高考数学 热点题型和提分秘籍 专题20 简单的三角恒等变换 理（含解析）

专题二十简单的三角恒等变换【高频考点解读】1.掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式．2.能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角的正弦、余弦和正切公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆).【热点题型】题型一已知三角函数值求值例1、已知角A、B、C为△ABC的三个内角，eq\o(OM,\s\up6(→))＝(sinB＋cosB，cosC)，eq\o(ON,\s\up6(→))＝(sinC，sinB－cosB)，eq\o(OM,\s\up6(→))·eq\o(ON,\s\up6(→))＝－eq\f(1,5).(1)求tan2A(2)求eq\f(2cos2\f(A,2)－3sinA－1,\r(2)sinA＋\f(π,4))的值．(2)∵tanA＝－eq\f(3,4)，∴eq\f(2cos2\f(A,2)－3sinA－1,\r(2)sinA＋\f(π,4))＝eq\f(cosA－3sinA,cosA＋sinA)＝eq\f(1－3tanA,1＋tanA)＝eq\f(1－3×－\f(3,4),1＋－\f(3,4))＝13.【提分秘籍】对于条件求值问题，即由给出的某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，关键在于“变角”即使“目标角”变换成“已知角”．若角所在象限没有确定，则应分情况讨论，应注意公式的正用、逆用、变形运用，掌握其结构特征，还要注意拆角、拼角等技巧的运用．【举一反三】已知α∈(eq\f(π,2)，π)，且sineq\f(α,2)＋coseq\f(α,2)＝eq\f(\r(6),2).(1)求cosα的值；(2)若sin(α－β)＝－eq\f(3,5)，β∈(eq\f(π,2)，π)，求cosβ的值．【热点题型】题型二已知三角函数值求角例2、如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边做两个锐角α、β，它们的终边分别与单位圆相交于A、B两点，已知A、B两点的横坐标分别为eq\f(\r(2),10)，eq\f(2\r(5),5).(1)求tan(α＋β)的值；(2)求α＋2β的值．又∵α、β为锐角，∴0＜α＋2β＜eq\f(3π,2)，∴α＋2β＝eq\f(3π,4).【提分秘籍】(1)已知某些相关条件，求角的解题步骤：①求出该角的范围；②结合该角的范围求出该角的三角函数值．(2)根据角的函数值求角时，选取的函数在这个范围内应是单调的．【举一反三】已知向量a＝(sinθ，－2)与b＝(1，cosθ)互相垂直，其中θ∈(0，eq\f(π,2))．(1)求sinθ和cosθ的值；(2)若sin(θ－φ)＝eq\f(\r(10),10)，0<φ<eq\f(π,2)，求φ的值．【热点题型】题型三正、余弦定理的应用例3、在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知eq\f(cosA－2cosC,cosB)＝eq\f(2c－a,b).(1)求eq\f(sinC,sinA)的值；(2)若cosB＝eq\f(1,4)，b＝2，求△ABC的面积S.【解析】(1)由正弦定理，设eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝k，【提分秘籍】(1)利用正弦定理，实施角的正弦化为边时只能是用a替换sinA，用b替换sinB，用c替换sinC.sinA，sinB，sinC的次数要相等，各项要同时替换，反之，用角的正弦替换边时也要这样，不能只替换一部分；(2)以三角形为背景的题目，要注意三角形的内角和定理的使用．像本例中B＋C＝60°；(3)在求角的大小一定要有两个条件才能完成：①角的范围；②角的某一三角函数值．在由三角函数值来判断角的大小时，一定要注意角的范围及三角函数的单调性．【举一反三】在锐角△ABC中，a、b、c分别为A、B、C所对的边，且eq\r(3)a＝2csinA.(1)确定角C的大小；(2)若c＝eq\r(7)，且△ABC的面积为eq\f(3\r(3),2)，求a＋b的值．解：(1)由eq\r(3)a＝2csinA，根据正弦定理，sinC＝eq\f(csinA,a)＝eq\f(\r(3),2)，又0<C<eq\f(π,2)，则C＝eq\f(π,3).【热点题型】题型四解三角形与实际问题例4、如图，A，B是海面上位于东西方向相距5(3＋eq\r(3))海里的两个观测点．现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距20eq\r(3)海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/时，该救援船到达D点需要多长时间？又∠DBC＝∠DBA＋∠ABC＝30°＋(90°－60°)＝60°，BC＝20eq\r(3)(海里)，在△DBC中，由余弦定理得CD2＝BD2＋BC2－2BD·BC·cos∠DBC＝300＋1200－2×10eq\r(3)×20eq\r(3)×eq\f(1,2)＝900，∴CD＝30(海里)，则需要的时间t＝eq\f(30,30)＝1(小时)．