高考天津卷理科数学真题

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2021年一般高等学校招生全国一致考试〔天津卷〕

数学〔理工类〕

本试卷分为第一卷〔选择题〕和第二卷〔非选择题〕两局部，共

150分，考试用时120分钟。第一卷1至2页，第二卷3至5页。

答卷前，考生务势必自己的姓名、准考据号填写在答题考上，并在规定地点粘贴考试用条形码。答卷时，考生务势必答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

祝各位考生考试顺利！

I卷

本卷须知：

1．每题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂

黑。如需变动，用橡皮擦洁净后，再选涂其余答案标号。

2．本卷共8小题，每题5分，共40分。

参照公式：

假如事件A，B互斥，那么P(AUB)P(A)P(B).

假如事件A，B互相独立，那么P(AB)P(A)P(B).

棱柱的体积公式VSh，此中S表示棱柱的底面面积，h表示棱柱

的高.

1棱锥的体积公式VSh，此中S表示棱锥的底面面积，h表示棱3锥的高.一.选择题：在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求..的.(1)设全集为R，会合A{x0x2}，B{xx1}，那么AI(eRB)(A){x0x1}(B){x0x1}(C){x1x2}(D){x0x2}xy5,(2)设变量x，y知足拘束条件2xy4,那么目标函数z3x5y的最大xy1,y0,值为(A)6(B)19(C)21(D)45(3)阅读如图的程序框图，运转相应的程序，假定输入N的值为20，那么输出T的值为(A)1(B)2(C)3(D)4..(4)设x|x1|1x31〞的22(A)充分而不用要条件(B)必需而不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不用要条件(5)alog2e，bln2，clog11，那么a，b，c的大小关系为23(A)(D)

