Lyapunov理论基础课件

第二章Lyapunov理论基础

稳定性是控制系统关心的首要问题。稳定性的定性描述：如果一个系统在靠近其期望工作点的某处开始运动，且该系统以后将永远保持在此点附近运动，那么就把该系统描述为稳定的。

例如：单摆，飞行器李雅普诺夫的著作《动态稳定性的一般问题》，并于1892年首次发表。1.线性化方法：从非线性系统的线性逼近的稳定性质得出非线性系统在一个平衡点附近的局部稳定性的结论。2.直接法：不限于局部运动，它通过为系统构造一个“类能量”标量函数并检查该标量函数的时变性来确定非线性系统的稳定性质。

第二章Lyapunov理论基础稳定性是控制系统关心的首要1§2.1稳定性概念几个简化记法：令表示状态空间中由定义的球形区域，表示由定义的球面本身。1、稳定性和不稳定性

定义：如果对于任何，存在，使得对于所有的，如果，就有，则称平衡点是稳定的，否则，就称平衡点是不稳定的。

或者：对于线性系统，不稳定等于发散；对于非线性系统，不稳定不等于发散。

§2.1稳定性概念几个简化记法：令表示状态空间中由2图2-1稳定性概念例2.1范德堡振荡器的不稳定性对于范德堡方程转换成状态方程描述很容易证明该系统在原点处有一个平衡点。并且是不稳定的。图2-1稳定性概念例2.1范德堡振荡器的不稳定性转换成3从任何一个非零初始状态开始的系统轨线都渐近地趋近一个极限环。这意味着如果选择稳定性定义中的为足够小，使得半径为的圆完全落入极限环的封闭曲线内，那么在靠近原点处开始的系统轨线最终将越出这个圆,因此原点是不稳定的。从任何一个非零初始状态开始的系统轨线都渐近地趋近一个极限环。42、渐近稳定性与指数稳定性

在许多工程应用中，仅有稳定性是不够的。定义：如果某个平衡点0是稳定的，而且存在某一，使得，当时，，那么称平衡点是渐近稳定的。

平衡点的吸引范围是指：凡是起始于某些点的轨线最终都收敛于原点，这些点组成的最大集合所对应的区域。注意：收敛并不意味着稳定。（见图）2、渐近稳定性与指数稳定性在许多工程应用中，仅有稳定性是不5定义：如果存在两个严格正数和，使得围绕原点的某个球内，那么称平衡点0是指数稳定的。也就是说，一个指数稳定的系统的状态向量以快于指数函数的速度收敛于原点，通常称正数为指数收敛速度。指数收敛性的定义在任何时候都为状态提供明显的边界。

把正常数写成后，不难看到，经过时间后，状态向量的幅值减小到原值的，与线性系统中的时间常数相似。定义：如果存在两个严格正数和，使得围绕原点的某6例1：系统它的解是：以速度指数收敛于。例2：系统它的解为，是个慢于任何指数函数的函数。

3、局部与全部稳定性

定义：如果渐近（或指数）稳定对于任何初始状态都能保持，那么就说平衡点是大范围渐近（或指数）稳定的，也称为全局渐近（或指数）稳定的。例1：系统7§2.2线性化和局部稳定性

李雅普诺夫线性化方法与非线性系统的局部稳定性有关。Lyapunou线性化方法说明：在实际中使用线性控制方法基本上是合理的。对于自治非线性系统，如果是连续可微的,那么系统的动态特性可以写成()：用表示在处关于的雅可比矩阵：原非线性系统在平衡点0处的线性化结果为：

§2.2线性化和局部稳定性李雅普诺夫线性化方法与非线性系8对于一个具有控制输入的自治非线性系统：有：对于闭环系统，同样可以得出上述结论。例2.2考虑系统在处线性化。线性化结果：对于一个具有控制输入的自治非线性系统：线性化结果：9定理：（李雅普诺夫线性化方法）1、如果线性化后的系统是严格稳定的（即如果的所有特征值都严格在左半复平面内），那么平衡点是渐近稳定的（对实际的非线性系统）；2、如果线性化后的系统是不稳定的（即如果的所有特征值至少有一个严格在右半复平面内），那么平衡点是不稳定的（对实际的非线性系统）；3、如果线性化后的系统是临界稳定的（即如果的所有特征值都在左半复平面内，但至少有一个在轴上），那么不能从线性近似中得出任何结论（其平衡点对于非线性系统可能是稳定的，渐近稳定的，或者是不稳定的）。定理：（李雅普诺夫线性化方法）10例：对于一阶系统

原点是这个系统的两平衡点之一。这个系统在原点附近的线性化是：应用李雅普诺夫线性化方法，得出该非线性系统的下述稳定性性质：（1）

渐近稳定；（2）不稳定；（3）不能从线性化说明系统稳定性性质。在第三种情况下，非线性系统为这时线性化方法不能用来判断它的稳定性。

例：对于一阶系统11例：证明下面单摆的平衡状态是不稳定的。式中为单摆长度，为单摆质量，为铰链的摩擦系数，是重力常数。(系统的平衡点是什么？)

