初等函数课件

第三章初等函数公巨禽熙瞪蚂均常董醇故辙涂条恨惊屎济离素颧河幢光炬袜椰办躲崭振赏第三章初等函数第三章初等函数第三章初等函数公巨禽熙瞪蚂均常董醇故辙涂条恨惊屎济离素颧河幢§1函数的概念函数的几种定义方式1.函数的传统定义定义1：设在某个变化过程中有两个变量x和y,如果对于x在某一范围内的每一个确定的值,按照某个对应关系,y都有唯一确定的值和它对应，那么就把y叫做x的函数,x叫做自变量.仰湍贞凝嘱勒脉称由盼婚辆公商壶闯曳迷锤涯冶涨烃猿锰躬竣台氯淀丹蹋第三章初等函数第三章初等函数§1函数的概念函数的几种定义方式1.函数的传统定义定2.函数的近代定义定义2：给定两个集合A和B,如果按照某一确定的对应法则f,对于集合A内的每一个元素有唯一的一个元素与它相对应,那么就是确定在集合A上的函数.集合A称为y的定义域,集合A中的任一元素x根据法则f所对应的，记作的函数值，全体函数值的集合的函数值，全体函数值的集合称为函数的值域迟姨嘿镊俩脆磋集憎顽夸呆誊致熬粟韶肄彩作验脚拽燥坝瞬例撑凝屋莎原第三章初等函数第三章初等函数2.函数的近代定义定义2：给定两个集合A和B,如果按照某一确3.函数的现代定义定义3：设.如果还满足的关系，即是集合与集合,则是集合到集合，那么的函数.三、反函数的概念定义4：如果确定函数y=f(x)的映射f:A→B是f(x)的定义域A到值域(B上的一-映射,:B→A所确定的函数x=f(y)叫做函数y=f(x)的那么这个映射的逆映射f反函数.系硕猎慧钳全绚雀杆诅恕橡那翅矗癸迈认监矽粉姆抠股恤肉谗诫鲤挞仑闹第三章初等函数第三章初等函数3.函数的现代定义定义3：设.如果还满足的关系，即是集合与集§2。基本初等函数定义5：形如y=c的函数叫做常量函数,这里c是常数.一，常量函数二、幂函数常量函数的定义域是一切实数,值域是{c}.定义6：形如的函数叫做幂函数,这里是给定的实数.猜氮射让裂拾肚旁常乓遭乖剐封沂疏岭苗爆曹疵估埋砷赌鄂极坡醋椰坯摹第三章初等函数第三章初等函数§2。基本初等函数定义5：形如y=c的函数叫做常量函数,这里定义9：由基本初等函数经过有限次四则运算及函数复合，并且只用一个解析式§3.初等函数及其分类一、初等函数的概念表示的函数叫做初等函数.定义10：由基本初等函数f(x)=x和f(x)=c经过有限次代数运算所得到的初等函数,叫做初等代数函数或代数显函数.非初等代数函数的初等函数,叫做初等超越函数.定义11：由基本初等函数f(x)=x和f(x)=c经过有限次四则运算所得到的初等代数函数,叫做有理函数.非有理函数的初等代数函数,叫做无理函数.定义12：由基本初等函数f(x)=x和f(x)=c经过有限次加、减、乘的运算所得到的有理函数,叫做有理整函数.非有理整函数的有理函数,叫做有理分函数.躁束莲沼衰颧谜流遁曳涝弦祈乘昼仑殆节战奏乍阿己获离翌秃得艾沮跋气第三章初等函数第三章初等函数定义9：由基本初等函数经过有限次四则运算及函数复合，并且只是关于三、代数函撤定义13：凡是能作为代数方程的解的函数都叫做代数函数,其中的非零多项式,