abc(B)bac(C)cbacab(6)将函数ysin(2x)的图象向右平移个单位长度，所得图象对应510的函数(A)在区间[3,5]上单一递加(B)在区间[3,]上单一444递减(C)在区间[5,3]上单一递加(D)在区间[3,2]上单一递422减x2y2(7)双曲线a2b21(a0,b0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点.设A，B到双曲线同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1d26，那么双曲线的方程为(A)x2y21(B)x2y21412124..(C)x2y21(D)x2y213993(8)如图，在平面四边形ABCD中，ABBC，ADCD，BAD120，ABADuuuruur1.假定点E为边CD上的动点，那么AEBE的最小值为(A)21(B)3(C)25(D)316216第二卷本卷须知：用黑色墨水的钢笔或署名笔将答案写在答题卡上。本卷共12小题，共110分。二.填空题：本大题共6小题，每题5分，共30分。(9)i是虚数单位，复数67i.12i(10)在(x1)5的睁开式中，x2的系数为.2x(11)正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，除面ABCD外，该正方体其余各面的中心分别为点E，F，G，H，M(如图)，那么四棱锥MEFGH的体积为...x12t,(12)圆x2y22x0的圆心为C，直线2(t为参数)与该y32t2圆订交于A，B两点，那么△ABC的面积为.(13)a,bR，且a3b60，那么2a1b的最小值为.8(14)a0，函数x22axa,x0,的方程f(x)axxf(x)恰有2个互异的实数解，那么a的取值范围是..解答题：本大题共6小题，共80分.解允许写出文字说明，证明过程或演算步骤.15〕〔本小题总分值13分〕△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.bsinAacos(B).6〔I〕求角B的大小；〔II〕设a=2，c=3，求b和sin(2AB)的值.(16)(本小题总分值13分)某单位甲、乙、丙三个部门的职工人数分别为24，16，16.现..采纳分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的检查.I〕应从甲、乙、丙三个部门的职工中分别抽取多少人？II〕假定抽出的7人中有4人睡眠缺少，3人睡眠充分，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查.〔i〕用X表示抽取的3人中睡眠缺少的职工人数，求随机变量X的散布列与数学希望；ii〕设A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充分的职工，也有睡眠缺少的职工〞，求事件A发生的概率.(17)(本小题总分值13分)如图，AD∥BC且AD=2BC，ADCD,EG∥AD且EG=AD，CD∥FGCD=2FG，DG平面ABCD，DA=DC=DG=2.I〕假定M为CF的中点，N为EG的中点，求证：MN∥平面CDE；II〕求二面角EBCF的正弦值；III〕假定点P在线段DG上，且直线BP与平面ADGE所成的角为60°，求线段DP的长.(18)(本小题总分值13分)设{an}是等比数列，公比大于0，其前n项和为Sn(nN)，{bn}是..等差数列.a11，a3a22，a4b3b5，a5b42b6.〔I〕求{an}和{bn}的通项公式；〔II〕设数列{Sn}的前n项和为Tn(nN)，〔i〕求Tn；n(Tkbk2)bk2n2〔ii〕证明1(k1)(k2)2(nN).kn2(19)(本小题总分值14分)x2x2(a>b>0)的左焦点为F，上极点为B.椭圆的设椭圆a2b21离心率为5，点A的坐标为(b,0)，且FBAB62.3〔I〕求椭圆的方程；〔II〕设直线l：ykx(k0)与椭圆在第一象限的交点为P，且l与直线AB交于点Q.假定AQ52AOQ(O为原点)，求k的值.PQsin4(20)(本小题总分值14分)函数f(x)ax，g(x)logax，此中a>1.〔I〕求函数h(x)f(x)xlna的单一区间；〔II〕假定曲线yf(x)在点(x1,f(x1))处的切线与曲线yg(x)在点(x2,g(x2))处的切线平行，证明x1g(x2)2lnlna；lna1〔III〕证明当aee时，存在直线l，使l是曲线yf(x)的切线，也是曲线yg(x)的切线...参照答案：一、选择题：本题考察根本知识和根本运算．每题5分，总分值40分．〔1〕B〔2〕C〔3〕B〔4〕A〔5〕D〔6〕A〔7〕C〔8〕A二、填空题：本题考察根本知识和根本运算．每题5分，总分值30分．..〔9〕4–i〔10〕5〔11〕1212〔12〕1〔13〕1〔14〕(4，8)24三、解答题〔15〕本小题主要考察同角三角函数的根本关系，两角差的正弦与余弦公式，二倍角的正弦与余弦公式，以及正弦定理、余弦定理等根基知识，考察运算求解能力．总分值13分．〔Ⅰ〕解：在△ABC中，由正弦定理ab，可得bsinAasinB，sinAsinB又由bsinAacos(Bπ，得asinBacos(Bπ，即sinBπ，可得))cos(B)666tanB3．又因为B(0，π)，可得B=π．3〔Ⅱ〕解：在△ABC中，由余弦定理及=2，=3，=π，有acB322c27，故b=7．ba2accosB由bsinAacos(Bπ，可得sinA3．因为2．所以)7a<c，故cosA67sin2A2sinAcosA43，cos2A2cos2A11．77所以，sin(2AB)sin2AcosBcos2AsinB4311333．72721416〕本小题主要考察随机抽样、失散型随机变量的散布列与数学希望、互斥事件的概率加法公式等根基知识．考察运用概率知识解决简单实质问题的能力．总分值13分．〔Ⅰ〕解：由，甲、乙、丙三个部门的职工人数之比为3∶2∶2，因为采纳分层抽样的方法从中抽取7人，所以应从甲、乙、丙三个部门的职工中分别抽取3人，2人，2人．〔Ⅱ〕〔i〕解：随机变量X的全部可能取值为0，1，2，3．..Ck4C33kP〔X=k〕=C37〔k=0，1，2，3〕．所以，随机变量X的散布列为X0123112184P35353535随机变量X的数学希望E(X)011122183412．353535357ii〕解：设事件B为“抽取的3人中，睡眠充分的职工有1人，睡眠缺少的职工有2人〞；事件C为“抽取的3人中，睡眠充分的职工有2人，睡眠缺少的职工有1人〞，那么A=B∪C，且B与C互斥，由〔i〕知，P(B)=P(X=2)，P(C)=P(X=1)，故P(A)=P(B∪C)=P(X=2)+P(X=1)=67．所以，事件A发生的概率为6．717〕本小题主要考察直线与平面平行、二面角、直线与平面所成的角等根基知识．考察用空间向量解决立体几何问题的方法．考察空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力．总分值13分．uuuruuur的方向为x依题意，能够成立以D为原点，分别以DAuuur，DC，DG轴，y轴，z轴的正方向的空间直角坐标系〔如图〕，可得D〔0，0，0〕，A〔2，0，0〕，B〔1，2，0〕，C〔0，2，0〕，E〔2，0，2〕，F〔0，1，2〕，G〔0，0，2〕，M〔0，32，1〕，N〔1，0，2〕．..〔Ⅰ〕证明：依题意DCuuur=〔0，2，0〕，DEuuur=〔2，0，2〕．设n0=(x，n0uuur0，2y0，y，z)为平面CDE的法向量，那么DCuuurz=–1，可得n0uuuur=〔1，3uuuurn00，=〔1，0，–1〕．又MN2，1〕，可得MN又因为直线MN平面，所以MN∥平面．CDECDEuuuruuuruuur=，，〔0，–1，2〕．uuurnBC，，设=〔，，〕为平面的法向量，那么即uuurx2y2z，nBE0不如令z=1，可得n=〔0，1，1〕．设m=〔x，y，z〕为平面BCF的法向量，那么

