北京市丰台区2023-2024学年高一上学期期末考试数学试卷 含解析

丰台区2023～2024学年度第一学期期末练习高一数学2024.01考生须知：1.答题前，考生务必先将答题卡上的学校、班级、姓名、教育ID号用黑色字迹签字笔填写清楚，并认真核对条形码上的教育ID号、姓名.在答题卡的“条形码粘贴区”贴好条形码.2.本次练习所有答题均在答题卡上完成，选择题必须使用2B铅笔以正确填涂方式将各小题对应选项涂黑，如需改动，用橡皮擦除干净后再选涂其它选项.非选择题必须使用标准黑色字迹签字笔书写，要求字体工整、字迹清楚.3.请严格按照答题卡上题号在相应答题区内作答，超出答题区域书写的答案无效.在练习卷、草稿纸上答题无效.4.本练习卷满分共150分，作答时长120分钟.第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合，，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据给定条件，利用交集的定义直接求解作答.【详解】因为，，所以.故选：.2.下列函数在区间上单调递减的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】结合函数的单调性依次判断即可.【详解】解:对于A项，函数在上单调递增，故A项错误；对于B项，函数在上有增有减，故B项错误；对于C项，函数在上单调递增，故C项错误；对于D项，函数，则函数在上单调递减，故D项正确.故选：D3.若，，则下列结论一定成立的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用不等式性质可知，即可对A判断；由不等式性质得，即可对B判断，利用特殊值可对C、D判断；【详解】对A：由，所以，故A错误；对B：由，所以，故B正确；对C：由，令，则，故C错误；对D：由，，令，所以，故D错误.故选：B.4.已知，则（）A. B. C. D.1【答案】A【解析】【分析】根据正切的和差角公式即可求解.【详解】，故选：A5.（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用根式的性质、指数和对数的运算性可得出所求代数式的值.【详解】，故A正确.故选：A.6.函数，则（）A.是最小正周期为的奇函数 B.是最小正周期为的偶函数C.是最小正周期为的奇函数 D.是最小正周期为的偶函数【答案】D【解析】【分析】对函数化简得，然后利用正弦三角函数的性质从而求解.【详解】对A、C：由题意得，定义域为，所以，所以为偶函数，故A、C错误；对B、D：函数的最小正周期为，故B错误，D正确，故选：D.7.函数，，的零点分别为，，，则，，，的大小顺序为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用函数与方程之间的关系，转化为两个函数的交点问题，利用数形结合求解即可.【详解】令，即，令，即，令，即，分别作出，，和的图象，如图所示：由图象可知：，所以.故选：.8.若α，β都是第一象限角，则“”是“”成立的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】设，且，由和在上单调递增，可判断.【详解】因为α，β都是第一象限角，设，且，因为和在上单调递增，当时，即，所以，则，所以；反之，当时，即，所以，则，即,所以“”是“”成立充分必要条件.故选：C9.荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海.”学习是日积月累的过程，每天进步一点点，前进不止一小点.若甲、乙两同学当下的知识储备量均为a，甲同学每天的“进步”率和乙同学每天的“退步”率均为2%.n天后，甲同学的知识储备量为，乙同学的知识储备量为，则甲、乙的知识储备量之比为2时，需要经过的天数约为（）（参考数据：，，）A.15 B.18 C.30 D.35【答案】B【解析】【分析】根据题意列式，结合对数运算，即可求得答案.【详解】由题意可设经过n天后甲、乙的知识储备量之比为2，则，则（天），故选：B10.记为非空集合A中的元素个数，定义.若，，且，设实数a的所有可能取值组成的集合是S，则等于（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】根据给定条件可得或，再根据集合中的方程的根的个数，对参数进行分类讨论即可求得实数的所有可能取值，即可得出结果.