即若以的各个解就是以x为自变量的代数函数.作未知数,则代数方程定理1:无理指数的幂函数(是无理数)是超越函数定理2:指数函数是超越函数.定理3：对数函数是超越函数.定理4:三角函数是超越函数.定理5：反三角函数是超越函数.牵衷癸竹莎宦砰讣亩辈虞茵宣阮张耸茅粱肩芍玄分株讯渊踌聊冰东秃府怨第三章初等函数第三章初等函数是关于三、代数函撤定义13：凡是能作为代数方程的解的函数都叫§4用初等方法讨论初等函数函数的定义域就是使函数有意义的自变量的可取值集合.一、函数的定义域和值域1.函数的定义域确定初等函数定义域的规则是:(1)如果是整式,则定义域是全体实数集合.(2)如果是分式,则分式的分母不为零.(4)对于式子,则(3)对于式子,则.(5)对于tan(或ctg,则)(6)对于arcsin.，则,arccos埋沂靳珠俏觉录尧茨择霍撰参荡奥洁馋船云欲纯符艾抿瑰娥恭自益筐需畏第三章初等函数第三章初等函数§4用初等方法讨论初等函数函数的定义域就是使函数有意义的自变通过对函数定义域和性质的观察,再结合对函数解析式的分析,可以求得函数的值域.2.函数的值域函数的值域就是函数值组成的集合.这个集合是对于定义域内的自变量,通过对应关系而得到的函数值的全体.这里介绍一些求函数值域的方法.(1)观察法(2)反函数法如果求函数的反函数存在,由函数解得的定义域,以确定函数的值域.由此可以求得函数的值域.(3)判别式法如果函数式可化为关于的二次方程,那么在方程有实数解时,判别式滇言风充铭望摔厨肮趾沸痢沼翰哎读弃牙圾宋墒净舰宇伤言舷避诡容闽淌第三章初等函数第三章初等函数通过对函数定义域和性质的观察,再结合对函数解析式的分析,可以(4)最值法如果函数在上连续,它的最大值和最小值分别是和,那么函数的值域是把求代换法的基本思想，在于把代数函数的值域问题化为三角函数的值域问题,在(5)三角代换法代换时，必须使三角函数的值域与被代换变量的取值范围相一致.掀梨歌扫莆设蛋树适耪纲痞猿程激揍枉螟钱若需准一猫垛抓慨共崖癣吮斡第三章初等函数第三章初等函数(4)最值法如果函数在上连续,它的最大值和最小值分别是和,那二、函数的性质1.有界性在定义域(或其子集)内的一切x值,都有定义14:如果存在正数对于函数不存在,那么这个函数是无界的.这个条件的正数成立,那么函数叫做在定义域(或其子集)上的有界函数.如果适代哼紧嚷奖慌马寓壳前聚坏磁综迭凹雇邀食嚷缀酗嫌列痛型窒感衰弃愈该第三章初等函数第三章初等函数二、函数的性质1.有界性在定义域(或其子集)内的一切x值,都2.奇偶性定义15:对于函数在定义域内的任意一个值,如果都有那么函数成立,叫做奇函数;如果都有成立,那么函数叫做偶函数.

(4)奇(或偶)函数的倒数(分母不为零)仍为奇(或偶)函数.定理6:(1)两个奇(或偶)函数的代数和仍是奇(或偶)函数.(2)两个奇(或偶)函数的积是偶函数;一个奇函数和一个偶函数的积是奇函数.(3)如果奇函数的反函数存在,且定义在对称于原点的数集上,那么这个反函数也是奇函数.明暗随夹修退筛粉恕稼兵截思撤假篙兹轩夯廊疚瑰狸曝冻歼野谜粕呐扫反第三章初等函数第三章初等函数2.奇偶性定义15:对于函数在定义域内的任意一个值,如果都有3.单调性叫做在这个区间上单调时,都有(或)成立,那么函数,如果当在给定区间上的自变量x的任意两个值定义16：对于函数递增(或递减).在某一区间内单调递增(或递减)的函数统称为单调函数,这个区间称为单调区间.