uuur，x，即uuury，mBF0不如令z=1，可得m=〔0，2，1〕．所以有cos<m，n>=mn310，于是sin<m，n>=10．|m||n|1010所以，二面角E–BC–F的正弦值为10．10〔Ⅲ〕解：设线段DP的长为h〔h∈［0，2］〕，那么点P的坐标uuur．，，h)huuur易知，DC=〔0，2，0〕为平面ADGE的一个法向量，故..uuuruuuruuuruuurBPDC2cosBPDCuuuruuurh25，BPDC由题意，可得h2=sin60°=3，解得=3∈［0，2］．252h3所以线段DP的长为3.318〕本小题主要考察等差数列的通项公式，等比数列的通项公式及n项和公式等根基知识.考察等差数列乞降的根本方法和运算求解能力.总分值13分.〔I〕解：设等比数列{an}的公比为q.由a11,a3a22,可得q2q20.因为q0，可得q2，故an2n1.设等差数列{bn}的公差为d，由a4b3b5，可得b13d4.由a5b42b6，可得3b113d16,进而b11,d1,故bnn.所以数列{an}的通项公式为an2n1，数列{bn}的通项公式为bnn.〔II〕〔i〕由〔I〕，有Sn12n2n1，故12nnn2(12n)Tn(2k1)2kn2n1n2.k1k112〔ii〕证明：因为(Tk+bk+2)bk(2k1k2k2)kk2k12k22k1，(k1)(k2)(k1)(k2)(k1)(k2)k2k1所以，n(Tkbk2)bk(2322)(2423)L(2n22n1)2n22.k1(k1)(k2)3243n2n1n2〔19〕本小题主要考察椭圆的标准方程和几何性质、直线方程等根基..知识．考察用代数方法研究圆锥曲线的性质．考察运算求解能力，以及用方程思想解决问题的能力．总分值14分．2〔Ⅰ〕解：设椭圆的焦距为2c，由知c25，又由a2=b2+c2，a9可得2=3．由可得，，，由，可FBaAB2bFBAB62ab=6，进而a=3，b=2．22所以，椭圆的方程为xy1．94〔Ⅱ〕解：设点P的坐标为〔x1，y1〕，点Q的坐标为〔x2，y2〕．由有y1>y2>0，故PQsinAOQy1y2．又因为AQy2，而∠OABsin=π．由AQ52，可得5=9y．，故PQ4AQ2y2sinAOQ12ykx，6k由方程组22消去，可得y1．易知直线的方程xyxAB1，9k494kx，x+y–2=0，由方程组xy20，消去x，可得y22k．由5y1=9y2，可得5〔k+1〕=39k24，两k1边平方，整理得56k250k110，解得k1，或k11．228所以，k的值为1或11．228〔20〕本小题主要考察导数的运算、导数的几何意义、运用导数研究指数函数与对数函数的性质等根基知识和方法.考察函数与方程思想、化归思想.考察抽象归纳能力、综合剖析问题和解决问题的能力.总分值14分.〔I〕解：由，h(x)axxlna，有h(x)axlnalna.令h(x)0，解得x=0...由a>1，可知当x变化时，h(x)，h(x)的变化状况以下表：x(,0)h(x)h(x)]

0(0,)0+极小值Z所以函数h(x)的单一递减区间(,0)，单一递加区间为(0,).〔II〕证明：由f(x)axlna，可得曲线yf(x)在点(x1,f(x1))处的切线斜率为ax1lna.由g(x)1，可得曲线yg(x)在点(x2,g(x2))处的切线斜率为xlna1.x2lna因为这两条切线平行，故有ax1lna1，即x2ax1(lna)21.x2lna两边取以a为底的对数，得logax2x12log2lna0，所以x1g(x2)2lnlna.lna〔III〕证明：曲线yf(x)在点(x1,ax1)处的切线l1：yax1ax1lna(xx1).曲线yg(x)在点(x2,logax2)处的切线l1(xx2).2x2lna1要证明当aee时，存在直线l，使l是曲线yf(x)的切线，也是1曲线yg(x)的切线，只要证明当aee时，