在的邻域内设，那么系统在平衡点附近的线性化结果是因此，该线性近似是不稳定的；近而该非线性系统在平衡点也是不稳定的。例：证明下面单摆的平衡状态是不稳定的。12

李雅普诺夫线性化定理说明

线性控制设计存在一致性问题，人们必须设计控制器使系统保持在它的“线性范围”里。它也说明了线性设计的主要局限性：线性范围到底有多大？稳定范围是什么？

李雅普诺夫线性化定理说明13§2.3李雅普诺夫直接法

李雅普诺夫直接法的基本原理是对于下述基本物理现象的数学上的扩展：如果一个机械（或电气）系统的全部能量是连续消耗的，那么该系统无论是线性的还是非线性的，最终必定稳定至某个平衡点。非线性质量—阻尼器—弹簧系统，动态方程是

整个机械系统的能量是它的动能和势能之和§2.3李雅普诺夫直接法李雅普诺夫直接法的基本原理是14建立了能量与稳定性的关系。稳定性与机械能的变化有关李雅普诺夫直接法建立在把上述概念推广到更复杂系统的基础上。一、正定函数和李雅普诺夫函数

定义：一个标量连续函数，如果，而且在一个球内那么称函数为局部正定的。建立了能量与稳定性的关系。稳定性与机械能的变化有关15

局部正定函数的几何意义：对于具有两个状态变量和的正定函数，在三维空间中画出，它典型地对应于一只看起来象向上的杯子的曲面，杯子的最低点位于原点。同样可以定义：负定、半正定、半负定等一些概念。局部正定函数的几何意义：对于具有两个状态变量和16定义：如果一个球域内，函数为正定的且具有连续偏导数，而且如果它沿着系统的任何轨迹线的时间导数是半负定的，即那么称为系统的李雅普诺夫函数。定义：如果一个球域内，函数为正定的17

几何解释：表示值的点总是指向杯底，或指向越来越小的值等高线。二、平衡点定理李雅普诺夫直接法的几个定理建立起李雅普诺夫函数与系统稳定性之间的精确关系。1、局部稳定性的李雅普诺夫定理定理（局部稳定性）：如果在球域内，存在一个标量函数，它具有连续的一阶偏导数，使得：（1）为正定（局部地）；（2）为半负定（局部地）。那么平衡点0是稳定的。如果实际上导数在域内局部负定，那么稳定性是渐近的。几何解释：表示值的点总是指向杯底，或指向越来越18例：局部稳定性具有粘滞阻尼的单摆由下列方程描述判断系统在原点的局部稳定性。考察下列标量函数：它的时间导数可以得出原点是稳定的平衡点的结论。不能得到关于系统渐近稳定性的结论，因为仅仅半负定。例：局部稳定性19例：研究非线性系统在它的以原点为平衡点处附近的稳定性。给正定函数它沿任何系统轨线的导数是这样，在二维球域里（即在由定义的区域里）就是局部负定的。因此，根据上面的定理，原点是渐近稳定的。

例：研究非线性系统202、全局稳定性的李雅普诺夫定理为了断定一个系统的全局渐近稳定性，必须将扩展为整个状态空间；还有必须是径向无界的，即（换句话说，当从任何方向趋向无穷远时），。定理（全局稳定性）：假设存在状态的某个具有连续一阶导数的标量函数，使得：（1）是正定的，（2）为负定的，（3）当时，。那么平衡点0是全局渐近稳定的。2、全局稳定性的李雅普诺夫定理21径向无界性条件在于保证等值曲线（或高阶系统情况下的等值曲面）对应于封闭曲线。如果该曲线不是封闭的，即使状态保持穿过对应于越来越小的的等值曲线（面），状态轨线仍可能从平衡点漂移。例如，对于正定函数当时，曲线是开曲线。下图说明状态向“能量”越来越低的曲线移动时的发散现象。径向无界性条件在于保证等值曲线（或高阶系统情况下的等值22例：一阶非线性系统式中，是任何一个与它的标量自变量有相同符号的连续函数，即选李雅普诺夫函数为当时，趋向于无穷，它函数是径向无界。它的导数是是一个全局渐近稳定的平衡点。对于例：一阶非线性系统对于23例：考虑系统状态空间的原点是这个系统的平衡点，设是正定函数沿任何系统轨迹的导数是它是负定的。因此，原点是全局渐近稳定平衡点。例：考虑系统它是负定的。因此，原点是全局渐近稳定平衡点。243、注释

对于同一个系统可以存在许多李雅普诺夫函数。例如，如果是一个李雅普诺夫函数，那么下面的也是李雅普诺夫函数：此处是任意严格正常数，是任何大于1的标量。与的正定，负定和径向无界的特性是一致的。注意：对于一个给定的系统，特别选择的李雅普诺夫函数可能比其它的李雅普诺夫函数产生更精确的结果。对具有粘滞阻尼的单摆，选李雅普诺夫函数3、注释25它的导数为是局部负定的。虽然修正过的没有明显的物理意义，但它却能够证明单摆的渐近稳定性。注意：李雅普诺夫分析中的定理都是充分性定理。作业：为下面系统找一个平衡点，并确定稳定性，指出稳定性是否为渐近的以及是否为全局的。

它的导数为作业：为下面系统找一个平衡点，并确定稳定性，指出稳26三、不变集定理

定理的中心概念是不变集的概念。

定义：如果每条起始于集合中某点的系统轨线在任何未来时间里都保持在该集合内，那么该集合称为动态系统的一个不变集。1、局部不变集定理不变集定理反映了一种直觉概念，即李雅普诺夫函数必须逐渐减小至0（即必须收敛于0），因为是有下界的。定理（局部不变集定理）：对自治系统，是连续的，而且令为具有连续偏导数的标量函数，假设：（1）对于某个，由定义的区域是有界的；（2）对所有中的，。

