单位标志值与其算术平均数的

标准差的计算方法

1．简单式标准差在资料未分组时，采用简单式。其计算公式为：2．加权式标准差在资料分组时，要用加权式。其计算公式为：3.是非标志的标准差

在总体分为“是”和“非”两部分时，其计算公式为：标准差的计算方法1．简单式标准差标准差的计算实例

根据某企业日产量资料，计算标准差日产量（件）工人数（人）日产量×次数离差离差平方离差平方×次数xf

xf101112131426354320664205242-2-101241014860412合计50600——30

标准差的计算实例根据某企业日产量资料，计算

标准差——是非标志的标准差★能够把总体分为“是”和“非”两个部分的标志叫是非标志。如把全部产品按是否合格分为“是”（合格）和“非”（不合格）两部分；总体中每个单位的具体表现分别为“是”或“非”。由此可以看出，个体属性也是有差异的，要综合反映这种差异，就需要计算是非标志的标准差。★思考：如某方案有赞成和反对两种意见，如果９０％赞成或９０％反对都说明意见比较集中，差异程度小；若５０％赞成，５０％反对则说明意见分歧很大，势均力敌．若５１％赞成，４９％反对，则虽然方案通过，但说明意见分歧仍然很大，该放案还有很多不足，需要改进和完善．标准差——是非标志的标准差★能够把总体分为“是”和“非”

标准差——是非标志的标准差总体全部单位数用N表示，具有某种标志属性的单位数用表示，不具有某种标志属性的单位数用表示。

成数：具有某种属性的单位数占总体单位数的比重（P）或不具有某种属性的单位数占总体单数的比重（Q）都叫成数。是

非是非标志的标准差

标准差——是非标志的标准差总体全部单位数用N表示，

问题：在不同水平或不同性质的数列间比较差异性的问题。

例如：如何比较甲乙丙三数列差异的大小？甲：零件尺寸（mm）：

369乙：距离（m）：

199020002010丙：年劳动报酬（元）：350003600037000全距是绝对差，平均差和标准差是差异的平均。全距、平均差、标准差的数值受数列水平高低和个体差异两个因素的影响。（四）变异系数（离散系数）问题：在不同水平或不同性质的数列（四）变异系数（离散系数变异系数是反映各单位标志值相对差异程度的变异指标。它将绝对数性质的全距、平均数性质的平均差及标准差与相应的数列水平（算术平均数）对比而得，表现形式为相对数。通过计算变异系数，为水平高低不同或性质不同的数列提供了差异比较的基础。变异系数有全距系数、平均差系数和标准差系数。

常用的是标准差系数变异系数是反映各单位标志值相对差异程度的变异指标。企

业全员劳动生率（元/人）

标准差（元）

标准差系数（%）甲企业乙企业420002600015008002832﹒5实例：现有两企业的全员劳动生产率资料，计算标准差系数并比较两企业劳动生产率差异的大小。

标准差系数计算表计算结果表明，甲企业的标准差大于乙企业但不能由此得出结论：甲企业全员劳动生产率的代表性比乙企业小。这是因为这两个企业的全员劳动生产率相差很悬殊，所以，不能直接根据标准差的大小作结论。在这种情况下，只有通过计算变异系数才能进行比较。计算结果恰恰表明，并不是甲企业的变量差异比乙企业大，而是乙企业的变量差异比甲企业大。企业全员劳动生率（元/人）标准差标准差系数（%）甲企

实训分析

甲企业工人日产量情况表按日产量分组（件）工人数（人）300以下300~400400~500500-600600以上1070902010合计200要求：（1）根据上表资料计算甲企业平均日产量、标准差。（2）若乙企业生产同种产品每人平均日产量为600件，标准差为78件，试分析甲乙两企业工人日产量的均衡性情况。实训分析甲企业工人日产量情况表按日

《平均指标和变异指标》知识结构图平均指标变异指标平均指标的概念和作用（对比分析；依存关系分析；推算）平均指标的种类及计算方法计算和应用平均指标的原则（同质性；与组平均数结合；与次数分布结合；与典型事例结合；与变异指标结合。）变异指标的概念和作用（衡量代表性；均衡性、稳定性；计算抽样误差及必要样本容量时需要）变异指标的种类及计算算术平均法（简单式和加权式）调和平均法（简单式和加权式）几何平均法（简单式和加权式）众数和中位数全距；平均差；标准差；变异系数（离散系数）《平均指标和变异指标》知识结构图平均指标平均项目六

