自动控制原理课件采样系统理论

第八章采样系统理论1第八章采样系统理论18-1采样过程与采样定理主要内容8-2信号的恢复与零阶保持器8-3z变换与z逆变换8-4脉冲传递函数8-5采样系统的性能分析8-6采样系统的数字校正返回主目录28-1采样过程与采样定理主要内容8-2信号的恢复与零阶保基本要求正确理解采样过程，采样定理，信号复观和零阶保持器的作用,了解采样系统与连续系统的区别与联系。z变换和z逆变换，熟练掌握几种典型信号的z变换和通过部分分式分解进行逆变换,了解用z变换法解差分方程的主要步骤和方法。正确理解脉冲传递函数的概念，熟练掌握简单采样系统开环脉冲传递函数和闭环脉冲传递函数的计算方法,掌握典型闭环采样系统输出的z变换表达式。返回子目录3基本要求正确理解采样过程，采样定理，信号复观和零阶保持熟练掌握z域稳定性的判别方法。熟练掌握采样瞬时的稳态误差的计算方法，正确理解终值定理的使用条件、积分环节与系统的型别的关系。熟练掌握瞬态响应与极点分布的对应关系。掌握最小拍采样系统的设计步骤。4熟练掌握z域稳定性的判别方法。4图8-1机载火力控制系统原理图5图8-1机载火力控制系统原理图58-1采样过程与采样定理一、采样过程——将连续信号转换成离散信号的过程返回子目录该过程可以看成是一个信号的调制过程，如图8-3所示，其中载波信号，

是一个周期为T，宽度为的脉冲序列，如图8-3（b）所示。幅值为幅值正比于采样瞬时值的脉冲序列，如图8-3（c）所示。

调制后得到的采样信号是一个周期为T，宽度为(68-1采样过程与采样定理一、采样过程——将连续信号转换成离图8-3信号的采样过程T7图8-3信号的采样过程T7实现上述采样过程的装置称为采样开关可用图8-3（d）所示的符号表示。（8-1）由于载波信号是周期函数，故可以展成如下Fourier级数（8-2）8实现上述采样过程的装置称为采样开关（8-1）由于载波信号是周则采样信号可以表示为（8-4）（8-3）其中，为采样频率，Fourier系数由下式给出9则采样信号可以表示为（8-4）（8-3）其中，若连续信号的Fourier变换为，则采样信号的Fourier变换为连续信号与离散信号的频谱曲线如图8-4所示。（8-5）10若连续信号的Fourier变换为，则采样信号的图8-4连续信号与离散信号的频谱