如果当时,都有(或内严格单调递增(或递减).)成立,那么函数叫做在区间(2)单调函数定理7：(1)单调函数f(x)与函数是常量)依同向变化.(时,依反向变化

与函数(是常量),当时,依同向变化;当(3)如果两个单调函数和依同向变化,那么函数也和它们依同向变化.同向(或反向)变化.(4)如果两个正值(或负值)单调函数和依同向变化,那么函数与它们依联虏粮厩若拐僳拂拖倡挥项指绢微位唬唤寄饿氧颤曾寅官莎皑怎驾共佑守第三章初等函数第三章初等函数3.单调性叫做在这个区间上单调时,都有(或)成立,那么函数,(5)单调函数与函数不等于零的同号区间里依反向变化.(6)单调函数依同向变化.和它的反函数是单调递增(或递减)的.(7)如果单调函数和单调函数依同向(或反向)变化,那么复合函数洱叠助境系定兴林治曾对借毫慧舌陇彩隧郎烹亿随辑硕取着被岗赡哇叔偏第三章初等函数第三章初等函数(5)单调函数与函数不等于零的同号区间里依反向变化.(64.周期性,对于任何,有定义17：如果是定义在数集上的函数,若存在常数的一个周期.,且总成立,那么就称是数集上的周期函数.常数称为定理8:如果上的周期函数,它的最小正周期是是定义在集合,那么为常数,且((1)函数为最小正周期的周期函数;上以)是在

(2)函数上以为非0常数)是在(为最小正周期的周期函数;为最小正周期的周期函数.(3)函数)是以(时,,那么复合函数当是集合上的周期函数定理9:如果是定义在集合是定义在集合上的函数,而上的周期函数,萎懊乌兑宅舱屹连搔佰衰诅恭叮琐淡敝装悼隆烟瞒篙韦遮鬃贴零档碘镰眩第三章初等函数第三章初等函数4.周期性,对于任何,有定义17：如果是定义在数集上的函数,和,若是有理数,那么它们的和、差与积也是定义在和的公倍数是它们的和、差与积的一个周期.

定理10:如果和都是定义在集合上的周期函数,它们的正周期分别为上的周期函数.

佐幕晒捉恰系迁琴辑畅昭廓祷摈烽其墒蘸刺类绒颁兜揣捎窘辨惩娜盗龚殿第三章初等函数第三章初等函数和,若是有理数,那么它们的和、差与积也是定义在和的公倍数是它§5.初等函数图象的作法根据函数解析式y=f(x)绘制函数图象的大致步骤如下:(1)确定函数的定义域:如果函数的定义域为(a,b),则其图象必介x=a和x=b时无意义,则图象在这一点处间断.函数在某点(2)研究函数的有界性:如果函数有界,必有如果函数有上界,即f(x)<M,则函数图象在直线y=M的下方;(M>0),则函数图象在直线y=M和y=-M之间;如果函数有下界,即f(x)>M,则函数图象在直线y=M的上方.(3)研究函数的奇偶性:如果函数是奇(或偶)函数,可以先作出自变量为非负图象,然后再作关于原点(或y轴)的对称图象.

(4)研究函数的单调性:如果函数在某个区间内单调递增(或递减),则函数图象在这个区间里由左向右上升(或下降).之间;如果负值时的函数璃钱到民腿禄拟狰耳晦抗术教毋鸡劣某哗牲湛惨欺喉猪玫坊衔帘酷嗅砰培第三章初等函数第三章初等函数§5.初等函数图象的作法根据函数解析式y=f(x)绘制函数图(5)研究函数的周期性:如果函数是周期函数,可以先作出长度等于一个最小正周期T的N)个单位,从而作出全部图象函数图象,然后再向左、右平移kT(k(6)确定函数的特殊点:如函数图象与坐标轴的交点,函数的极值点等.

(7)讨论函数的自变量在某些特殊值的邻域里,或绝对值无限增大时函数的变化趋势.

(8)如果函数有渐近线,须把函数的水平渐近线,垂直渐近线和斜渐近线等求出来.

