平面的基本事实与推论学案-高一下学期数学人教B版（2019）必修第四册

5/5平面的基本事实与推论【学习目标】1．通过平面概念及画法的学习，培养直观想象的数学核心素养。2．借助平面基本事实及推论，培养逻辑推理的数学核心素养。【学习重难点】1．了解平面的概念，掌握平面的画法及表示方法。2．掌握平面的基本事实及推论，能用符号语言描述空间点、直线、平面之间的位置关系。3．能用图形、文字、符号三种语言描述三个公理，并能解决空间线面的位置关系问题。【学习过程】一、初试身手1．如图所示的平行四边形MNPQ表示的平面不能记为()A．平面MN B．平面NQPC．平面α D．平面MNPQ2．能确定一个平面的条件是()A．空间三个点 B．一个点和一条直线C．无数个点 D．两条相交直线3．根据图，填入相应的符号：A________平面ABC，A________平面BCD，BD________平面ABC，平面ABC∩平面ACD＝________。二、合作探究文字语言、图形语言、符号语言的相互转化【例1】根据下列符号表示的语句，说明点、线、面之间的位置关系，并画出相应的图形：（1）A∈α，B∉α；（2）l⊂α，m⊄α，m∩α＝A，A∉l；（3）P∈l，P∉α，Q∈l，Q∈α。点、线共面问题【例2】已知四条直线两两相交，且不共点，求证：这四条直线在同一平面内。[思路探究]四条直线两两相交且不共点，可能有两种情况：一是有三条直线共点；二是任意三条直线都不共点，故要分两种情况。【学习小结】平面的基本事实及推论公理内容图形符号基本事实1经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面A，B，C三点不共线⇒存在唯一的平面α使A，B，C∈α基本事实2如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒l⊂α基本事实3如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线P∈α，P∈β⇒α∩β＝l，且P∈l推论1经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个平面(图①)。推论2经过两条相交直线，有且只有一个平面(图②)。推论3经过两条平行直线，有且只有一个平面(图③)。【精炼反馈】1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)（1）三点可以确定一个平面。 ()（2）一条直线和一个点可以确定一个平面。 ()（3）四边形是平面图形。 ()（4）两条相交直线可以确定一个平面。 ()2．设平面α与平面β交于直线l，A∈α，B∈α，且直线AB∩l＝C，则直线AB∩β＝________。3．如图，三个平面α，β，γ两两相交于三条直线，即α∩β＝c，β∩γ＝a，γ∩α＝b，若直线a和b不平行。求证：a，b，c三条直线必过同一点。答案：【学习过程】一、初试身手1．A[MN是平行四边形MNPQ的一条边，不是对角线，所以不能记作平面MN。]2．D[不在同一条直线上的三个点可确定一个平面，A，B，C条件不能保证有不在同一条直线上的三个点，故不正确。]3．[答案]∈∉⊄AC二、合作探究【例1】[解]（1）点A在平面α内，点B不在平面α内。（2）直线l在平面α内，直线m与平面α相交于点A，且点A不在直线l上。（3）直线l经过平面α外一点P和平面α内一点Q。图形分别如图（1），（2），（3）所示。图（1）图（2）图（3）【例2】[解]已知：a，b，c，d四条直线两两相交，且不共点，求证：a，b，c，d四线共面。证明：（1）若a，b，c三线共点于O，如图所示，∵O∉d，∴经过d与点O有且只有一个平面α。∵A、B、C分别是d与a、b、c的交点，∴A、B、C三点在平面α内。由公理1知a、b、c都在平面α内，故a、b、c、d共面。（2）若a、b、c、d无三线共点，如图所示，∵a∩b＝A，∴经过a、b有且仅有一个平面α，∴B、C∈α。由公理1知c⊂α。同理，d⊂α，从而有a、b、c、d共面。综上所述，四条直线两两相交，且不共点，这四条直线在同一平面内。【精炼反馈】1．[答案]（1）×（2）×（3）×（4）√[提示]（1）错误。不共线的三点可以确定一个平面。（2）错误。一条直线和直线外一个点可以确定一个平面。（3）错误。四边形不一定是平面图形。（4）正确。两条相交直线可以确定一个平面。2．C[∵α∩β＝l，AB∩l＝C，∴C∈β，C∈AB，∴AB∩β＝C．]3．[证明]∵α∩γ＝b，β∩γ＝a，∴a⊂γ，