11图8-4连续信号与离散信号的频谱11当时，主分量与补分量不再发生重叠，如图8-5所示。

图8-5连续信号与离散信号的频谱12当时，主分量与补分量不再发生重叠，如图8-香农（Shannon）采样定理若存在一个理想的低通滤波器，其频率特性如图8-6所示，便可以将采样信号完全恢复成原连续信号。由此可得如下著名的图8-6香农（Shannon）采样定理。13香农（Shannon）采样定理若存在一个理想的低通滤波器，如果采样频率满足以下条件式中为连续信号频谱的上限频率。则经采样得到的脉冲序列可以无失真地恢复为原连续信号。（8-6）14如果采样频率满足以下条件式中为连续信号频谱的上二、理想采样过程为了简化采样过程的数学描述，引入如下理想采样开关的概念。载波信号可以近似成如下理想脉冲序列（）（8-7）15二、理想采样过程为了简化采样过程的数学描述，引入如下理想采样再设当时，则采样过程的数学描述为此时，采样过程如图8-7所示。理想采样开关的输出是一个理想脉冲序列。（8-8）16再设当时，则采样过程的数学描述为此时，采图8-7理想采样开关的采样过程17图8-7理想采样开关的采样过程17同样，可以展成如下Fourier级数其中（8-10）则有（8-11）和（8-12）18同样，可以展成如下Fourier级数其中（8-图8-9连续信号和采样信号的频谱19图8-9连续信号和采样信号的频谱19注意：上述香农采样定理要求满足以下两个条件：频谱的上限频率是有限的。2.存在一个理想的低通滤波器。但可以证明理想的低通滤波器在物理上是不可实现的，在实际应用中只能用非理想的低通滤波器来代替理想的低通滤波器。20注意：上述香农采样定理要求满足以下两个条件：2.8-2信号的恢复与零阶保持器信号的恢复是指将采样信号恢复为连续信号的过程，能够实现这一过程的装置称为保持器。可将展成如下泰勒级数时，（8-13）返回子目录218-2信号的恢复与零阶保持器信号的恢复是指将采样信号恢复为各阶导数的近似值由此类推，计算n阶导数的近似值需已知n+1个采样时刻的瞬时值。若式（8-13）的右边只取前n+1项，便得到n阶保持器的数学表达式。（8-14）22各阶导数的近似值由此类推，计算n阶导数的近似值需已知n+1零阶保持器的数学表达式为（8-16）图8-10信号的采样与保持过程23零阶保持器的数学表达式为（8-16）图8-10信号的采样理想采样开关的输出Laplace变换为零阶保持器的输出为(8-17)(8-18)24理想采样开关的输出Laplace变换为零阶保持器的输出为(8由上式可知零阶保持器的(8-20)(8-19)传递函数25由上式可知零阶保持器的(8-2零阶保持器的频率特性为相频特性为(8-22)(8-23)其幅频特性为26零阶保持器的频率特性为相频特性为(8-22)(8-23)其其中零阶保持器的频率特性曲线如图8-11所示，对比图8-6可知零阶保持器是一个低通滤波器，但不是理想的低通滤波器，它除了允许信号的主频谱分量通过外，还允许部分高频分量通过。27其中零阶保持器的频率特性曲线如图8-11所示，对比图8-6可图8-11零阶保持器的频率特性曲线幅频特性(b)相频特性28图8-11零阶保持器的频率特性曲线幅频特性(b)相频特8-3z变换与z逆变换一、z变换连续信号经采样后得到的脉冲序列为对上式进行Laplace变换，得（8-25）（8-26）返回子目录298-3z变换与z逆变换一、z变换对上式进行Laplace引入一个新的复变量将式上式代入式（8-26）可得z变换的定义式如下称为的z变换，记作或由此可看出是关于复变量的幂级数。（8-28）（8-29）30引入一个新的复变量将式上式代入式（8-26）可得z变换的定例8-1

求单位脉冲信号的z变换。

解：设，则由于在时刻的脉冲强度为1，其余时刻的脉冲强度均为零，所以有31例8-1求单位脉冲信号的z变换。解：设例8-2

求单位阶跃信号的z变换。

解：设，则

该级数的收敛域为，在该收敛域内，上式可以写成如下闭合形式32例8-2求单位阶跃信号的z变换。解：设例8-3

求单位斜坡信号的z变换。

设，则上式两边对z求导数，并将和式与导数交换，得上式两边同乘，便得单位斜坡信号的z变换解：33例8-3求单位斜坡信号的z变换。设例8-4求指数函数的z变换。解：设，则34例8-4求指数函数的z变换。解：设例8-5设，求的z变换。解：上式两边求Laplace逆变换，得再由例8-2和例8-4有35例8-5设，求的z变换。解：上式注意：不能直接将代入来求，因为z变换是针对采样信号进行z变换。36注意：不能直接将代入36二、z变换的基本定理其中和为任意实数。1．线性定理（8-30）若和的z变换为和，则37二、z变换的基本定理其中和为任意实证明：38证明：382．实数位移定理若的z变换为，则（8-31）（8-32）392．实数位移定理若的z变换为，则（8-证明：证明式（8-31）由于当时，，所以有40证明：证明式（8-31）40证明式（8-32）41证明式（8-32）413．复位移定理已知的z变换函数为，则证明：423．复位移定理已知的z变换函数为，则证4．z域尺度定理若已知的z变换函数为，则证明：其中，为任意常数。（8-34）434．z域尺度定理若已知的z变换函数为三、z逆变换z逆变换是z变换的逆运算。其目的是由象函数求出所对应的采样脉冲序列（或），记作（8-35）