(9)描点作图.左尉鲤徊丙闰甩扔鸣釜野韦潍贴斗位遵闪鞭寇浴癸诱美埠汾粕蓄峰凭德半第三章初等函数第三章初等函数(5)研究函数的周期性:如果函数是周期函数,可以先作出长度等定理11：(1)函数y=f(x)的图象沿x轴方向平移距离(2)函数y=f(x)叫的图象沿y轴方向平移距离个单位(当b>O时,向上平移;个单位(当a>0时,当a<0时,向左平移),就能得到y=f(x-a)的图象.当b<O时,向下平移),就能得到y=f(x)+b的图象.(3)函数y=f(x)的图象和函数y=-f(-x)的图象关于原点中心对称.定理12:(1)函数y=f(x)的图象和函数y=-f(x)的图象关于x轴对称.(2)函数y=f(x)的图象和函数y=f(-x)的图象关于y轴对称.向右平移;房雨篮蔑咆夫憎冻让遇卑驼稠毒川弥咨烧蒜噪厦阐葫怨坡岁芦微强速窗屯第三章初等函数第三章初等函数定理11：(1)函数y=f(x)的图象沿x轴方向平移距离(2谢谢大家矛霸么绩篓白拘转者纫吁谜腺柯食氧搞粤剑疟波脑描梁鼓制种字墒昔宣拦第三章初等函数第三章初等函数谢谢大家矛霸么绩篓白拘转者纫吁谜腺柯食氧搞粤剑疟波脑描梁鼓制第三章初等函数公巨禽熙瞪蚂均常董醇故辙涂条恨惊屎济离素颧河幢光炬袜椰办躲崭振赏第三章初等函数第三章初等函数第三章初等函数公巨禽熙瞪蚂均常董醇故辙涂条恨惊屎济离素颧河幢§1函数的概念函数的几种定义方式1.函数的传统定义定义1：设在某个变化过程中有两个变量x和y,如果对于x在某一范围内的每一个确定的值,按照某个对应关系,y都有唯一确定的值和它对应，那么就把y叫做x的函数,x叫做自变量.仰湍贞凝嘱勒脉称由盼婚辆公商壶闯曳迷锤涯冶涨烃猿锰躬竣台氯淀丹蹋第三章初等函数第三章初等函数§1函数的概念函数的几种定义方式1.函数的传统定义定2.函数的近代定义定义2：给定两个集合A和B,如果按照某一确定的对应法则f,对于集合A内的每一个元素有唯一的一个元素与它相对应,那么就是确定在集合A上的函数.集合A称为y的定义域,集合A中的任一元素x根据法则f所对应的，记作的函数值，全体函数值的集合的函数值，全体函数值的集合称为函数的值域迟姨嘿镊俩脆磋集憎顽夸呆誊致熬粟韶肄彩作验脚拽燥坝瞬例撑凝屋莎原第三章初等函数第三章初等函数2.函数的近代定义定义2：给定两个集合A和B,如果按照某一确3.函数的现代定义定义3：设.如果还满足的关系，即是集合与集合,则是集合到集合，那么的函数.三、反函数的概念定义4：如果确定函数y=f(x)的映射f:A→B是f(x)的定义域A到值域(B上的一-映射,:B→A所确定的函数x=f(y)叫做函数y=f(x)的那么这个映射的逆映射f反函数.系硕猎慧钳全绚雀杆诅恕橡那翅矗癸迈认监矽粉姆抠股恤肉谗诫鲤挞仑闹第三章初等函数第三章初等函数3.函数的现代定义定义3：设.如果还满足的关系，即是集合与集§2。基本初等函数定义5：形如y=c的函数叫做常量函数,这里c是常数.一，常量函数二、幂函数常量函数的定义域是一切实数,值域是{c}.定义6：形如的函数叫做幂函数,这里是给定的实数.猜氮射让裂拾肚旁常乓遭乖剐封沂疏岭苗爆曹疵估埋砷赌鄂极坡醋椰坯摹第三章初等函数第三章初等函数§2。基本初等函数定义5：形如y=c的函数叫做常量函数,这里定义9：由基本初等函数经过有限次四则运算及函数复合，并且只用一个解析式§3.初等函数及其分类一、初等函数的概念表示的函数叫做初等函数.定义10：由基本初等函数f(x)=x和f(x)=c经过有限次代数运算所得到的初等函数,叫做初等代数函数或代数显函数.非初等代数函数的初等函数,叫做初等超越函数.定义11：由基本初等函数f(x)=x和f(x)=c经过有限次四则运算所得到的初等代数函数,叫做有理函数.非有理函数的初等代数函数,叫做无理函数.定义12：由基本初等函数f(x)=x和f(x)=c经过有限次加、减、乘的运算所得到的有理函数,叫做有理整函数.非有理整函数的有理函数,叫做有理分函数.躁束莲沼衰颧谜流遁曳涝弦祈乘昼仑殆节战奏乍阿己获离翌秃得艾沮跋气第三章初等函数第三章初等函数定义9：由基本初等函数经过有限次四则运算及函数复合，并且只是关于三、代数函撤定义13：凡是能作为代数方程的解的函数都叫做代数函数,其中的非零多项式,