【详解】由定义得，又，则或，由方程，得或，当时，方程只有一个实数根，而方程有一根为0，则另一根必为0，，此时无实根，因此；当时，必有，方程有两个不相等的实数根，并且都不是方程的根，显然方程有两个相等的实数根，且异于，于是，解得或，当时，方程的根为，满足题意，当时，方程的根为，满足题意，因此或，所以，.故选：C第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.函数的定义域为___________.【答案】【解析】【分析】根据开偶次方被开方数为非负数，结合对数函数的定义域得到不等式组，解出即可.【详解】由题意得，解得，所以函数的定义域为.故答案为：.12.能说明“关于的不等式在上恒成立”为假命题的实数的一个取值为_________.【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】将关于的不等式在上恒成立问题转化为，从而得到的取值范围，命题为假命题时的取值范围是真命题时的补集，即可得的取值.【详解】若不等式在上恒成立，则，解得，所以该命题为假命题时实数的取值范围是，所以实数的一个取值为.故答案为：（答案不唯一，只要满足“或”即可）.13.已知函数，若关于x的方程有两个不同的实根，则实数k的取值范围是_________.【答案】【解析】【分析】根据题意及函数和有两个不同的交点，然后求出相应区间上的值域，即可求解.【详解】由题意知，当时，，且单调递增，当时，，且单调递增，所以当有两个不同的实根，即函数和有两个不同的交点，所以只需即满足题意，所以的取值范围为.故答案为：.14.已知，则_________，的最小值为__________.【答案】①.②.【解析】【分析】由已知直接代入求解即可得；先利用同角三角函数的关系将已知式子变形，利用换元法结合二次函数求得最小值.【详解】，，令，则，函数对称轴为，又，所以当时，有最小值，所以的最小值为.故答案为：；.15.双曲函数是一类与三角函数类似的函数，基本的双曲函数有：双曲正弦函数，双曲余弦函数，双曲正切函数.给出下列四个结论：①函数是偶函数，且最小值为2；②函数奇函数，且在上单调递增；③函数在上单调递增，且值域为；④若直线与函数和的图象共有三个交点，这三个交点的横坐标分别为，，，则.其中所有正确结论的序号是________________.【答案】②③④【解析】【分析】利用奇偶函数定义，指数的运算及基本不等式可对①、②判断；由，可求其值域，即可对③判断；结合双曲余弦函数和双曲正弦函数的性质，奇偶性、单调性、最值等来对④判断.【详解】对①：，定义域为，，所以为偶函数，因为，，所以，当且仅当，即时取等号，故①错误；对②：，定义域为，，所以为奇函数，因为在定义域上单调递增，在定义域上单调递增，所以在定义域上单调递增，故②正确；对③：由，又因为，所以，所以，所以的值域为，故③正确；对④：由①，②知是偶函数且最小值为，是奇函数且在上单调递增，所以函数与和的图象共有三个交点，则得，由双曲余弦函数为偶函数，得，则得，所以，即，得，则，所以，故④正确.故答案为：②③④.【点睛】方法点睛：根据函数的奇偶性的定义可求得双曲余弦函数为偶函数，双曲正弦函数为奇函数，再根据指数函数的单调性从而求得双曲正弦函数为增函数，结合两者的奇偶性，单调性即可对④求解.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程16.已知集合，.（1）若，求，；（2）若，求实数的取值范围.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）求出集合，然后即可求出，.（2）根据，列出相应的不等式组从而可求解.【小问1详解】当时，，所以或，因为，所以，所以，所以.【小问2详解】由（1）知，又，所以，解得：.所以实数的取值范围为.17.已知函数.（1）画出函数的图象，并写出函数的值域及单调区间；（2）解不等式；（3）若恒成立，求实数a的取值范围.【答案】（1）图象见解析，值域为，单调递减区间为，单调递增区间为（2）（3）【解析】【分析】（1）根据函数，即可画出对应的图象，从而求解.（2）利用指数函数的单调性可求解不等式，从而求解（3）由恒成立，即得，结合（1）中结论即可求解.【小问1详解】由题意知函数，从而可画出图象如下：当时，且单调递减，当时，且单调递增，所以的值域为，单调递减区间为，单调递增区间为.【小问2详解】由，即，可得，即或.所以该不等式的解集为.【小问3详解】由恒成立，即，又，所以，解得.所以的取值范围为.18.