统计基本分析指标（2）

——平均指标和变异指标《统计学》课件项目六

统计基本分析指标（2）

——平均指标和

教学目的与要求

通过本项目学习，了解平均指标和变异指标的意义和种类，掌握各种计算方法及其应用条件，能够应用平均指标和变异指标进行基本的统计分析。

教学重点与难点

重点：各种加权平均数的计算方法和应用条件；理解计算和应用平均指标的原则；标准差的计算；

难点：正确理解加权平均计算方法中的权数；权数的正确选择；变异系数计算的必要性。教学目的与要求本项目的主要任务1平均指标的种类及其计算方法2计算和应用平均指标应注意的问题3变异指标的种类及其计算方法本项目的主要任务1平均指标的种类及其计算方法2计算和应用平均任务一

理解平均指标概念及特点

掌握平均指标种类及计算任务一

理解平均指标概念及特点

掌握平均指标种类

一、平均指标的概念及作用平均指标

静态平均指标

动态平均指标反映总体各单位在某一数量标志下标志值的一般水平反映研究对象在不同时间上的水平的一般水平平均指标：简单地说就是若干变量值的平均。一、平均指标的概念及作用平均静态动

平均指标与总量指标和相对指标的特点比较平均指标还是：

④抽象化数值⑤代表性数值⑥集中趋势比较项目总量指标相对指标平均指标①表现形式绝对数相对数平均数②是否带计量单位必须带一般为%必须带③数值大小与总体范围的关系有无无平均指标与总量指标和相对指标的特点比较平均指标还

平均指标的作用------对现象进行对比分析（1）个别不能代表一般。利用平均指标可以对同类现象在不同空间、不同时间上进行比较，以反映其水平的高低等。如：

2008年我国城镇不同性质单位就业人员平均劳动报酬单位性质平均劳动报酬（元）企业事业机关28163

2925133209资料来源：《2009年中国统计年鉴》(之后年鉴已无该分类）平均指标的作用------对现象进行对比分析（1）个2013年通过审核150万人最热职位9441：12013年项目六-统计基本分析指标——平均指标和变异指标课件2011年城镇单位就业人员年平均工资职工行业类别年平均工资（元）城镇单位就业人员年平均工资1.农林牧渔业2.建筑业3.制造业4.教育5.信息传输、计算机服务和软件业6.金融业…..41799194693210336665431947091881109……（资料来源：中国统计年鉴-2012年）2011年城镇单位就业人员年平均工资在分析现象之间的依存关系时，也不能用个别代表一般。现以某企业为例，如研究学历和工资依存关系，不能用四个学历的单个人的工资来说明问题，也不能用不同学历工资总额来说明问题，而要用平均工资才能反映其内在真实的依存关系。

某企业职工学历及工资资料

指标名称研究生本科生专科生专科以下月工资总额（元）

42000＜75000＜100000＜125600职工人数（人）

153050100平均工资（元）

2800＞2500＞2000＞1256

平均指标的作用------分析现象之间的依存关系（2）在分析现象之间的依存关系时，也不能用若2010年某地区GDP为2.2万亿，“十二五”计划期间经济平均增长速度为7%，那么该地区到2015年GDP就会达到3.09万亿，若人口2015年该地区人口为8500万人，则人均36353元。

平均指标的作用------利用平均指标进行推算（3）若2010年某地区GDP为2.2万亿，“十二五”计划平均指标计算方法算术平均法简单调和平均法中位数和众数几何平均法调和平均法加权算术平均法简单算术平均法简单几何平均法加权调和平均法加权几何平均法二、平均指标的种类及计算方法平均指标计算方法算术简单调和平均法中位数和

（一）算术平均法算术平均法：根据总体各单位标志值的算术和计算的平均数。其基本公式为：

【需要注意】

⑴区分平均数与具有“平均”含义的强度相对数；⑵此公式是基本公式，具体形式要看所给资料而定。

由于掌握的资料不同，可将算术平均法分为：

简单算术平均法和加权算术平均法。（一）算术平均法算术平均法：根据总体各单位标志值的算术

1.简单算术平均法简单算术平均法的应用条件

若掌握的是未经分组整理的总体各单位的具体标志值，可采用简单算术平均法，计算各标志值的算术和再除以总体单位数即可。用这种方法计算的平均数，称为简单算术平均数。用公式表示如下：