即该救援船到达D点需要1小时.【提分秘籍】应用解三角形知识解决实际问题需要下列四步：(1)分析题意，准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解题中的有关名词、术语，如坡度、仰角、俯角、视角、方位角等；(2)根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出；(3)将所求问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正、余弦定理等有关知识正确求解；(4)检验解出的结果是否具有实际意义，对结果进行取舍，得出正确答案．【举一反三】如图所示，上午11时在某海岛上一观察点A测得一轮船在海岛北偏东60°的C处，12时20分测得船在海岛北偏西60°的B处，12时40分轮船到达位于海岛正西方且距海岛5km的E港口，如果轮船始终匀速直线前进，问船速为多少？在△ABE中，由余弦定理，得BE2＝AB2＋AE2－2AB·AE·cos30°＝eq\f(16,3)＋25－2×eq\f(4\r(3),3)×5×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(31,3)，故BE＝eq\r(\f(31,3)).∴船速v＝eq\f(BE,t)＝eq\f(\r(\f(31,3)),\f(1,3))＝eq\r(93)(km/h)．故该船的速度为eq\r(93)km/h.【高考风向标】1．（·全国卷）直线l1和l2是圆x2＋y2＝2的两条切线．若l1与l2的交点为(1，3)，则l1与l2的夹角的正切值等于________．2．（·全国卷）若函数f(x)＝cos2x＋asinx在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,2)))是减函数，则a的取值范围是________．3．（·福建卷）已知函数f(x)＝cosx(sinx＋cosx)－eq\f(1,2).(1)若0<α<eq\f(π,2)，且sinα＝eq\f(\r(2),2)，求f(α)的值；(2)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间．【解析】方法一：(1)因为0<α<eq\f(π,2)，sinα＝eq\f(\r(2),2)，所以cosα＝eq\f(\r(2),2).所以f(α)＝eq\f(\r(2),2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)＋\f(\r(2),2)))－eq\f(1,2)＝eq\f(1,2).4．（·四川卷）已知函数f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x＋\f(π,4))).(1)求f(x)的单调递增区间；(2)若α是第二象限角，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,3)))＝eq\f(4,5)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))cos2α，求cosα－sinα的值．【解析】(1)因为函数y＝sinx的单调递增区间为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)＋2kπ，\f(π,2)＋2kπ))，k∈Z，由－eq\f(π,2)＋2kπ≤3x＋eq\f(π,4)≤eq\f(π,2)＋2kπ，k∈Z，得－eq\f(π,4)＋eq\f(2kπ,3)≤x≤eq\f(π,12)＋eq\f(2kπ,3)，k∈Z.所以，函数f(x)的单调递增区间为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)＋\f(2kπ,3)，\f(π,12)＋\f(2kπ,3)))，k∈Z.5．（·天津卷）已知函数f(x)＝cosx·sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))－eq\r(3)cos2x＋eq\f(\r(3),4)，x∈R.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在闭区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，\f(π,4)))上的最大值和最小值．(2)因为f(x)在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，－\f(π,12)))上是减函数，在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,12)，\f(π,4)))上是增函数，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)))＝－eq\f(1,4)，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,12)))＝－eq\f(1,2)，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))＝eq\f(1,4)，所以函数f(x)在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，\f(π,4)))上的最大值为eq\f(1,4)，最小值为－eq\f(1,2).6．