《现代控制理论基础》习题解答

..;.;.作业和课堂练习试建立图示电路的状态空间表达式。解根据基尔霍夫定律列写回路、节点电压、电流方程为： R 1 1R322111x i x 1x x u(t)R3221111 1 设状态变量 x i

L 1 L 3 L1 12 2x u

2x 1x2 L 2 L 33 c状态空间表达式 R 1

3

x1x1 C 2 1 0 L

1

x L

x 11

0

1 x

u

0x

2

L L

x

2 0

2 2x3 C

0

uRiuRiLdi u111 1dtLcRL112u Ri Ldi2i1i2c 22 2dtuucCRy2i icduc__1 2dtyRi22uRiLdi u111 1dtc1u Lcdidt c1RL1L221idt2i1i2122uC1Cy2i i cduc11 2 1dt__y1idtc 22..;.;.x i

R 1 11设状态变量 xi

L11

x x 1 L 4 L

yx2 2x 1i

1x2 L 2

1 1 3xL 423 c2x u3

1 xC 224 1 1x x x4 C 1 C 21 1 R 1 1 L

0 L

11 0 0

1 11 L11状态空间表达式

L L1 2

x

0u 0 C 1 2

0 0 0 00C C1 1y0 1 课堂练习：试建立图示系统的状态空间表达式解 根据牛顿第二定律，列写出：k1F1m1kyk1F1m1ky21f1F2m2yFf1 1

1 2 ky mdt 1 1 1

1dt2d(y

y) d2yF f2 1

2 1 ky mdt 2 2

2dt2Ff

dy

dy2ky

d2ym 111 11

1 dt 1

1 dt2dy dy d2yF f2 1

2fdt

1ky mdt 2 2 2

2dt22x y1 1

x1 3x y x2 2 2 41kf设状态变量 1kf

dy

1xf1

1

1F3 dt 3

m 1 m 3 m 4 m 11 1 1 1x dy2 4 dt

2xm k2k

1xfm f2

1xfm f2

1Fm 22 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1

f f 1 1 1 x 0F m m m m f 1 k f1 1 1 1f 0 2

1

0 m 2m m m22 2 21 0 0 0 y0 1 0 0 试建立图示机械系统的状态空间表达式。F1m1y1F1m1y1k1f1m2y2kf22d(y y ) d2yFf 1 2 k(y

)m 11 1 dt

1 1 2

1 dt2d(y

) dy d2yf 1 2

k(y y )f 2ky m 21 dt

1 1

2 dt 2

2 dt2dy dy d2yFf1

1fdt

2kydt 1

ky m1 2

1dt2dy dy d2y(f1

f ) 2f2 dt

1kydt 1

(k1

k )y m2 2

2dt2x y1 1

x1 3x y x2 2 2 41kkff设状态变量 1kkff

dy

1

1

1

1

1F3 dt 3

m 1 m k1 1k

m 3 m 4 m 1ff1 1 1ffx dy2

1

k 1 2

1

f 1 2xk4 dt 4 m k2

m 2 m 3 m 42 2 2状态空间表达式

0 0 0 0 k k

1 0 000 1 0f f 1

1 1

1 x1F m m m m k1 k 1k f1 f 1f

m 1 1 2 1 1 2

m m m m2 2 2 21 0 0 0 y0 1 0 0 作业和课堂练习已知系统的微分方程，试列写出状态空间表达式。1）24yu解 20.5y0.u a , a 2, b0.52 1状态空间表达式： 0 1x0u y1 0xa a b2 1 0 1x0u y1 0x0.5 2 0.5 状态变量图： u0.5

1 x2_ s 2

1 yxs 12 +（2）53y3u解 a 3, a a 5, b 0, b b 3 2 1 0 1 2方法一：

b 33.. b0 b1 1

0a 01 0 b2 2

a1

a 12 03状态空间表达式：

b a3 1

a2

a3

352 0

0 0

11 x 1 x

y0 u0a -a3 2

a1

30 1 0 0 0 0 1x

y0 3 0 状态变量图：

2uu23_xs53+1sx21sx125+3方法二：状态空间表达式：

1 0 0 0 1x a -a3 2

a1

1yab3 3 0

b ab babbu2 2 0 1 1 0 00 1 0

0 0 0 1x

y1 3 0 状态变量图：

1uu2_31xs31xs21sx13+5+3;...;.;.课堂练习：已知系统的微分方程，试列写出状态空间表达式。53y3u解 a 3, a a 5, b33 2 1状态空间表达式：0 1 0 0 0 0 1x