z逆变换只能给出采样信号，而不能给出连续信号。注意44三、z逆变换z逆变换是z变换的逆运算。其目的是由象函数1.部分分式法上式两边同乘z，再取z反变换得（8-36）（8-37）（8-38）若象函数是复变量z的有理分式，且的极点互异，则可展成如下形式：451.部分分式法上式两边同乘z，再取z反变换得（8-36）（例8-6已知z变换函数求其z逆变换。46例8-6已知z变换函数46解：首先将展成部分分式47解：首先将展成部分分式472.长除法对比式（8-29）可知若z变换函数是复变量z的有理函数，则可将展成的无穷级数，即（8-40）（8-41）482.长除法对比式（8-29）可知若z变换函数例8-7已知z变换函数为求其z逆变换。49例8-7已知z变换函数为49解：由运用长除法得由此得于是脉冲序列可以写成50解：由运用长除法得由此得于是脉冲序列可以写成503.留数计算法由z变换的定义可知（8-43）513.留数计算法由z变换的定义可知（8-43）51设的极点为，则包围了的所有极点。（8-48）52设的极点为例8-8已知z变换函数为试用围线积分方法求z逆变换。53例8-8已知z变换函数为53解：上式有两个极点和，且所以54解：上式有两个极点和，且所以四、初值定理和终值定理1.初值定理

设的z变换为，并且有极限存在，则

（8-49）55四、初值定理和终值定理1.初值定理（8-49）552终值定理

设的z变换为，且的极点均在z平面的单位圆内，则（8-50）562终值定理设的z变换为五、用z变换法解线性常系数差分方程1.差分的定义假设在图8-1所示的采样系统中，模拟-数字转换器在离散时间对误差信号进行采样，并将瞬时值记为或，则的一阶前项差分定义为57五、用z变换法解线性常系数差分方程1.差分的定义57二阶前向差分定义为n阶前向差分定义为n阶后向差分定义为58二阶前向差分定义为n阶前向差分定义为582.线性定常差分方程线性n阶差分方程可表示为3.线性差分方程的求解例8-9已知差分方程为输入信号，初始条件，求响应。592.线性定常差分方程线性n阶差分方程可表示为3.线性差分方程解对差分方程两边进行z变换，可得

其中由所给初始条件得z逆变换得60解对差分方程两边进行z变换，可得其中由所给初始条件得z逆例8-10已知差分方程为初始条件为。解对方程两边进行z变换，得则逆变换得61例8-10已知差分方程为初始条件为8-4脉冲传递函数一、脉冲传递函数的定义脉冲传递函数定义为输出采样信号的z变换与输入采样信号的z变换之比（8-59）返回子目录图8-12628-4脉冲传递函数一、脉冲传递函数的定义脉冲传递函数定义系统输出的采样信号为经虚设采样开关得到的脉冲序列反映的是连续输出在采样时刻的瞬时值。63系统输出的采样信号为经虚设采样开关得到的脉冲序列二、开环脉冲传递函数1．开环脉冲传递函数的推导64二、开环脉冲传递函数1．开环脉冲传递函数的推导64（8-66）由此65（8-66）由此65求该开环系统的脉冲传递函数。例8-11系统结构如图8-12所示，其中连续部分的传递函数为66求该开环系统的脉冲传递函数。例8-11系统结构如图解：连续部分的脉冲响应函数为脉冲传递函数为67解：连续部分的脉冲响应函数为脉冲传递函数为67或由得查表得68或由得查表得682．串联环节的脉冲传递函数（1）串联环节间无采样开关时的脉冲传递函数（8-67）图8-13692．串联环节的脉冲传递函数（1）串联环节间无采样开关时的脉冲例8-12系统结构如图8-13所示，其中求开环脉冲传递函数。70例8-12系统结构如图8-13所示，其中解：71解：71(2)串联环节间有采样开关时的脉冲传递函数如图8-14所示，其脉冲传递函数为各个连续环节z变换的乘积，记为（8-68）图8-14串联环节间有采样开关的开环系统72(2)串联环节间有采样开关时的脉冲传递函数如图8-14所示，例8-13系统结构如图8-14所示，其中求开环脉冲传递函数。73例8-13系统结构如图8-14所示，其中73解：所以由于74解：所以由于74（3）有零阶保持器时的脉冲传递函数开环脉冲传递函数为

