量子跃迁课件

量子跃迁§5.6—5.9，共计4节，介绍与时间有关的微扰理论，即微扰哈密顿算符与时间有关。这里含时微扰主要用于讨论原子能级的跃迁几率问题。光谱分析中有两个重要观测量—谱线频率与谱线强度，前者取决于能级跃迁的初末态能量之差，后者则与跃迁几率成比例，因此跃迁几率在光谱分析中是很重要的物理量。一、与时间有关的微扰理论

1、计算跃迁几率的量子力学描述

当t≦0时粒子处于本征态本征能量

量子跃迁§5.6—5.9，共计4节，介绍与时间有1满足

定态波函数为

满足方程当t≧0时,加一个含时微扰波函数满足方程

（1）

满足定态波函数为（1）2

把按本征函数系{}展开其中展开系数其物理意义是什么？由量子力学原理知，时，体系处在定态；时，体系处在一系列可能态，处在的几率，即从的跃迁几率为：关键是如何求出展开系数要严格求解薛定谔方程通常是很困难的。只能采用含时微扰方法求解。（2）

把按本征函数系{32．计算跃迁几率的含时微扰方法

将（2）式代入（1）式得上式推导过程中运用了将左乘上式得其中微扰矩阵元（3）

2．计算跃迁几率的含时微扰方法将（2）式代入（1）式4玻尔条件

（3）式是一阶微分方程组，未知元为是薛定谔方程在能量表象中的表示。原则上可由初始条件[时体系处在

态，这时]，求解（3）可得实际上无法精确求解，因为（1）方程个数无限多；（2）每个方程又含无限多个只能近似求解，注意到在方程式的右边已含一级微量，则在考虑一级近似时用的零级近似代替玻尔条件（3）式是一阶微分方程组，未知元为5得

最后得所以，从跃迁到的跃迁几率为这就是用含时微扰方法计算跃迁几率的一般公式。关键是求的矩阵元。可见，已知本征函数、本征值及

（4）

（5）

得最后得（4）（5）6二、跃迁几率

这一节给出了在两种具体含时微扰情况下：常微扰即0→t时间内，=C；周期性微扰我们只介绍周期性微扰（光照射原子就属于这种微扰）为便于下面计算，将上式写成指数形式：与是未微扰前的哈密顿算符的本征态与能量

跃迁几率公式为

二、跃迁几率这一节给出了在两种具体含时微扰情况下：跃迁几率7先求

现结合物理具体情况要作进一步简化A.当微扰频率~原子能级间频率第一项忽略∵∴

对应光吸收，原子向高能级激发跃迁

先求8B．当微扰频率~原子能级间频率，第二项忽略∵∴对应原子光发射（受激发射），原子向低能级跃迁C．当微扰频率不~原子能级间频率±二项都忽略，对应原子既不激发，也不跃迁。

总之，只有当外界微扰频率与原子能级间频率相当时，原子才会激发（吸收）或跃迁（发射）。（玻尔条件）

B．当微扰频率~原子能级间频率9这样

_号对应吸收+号对应受激发射当t足够长，利用与，得跃迁几率：

这样_号对应吸收10单位时间跃迁几率

的出现，反映了能级跃迁过程中的能量守恒，因为只有可以证明

即同一原子同样二个能级之间的激发或跃迁的几率一样

单位时间跃迁几率的出现，11三、光的吸收与发射

上一节介绍了在周期性微扰下原子受激发射与吸收的跃迁几率的计算，但一般情况下，原子以自发发射为主，那么自发发射的跃迁几率如何计算？这涉及到原子与光子的相互作用问题，处理光子要考虑相对论效应，严格求解要用量子电动力学。本节介绍爱因斯坦的关于光的吸收与发射的半唯象理论，借助物体与辐射场平衡时的热力学关系，建立起自发辐射(或自发发射)与受激辐射（或受激发射）、吸收的关系，从而由受激辐射的几率求出自发辐射的几率。