式中：代表平均数x代表各标志值∑是总和符号n代表标志值个数1.简单算术平均法简单算术平均法的应用条件

2、加权算术平均法加权算术平均法的应用条件

若资料为各组标志值和权数（次数或比重）的变量数列，应采用加权算术平均法，即以各组标志值为变量，以各组次数或比重为权数进行加权平均。计算公式如下：

式中：x为各组标志值；f为各组次数2、加权算术平均法加权算术平均法的应用条件

单项数列资料平均指标的计算（例1）

某企业20名职工日产量资料日产量（件）x人数f产量xf

%

591261043090483050201.54.52.4合计201681008.4注意⑴以比重为权数计算的结果与用绝对数计算结果完全一样。⑵本例为单项数列资料。若为组距数列，需先算组中值。单项数列资料平均指标的计算（例1）组距数列资料平均指标的计算（例2）按月工资分组（元）组中值（元）x职工人数（人）f工资总额xf7000以下

6500

20

130000

7000—8000

7500

25

187500

8000—9000

8500

30

255000

9000—10000

9500

15

142500

10000以上

10500

10

105000合计

—

100

820000某公司按工资水平分组资料表组距数列资料平均指标的计算（例2）按月工资分组（元）组中值（

加权平均数的影响因素各组权数（次数或比重）各组标志值(x)1.若各组标志值不变，各组单位数同时扩大或缩小相同的倍数则平均数不变；2.若各组单位数不变，各组标志值同时扩大或缩小相同的倍数，平均数也随之扩大或缩小相同的倍数。3.若各组权数是相等的，则用加权算术平均和简单算术平均的计算结果是相同。加权各组权数（次数或比重）各组标志值(x

【加权算术平均法计算步骤】各组标志值乘次数得各组标志总量加总得到总体标志总量计算总体单位总量总体标志总量除以总体单位总量【加权算术平均法计算步骤】各组加总总体权数选择问题各组标志值与各组单位数之积要有实际意义，即二者之积为算术平均数算式中的分子（总体标志总量）权数选择问题各组标志值与各组单位数之积要有实际【课堂讨论1】

(2)若甲企业计划销售额为1000万，计划完成程度为50%，乙计划销售额为10万，计划完成程度为150%，能否说这两个企业平均计划完成程度为100%呢？计划完成程度%组中值%x门市部数90—100100—110110—12095105115528合计—15讨论计算该公司平均计划完成程度时是否以各组门市部数为权数进行计算？(3)某公司下属15个门市部计划完成情况见下表：(1)若甲企业计划完成程度为50%，乙为150%，能否说这两个企业平均计划完成程度为100%呢？【课堂讨某集团公司下属甲、乙、丙三个子公司生产同一种产品，有关资料如下表:公司名称人数（人）单位产品原材料消耗量（公斤/件）x甲乙丙3002005005.05.54.8合计1000—讨论能否以人数为权数计算该集团公司所属三个子公司的单位产品原材料平均消耗量？【课堂讨论2】某集团公司下属甲、乙、丙三个子公司生产同一种产品，有关资料

正确选择权数实例（1）某公司下属15个门市部计划完成情况资料计划完成程度%组中值%x门市部数计划销售额（万元）f实际销售额（万元）xf90—100100—110110—1209510511552810080010095840115合计—1510001050正确选择权数实例（1）某公司下属15个门市部计划完成情

正确选择权数实例（续）分析：由于各组规模不同，销售额存在差别。各组计划完成程度在平均计划完成程度计算时作用是不同的，规模大的门市部计划完成程度对平均计划完成程度影响作用大。门市部数不能作权数。此问题在实际工作中尤其是要注意的。根据此例，应以计划完成程度为变量，以计划销售额为权数进行加权算术平均（此处套用加权算术平均的算法，但和基本公式的要求并不一致）。正确计算是：正确选择权数实例（续）分析：由于各组规模不同，销

正确选择权数实例（2）根据表中资料计算三个公司的单位产品原材料平均消耗量：公司名称人数（人）f单位产品原材料消耗量（公斤/件）x产量（万件）q甲乙丙3002005005.05.54.82.01.53.0合计1000—6.5正确选择权数实例（2）根据表中资料计算三个公司的单位产