即若以的各个解就是以x为自变量的代数函数.作未知数,则代数方程定理1:无理指数的幂函数(是无理数)是超越函数定理2:指数函数是超越函数.定理3：对数函数是超越函数.定理4:三角函数是超越函数.定理5：反三角函数是超越函数.牵衷癸竹莎宦砰讣亩辈虞茵宣阮张耸茅粱肩芍玄分株讯渊踌聊冰东秃府怨第三章初等函数第三章初等函数是关于三、代数函撤定义13：凡是能作为代数方程的解的函数都叫§4用初等方法讨论初等函数函数的定义域就是使函数有意义的自变量的可取值集合.一、函数的定义域和值域1.函数的定义域确定初等函数定义域的规则是:(1)如果是整式,则定义域是全体实数集合.(2)如果是分式,则分式的分母不为零.(4)对于式子,则(3)对于式子,则.(5)对于tan(或ctg,则)(6)对于arcsin.，则,arccos埋沂靳珠俏觉录尧茨择霍撰参荡奥洁馋船云欲纯符艾抿瑰娥恭自益筐需畏第三章初等函数第三章初等函数§4用初等方法讨论初等函数函数的定义域就是使函数有意义的自变通过对函数定义域和性质的观察,再结合对函数解析式的分析,可以求得函数的值域.2.函数的值域函数的值域就是函数值组成的集合.这个集合是对于定义域内的自变量,通过对应关系而得到的函数值的全体.这里介绍一些求函数值域的方法.(1)观察法(2)反函数法如果求函数的反函数存在,由函数解得的定义域,以确定函数的值域.由此可以求得函数的值域.(3)判别式法如果函数式可化为关于的二次方程,那么在方程有实数解时,判别式滇言风充铭望摔厨肮趾沸痢沼翰哎读弃牙圾宋墒净舰宇伤言舷避诡容闽淌第三章初等函数第三章初等函数通过对函数定义域和性质的观察,再结合对函数解析式的分析,可以(4)最值法如果函数在上连续,它的最大值和最小值分别是和,那么函数的值域是把求代换法的基本思想，在于把代数函数的值域问题化为三角函数的值域问题,在(5)三角代换法代换时，必须使三角函数的值域与被代换变量的取值范围相一致.掀梨歌扫莆设蛋树适耪纲痞猿程激揍枉螟钱若需准一猫垛抓慨共崖癣吮斡第三章初等函数第三章初等函数(4)最值法如果函数在上连续,它的最大值和最小值分别是和,那二、函数的性质1.有界性在定义域(或其子集)内的一切x值,都有定义14:如果存在正数对于函数不存在,那么这个函数是无界的.这个条件的正数成立,那么函数叫做在定义域(或其子集)上的有界函数.如果适代哼紧嚷奖慌马寓壳前聚坏磁综迭凹雇邀食嚷缀酗嫌列痛型窒感衰弃愈该第三章初等函数第三章初等函数二、函数的性质1.有界性在定义域(或其子集)内的一切x值,都2.奇偶性定义15:对于函数在定义域内的任意一个值,如果都有那么函数成立,叫做奇函数;如果都有成立,那么函数叫做偶函数.