y0 3 0 状态变量图：

3u3u3_31s5x31sx21sx15+3作业和课堂练习G(s) 3s4s(s1)(s3)kk解 G(s)k1 2 3 s 0, s kk

-3s s1 s3 1 2 3k G(s)s1

s0

4, k3

G(s)(s

s1

1, k2

G(s)(s3)

s3

56s 0

0 1

0

y

kx 00

s2 0 s3

1 2 30 0 0 0 1 0x

43

1 5x2 60 1sx1sx143u1x2-s12++y11x3-s356已知系统的传递函数，试列写出状态空间表达式，并画出状态变量图。（1）解 G(s)

s22s3s31a 1, a a 0, b 0, b 3 2 1 0 1+1U+1U(s)E(s)_1sx31s2x21sx13+Y(s)状态空间表达式

b b 32 3 0 1 0

0

x1

1

13x23

0 0 1x20u y

3 2 1x23

-1 0 0x

1

x3..（2）解 G(s) 10s35s24s1a 1, a a 5, b 3 2 1 0U(U(s)E(s)_s1x31sx241sx1105++状态空间表达式

b 1

b 2

b 103Y(s)x

0 1 0

0

x10 0 1x10u y10 0 0x132 2 233

-1 -4 -5x

1

x3（3）解 G(s) s1s(s2)2(sss1

s3

s4

31k G(s)(s2)211

s2 2d 3G(s)

k3

k 4

[G(s)(s22)]ds

s2 4(s2)2 s2 s s3k3

G(s)s

1s0 12k4状态空间表达式

G(s)(s3)

2s3 3

2

020002001u131200001y4123x200 0 00

1u1x2u1x234x1-s112++y-2s21sx3112+x-s31423;...;.;.F1m1y1k1fF1m1y1k1f1m2y2kf22dy dy d2yFf1

1fdt

2kydt 1

ky m1 2

1dt2dy dy d2y(f1

f ) 2f2 dt

1kydt 1

(k1

k )y m2 2

2dt2拉氏变换(ms2f211 21

sk1

)Y(s)(f1

sk

(s)F(s)(ms2f2

sf2

sk1

k2

(f1

sk1

)Y(s)022122用矩阵表示为ms2f

s

fs

Y

(s) 1 1 1 1

1 1

F(s)(f1

sk1

ms22

fsf1

sk212

k

(s) 0Y(s)

s2f

s

fs

11 1 1 1 1

1 1 F(s)Y(s) (f

sk1

ms22

fsf1

sk1

k 0已知系统的状态空间表达式为试求系统的传递函数矩阵。（1）x1 0x0 1u y2 3 1 2 解

0 10 1G(s)c(sIA)1B

1 12 s1 2 s3 2 (s(s0 1

s1

3s1 s1 1

(s(s 0 (s作业和课堂练习 课堂练习：化矩阵A1 2 0 1 解 (λIλ-1 2

λIA

λ-1 2

(λ-1)200 λ-1 0 λ-1重特征值： λλ 11 20 2

0

1 则p 0 11210 0p 21

11 21p0 2p

1

取p

则p 1 0 0

12 022

12 22 2 1 1 1 P0

1 P10 2 2 ~ 1 -21 21 1 1 01 1 1 AP1AP0 20 10

10 20

10 化状态方程为对对角线标准形。

2

2 （1）

-2 1 0 1 2 解 λIAλ1

1λ2

λ2430 1

1，λ2

31 1

0

1 则p 1-1 1

11p11 21p211 1

0

1

1 12-1 -1p 1

12 221 1 1 1-1 1 P

P1

2 211 1

2 12

12~ 2

22 11

1 0AP1AP1

11 21

0 2 2化状态方程为对角线标准形。（1）

0 1x0u2 1 解 λIA λ 12 λ3

λ220 1

1，λ2

21 1

0

1

12 2

11p11 21p21p2 1p

0

1

22 2

1222

12 222 P

1 1

P1

1 1

2 1 1 2 1 1 ~ 2 10 11 1 1 0AP1AP1 12 31 20 2 作业和课堂练习2-1试求下列矩阵对应的状态转移矩阵。（1）A

0 10 1 解:拉氏反变换法： e

L1[(sIA)1] (sIA)s

111 s1 1 s

1 s(s

0 s1 1et(sIA)1

eAt1s(s

s 0

s1

0 et 化有限项法： A)

