希尔伯特几何公理

希尔伯特几何公义希尔伯特几何公义希尔伯特几何公义佛山石门中学高二〔2〕邓乐涛一、符号及一些说明有三不一样的象：点，直，平面点用A,B,C,D⋯⋯来表示；直用a,b,c,d⋯⋯来表示；平面用α,β,γ,δ⋯⋯来表示。点称直几何的元素，点和直称平面几何的元素，点、直和平面称立体几何的元素那么点，几何元素之又有必定的相互关系①点A在直a上：②点

A在平面

α

上：③直a在平面α上：④点B在点A与点C之：⑤段AB与CD相等：所以我用了=号〕与相等：⑥

〔直的每一点都在平面上〕〔我自己定的符号〕〔原是用号的，不于我不常，等等⋯⋯〔段，角之的能在点面下出定，详细在表达公义的候再〕在希伯特几何里面，其点直和平面是三个不决的数学象，在上边的最根本的关系也是没有定的，也就是用什么来代表些西都是能够的，正如希伯特所“我必然能够用‘桌子、椅子、啤酒杯’来取代‘点、、面’〞。最的例子就是分析几何：我定点是数(x,y)，定是，其在个定下，“几何〞已失掉了“直〞的形式了，因在个定下的几何形就成了毫无几何直的数字了，不过我方便研究又将它画在了坐系中而已。我里的关系符号，，其实不来自于会合，不要混杂，要再的是他自己没有含，我不过借用来化述了。之，希伯特几何，就是将直地几何言〔欧氏几何〕抽象成了言，我全部的几何定理都能够用推理获得。〔其希伯特几何就是完化的欧氏几何〕公义I关公义本公义有八条，是前面所提的点，直，平面三象之成立的一种系：〔了方便述，此后二、三⋯⋯点的，直或平面是，都是指不一样的点，直或平面〕I1：于两点

A和

B，恒有向来

a，使得

〔存在性〕；I2：于两点

A和

B，至多有向来

a，使得

〔独一性〕；〔于

1,2，我能够两点确立向来〕I3：向来上起码有两点，起码有三点不在同向来上；I4：于不在同向来的三点

A,B

和

C，恒有一平面α，使得

；〔存在性〕于任一平面

，恒有一点

A，使得

；I5：于不在同向来的三点

A,B

和

C，至多有一平面α，使得

；〔唯一性〕〔于4,5，我能够三点确立一平面〕I6：假定

且

，

；I7：假定两平面

有一个公共点

A，他起码有一个公共点

B；I8：起码有四点不在同一个平面上。以上。其我想用形式言写出来的，但是在上的太翻，并且符号打，所以放弃了。公义II序公义本公义有四条，定了“在⋯⋯之〞个关系。依据个观点，直上的，平面上的，空上的点才有序可言。II1：于点A,B,C，假如，点A,B,C是直上不一样的三点；，也成立；〔如〕II2:于点恒有一点，使得；〔如上〕II3:向来的随意三点中，至多有一点在其余两点；依据上边，我就能够定段了：于直a和直上的两点A,B；我把一点{A,B}称段，用AB或BA表示。在A和B之的点叫做段AB的点；A点和B点叫做段AB的端点。II4:A,B,C是不在同一个平面的三点：于在平面ABC且不点A,B,C的直a，假定a交于段AB的一点，它必然交于段AC或CB的一点〔如〕以上。接下来定义射线先定义同侧：设A,A’,O,B是直线a上的四点，而O在A,B之间，但不在A,A’之间，那么A和A’称为在a上点O的同侧，而A,B两点称为异侧。那么射线就定义为直线a上点O同侧的点的全体。比方与上图对于点O与B同侧的射线我们记为OB〔固然跟线段的记号同样，但注意不要混杂〕公义III合同公义本组公义包括五条公义，主要说明几何对象“相等〞的关系。III1：对于线段AB和一点A’，恒有一点B’，使得线段AB与线段A’B’相等，记为由于线段与端点的序次没关，所以一下四个等式的意义同样：III2：假定且，那么；〔依据1,2，我们才能获得线段AB与自己相等，才能获得与等价，这其实不是不证自明的事实，有了这个我们才能说两线段“相互相等〞。总而言之根据1,2我们才能获得线段相等的“反身性〞，“对称性〞，和“传达性〞，这才说明这是一个等价关系。〕III3：线段AB，BC在同向来线a上，且无公共点；线段A’B’，B’C’在同向来a’上，且也无公共点。假如

,条公义要求段能相加，能够定

AB+BC=AC〔此中

A,B,C

共〕相当于段一，我也来定角相等。我先定角的观点：对于不一样向来线的三点O,A,B，射线OA，和射线OB的全体我们称为角，记为。O称为的极点，射线OA，和射线OB称为的边。同与A,B的序次没关。依据定，平角，零角和凸角〔大于平角的角〕都不在考的范内。III4：于