正确选择权数实例（续）方法二：平均单位产品原材料消耗量（以“产量”作权数）方法一：平均单位产品原材料消耗量（以“人数”作权数）正确选择权数实例（续）方法二：平均单位产品原材料消耗量（二）调和平均法导例：某种蔬菜甲、乙、丙三个市场的价格分别为每千克0.5

元、0.4元和0.2元。若：⑴甲、乙、丙三个市场各买1千克；⑵甲、乙、丙三个市场分别买3千克、5千克、10千克；⑶甲、乙、丙三个市场各买1元；⑷甲、乙、丙三个市场分别买5元、8元、10元。要求分别计算该种蔬菜的平均购买价格。（注意：不能是三种蔬菜，不同质；也不是早、中、晚三个时间，不同时。静态平均）分析：无论什么资料，蔬菜平均价格都是购买额除以购买量。即：（二）调和平均法导例：某种蔬菜甲、乙、丙三个市场的价格分别为

（二）调和平均法（续1）根据以上资料，蔬菜平均购买价格计算分别为：简单算术平均法加权算术平均法简单调和平均法加权调和平均法（二）调和平均法（续1）根据以上资料，蔬菜平均购买价格

（二）调和平均法（续2）调和平均法：变量值倒数的算术平均数的倒数，又称倒数平均法。在统计实践中，有时因缺乏总体的单位数资料，不能直接采用算术平均法方法进行计算，这时需要将算术平均法的形式加以改变。调和平均法常常作为算术平均法的变形来使用。⑵在各组标志总量不等时，应采用加权调和平均法：⑴在各组标志总量都是1时，采用简单调和平均法：（二）调和平均法（续2）调和平均法：变量值倒数的算术

（二）调和平均法（续3）实例：某企业购进某种原材料三批，已知每批购进价格和购进金额，要求计算该种原材料的平均价格。资料见下表：批次价格（元/千克）x购进额（元）m购进量（千克）第一批第二批第三批

607080

60001400056000100200700合计

—

76000

1000（二）调和平均法（续3）实例：某企业购进某批次价格（元/千克）x购进量（千克）f购进额（元）xf第一批第二批第三批

607080

10020070060001400056000合计

—

1000

76000加权算术平均法与加权调和平均法的比较批次价格购进量购进额（元）第一批

加权算术平均法与加权调和平均法的应用

股民老张先后3次购买了中国石油的股票，具体购买情况如下：1.分别在32元、20元和15元时购买2000股3000股和5000股；2.分别在32元、20元和15元时购买96000元30000元和75000元；要求分别计算老张所购买的中国石油的平均购买价格。加权算术平均法与加权调和平均法的应用股民老张先后3次国家和地区2006年2007年2008年2009年2010年2006-2010年平均增长率世界总计5.25.32.8-0.65.03.5美国2.72.00.0-2.62.80.9欧元区3.02.90.5-4.11.80.8日本2.02.4-1.2-5.24.30.4中国12.714.29.69.210.311.2（三）几何平均法导例1：平均速度的计算问题？？若只有某一年的速度能说明问题吗？2006-2010年世界主要国家和地区经济增长率比较单位：%国家和地区2006年2007年2008年2009年2010年导例2：某工厂生产某种产品需要先后经过四个车间（四个工序），已知四个车间的合格率分别为80%、90%、85%和70%，求四个车间的平均合格率？1车间80%2车间90%4车间70%3车间85%导例2：某工厂生产某种产品需要先后经过四个车间（四个工分析：每个车间计算合格率的基数是不一样的。若投入生产100件产品的原材料，经过第一车间只能生产80件并进入到第二车间（基数就变成了80），各车间基数依次减少。由于各比率的基数不同，比率不能直接相加求总比率。针对此例，总合格率不等于80%+90%+85%+70%。分析：每个车间计算合格率的基数是不一样的。若投入生产100件

（三）几何平均法（续1）几何平均法：ｎ个变量值连乘积的ｎ次方根。应用条件：总比率（或总速度）等于各比率（或各速度）之积时，求平均比率（或平均发展速度）时才可以用几何平均法，否则不可用。几何平均法平均的变量值的形式是相对数。在计算平均比率、平均速度或平均利率等情况时使用。