（·北京卷）如图1­2，在△ABC中，∠B＝eq\f(π,3)，AB＝8，点D在BC边上，且CD＝2，cos∠ADC＝eq\f(1,7).(1)求sin∠BAD；(2)求BD，AC的长．图1­27．（·福建卷）在△ABC中，A＝60°，AC＝4，BC＝2eq\r(3)，则△ABC的面积等于________．【答案】2eq\r(3)【解析】由eq\f(BC,sinA)＝eq\f(AC,sinB)，得sinB＝eq\f(4sin60°,2\r(3))＝1，∴B＝90°，C＝180°－(A＋B)＝30°，则S△ABC＝eq\f(1,2)·AC·BCsinC＝eq\f(1,2)×4×2eq\r(3)sin30°＝2eq\r(3)，即△ABC的面积等于2eq\r(3).8．（·湖南卷）如图1­5所示，在平面四边形ABCD中，AD＝1，CD＝2，AC＝eq\r(7).图1­5(1)求cos∠CAD的值；(2)若cos∠BAD＝－eq\f(\r(7),14)，sin∠CBA＝eq\f(\r(21),6)，求BC的长．9．（·四川卷）如图1­3所示，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67°，30°，此时气球的高度是46m，则河流的宽度BC约等于________m．(用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，eq\r(3)≈1.73)10．（·四川卷）设sin2α＝－sinα，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，则tan2α的值是________．11．（·重庆卷）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a2＋b2＋eq\r(2)ab＝c2.(1)求C；(2)设cosAcosB＝eq\f(3\r(2),5)，eq\f(cos（α＋A）cos（α＋B）,cos2α)＝eq\f(\r(2),5)，求tanα的值．【解析】(1)因为a2＋b2＋eq\r(2)ab＝c2，所以由余弦定理有cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(－\r(2)ab,2ab)＝－eq\f(\r(2),2).故C＝eq\f(3π,4).(2)由题意得eq\f(（sinαsinA－cosαcosA）（sinαsinB－cosαcosB）,cos2α)＝eq\f(\r(2),5)，12．（·重庆卷）4cos50°－tan40°＝()A.eq\r(2)B.eq\f(\r(2)＋\r(3),2)C.eq\r(3)D．2eq\r(2)－1【随堂巩固】1．已知sineq\f(θ,2)＝eq\f(4,5)，coseq\f(θ,2)＝－eq\f(3,5)，则角θ所在的象限是()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限解析：sinθ＝2sineq\f(θ,2)coseq\f(θ,2)＝2×eq\f(4,5)×(－eq\f(3,5))<0.cosθ＝cos2eq\f(θ,2)－sin2eq\f(θ,2)＝eq\f(9,25)－eq\f(16,25)＝－eq\f(7,25)<0，∴θ是第三象限角．答案：C2．已知sinα＝eq\f(\r(5),5)，则cos4α的值是()A.eq\f(4,25) B．－eq\f(7,25)C.eq\f(12,25) D．－eq\f(18,25)3．若－2π<α<－eq\f(3π,2)，则eq\r(\f(1－cosα－π,2))的值是()A．sineq\f(α,2) B．coseq\f(α,2)C．－sineq\f(α,2) D．－coseq\f(α,2)4．已知θ为第二象限角，sin(π－θ)＝eq\f(24,25)，则coseq\f(θ,2)的值为()A.eq\f(3,5) B.eq\f(4,5)C．±eq\f(3,5) D．±eq\f(4,5)5．已知x∈(eq\f(π,2)，π)，cos2x＝a，则cosx＝()A.eq\r(\f(1－a,2)) B．－eq\r(\f(1－a,2))C.eq\r(\f(1＋a,2)) D．－eq\r(\f(1＋a,2))解析：依题意得cos2x＝eq\f(1＋cos2x,2)＝eq\f(1＋a,2)；又x∈(eq\f(π,2)，π)，因此cosx＝－eq\r(\f(1＋a,2)).答案：D6．若cosα＝－eq\f(4,5)，α是第三象限角，则eq\f(1＋tan\f(α,2),1－tan\f(α,2))＝()A．－eq\f(1,2) B.eq\f(1,2)C．2 D．－27．已知cos2α＝eq\f(1,4)，则sin2α＝________.解析：sin2α＝eq\f(1－cos2α,2)＝eq\f(3,8).答案：eq\f(3,8)8