三、光的吸收与发射上一节介绍了在周期性微扰下原子受121、爱因斯坦的光吸收与发射理论

（1）光子辐射与吸收的三种过程、三种系数三种过程：吸收自发辐射受激辐射三种系数：a自发辐射系数:----原子在单位时间自发从跃迁到，并发射光子的几率。

1、爱因斯坦的光吸收与发射理论（1）光子辐射与吸13b．受激辐射系数-----在频率从

范围、强度为的光波作用下，原子在单位时间从

跃迁到，并发射光子的几率为。

c．吸收系数------在频率从范围、强度为的光波作用下,原子在单位时间吸收光子后从激发到的几率为。

注意三种系数不是同一物理量（2）三种系数、与之间的关系

b．受激辐射系数-----在频142、由跃迁几率公式计算、与（1）与、的关系：设则其中受激辐射

吸收我们只需求

2、由跃迁几率公式计算、15（2）求

我们这里的含时微扰，是指在0→t时间内光照射原子。以原子为原点，原子中电子位矢为。设偏振单色光沿Z方向传播，单色光的电场是：原子中电子受到单色光的电场作用的能量为：由于原子大小~Å，光波波长~Å，所以z/λ~0,所以，偏振单色光照射原子的含时微扰项为：（2）求我们这里的含时微扰，是指在0→t时间内光照射原子。16所以

说明一点：这里只考虑电场ε对电子的作用，忽略磁场B对电子的作用，因为可以估计出前者大于后者约100多倍（见书P163）。I()是指电磁波的能量密度，由电磁理论得所以说明一点：这里只考虑电场ε对电子的作用，忽略磁场B17（3）推广到非单色光、非偏振光的情况实际上入射的光不是单色光，其频率有一定的范围所以应对各种频率引起的跃迁几率相加：

实际上入射的光是各向同性、无偏振光，因此要对三个方向求平均

（3）推广到非单色光、非偏振光的情况实际上入射的光不是单色光18（4）求三个系数

吸收系数这种含时微扰（一级近似）为电偶极近似，称这样的能级跃迁为电偶极跃迁受激辐射系数=吸收系数自发辐射系数求三个系数，关键是求三个矩阵元

（4）求三个系数吸收系数19四、选择定则

在原子物理中，单电子能级跃迁选择定则：现在我们用量子力学给选择定则一个理论解释。选择定则来自于跃迁几率是否为0，也即来自于三个辐射系数是否为0。三个辐射系数都与矩阵元有关。所以，只要看看什么情况下，就可以得到上述选择定则。原子中电子在有心力场中运动，电子的波函数形式应与氢原子的类似，，只有径向部分有差别。

四、选择定则在原子物理中，单电子能级跃迁选择定则：201.计算利用

得所以，只有时2.计算1.计算利用21利用公式得因此，只有，时综上1、2二点，得偶极选择定则：说明：该选择定则是在偶极近似下成立的。可能有这样情况，偶极近似下是禁戒跃迁，但在更高级近似下是允许跃迁，则结果应是允许跃迁。利用公式22量子跃迁§5.6—5.9，共计4节，介绍与时间有关的微扰理论，即微扰哈密顿算符与时间有关。这里含时微扰主要用于讨论原子能级的跃迁几率问题。光谱分析中有两个重要观测量—谱线频率与谱线强度，前者取决于能级跃迁的初末态能量之差，后者则与跃迁几率成比例，因此跃迁几率在光谱分析中是很重要的物理量。一、与时间有关的微扰理论

1、计算跃迁几率的量子力学描述

当t≦0时粒子处于本征态本征能量

量子跃迁§5.6—5.9，共计4节，介绍与时间有23满足

定态波函数为

满足方程当t≧0时,加一个含时微扰波函数满足方程

（1）

满足定态波函数为（1）24

把按本征函数系{}展开其中展开系数其物理意义是什么？由量子力学原理知，时，体系处在定态；时，体系处在一系列可能态，处在的几率，即从的跃迁几率为：关键是如何求出展开系数要严格求解薛定谔方程通常是很困难的。只能采用含时微扰方法求解。（2）