（三）几何平均法（续1）几何平均法：ｎ个变量值连

（三）几何平均法（续2）实例：某企业生产一种产品需先后经过20个车间，各车间合格率资料如下：

合格率%x车间数f708085905384合计20（三）几何平均法（续2）实例：某企业生产一

（三）几何平均法（续3）

应用：某公司向商业银行申请一笔贷款，期限为10年，以复利来计息。10年的利率分别是：第1年至第2年为3%，第3年至第5年为4.5%，第6年至第7年为5%，第8年至第9年为5.5%，第10年为6%，求该笔贷款的平均年利率。（三）几何平均法（续3）应用：某公司向商业若本金为A，年利率为r,则各年末本利之和123第1年末第2年末第3年末n第n年末若本金为A，年利率为r,则各年末本利之和123第1年末第2年分析：由于银行对贷款的计息以复利计算，则各年的利率不能直接相乘。因此，必须先将各年利率换算成各年本利率，即“1+年利率”。再以各年本利率相乘得到总本利率。若各年利率相等，则n年后的总利率为：分析：由于银行对贷款的计息以复利计算，则各年的利率不能直接相

（三）几何平均法（续4）

分析：由于各年利率不等，就可以采用加权几何平均法计算年平均本利率，最后，用年平均年本利率减1就是平均年利率。计算过程如下：年均本利率＝

=104.65%则该公司10年贷款平均年利率为4.65%。（三）几何平均法（续4）分析：由于各年利率不等，就根据总体各标志值计算平均数，会受极端值影响，处理方法是：去掉极端值，如评委打分，常采取去掉最高或最低值的方法；另外还可以通过众数和中位数来避免此种情况的发生。

【需要注意】根据总体各标志值计算平均数，会受极端值影响，处理方法是：去掉（四）众数众数：总体中出现次数最多的标志值。出现次数越多，众数的代表性就越强。计算和应用众数的条件是总体单位数较多且有明显的集中趋势。（集贸市场的随行就市）（四）众数众（五）中位数中位数：将总体各单位标志值按从小到大的顺序排列，处于中间位置的数值。若总体单位数是偶数，则处于中间的两个标志值的算术平均数是中位数。实际中，也常用年龄中位数说明人口老龄化问题。普查年份195319641982199020002010年龄中位数21.7020.2022.9125.2530.8535.20需要注意：中位数和组中值的区别？？（五）中位数中位数：将总体各单位标志值按从小到大的顺序任务二

计算和应用平均指标应注意的问题任务二

计算和应用平均指标

一、同质性是计算和应用平均指标的基础平均指标是反映同质总体各单位标志值一般水平的指标，平均指标要保证在同质总体内计算。注意：同质性是相对的。研究目的不同，同质性所指也不同。例如：研究城乡收入差别时，城镇居民和农村居民分属两个不同总体，应分别计算其平均收入；研究不同行业职工工资水平差别时，则城镇职工又分属不同的行业，此时的同质性是指行业相同。有时候甚至在一个企业职工性质也有很大差异如农民工和非农民工，前者收入非常低。一、同质性是计算和应用平均指标的基础二、用组平均数补充说明总平均数在同质总体中，又存在不同类型的组，而总体各组间还存在很大差别。平均指标若没有科学的分组，那就往往掩盖矛盾，成为笼统的指标，甚至成为虚构的指标。总平均数抽象掉了总体内各组的差异，它也不能全面说明总体特征。因此，就需通过分组，分别计算各组平均数以补充说明总平均数。二、用组平均数补充说明总平均数在同质总体中，又存在不同类型的

【课堂讨论】

资料：若A公司职工月平均工资为2550元，B公司职工月平均工资为1650元。从工资水平考虑，你认为应该选择哪个公司合适？为什么？【A、B两公司职工月工资水平资料学历