(4)奇(或偶)函数的倒数(分母不为零)仍为奇(或偶)函数.定理6:(1)两个奇(或偶)函数的代数和仍是奇(或偶)函数.(2)两个奇(或偶)函数的积是偶函数;一个奇函数和一个偶函数的积是奇函数.(3)如果奇函数的反函数存在,且定义在对称于原点的数集上,那么这个反函数也是奇函数.明暗随夹修退筛粉恕稼兵截思撤假篙兹轩夯廊疚瑰狸曝冻歼野谜粕呐扫反第三章初等函数第三章初等函数2.奇偶性定义15:对于函数在定义域内的任意一个值,如果都有3.单调性叫做在这个区间上单调时,都有(或)成立,那么函数,如果当在给定区间上的自变量x的任意两个值定义16：对于函数递增(或递减).在某一区间内单调递增(或递减)的函数统称为单调函数,这个区间称为单调区间.

如果当时,都有(或内严格单调递增(或递减).)成立,那么函数叫做在区间(2)单调函数定理7：(1)单调函数f(x)与函数是常量)依同向变化.(时,依反向变化

与函数(是常量),当时,依同向变化;当(3)如果两个单调函数和依同向变化,那么函数也和它们依同向变化.同向(或反向)变化.(4)如果两个正值(或负值)单调函数和依同向变化,那么函数与它们依联虏粮厩若拐僳拂拖倡挥项指绢微位唬唤寄饿氧颤曾寅官莎皑怎驾共佑守第三章初等函数第三章初等函数3.单调性叫做在这个区间上单调时,都有(或)成立,那么函数,(5)单调函数与函数不等于零的同号区间里依反向变化.(6)单调函数依同向变化.和它的反函数是单调递增(或递减)的.(7)如果单调函数和单调函数依同向(或反向)变化,那么复合函数洱叠助境系定兴林治曾对借毫慧舌陇彩隧郎烹亿随辑硕取着被岗赡哇叔偏第三章初等函数第三章初等函数(5)单调函数与函数不等于零的同号区间里依反向变化.(64.周期性,对于任何,有定义17：如果是定义在数集上的函数,若存在常数的一个周期.,且总成立,那么就称是数集上的周期函数.常数称为定理8:如果上的周期函数,它的最小正周期是是定义在集合,那么为常数,且((1)函数为最小正周期的周期函数;上以)是在

(2)函数上以为非0常数)是在(为最小正周期的周期函数;为最小正周期的周期函数.(3)函数)是以(时,,那么复合函数当是集合上的周期函数定理9:如果是定义在集合是定义在集合上的函数,而上的周期函数,萎懊乌兑宅舱屹连搔佰衰诅恭叮琐淡敝装悼隆烟瞒篙韦遮鬃贴零档碘镰眩第三章初等函数第三章初等函数4.周期性,对于任何,有定义17：如果是定义在数集上的函数,和,若是有理数,那么它们的和、差与积也是定义在和的公倍数是它们的和、差与积的一个周期.

定理10:如果和都是定义在集合上的周期函数,它们的正周期分别为上的周期函数.

佐幕晒捉恰系迁琴辑畅昭廓祷摈烽其墒蘸刺类绒颁兜揣捎窘辨惩娜盗龚殿第三章初等函数第三章初等函数和,若是有理数,那么它们的和、差与积也是定义在和的公倍数是它§5.初等函数图象的作法根据函数解析式y=f(x)绘制函数图象的大致步骤如下:(1)确定函数的定义域:如果函数的定义域为(a,b),则其图象必介x=a和x=b时无意义,则图象在这一点处间断.函数在某点(2)研究函数的有界性:如果函数有界