把按本征函数系{252．计算跃迁几率的含时微扰方法

将（2）式代入（1）式得上式推导过程中运用了将左乘上式得其中微扰矩阵元（3）

2．计算跃迁几率的含时微扰方法将（2）式代入（1）式26玻尔条件

（3）式是一阶微分方程组，未知元为是薛定谔方程在能量表象中的表示。原则上可由初始条件[时体系处在

态，这时]，求解（3）可得实际上无法精确求解，因为（1）方程个数无限多；（2）每个方程又含无限多个只能近似求解，注意到在方程式的右边已含一级微量，则在考虑一级近似时用的零级近似代替玻尔条件（3）式是一阶微分方程组，未知元为27得

最后得所以，从跃迁到的跃迁几率为这就是用含时微扰方法计算跃迁几率的一般公式。关键是求的矩阵元。可见，已知本征函数、本征值及

（4）

（5）

得最后得（4）（5）28二、跃迁几率

这一节给出了在两种具体含时微扰情况下：常微扰即0→t时间内，=C；周期性微扰我们只介绍周期性微扰（光照射原子就属于这种微扰）为便于下面计算，将上式写成指数形式：与是未微扰前的哈密顿算符的本征态与能量

跃迁几率公式为

二、跃迁几率这一节给出了在两种具体含时微扰情况下：跃迁几率29先求

现结合物理具体情况要作进一步简化A.当微扰频率~原子能级间频率第一项忽略∵∴

对应光吸收，原子向高能级激发跃迁

先求30B．当微扰频率~原子能级间频率，第二项忽略∵∴对应原子光发射（受激发射），原子向低能级跃迁C．当微扰频率不~原子能级间频率±二项都忽略，对应原子既不激发，也不跃迁。

总之，只有当外界微扰频率与原子能级间频率相当时，原子才会激发（吸收）或跃迁（发射）。（玻尔条件）

B．当微扰频率~原子能级间频率31这样

_号对应吸收+号对应受激发射当t足够长，利用与，得跃迁几率：

这样_号对应吸收32单位时间跃迁几率

的出现，反映了能级跃迁过程中的能量守恒，因为只有可以证明

即同一原子同样二个能级之间的激发或跃迁的几率一样

单位时间跃迁几率的出现，33三、光的吸收与发射

上一节介绍了在周期性微扰下原子受激发射与吸收的跃迁几率的计算，但一般情况下，原子以自发发射为主，那么自发发射的跃迁几率如何计算？这涉及到原子与光子的相互作用问题，处理光子要考虑相对论效应，严格求解要用量子电动力学。本节介绍爱因斯坦的关于光的吸收与发射的半唯象理论，借助物体与辐射场平衡时的热力学关系，建立起自发辐射(或自发发射)与受激辐射（或受激发射）、吸收的关系，从而由受激辐射的几率求出自发辐射的几率。

三、光的吸收与发射上一节介绍了在周期性微扰下原子受341、爱因斯坦的光吸收与发射理论

（1）光子辐射与吸收的三种过程、三种系数三种过程：吸收自发辐射受激辐射三种系数：a自发辐射系数:----原子在单位时间自发从跃迁到，并发射光子的几率。

1、爱因斯坦的光吸收与发射理论（1）光子辐射与吸35b．受激辐射系数-----在频率从

范围、强度为的光波作用下，原子在单位时间从

跃迁到，并发射光子的几率为。

c．吸收系数------在频率从范围、强度为的光波作用下,原子在单位时间吸收光子后从激发到的几率为。

注意三种系数不是同一物理量（2）三种系数、与之间的关系

b．受激辐射系数-----在频362、由跃迁几率公式计算、与（1）与、的关系：设则其中受激辐射

吸收我们只需求

2、由跃迁几率公式计算、37（2）求

我们这里的含时微扰，是指在0→t时间内光照射原子。以原子为原点，原子中电子位矢为。设偏振单色光沿Z方向传播，单色光的电场是：原子中电子受到单色光的电场作用的能量为：由于原子大小~Å，光波波长~Å，所以z/λ~0,所以，偏振单色光照射原子的含时微扰项为：（2）求我们这里的含时微扰，是指