三、不变集定理27

令为中的所有的点的集合，而为中最大的不变集；那么，当时起始于内的每一个解趋向于。

例：研究非线性系统在它的以原点为平衡点处附近的稳定性。给正定函数

沿任何系统轨迹的导数是令为中的所有的点的集合，而28对于，由定义的区域是有界的。集合只是原点0，它是一个不变集（因为它是一个平衡点）。局部不变集定理的所有条件都满足，因而任何起始于这个圆内的轨线都收敛于原点。这样，根据不变集定理就明显地确定了该系统的吸引范围。对于，由29例：吸引极限环，考察系统

由定义的集合是不变的，因为在该集合中为0。在不变集的运动由下面方程之一等价地描述因此，可以看到不变集实际上代表一个极限环。例：吸引极限环，考察系统30判断极限环的吸引性。定义一个侯选李雅普诺夫函数它表示到极限环的距离的量度。可用不变集定理判断收敛性。这样是严格负的。除了在情况下，集合就是由它们的并集组成。假如取，原点不属于，现在的集合正是极限环。用不变集定理证明了极限环的渐进稳定性；同时意味着原点处的平衡点是不稳定的。判断极限环的吸引性。定义一个侯选李雅普诺夫函数这样31推论：对是连续的自治系统，令是一个具有连续偏导数的标量函数，假设在原点的某一邻域内，有：（1）是局部正定的；（2）是半负定的；（3）由定义的集合不包含除平凡轨迹之外的系统轨线。那么，平衡点0是渐近稳定的。而且，在内形式为（由定义）的最大连通域是这个平衡点的一个吸引范围。推论：对是连续的自治系统，令是一个32

内的最大不变集就只包含平衡点0。注意下列各点：a、上述推论用为半负定的条件，以及关于内轨线的第三个条件代替了李雅普诺夫局部渐近稳定性定理的负定条件。b、在内的最大连通域是平衡点的一个吸引范围，但不一定是整个吸引范围，因为函数不是唯一的。c、集合本身不一定是一个吸引范围。实际上，上面的推论不保证是不变的，某些起始于内但在之外的轨线，实际上可能终止于之外。

2、全局不变集定理把所涉及的区域扩大到整个空间并要求标量具有径向无界性，可对上述定理进行推广。（略）

内的最大不变集就只包含平衡点0。注意下列各点：33例：对具有下面形式的一个二阶系统：其中，和是满足下面符号条件的连续函数：对于对于分析其在原点的稳定性。取李雅普诺夫函数为：可以把它看成系统的动能和势能之和。

例：对具有下面形式的一个二阶系统：34根据假设，仅当时。意味着只要，它就不等于0。系统不能在之外的任何平衡值上停住。中的最大不变集只包含一个点，即。应用局部不变集定理表明原点是一个局部渐近稳定点。如果积分当时径向无界，是径向无界的。原点全局渐进稳定。根据假设，仅当时35§2.4基于Lyapunov函数直接法的系统分析

如何寻找一个Lyapunov函数？不存在寻找Lyapunov函数的具体方法，这是Lyapunov稳定性理论的根本缺点。对于具体问题人们根据经验、直觉和对系统的具体理解去寻找一个合适的Lyapunov函数。对于稳定的线性系统，Lyapunov函数可以用系统的方法找到的；对于一个给定的非线性系统有很多数学方法可以帮助寻找Lyapunov函数。最强有力、最巧妙的方法是通过对系统的理解来寻找Lyapunov函数。§2.4基于Lyapunov函数直接法的系统分析如36一、线性定常系统的Lyapunov分析

Lyapunov函数象“能量”一样是可以叠加的。1、对称、斜对称和正定矩阵

方阵的对称性：方阵的斜对称性：任何一个方阵表示为一个对称阵和斜对称阵的和：与斜对称阵相联系的二次函数总是0，根据定义有：

一、线性定常系统的Lyapunov分析Lyapunov函数37

在后面的线性系统分析中，将经常使用形式的二次函数作为侯选李雅普诺夫函数，总是可以假定是对称的。正定矩阵定义：一个方阵，如果那么该方阵是正定的。每个正定矩阵都与一个正定函数相联系。一个方阵为正定的必要条件是：它的对角元素是严格正的。一个对称的方阵是正定的充分必要条件是：它的所有特征值都是严格正的。一个正定矩阵总是可逆的。一个正定矩阵总可以被分解为在后面的线性系统分析中，将经常使用形式的二次函38证明：（1）（2）（3）

同样可以定义矩阵半正定，负定和半负定的概念。对于一个时变矩阵，如果则称是一致正定的。

证明：392、线性定常系统的李雅普诺夫函数

给定一个线性系统为，考察侯选Lyapunov函数：其中，为一给定的对称正定阵。沿系统轨迹微分得式中，，该式称为Lyapunov方程。有效的解法是：

（1）选择一个正定矩阵；

（2）从Lyapunov方程求解矩阵；

（3）检查是否正定。2、线性定常系统的李雅普诺夫函数40定理：线性定常系统严格稳定的充要条件是，对于任何对称正定矩阵，李雅普诺夫方程式的唯一解矩阵是对称正定的（证明略）。的一个简单选择是单位矩阵。例：分析一个二阶系统定理：线性定常系统严格稳定的充要条件是，对于41二、克拉索夫斯基（Krasovskii）方法

