微专题5 数学工具-平面向量在解题中的应用

微专题5数学工具——平面向量在解题中的应用对应学生用书第103页一、平面向量与平面几何的综合已知O是△ABC所在平面内的一点,若动点P满足=+λ(+),λ∈(0,+∞),则点P的轨迹一定通过△ABC的(

).A.内心

B.外心

C.重心

D.垂心答案C解析由原等式,得-=λ(+),即=λ(+),根据平行四边形法则,知+是△ABC的中线AD(D为BC的中点)所对应向量的2倍,所以点P的轨迹必过△ABC的重心.点拨1.设O为△ABC所在平面内一点,则(1)O为△ABC的外心⇔||=||=||;(2)O为△ABC的重心⇔++=0;(3)O为△ABC的垂心⇔·=·=·.2.用向量方法解决平面几何问题的步骤:平面几何问题向量问题解决向量问题解决几何问题.【微点练1】(一题多解)已知△ABC是边长为2的等边三角形,P为平面ABC内一点,则·(+)的最小值是(

).A.-2

B.-

C.-

D.-1答案B解析(法一:解析法)①建立平面直角坐标系如图①所示,则A,B,C三点的坐标分别为A(0,),B(-1,0),C(1,0).设P点的坐标为(x,y),则=(-x,-y),=(-1-x,-y),=(1-x,-y),∴·(+)=(-x,-y)·(-2x,-2y)=2(x2+y2-y)=2≥2×=-.当且仅当x=0,y=时,·(+)取得最小值,最小值为-.故选B.(法二:几何法)②如图②所示,+=2(D为BC的中点),则·(+)=2·.要使·最小,则与方向相反,即点P在线段AD上,则(2·)min=-2||||,问题转化为求||||的最大值.又||+||=||=2×=,∴||||≤==,∴[·(+)]min=(2·)min=-2×=-.故选B.二、平面向量与解析几何的综合(一题多解)(2018年浙江卷)已知a,b,e是平面向量,e是单位向量.若非零向量a与e的夹角为,向量b满足b2-4e·b+3=0,则|a-b|的最小值是(

).A.-1

B.+1

C.2

D.2-答案A解析(法一)设=a,=b,=e,以O为原点,的方向为x轴正方向建立平面直角坐标系(图略),则E(1,0).不妨设A点在第一象限,∵a与e的夹角为,∴点A在射线y=x(x≥0)上.设B(x,y),由b2-4e·b+3=0,得x2+y2-4x+3=0,即(x-2)2+y2=1,即点B在圆(x-2)2+y2=1上运动.∵=a-b,∴|a-b|的最小值即点B到射线OA的距离的最小值,为圆心(2,0)到射线y=x(x≥0)的距离减去圆的半径,∴|a-b|min=-1,故选A.(法二)将b2-4e·b+3=0转化为b2-4e·b+3e2=0,即(b-e)·(b-3e)=0,∴(b-e)⊥(b-3e).设=e,=a,=b,=3e,=2e,则⊥,∴点B在以M为圆心,1为半径的圆上运动.∵|a-b|=||,∴|a-b|的最小值即点B到射线OA的距离的最小值,为圆心M到射线OA的距离减去圆的半径.∵||=2,∠AOM=,∴|a-b|min=2sin-1=-1.点拨向量在解析几何中的作用:(1)载体作用:向量在解析几何问题中出现,多用于“包装”,解决此类问题的关键是利用向量的意义、运算脱去“向量外衣”,导出曲线上点的坐标之间的关系,从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题.(2)工具作用:利用a⊥b⇔a·b=0,a∥b⇔a=λb(b≠0),可解决垂直、平行问题,特别是向量垂直、平行的坐标表示在解决解析几何中的垂直、平行问题时经常用到.【微点练2】若点O和点F分别为椭圆+=1的中心和左焦点,点P为椭圆上的任意一点,则·的最大值为

.

答案6解析由题意,得F(-1,0),设P(x0,y0),则+=1,即=3.因为=(x0+1,y0),=(x0,y0),所以·=x0(x0+1)+=+x0+3=+x0+3=(x0+2)2+2,因为-2≤x0≤2,所以当x0=2时,·取得最大值,最大值为6.三、平面向量与三角函数的综合(2017年江苏卷)已知向量a=(cosx,sinx),b=(3,-),x∈[0,π].(1)若a∥b,求x的值;(2)记f(x)=a·b,求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值.解析(1)因为a=(cosx,sinx),b=(3,-),a∥b,所以-cosx=3sinx.若cosx=0,则sinx=0,这与sin2x+cos2x=1矛盾,故cosx≠0.于是tanx=-.又x∈[0,π],所以x=.(2)f(x)=a·b=(cosx,sinx)·(3,-)=3cosx-sinx=2cos.因为x∈[0,π],所以x+∈,从而-1≤cos≤,所以当x+=,即x=0时,f(x)取到最大值,最大值为3;当x+=π,即x=时,f(x)取到最小值,最小值为-2.点拨破解平面向量与三角函数综合问题的常用方法是“化简转化法”,即先把以向量共线、向量垂直形式出现的条件转化为对应坐标乘积之间的关系,再活用诱导公式、同角三角函数的基本关系式、倍角公式、辅助角公式等对三角函数进行巧化简.平面向量与三角函数综合问题求解的关键是利用向量的知识将条件“脱去向量外衣”,转化为三角函数问题,再利用相关知识进行求解.【微点练3】在如图所示的平面直角坐标系中,已知点A(1,0)和点B(-1,0),||=1,且∠AOC=θ,其中O为坐标原点.(1)若θ=,设点D为线段OA上的动点,求|+|的最小值;(2)若θ∈,向量m=,n=(1-cosθ,sinθ-2cosθ),求m·n的最小值及对应的θ的值.解析(1)设D(t,0)(0≤t≤1),由题意知C,所以+=,所以|+|2=+,所以当t=时,|+|有最小值,最小值为.(2)由题意得C(cosθ,sinθ),m==(cosθ+1,sinθ),则