A公司

B公司职工人数工资总额（元）平均工资（元）职工人数工资总额（元）平均工资（元）人%人%研究生本科生专科生中专生其他100403020105020151053200001000006000024000600032002500200012006001002004005008005102025403500006000008800007500007200003500300022001500900总计2001005100002550200010033000001650【问题思考】若仅从工资考虑，你选哪公司？为什么？请解释同学历职工B公司都高于A公司而总平均工资却低于A公司的原因？A、B两公司职工月工资水平资料三、用次数分布资料补充说明总平均数总平均数掩盖了差异状况。为了全面深入地分析问题，我们不能只看现象总的平均水平，还必须了解总体单位在各组次数分布情况，把总平均数与次数分布资料相结合。现以某公司下属的50个分公司年度产量计划完成情况为例来说明。情景设计：某公司统计人员向公司老总汇报总公司计划完成情况。按计划完成程度分组（%）公司数（个）比重（%）80—9090—100100—110110—120120—130363010161260202合计50100三、用次数分布资料补充说明总平均数总平均数掩盖了差异状况。为

四、平均数分析与典型事例相结合

平均数说明的是总体某一变量值的一般水平，它体现的是一定范围内社会经济现象的共性，但同时却掩盖了现象的个性特征。因此，为了丰富平均数对社会现象的认识作用，往往还需要结合具体的典型事例，特别是要研究先进和落后的典型，以补充平均数之不足。四、平均数分析与典型事例相结合平均

五、平均指标与变异指标相结合

【问题防范：平均数“陷阱”】

某人生产了以下8个零件，平均尺寸为6mm，正好等于标准尺寸，是否意味着这个人生产的零件都合格？125678910

五、平均指标与变异指标相结合【问题防范：平均数“陷阱”】

如某市环保局资料：“本市平均的空气污染指数已降到警界线以下”但你切不要以为生活在本市是十分安全的，因为可能你所生活的那个社区或你所工作的那个单位是本市污染最严重的社区或单位。假如你继续在该社区或单位工作，就会严重损害你的健康。【问题防范：平均数“陷阱”】如某市环保局资料

【问题防范：平均数“陷阱”】某人要找到一份工资较高的工作，一天他看到一则招聘广告“本公司现有员工19名，现诚聘1名技术工人。本公司人均月薪3200元以上。”于是他就高兴去应聘，并很幸运地被录取了，但他第一个月拿到的正常月薪只有500元。他说该公司的招聘广告说谎，但该广告确实没有说谎。实情：该公司的平均工资是这样计算出来的：经理月薪25000元；经理秘书15000元；两名中层主管月薪10000元；其他员工月薪500元。【问题防范：平均数“陷阱”】某人要找到一份工资较高的工作，结论：平均指标要和变异指标相结合

谨防平均数“陷阱”平均指标反映总体一般水平，掩盖了差异（组与组的差异和总体单位的差异），而综合反映个体差异也是认识研究总体的重要数量特征。变异指标就是反映总体各单位标志值（或属性）差异或离散程度的统计指标，因此，二者应该相结合，这样对总体数量特征认识得才更为全面。

结论：平均指标要和变异指标相结合任务三

理解变异指标概念及作用

掌握平均指标种类及计算任务三

理解变异指标概念及作用

掌握平均指标种类一、变异指标的概念及作用

★变异指标：反映总体各单位差异（数量或属性）或离散程度的综合指标，又称标志变动度。变异指标是反映总体数量特征的重要指标。平均指标掩盖了总体内各单位的差异，然而总体内各单位的差异则是客观存在的，这就需要进一步计算能够反映总体各单位差异程度或离散程度的变异指标。如果说平均指标说明总体单位的集中趋势，那么变异指标则说明总体单位的离中趋势。一、变异指标的概念及作用★变异指标：反映总体各单位差

★

变异指标的作用

☆

变异指标可以衡量平均数代表性的大小；甲：306090120150180210乙：120120120120120120120☆

反映社会经济活动过程的均衡性、稳定性；

如收入分配的均衡；降雨量的均衡等；产品质量的稳定；考试成绩的稳定；农作物高产稳产等；稳定则容易判断事物的性质☆

变异指标是抽样推断中确定样本容量的重要依据。★变异指标的作用☆变异指标可以衡量平均数代

二、变异指标的种类及计算变异指标全距平均差标准差变异系数离散系数加权式平均差简单式平均差简单式标准差加权式标准差是非标志标准差全距系数平均差系数标准差系数二、变异指标的种类及计算变异指标全距平均差标准

（一）全距（极差）

未分组资料：全距R=最大值-最小值组距分组资料：全距R=最高组上限-最低组下限

若为开口组，可先求出组中值，再利用组中值求得全距。