克拉索夫斯基（Krasovskii）方法提出了具有形式的自治非线性系统的侯选Lyapunov函数的一种简单形式，即，这种方法的基本思想很简单，就是检查这个具体选择的函数是否确实能成为一个Lyapunov函数。

定理：对自治系统，对平衡点原点，令表示系统的雅可比矩阵，即二、克拉索夫斯基（Krasovskii）方法定理：对自治系42

如果矩阵在原点的一个邻域上是负定的，那么原点是一个渐近稳定的平衡点。这个系统的一个Lyapunov函数是如果为整个状态空间，而且当时，，那么该平衡点是全局渐近稳定的。

例：非线性系统

判断原点平衡点的稳定性。

有：矩阵是负定的。如果矩阵在原点的一个邻域上是负定43上述定理的应用受到很多限制，许多系统的雅可比矩阵不满足负定的条件。定理（广义Krasovskii定理）：对自治系统，对平衡点原点，令表示系统的雅可比矩阵。那么原点是渐近稳定的充分条件是，存在两个对称正定矩阵和，使得，矩阵在原点的某一邻域内是半负定的。且函数就是这个系统的一个Lyapunov函数。如果为整个状态空间，而且当时有，那么该平衡点是全局渐近稳定的。

上述定理的应用受到很多限制，许多系统的雅可比矩阵不满足负定的44三、变量梯度法

变量梯度法是构造Lyapunov函数的一种形式化方法。它假定未知Lyapunov函数的梯度具有某种形式，然后通过积分这个假定的梯度来求得Lyapunov函数本身。对于低阶系统，这种方法有时会成功地找到Lyapunov函数。

有一个标量函数，可以通过积分关系使的它与其梯度联系起来：其中。为了从梯度找到唯一的标量函数，该梯度函数必须满足所谓旋转条件：三、变量梯度法变量梯度法是构造Lyapunov函数的一45其中第个分量就是方向导数。变量梯度法原理就是假定梯度具有某种特定形式，而不是假定Lyapunov函数本身。其中一种简单的假定就是梯度函数具有某种形式：

式中为待定系数。这样，寻找Lyapunov函数的过程如下：

（1）假定是由上式给出的形式（或另外的形式）；（2）求解系数，以满足旋转方程；（3）限制上式中的系数，使的是半负定的（至少是局部半负定的）

其中第个分量就是方向导数。46（4）通过积分，由计算；

（5）检查是否正定。

因为满足旋转条件意味着上述积分结果与积分路径无关，那么依次沿着平行于每一条轴的路径进行积分，来求通常是方便的，即例：用变量梯度法为下列非线性系统求一个李雅普诺夫函数。

（4）通过积分，由计算；47假定待定的李雅普诺夫函数的梯度具有下面这种形式旋转方程是：如果选取系数：则：那么，可算出为：

假定待定的李雅普诺夫函数的梯度具有下面这种形式48这样，在区域上是局部负定的，而函数则为它确实是正定的，因此，系统的渐近稳定性得到了保证。注意：上式并不是通过变量梯度法能够获得的唯一的Lyapunov函数。例如取：得到正定函数：它的导数是：容易证明，是一个局部负定的函数，因此，这表示系统的另一个Lyapunov函数。这样，在区域上是局部负定的，而函数则49四、根据物理意义诱导产生李雅普诺夫函数

数学方法，对简单的系统有效，对于复杂的系统方程往往作用甚微。如果系统的工程含义和物理性质被适当的发掘，那么一种精巧的和强有力的李雅普诺夫分析方法可能适用于非常复杂的系统。五、性能分析

李雅普诺夫函数能够进一步估计稳定系统的瞬态性能。1、一个简单的收敛性引理

引理：如果一个实函数满足不等式

式中为一实数，那么

四、根据物理意义诱导产生李雅普诺夫函数数学方法，对简单50上述引理说明，如果是一个非负函数，满足就能保证指数收敛到零。应用李雅普诺夫直接法进行稳定性分析时，可以把处理成

的形式，可以推导出的指数收敛性和收敛速度。进而状态的指数收敛速率也可以确定。上述引理说明，如果是一个非负函数，满足512、估计线性系统的收敛速度线性系统的李雅普诺夫函数为：由矩阵理论表明：有：因此有：2、估计线性系统的收敛速度52根据引理有：这说明，状态至少以的速度收敛于原点。

3、估计非线性系统的收敛速度

对的表达式进行运算以获得的一个明显估计。例：对非线性系统

根据引理有：53候选的Lyapunov函数：求这个方程的解，有：其中：，如果，有这意味着状态向量的范数已1的速率按指数收敛于零。反之结果会如何？有限时间趋于无限。候选的Lyapunov函数：54§2.5基于李雅普诺夫直接法的控制设计

第一种方法：假设控制律的一种形式，然后找到一个李雅普诺夫函数来判断所选定的控制律能否导致系统稳定。第二种方法：假设一个候选的李雅普诺夫函数，然后找到一个控制律以使得这个候选函数成为真正的李雅普诺夫函数。例：控制系统的设计把系统的状态控制到原点选择控制规律§2.5基于李雅普诺夫直接法的控制设计第一种方法：假设控制55一、模型参考控制系统假设对象的状态方程为：系统结构框图：

