经济数学-两个重要极限课件

一、夹逼准则二、单调有界收敛准则四、连续复利极限存在准则两个重要极限第五节三、两个重要极限连续复利一、夹逼准则证上两式同时成立,上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限例1解由夹逼定理得例2求解由易见对任意自然数有故而所以例2求解而所以例3解求设显然,又由夹逼准则知即例5求极限解因为故由准则I,故得例6证设有数列求显然是单调递增的.下面利用数学归纳法证明有界.因为假定则所以是有界的.从而存在.1.作为准则Ⅰ´的应用，下面证明一个重要的极限三、两个重要极限例7解求例8解求例9解求原式例10解下列运算过程是否正确:这种运算是错误的.当时,本题所以不能应用上述方法进行计算.例11下列运算过程是否正确:正确的作法如下.令则当时,于是定义2、准则Ⅱ的应用，可以证明一个重要的极限类似地,例13解求例14解求例15解求例16解求例18解例19解三、单利与复利利息是指借款者向货款者支付的报酬,它是根据本金的数额按一定比例计算出来的.利息又有存款利单利计算公式设初始本金为(元),银行年利率为则第一年末本利和为则第二年末本利和为第年末的本利和为息、债款利息、贴现利息等货款利息、几种主要形式.复利计算公式设初始本金为(元),银行年利率为则第一年末本利和则第二年末本利和本金利息若年末的本利和为四、多次付息现在来讨论每年多次付息的情况.单利付息情况因每次的利息都不计入本金,故若一年分次付息,则年末的本利和为即年末的本利和与支付利息的次数无关.复利付息情况因每次支付的利息都记入本金,故年末的本利和支付利息的次数是有关系的.设初始本金为(元),年利率为息,则一年末的本利和为若一年分次付易见本利和是随的增大而增加的.本利和为而年末的五、连续复利设初始本金为(元),年利率为按复利付息,一年分次付息,则第年末的本利和为若利用二项展开式,有因而即一年计算次复利的本利复利的本利和要大,且复利计算次数愈频繁,计算和比一年计算一次复利的本利和要大,且复利计算次数愈频繁,计算所得的本利和数额就愈大,但是也不会无限增大,因为所以,本金为按名义年利率不断计算复利,则年后的本利和注:连续复利的计算公式在其它许多问题中也常有应用如细胞分裂、树木增长等问题.例20一投资者欲用1000元投资5年,设年利率为试分别按单利、复利、每年按4次复利和连续复利付息方式计算,到第5年末,该投资者应得的本利和解按单利计算(元).按复利计算(元).按每年计算复利4次计算(元).按连续复利计算(元).思考题求极限思考题解答四、小结1.两个准则2.两个重要极限夹逼准则;单调有界准则.思考题有小兔一对，若第二个月它们成年，第三个月生下小兔一对，以后每月生产小兔一对.而所生小兔亦在第二个月成年，第三个月生产另一对小兔，以后每月亦生产小兔一对.假定每产一对小兔必为一雌一雄，且均无死亡，试问一年后共有小兔几对？并求出许多年后，兔子总对数的月增长率.解若用“〇”、“△”分别表示一对未成年和成年的兔子，则根据题设有下面的小兔繁殖数量图：〇△△△△△△〇△△△△△△△△△△△△△△〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇去年12月1今年1月12月23月34月55月86月13从上图可看出,从三月份开始,每月的兔子总数恰好等于它前面两个月的兔子总数之和.按此规律可写出数列：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233可见一年后共有兔子233对.按上述规律写出的无限项数列为著名的斐波那契(Fibonacci)数列,其通项为且此数列有递推关系：第n月的兔子对数的增长率存在的证明及求法如下：证用数学归纳法容易证明：数列是单调增加的；数列是单调减少的.又,对一切成立.即数列、是有界的.根据“单调有界数列必有极限”的准则可知数列和的极限存在,分别记作b*和b*

,即

两式相减，得解上方程，得