在平面直角坐标系中，角α和角β的顶点均与坐标原点O重合，始边均为x轴的非负半轴，终边分别与单位圆交于P，Q两点，若P，Q两点关于y轴对称，点P位于第一象限，横坐标为.（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由三角函数的定义结合两角和与差的余弦公式可解；（2）利用诱导公式化简，再结合（1）的结果可求.【小问1详解】依题意知，点P的坐标为，点Q的坐标为，所以，，，，所以.【小问2详解】.19.已知函数，其中.从条件①、条件②、条件③中选择一个条件，解决下列问题.（1）求的值；（2）求的单调递增区间；（3）若存在，使得，求实数m的取值范围.条件①：；条件②：；条件③：.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）利用二倍角公式、辅助角公式化简函数，再分别选择条件结合正弦函数性质求出.（2）利用（1）的结论，利用正弦函数单调性求出递增区间即得.（3）求出相位的范围，再求出时的相位，列出不等式求解即得.【小问1详解】，选条件①，有，则，即，而，所以.选条件②，有，则，即，而，所以.选条件③，显然是的周期，设的最小正周期为T，则，于是，即有，而，所以.小问2详解】由（1）得，由，得，所以的单调递增区间是.【小问3详解】当时，，当时，，由，，得，解得，所以实数m的取值范围是.20.2023年9月23日第十九届亚运会在杭州开幕，本届亚运会吉祥物是“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”.某商家成套出售吉祥物挂件，通过对销售情况统计发现：在某个月内（按30天计），每套吉祥物挂件的日销售价格（单位：元）与第x天的函数关系满足（k为常数，且），日销售量（单位：套）与第x天的部分数据如下表所示：x15202530650645650655设该月吉祥物挂件的日销售收入为（单位：元），已知第15天的日销售价格为32元.（1）求k的值；（2）根据上表中的数据，若用函数模型来描述该月日销售量与第x天的变化关系，求函数的解析式；（3）利用（2）中的结论，求的最小值.【答案】（1）（2），，.（3）20280元【解析】【分析】（1）将代入，即可求得答案；（2）结合表格中数据确定m的值，再解方程，即可求得答案；（3）求出的表达式，讨论x的取值范围，结合函数单调性以及基本不等式，即可求得答案.【小问1详解】由题意得，所以，解得.【小问2详解】根据表中数据以及，可知，当时，取得最小值；根据表中数据可得，，由，得，，，所以，其中，【小问3详解】由（1）（2）可知，，，当时，，可知在时随着x的增大而减小，所以当时的最小值为；当时，，因为，当且仅当时，等号成立，所以当时的最小值为，综上所述，当时，该月日销售收入的最小值为20280元.21.设，若非空集合同时满足以下4个条件，则称是“无和划分”：①；②；③，且中的最小元素大于中的最小元素；④，必有.（1）若，判断是否是“无和划分”，并说明理由.（2）已知是“无和划分”（）.①证明：对于任意，都有；②若存在，使得，记，证明：中的所有奇数都属于.【答案】（1）不是，理由见解析（2）①证明见解析；②证明见解析【解析】【分析】（1）取，则，即可得到结论；（2）①假设存在，使得，记的最小值为，得到，设B中最小的元素为，求得不同属于，列出方程组，即可得到结论；②由①知，设中最小的元素为,得出矛盾，求得，进而得到，，得到对于任意奇数都有，进而得到结论.【小问1详解】解：不是.理由如下：取，则，说明不“无和划分”.【小问2详解】解：①假设存在，使得,记的最小值为，则；设B中最小的元素为，则，所以，所以，（否则与矛盾），(否则与矛盾)，所以，因为，所以不同属于，所以这与矛盾，所以假设不成立.②因为是“无和划分”,且存在,使得记i的最小值为，所以，由①知，因为,所以，所以，设中最小的元素为,若，则，所以，所以(否则与矛盾)，所以(否则与矛盾)，所以，又因为和不同属于C，所以，这与矛盾，所以，即，所以，所以，所以，所以(否则与矛盾)，所以，若，则与和矛盾，所以所以,(否则与矛盾)，(否则与矛盾)，所以，以此类推，对于任意奇数都有，所以为偶数(否则，与2∈B和矛盾),所以均为奇数.因为，所以(否则与矛盾)，所以，所以，所以(否则与矛盾)，所以，以此类推，对于任意大于，小于或等于的奇数都属于集合，综上所述，中的所有奇数都属于集合.【点睛】知识方法点拨：与新定义有关的问题的求解策略：1、通过给出一个新的定义，或约定一种新的运算，或给