也就是，即使在动态系统中出现某些不确定性的情况下，局部稳定的控制器。参照前面的例题：二阶动态系统的稳定性分析。一、模型参考控制系统也就是，即使在动态系统中出现某些不确定56参考模型为：误差向量为：误差向量的微分方程：现在设计一个控制器，使得在稳态时对误差微分方程给出的系统构造一个Lyapunov函数：

参考模型为：57如果：1、是一个负定矩阵；2、设计控制向量使得为非正值。平衡状态是大范围渐近稳定的（满足径向无界）。

例子：考虑由下式描述的非线性时变系统：式中，是时变参数，为正常数。设参考模型的方程为：

如果：58设计一个非线性控制器，使得系统能够稳定地工作。定义令误差向量为：Lyapunov函数的形式为：式中为正定的实对称矩阵。选择矩阵：

有：设计一个非线性控制器，使得系统能够稳定地工作。59选取：式中：则：

采用这个控制规律，平衡点是大范围渐近稳定的。瞬态响应收敛的速度取决于矩阵。二、基于Lyapunov直接法的二次型最优控制建立Lyapunov函数与二次型性能指标之间的直接关系式，用Lyapunov方法来解最优化问题。设系统为：选取：60矩阵为稳定矩阵，其中包括一个（或几个）可调参数，使下列性能指标达到极小。式中为正定的实对称矩阵。利用Lyapunov函数解决该问题：可由确定的各元素。矩阵为稳定矩阵，其中包括一个（或几个）可调参数，使下列61性能指标：由于矩阵为稳定矩阵，可得

有：因而性能指标可依据初始条件和求得。例：对下图所示的系统，确定阻尼比的值，使得系统在单位阶跃输入作用下，性能指标达到极小。

性能指标：62有：定义状态变量：则状态方程为：性能指标可写为：

有：63的极值为：下面求解使性能指标取极小的参数值。结论为：

的极值为：64例：其中，和是可量测的状态，和是已知的正常数。跟踪控制的目标就是跟踪它的期望值可能的控制器设计方案之一：表示正的控制增益，定义为：定理：上述的控制器能在下式意义下，提供一个全局稳定的跟踪。作业1：证明这个定理。例：作业1：证明这个定理。65作业提示：（1）取Lyapunov函数（2）求导数（3）得出（4）积分（5）求解

作业提示：66第二章Lyapunov理论基础

稳定性是控制系统关心的首要问题。稳定性的定性描述：如果一个系统在靠近其期望工作点的某处开始运动，且该系统以后将永远保持在此点附近运动，那么就把该系统描述为稳定的。

例如：单摆，飞行器李雅普诺夫的著作《动态稳定性的一般问题》，并于1892年首次发表。1.线性化方法：从非线性系统的线性逼近的稳定性质得出非线性系统在一个平衡点附近的局部稳定性的结论。2.直接法：不限于局部运动，它通过为系统构造一个“类能量”标量函数并检查该标量函数的时变性来确定非线性系统的稳定性质。

第二章Lyapunov理论基础稳定性是控制系统关心的首要67§2.1稳定性概念几个简化记法：令表示状态空间中由定义的球形区域，表示由定义的球面本身。1、稳定性和不稳定性

定义：如果对于任何，存在，使得对于所有的，如果，就有，则称平衡点是稳定的，否则，就称平衡点是不稳定的。

或者：对于线性系统，不稳定等于发散；对于非线性系统，不稳定不等于发散。

§2.1稳定性概念几个简化记法：令表示状态空间中由68图2-1稳定性概念例2.1范德堡振荡器的不稳定性对于范德堡方程转换成状态方程描述很容易证明该系统在原点处有一个平衡点。并且是不稳定的。图2-1稳定性概念例2.1范德堡振荡器的不稳定性转换成69从任何一个非零初始状态开始的系统轨线都渐近地趋近一个极限环。这意味着如果选择稳定性定义中的为足够小，使得半径为的圆完全落入极限环的封闭曲线内，那么在靠近原点处开始的系统轨线最终将越出这个圆,因此原点是不稳定的。从任何一个非零初始状态开始的系统轨线都渐近地趋近一个极限环。702、渐近稳定性与指数稳定性

在许多工程应用中，仅有稳定性是不够的。定义：如果某个平衡点0是稳定的，而且存在某一，使得，当时，，那么称平衡点是渐近稳定的。

平衡点的吸引范围是指：凡是起始于某些点的轨线最终都收敛于原点，这些点组成的最大集合所对应的区域。注意：收敛并不意味着稳定。（见图）2、渐近稳定性与指数稳定性在许多工程应用中，仅有稳定性是不71定义：如果存在两个严格正数和，使得围绕原点的某个球内，那么称平衡点0是指数稳定的。也就是说，一个指数稳定的系统的状态向量以快于指数函数的速度收敛于原点，通常称正数为指数收敛速度。指数收敛性的定义在任何时候都为状态提供明显的边界。

把正常数写成后，不难看到，经过时间后，状态向量的幅值减小到原值的，与线性系统中的时间常数相似。定义：如果存在两个严格正数和，使得围绕原点的某72例1：系统它的解是：以速度指数收敛于。例2：系统它的解为，是个慢于任何指数函数的函数。

3、局部与全部稳定性

定义：如果渐近（或指数）稳定对于任何初始状态都能保持，那么就说平衡点是大范围渐近（或指数）稳定的，也称为全局渐近（或指数）稳定的。例1：系统73§2.2线性化和局部稳定性