，和一条射

O’A’，在射

O’A’所在的一个平面内，有且只有一条射

O’B，使得

与

相等，

。并且有。好像段一，下边四条等式的意是一的而后先定三角形：段III5：假定与

AB,BC,CA所构成的形，，有以低等式

。有条公义能够理解三角形全等〔SAS〕，事上SAS个公义的直接推。公义IV平行公义条公义得很白，但在史上很重要⋯⋯先定义平行：对于同一平面上的两条直线线a和b，a与b无公共点，那么称a与b平行，记为.IV〔欧几里得平行公义〕：设a是随意一条直线，A是a外的随意一点，在a和A所决定的平面上，至多有一条直线b，使得且。依据这个公义，我们能够获得平行线内错角，同位角相等；反之也成立。公义V连续公义V1〔阿基米德原理〕：对于线段AB,CD，那么必然存在一个数n，使得沿着射线AB，自A作首尾相连的n个线段CD，势必超出B点。在这里一定说下数的阿基米德原理：随意给定两个数a,b，必存在正整数n，使na>bV2〔直线齐备公义〕：将直线截成两段a,b(不是直线)，对于随意的A∈a，B∈b，那么总存在一个点C，C∈AB。也就是说，不再存在一点不在直线上，把这点增添到直线上以后，仍知足前面的公义I~IV的〔书上的描绘太抽象，我仍是用我自己的话说了〕要注意的是直线齐备公义是要在阿基米德原理成立下才成立的！二、公义的相容性这里所谓的相容性，就是这五组公义是互不矛盾的。也就是说，不可以从这些公义推导到相矛盾的结果。但是，假如直接从公义出发证明相容性几乎是一件不行能的事情〔并且假如一个公义系统含有皮亚诺算术公义的话，这仍是一个不行能的事情，这是依据哥德尔不完整定理获得的〕，那么我们应当如何来证明呢？希尔伯特将方向转向了“数〞。我们只说明平面几何〔由于好说明〕，立体几何近似。。我们考虑的是实数域

R。①点我们用实数对

来表示：；②直线我们用

来表示：。两条直线

，

平行，当且仅当③点在直线上：④点在点

与点

之间：；⑤对于点，线的平移，对称，旋转的变换，我们用一个变换来表达：，此中而后假如线段相等就是，两线段在以上的坐标变换中能重合，角亦然。PS把线段和角也看做点的会合，定义懒得写了〕那么用以上规定几何对象公义I〔关系公义〕明显都是成立的，只需要用到①②③规定。公义II〔次序公义〕明显也都是成立的，再加上④规定。公义III〔合同公义〕也是成立的，加上规定⑤。需要一点点阐述，就是点与直线在经过⑥的变换后仍旧是我们所研究的几何对象〔也就是说x’,y’都仍是实数，其实就是要说明形的数仍是实数，这是明显的〕公义IV〔平行公义〕在直线的这类规定下是成立的。公义V〔连续公义〕依据实数的齐备性，还有实数是阿基米德域这一性质能够直接获得。也就是说我们所做的规定都是知足“称为几何〞的性质的，我们便能够将这些实数，实数对作为几何对象。那么这样，就把这五组公义的相容性就与算术的相容性联系在了一同了。那么只需要证明算术的相容性就能够了。对于算术的相容性，这里是对于实数理论，但是其相容性能在自己证明〔这是个齐备的公义系统〕。但是依据希尔伯特的意向一般来说指的是皮亚诺算术公义的相容性，可是依据哥德尔不齐备定理，这是在算术公义内是没法自证的，只好依据此外一个跟更强的公义系统〔比方说会合论ZFC公义〕来证明，但是这“此外一个公义系统〞的相容性，又不可以用自己证了然==〔根茨〔，1909-1945〕1936年使用超限概括法证了然算术公义系统的无矛盾性〕。简洁提一下的是，这个几何公义系统不单是相容的，并且是齐备的〔就是这个公义的任一语句都能在这个公义系统内证明，即确立其真值〕三、平行公义的独立性〔非欧几何〕我们知道了公义的相容性以后，其实还有一个风趣的问题是公义的独立性，固然其实不影响〔多些方便的公义方便于呢〕，但是数学家喜的西⋯⋯不了。什么是独立性？就是一个公义不可以是其余公义的推。如何明里某个公义独立性？一个法就是剔除去个公义，而后依据其余公义建立一个新的模型，使得被剔除去的公义不足于个模型。史上最令人争的就是平行公义了，也就是用欧几里得提出的公义来明平行公⋯⋯自然都失了。以后，人就了非欧几何。什么是非欧几何学？其就是足以上除了平行公义的全部公义的几何模型。既然有了非欧几何，那么平行公里的独立性就不自了然。在主假如分红两种，一个是黎曼几何，一个是氏几何。但是黎曼几何我不清楚〔手的也没有〕，所以我不提⋯⋯于氏几何，来取代本来平行公义的公义描绘以下：假如b是任向来线，且A是不在b上，那么过点A有不在同向来线的两条射线a1，a2，它们与b都不订交，并且在a1，a2所成角内的任一射线都与b都订交。那么a1，a2所在的直称与b平行而后非欧几何学最的一个特例就是球面几何，高中修都会到只需要定“直〞大便好⋯⋯我就不深入了。四、合同公义的独立性相对平行公义来说，合同公义的独立性并无在历史上并无惹起太大的争议。由于合同公义1~4并无什么卵用，所以我们只需要说明公义III5(能够说是三角形全等的SAS)拥有独立性就好。一般来说，我们定义线段相等就是长度相等，角相等就是角度相等，而我们所说的长度，比方对,，，这个可以在前面在规定坐标变换中获得。接下来我们便扔掉这个“长度〞的设定〔就是扔掉上边规定⑥中线段相等的定义〕，噢，要保留本来角相等的设定。我们新定义一个长度：对于,，规定线段相等就是长度相等。在这个规定下验算公义