10

A(0 1a(t) 1et 01et 01 1 10

1

1

a(t)

e2t 1 e2t 1 et 1et1 2a(t)1 a0

1et1 0 1 1

1 1eteAt

a(t)Ia(t)A

et) （2）A

0 10 1

0 1 0 1 0

et 4 0 拉氏反变换法： eAtL1[(sIA)1](sIA)

s

(sIA)1

1 s

ss24

1 s244 s s244 s 4 s cos

1sin2t

s2

s24eAt

2sin

2 cos化有限项法： A)

14

IA2402j 1 2

2j

2j 2ja(t) 1et 2j1e2jt

1 1 e2jt0 1

1

a(t)

e2t 1 2j e2jt

4j

e2jt112

212e2jt14j

1e

jta(t)

e2jte2jt

cos2t

(t)

1e2jte2jt

1sin0 2

2 2j 21 0 10

cos1sin2teAt

a(t)Ia

(t)A0 1cos

24

sin 2 0 1

2sin

cos已知线性定常系统的状态空间表达式，求单位阶跃输入时状态方程的解。x0 1x0u x(0)12 3 1 2 3 1 解: 拉氏反变换法：

e

L1[(sIA)1](sIA)

s 1 2 s

s3 1 1 s3 1 (s2) (s2)(sIA)1(

2 s 2 s s 2)

(s2) (s2) 2 1 1 1 At

s1 s2 s1 s2 2et

e

ete2t e L1[(sIA)1]

2

1 2

2et

2e

et2e2ts1 s2 s1 s2 1 1 s3 101 s(s2)(sIA)1BU(s)(

2 s1 1 s 2)

s (s2)x(t)L1[(sIA)1]x(0)L1[(sIA)1BU(s)] 2

1 1 1 (s

s2

2 1 2 s s1 s2 2 2 (s) (s)

1 1 s1 s2 2ete2t 1et1e2t 1et1e2t 2 2

2 2 2et

2e2t

et

e

ete2t 直接法： A)

10

A(1)0x(t)eAtx0

teA(t)Bu(τ)dτ0t e(t)

e2(t) t ete

e2te2 teA(t)u(τ)τ

d0 e_t0

2e2(t)

ete0

2e2te2 1 t

1 1 1 ete

2e2te2 12et

2e2t2et

2e2tetee2te2 11et

e2t

ete2t o

2ete2t 1et1e2t 1et1e2t x(t)

2 2

2 2 2et

2e2t

et

e

ete2t 输出响应。x0 1x2u x(0)

y5 6 1 s 1解： (sIA)2 s s6 1 方法一：

1 s6 1 (s(s(sIA)1(

5 s 5 s s (s

(s方法二: sIAs2asa

adj(sIA)sIB1 2 20 1 6 0 6 1atr(6

AaI5 60 65 01a 1tr(AB2

2101101611tr(5 0 tr(2 5650) 205

1

)52 2

s 06 1 s6 1 0 s

5 0 (s

(s(sIA)1

s26s5 5 s (s(s5/4

1/

1/41/4状态转移矩阵eAt

A)1]

s1 s5 s1 s55/4 5/4 1/4 5/4 s1 s5 s1 s554et

e5t141

1et4

e5t141 5

1 5 et e5t

et e5t 4 4拉氏反变换法求状态方程的解：

4 4 x(t)L1[(sIA)1]x(0)L1[(sIA)1BU(s)] 2(s6) 1 s6 121 s(s(sIA)1BU(s)(

5 s0

10 s

s s(s2)x(t)eAtx(0)L1[(sIA)1BU(s)]54et

e5t141

1et4

e5t141

1255

5 1 2 10 5 5

1 5

s

1 s55 et

e5t

et

e5t 1 4 4 4 4

2 2 2 s s1 s53et

1 12 5 e5t e

1 e5t

12 2 2

2 5 2

10

et5e5t 3 5

5

1 et 2

e5t 22

et2

2e5t 2et2e5t直接法求状态方程的解： x(t)eAtx0

teA(t)Bu(τ)dτ05e(t)

e5(t)

5ete

e5te5 11t t 115555teA(t)u(τ)τ2 2 2 2 55550 e_t)

e5(t)

ete

e5te50 2 2 0 2 2 5

t 5 1

1 12 5 1 2ete

e5te510

et121

10e5t 52et

10e5t 5

1 2510

1 5 1 e