李雅普诺夫线性化方法与非线性系统的局部稳定性有关。Lyapunou线性化方法说明：在实际中使用线性控制方法基本上是合理的。对于自治非线性系统，如果是连续可微的,那么系统的动态特性可以写成()：用表示在处关于的雅可比矩阵：原非线性系统在平衡点0处的线性化结果为：

§2.2线性化和局部稳定性李雅普诺夫线性化方法与非线性系74对于一个具有控制输入的自治非线性系统：有：对于闭环系统，同样可以得出上述结论。例2.2考虑系统在处线性化。线性化结果：对于一个具有控制输入的自治非线性系统：线性化结果：75定理：（李雅普诺夫线性化方法）1、如果线性化后的系统是严格稳定的（即如果的所有特征值都严格在左半复平面内），那么平衡点是渐近稳定的（对实际的非线性系统）；2、如果线性化后的系统是不稳定的（即如果的所有特征值至少有一个严格在右半复平面内），那么平衡点是不稳定的（对实际的非线性系统）；3、如果线性化后的系统是临界稳定的（即如果的所有特征值都在左半复平面内，但至少有一个在轴上），那么不能从线性近似中得出任何结论（其平衡点对于非线性系统可能是稳定的，渐近稳定的，或者是不稳定的）。定理：（李雅普诺夫线性化方法）76例：对于一阶系统

原点是这个系统的两平衡点之一。这个系统在原点附近的线性化是：应用李雅普诺夫线性化方法，得出该非线性系统的下述稳定性性质：（1）

渐近稳定；（2）不稳定；（3）不能从线性化说明系统稳定性性质。在第三种情况下，非线性系统为这时线性化方法不能用来判断它的稳定性。

例：对于一阶系统77例：证明下面单摆的平衡状态是不稳定的。式中为单摆长度，为单摆质量，为铰链的摩擦系数，是重力常数。(系统的平衡点是什么？)

在的邻域内设，那么系统在平衡点附近的线性化结果是因此，该线性近似是不稳定的；近而该非线性系统在平衡点也是不稳定的。例：证明下面单摆的平衡状态是不稳定的。78

李雅普诺夫线性化定理说明

线性控制设计存在一致性问题，人们必须设计控制器使系统保持在它的“线性范围”里。它也说明了线性设计的主要局限性：线性范围到底有多大？稳定范围是什么？

李雅普诺夫线性化定理说明79§2.3李雅普诺夫直接法

李雅普诺夫直接法的基本原理是对于下述基本物理现象的数学上的扩展：如果一个机械（或电气）系统的全部能量是连续消耗的，那么该系统无论是线性的还是非线性的，最终必定稳定至某个平衡点。非线性质量—阻尼器—弹簧系统，动态方程是

整个机械系统的能量是它的动能和势能之和§2.3李雅普诺夫直接法李雅普诺夫直接法的基本原理是80建立了能量与稳定性的关系。稳定性与机械能的变化有关李雅普诺夫直接法建立在把上述概念推广到更复杂系统的基础上。一、正定函数和李雅普诺夫函数

定义：一个标量连续函数，如果，而且在一个球内那么称函数为局部正定的。建立了能量与稳定性的关系。稳定性与机械能的变化有关81

局部正定函数的几何意义：对于具有两个状态变量和的正定函数，在三维空间中画出，它典型地对应于一只看起来象向上的杯子的曲面，杯子的最低点位于原点。同样可以定义：负定、半正定、半负定等一些概念。局部正定函数的几何意义：对于具有两个状态变量和82定义：如果一个球域内，函数为正定的且具有连续偏导数，而且如果它沿着系统的任何轨迹线的时间导数是半负定的，即那么称为系统的李雅普诺夫函数。定义：如果一个球域内，函数为正定的83

几何解释：表示值的点总是指向杯底，或指向越来越小的值等高线。二、平衡点定理李雅普诺夫直接法的几个定理建立起李雅普诺夫函数与系统稳定性之间的精确关系。1、局部稳定性的李雅普诺夫定理定理（局部稳定性）：如果在球域内，存在一个标量函数，它具有连续的一阶偏导数，使得：（1）为正定（局部地）；（2）为半负定（局部地）。那么平衡点0是稳定的。如果实际上导数在域内局部负定，那么稳定性是渐近的。几何解释：表示值的点总是指向杯底，或指向越来越84例：局部稳定性具有粘滞阻尼的单摆由下列方程描述判断系统在原点的局部稳定性。考察下列标量函数：它的时间导数可以得出原点是稳定的平衡点的结论。不能得到关于系统渐近稳定性的结论，因为仅仅半负定。例：局部稳定性85例：研究非线性系统在它的以原点为平衡点处附近的稳定性。给正定函数它沿任何系统轨线的导数是这样，在二维球域里（即在由定义的区域里）就是局部负定的。因此，根据上面的定理，原点是渐近稳定的。