I,II,III

1~4,IV,V

都是成立的。只可是惟独对于

III

5就不一定成立了。举一个反例：明显

，OA=OC=OB。依据公义

III

5

，但是在这类规定下明显

。进而证了然公义

III5的独立性。五、连续公义的独立性这是我们要表达独立性的最后一组公义〔其余的没必需〕。同上边的方法同样，我们又得找一个数学对象只知足公义I~IV了。我们又是要把研究的方向转向了数。其实在说明五组公义的相容性的时候我们是用了实数域R来建立几何，其实域有许很多多，而实数恰巧又知足众多域不知足的性质：齐备性，阿基米德原理。那么其实我们只需找一个域不知足这两个性质的就好，但是这样的域又有许很多多。〔域平常来说就是知足加减乘除的东西的会合，自然还要知足乘法互换率〕第一我们很简单就建立一个域F，从1开始，其加减乘除，还有〔是经过这五种运算的结果〕的获得的全部结果都放在F里。那么这个域的数字结构的几何对象知足公义I~IV，但是由于其自己其实不知足齐备性〔也就是画出来的数轴有“洞〞〕，比方说，也就进而说了然齐备性的独立性。题外话，这个域F其实挺重要的，在证明尺规作图的可行性就是鉴于这个域。而后是非阿基米德域，也就是不知足阿基米德原理的数域，举个最简单的例子，一个会合，能够考证其加减乘除都在里，所以这是一个域。这是实数的一个子集，我们一般描绘这个会合里这些数的序关系是最简单的大小关系，比方说。而后我们要建立一个新的描绘这些数的序关系，在这个序关系下是一个非阿基米德域。定义序关系举个例子；等等。也就是优先比较的大小.那么在这个次序关系下，

其实不知足阿基米德原理〔由读者自己考证〕

，所以这是一个非阿基米德域。自然非阿基米德域还有很多很多，比方说上边的域F，也能够找一个近似的序关系来取代掉大小关系〔这类序关系〕，使得F是一个非阿基米德域。再结构几何对象，那就是一个除了连续公义〔齐备性和阿基米德原理两个个都不知足〕的几何系统了。可是值得注意的是同时知足阿基米德原理和齐备性的就只有实数R了。这点也说了然希尔伯特几何的独一性。六、一些增补皮亚诺算术公义1.0不是任何数的后继数2.x与y的后继数相等，那么x与y相等3.，为算术公义的任一公式这个就是数学概括法4.存在零元和幺元5.加法的定义6.乘法的定义这里就是后继数，比方1的后继数就是2.这里的公义3,5,6决定了皮亚诺公义的不齐备性，详细如何就不说了，哥德尔不齐备定理的证明用的是递归函数，而后递归函数又是以公义3,5,6所定义的。实数公义商定，全部实数记为，一局部实数X，记为;X中存在实数x，那么记为加法公义1)零元存在性2)存在相反数3)加法联合律4)加法互换律乘法公义1)幺元存在性2)存在倒数3)乘法联合律4)乘法互换律乘法对加法的分派率1)序公义1)反身性2)反对称性3)传达性4)随意两个实数都能比较大小加法和乘法与序的关系1)不等式两头同时加上一个实数，不等号方向不改变2)正数之积为正数齐备公义1)对于随意的两局部实数

X,Y，知足对于随意实数

,

，有，那么存在一个实数

c，使得。对于齐备公义，要说明一下，这里用的是二阶逻辑来写的。还有只有个例子。假如自然数，知足齐备公义，我把自然数分红两局部：，那么不存在一个数

才知足。举，〔

,

〕,

这个数就是

.这里对应的就是直线的齐备公义。对于公义系统什么是公义系统？一个公义系统能够这样理解：它是一个形式化的语言，由字符表〔比方几何公义顶用A，a，α表示的点线面〕，形成规那么〔逻辑公义，就是推理的规那么，还有非逻辑公义，就是我们给出的公义，比方说齐备公义〕，还有公式〔依据形成规那么构成的字符串〕构成。他们没有任何含义，就像一部按规那么摆弄拼集字符的机器罢了，它们给出的不过语法。而给出一个公义系统实质意义的，称为模型。比方实数1,2,3等等还有其加法乘法，就是上边实数公义的实质表达〔把符号x,y,z映照到1,2,3，把符号+映照到“加法〞