例：研究非线性系统862、全局稳定性的李雅普诺夫定理为了断定一个系统的全局渐近稳定性，必须将扩展为整个状态空间；还有必须是径向无界的，即（换句话说，当从任何方向趋向无穷远时），。定理（全局稳定性）：假设存在状态的某个具有连续一阶导数的标量函数，使得：（1）是正定的，（2）为负定的，（3）当时，。那么平衡点0是全局渐近稳定的。2、全局稳定性的李雅普诺夫定理87径向无界性条件在于保证等值曲线（或高阶系统情况下的等值曲面）对应于封闭曲线。如果该曲线不是封闭的，即使状态保持穿过对应于越来越小的的等值曲线（面），状态轨线仍可能从平衡点漂移。例如，对于正定函数当时，曲线是开曲线。下图说明状态向“能量”越来越低的曲线移动时的发散现象。径向无界性条件在于保证等值曲线（或高阶系统情况下的等值88例：一阶非线性系统式中，是任何一个与它的标量自变量有相同符号的连续函数，即选李雅普诺夫函数为当时，趋向于无穷，它函数是径向无界。它的导数是是一个全局渐近稳定的平衡点。对于例：一阶非线性系统对于89例：考虑系统状态空间的原点是这个系统的平衡点，设是正定函数沿任何系统轨迹的导数是它是负定的。因此，原点是全局渐近稳定平衡点。例：考虑系统它是负定的。因此，原点是全局渐近稳定平衡点。903、注释

对于同一个系统可以存在许多李雅普诺夫函数。例如，如果是一个李雅普诺夫函数，那么下面的也是李雅普诺夫函数：此处是任意严格正常数，是任何大于1的标量。与的正定，负定和径向无界的特性是一致的。注意：对于一个给定的系统，特别选择的李雅普诺夫函数可能比其它的李雅普诺夫函数产生更精确的结果。对具有粘滞阻尼的单摆，选李雅普诺夫函数3、注释91它的导数为是局部负定的。虽然修正过的没有明显的物理意义，但它却能够证明单摆的渐近稳定性。注意：李雅普诺夫分析中的定理都是充分性定理。作业：为下面系统找一个平衡点，并确定稳定性，指出稳定性是否为渐近的以及是否为全局的。

它的导数为作业：为下面系统找一个平衡点，并确定稳定性，指出稳92三、不变集定理

定理的中心概念是不变集的概念。

定义：如果每条起始于集合中某点的系统轨线在任何未来时间里都保持在该集合内，那么该集合称为动态系统的一个不变集。1、局部不变集定理不变集定理反映了一种直觉概念，即李雅普诺夫函数必须逐渐减小至0（即必须收敛于0），因为是有下界的。定理（局部不变集定理）：对自治系统，是连续的，而且令为具有连续偏导数的标量函数，假设：（1）对于某个，由定义的区域是有界的；（2）对所有中的，。

三、不变集定理93

令为中的所有的点的集合，而为中最大的不变集；那么，当时起始于内的每一个解趋向于。

例：研究非线性系统在它的以原点为平衡点处附近的稳定性。给正定函数

沿任何系统轨迹的导数是令为中的所有的点的集合，而94对于，由定义的区域是有界的。集合只是原点0，它是一个不变集（因为它是一个平衡点）。局部不变集定理的所有条件都满足，因而任何起始于这个圆内的轨线都收敛于原点。这样，根据不变集定理就明显地确定了该系统的吸引范围。对于，由95例：吸引极限环，考察系统

由定义的集合是不变的，因为在该集合中为0。在不变集的运动由下面方程之一等价地描述因此，可以看到不变集实际上代表一个极限环。例：吸引极限环，考察系统96判断极限环的吸引性。定义一个侯选李雅普诺夫函数它表示到极限环的距离的量度。可用不变集定理判断收敛性。这样是严格负的。除了在情况下，集合就是由它们的并集组成。假如取，原点不属于，现在的集合正是极限环。用不变集定理证明了极限环的渐进稳定性；同时意味着原点处的平衡点是不稳定的。判断极限环的吸引性。定义一个侯选李雅普诺夫函数这样97推论：对是连续的自治系统，令是一个具有连续偏导数的标量函数，假设在原点的某一邻域内，有：（1）是局部正定的；（2）是半负定的；（3）由定义的集合不包含除平凡轨迹之外的系统轨线。那么，平衡点0是渐近稳定的。而且，在内形式为（由定义）的最大连通域是这个平衡点的一个吸引范围。推论：对是连续的自治系统，令是一个98

内的最大不变集就只包含平衡点0。注意下列各点：a、上述推论用为半负定的条件，以及关于内轨线的第三个条件代替了李雅普诺夫局部渐近稳定性定理的负定条件。b、在内的最大连通域是平衡点的一个吸引范围，但不一定是整个吸引范围，因为函数不是唯一的。c、集合本身不一定是一个吸引范围。实际上，上面的推论不保证是不变的，某些起始于内但在之外的轨线，实际上可能终止于之外。

2、全局不变集定理把所涉及的区域扩大到整个空间并要求标量具有径向无界性，可对上述定理进行推广。（略）

内的最大不变集就只包含平衡点0。注意下列各点：99例：对具有下面形式的一个二阶系统：其中，和是满足下面符号条件的连续函数：对于对于分析其在原点的稳定性。取李雅普诺夫函数为：可以把它看成系统的动能和势能之和。

例：对具有下面形式的一个二阶系统：100根据假设，仅当时。意味着只要，它就不等于0。系统不能在之外的任何平衡值上停住。中的最大不变集只包含一个点，即。应用局部不变集定理表明原点是一个局部渐近稳定点。如果积分当时径向无界，是径向无界的。原点全局渐进稳定。根据假设，仅当时101§2.4基于Lyapunov函数直接法的系统分析

如何寻找一个Lyapunov函数？不存在寻找Lyapunov函数的具体方法，这是Lyapunov稳定性理论的根本缺点。对于具体问题人们根据经验、直觉和对系统的具体理解去寻找一个合适的Lyapunov函数。对于稳定的线性系统，Lyapunov函数可以用系统的方法找到的；对于一个给定的非线性系统有很多数学方法可以帮助寻找Lyapunov函数。最强有力、最巧妙的方法是通过对系统的理解来寻找Lyapunov函数。§2.4基于Lyapunov函数直接法的系统分析如102一、线性定常系统的Lyapunov分析

Lyapunov函数象“能量”一样是可以叠加的。1、对称、斜对称和正定矩阵

方阵的对称性：方阵的斜对称性：任何一个方阵表示为一个对称阵和斜对称阵的和：与斜对称阵相联系的二次函数总是0，根据定义有：

一、线性定常系统的Lyapunov分析Lyapunov函数103

在后面的线性系统分析中，将经常使用形式的二次函数作为侯选李雅普诺夫函数，总是可以假定是对称的。正定矩阵定义：一个方阵，如果那么该方阵是正定的。每个正定矩阵都与一个正定函数相联系。一个方阵为正定的必要条件是：它的对角元素是严格正的。一个对称的方阵是正定的充分必要条件是：它的所有特征值都是严格正的。一个正定矩阵总是可逆的。一个正定矩阵总可以被分解为在后面的线性系统分析中，将经常使用形式的二次函104证明：（1）（2）（3）

同样可以定义矩阵半正定，负定和半负定的概念。对于一个时变矩阵，如果则称是一致正定的。

证明：1052、线性定常系统的李雅普诺夫函数

给定一个线性系统为，考察侯选Lyapunov函数：其中，为一给定的对称正定阵。沿系统轨迹微分得式中，，该式称为Lyapunov方程。有效的解法是：

（1）选择一个正定矩阵；

（2）从Lyapunov方程求解矩阵；

（3）检查是否正定。2、线性定常系统的李雅普诺夫函数106定理：线性定常系统严格稳定的充要条件是，对于任何对称正定矩阵，李雅普诺夫方程式的唯一解矩阵是对称正定的（证明略）。的一个简单选择是单位矩阵。例：分析一个二阶系统定理：线性定常系统严格稳定的充要条件是，对于107二、克拉索夫斯基（Krasovskii）方法

克拉索夫斯基（Krasovskii）方法提出了具有形式的自治非线性系统的侯选Lyapunov函数的一种简单形式，即，这种方法的基本思想很简单，就是检查这个具体选择的函数是否确实能成为一个Lyapunov函数。

定理：对自治系统，对平衡点原点，令表示系统的雅可比矩阵，即二、克拉索夫斯基（Krasovskii）方法定理：对自治系108

如果矩阵在原点的一个邻域上是负定的，那么原点是一个渐近稳定的平衡点。这个系统的一个Lyapunov函数是如果为整个状态空间，而且当时，，那么该平衡点是全局渐近稳定的。

例：非线性系统

判断原点平衡点的稳定性。

有：矩阵是负定的。如果矩阵在原点的一个邻域上是负定109上述定理的应用受到很多限制，许多系统的雅可比矩阵不满足负定的条件。定理（广义Krasovskii定理）：对自治系统，对平衡点原点，令表示系统的雅可比矩阵。那么原点是渐近稳定的充分条件是，存在两个对称正定矩阵和，使得，矩阵在原点的某一邻域内是半负定的。且函数就是这个系统的一个Lyapunov函数。如果为整个状态空间，而且当时有，那么该平衡点是全局渐近稳定的。

上述定理的应用受到很多限制，许多系统的雅可比矩阵不满足负定的110三、变量梯度法

变量梯度法是构造Lyapunov函数的一种形式化方法。它假定未知Lyapunov函数的梯度具有某种形式，然后通过积分这个假定的梯度来求得Lyapunov函数本身。对于低阶系统，这种方法有时会成功地找到Lyapunov函数。

有一个标量函数，可以通过积分关系使的它与其梯度联系起来：其中。为了从梯度找到唯一的标量函数，该梯度函数必须满足所谓旋转条件：三、变量梯度法变量梯度法是构造Lyapunov函数的一111其中第个分量就是方向导数。变量梯度法原理就是假定梯度具有某种特定形式，而不是假定Lyapunov函数本身。其中一种简单的假定就是梯度函数具有某种形式：

式中为待定系数。这样，寻找Lyapunov函数的过程如下：

（1）假定是由上式给出的形式（或另外的形式）；（2）求解系数，以满足旋转方程；（3）限制上式中的系数，使的是半负定的（至少是局部半负定的）

其中第个分量就是方向导数。112（4）通过积分，由计算；

（5）检查是否正定。

因为满足旋转条件意味着上述积分结果与积分路径无关，那么依次沿着平行于每一条轴的路径进行积分，来求通常是方便的，即例：用变量梯度法为下列非线性系统求一个李雅普诺夫函数。

（4）通过积分，由计算；113假定待定的李雅普诺夫函数的梯度具有下面这种形式旋转方程是：如果选取系数：则：那么，可算出为：

假定待定的李雅普诺夫函数的梯度具有下面这种形式114这样，在区域上是局部负定的，而函数则为它确实是正定的，因此，系统的渐近稳定性得到了保证。注意：上式并