图8-15带零阶保持器的开环采样系统75（3）有零阶保持器时的脉冲传递函数开环脉冲传递函数为图8-例8-14系统结构如图8-15所示，其中采样周期s，求其开环脉冲传递函数。76例8-14系统结构如图8-15所示，其中76解：由于所以77解：由于77三、闭环脉冲传递函数图8-16闭环采样系统78三、闭环脉冲传递函数图8-16闭环采样系统78采样开关的输入和系统的输出分别为79采样开关的输入和系统的输出分别为79整理得于是闭环系统的脉冲传递函数为80整理得于是闭环系统的脉冲传递函数为80例8-15闭环采样系统的结构如图8-16所示，其中采样周期s，求闭环脉冲传递函数。若，求。81例8-15闭环采样系统的结构如图8-16所示，其中解：对于阶跃输入函数有82解：对于阶跃输入函数有82则输出信号的z变换为于是83则输出信号的z变换为于是83注意有些闭环采样系统不可能求出形式的闭环脉冲传递函数，而只能求出输出信号的表达式。如图8-17所示的闭环采样系统（8-17）84注意有些闭环采样系统不可能求出形式的闭8-5采样系统的性能分析一、稳定性1.从s平面到z平面的影射关系由z变换的定义（8-80）若令（8-81）则有（8-82）返回子目录858-5采样系统的性能分析一、稳定性由z变换的定义（8-8左半s平面上的带称为主带，其他称为次带。图8-18从s平面到z平面的影射86左半s平面上的带称为主2.z域的稳定条件和稳定性判据在z平面上系统稳定的充分必要条件是，系统的特征根必须全部位于z平面的单位圆内。设采样系统的闭环脉冲传递函数为则闭环特征方程为（8-84）872.z域的稳定条件和稳定性判据在z平面上系统稳定的充分必(1)朱利（Jury）稳定判据且，根据特征方程的系数构造朱利阵列，则特征方程的根均位于单位圆内的充分必要条件为共（n-1）个约束条件（8-86）（8-87）88(1)朱利（Jury）稳定判据且例8-16已知采样系统的闭环特征方程为试判断该系统的稳定性。解：89例8-16已知采样系统的闭环特征方程为解：89朱利阵列行数1-0.1250.75-1.5121-1.50.75-0.1253-0.981.41-0.564-0.561.41-0.96系统是稳定的90朱利阵列行数1-0.1250.75-1.5121-1.50.(2)劳思(Routh)稳定判据在分析连续系统时，曾应用Routh稳定判据判断系统的特征根位于s右半平面的个数，并依此来判断系统的稳定性。对于采样系统，也可用Routh判据分析其稳定性，但由于在z域中稳定区域是单位圆内，而不是左半平面，因此不能直接应用Routh判据。91(2)劳思(Routh)稳定判据在分析连续系统时引入如下双线性变换此时可用Routh判据判断采样系统的稳定性。92引入如下双线性变换此时可用Routh判据判断采样系统92(3)z平面的根轨迹方法以上述例8-15的闭环采样系统为例，其特征方程为可知使系统稳定的最大K值为4.33。例8-19的根轨迹图93(3)z平面的根轨迹方法以上述例8-15的闭环采样系统二、闭环极点与瞬态响应之间的关系设采样系统的闭环传递函数为（8-91）若输入信号为单位阶跃，则94二、闭环极点与瞬态响应之间的关系设采样系统的闭环传递函数为将按部分分式展开，得上式中第一项为稳态分量，第二项为瞬态分量，显然瞬态分量的变化规律取决于极点在z平面中的位置。95将按部分分式展开，得上式中第一项为稳态图8-20不同极点所对应的瞬态响应96图8-2096三、稳态误差图8-21单位负反馈采样系统（8-97）在输入信号作用下，误差的z变换表达式为97三、稳态误差图8-21单位负反馈采样系统（8-97）在输入1.当输入为阶跃函数时定义静态位置误差系数为则根据终值定理，有981.当输入为阶跃函数时定义静态位置误差系数为则根据终值定理2.当输入是斜坡函数时定义静态速度误差系数为稳态误差为992.当输入是斜坡函数时定义静态速度误差系数为稳态误差为993.当输入是等加速信号时定义静态加速度误差系数为稳态误差为1003.当输入是等加速信号时定义静态加速度误差系数为稳态误差为例8-17已知采样系统的结构如图所示，其中，，采样周期s，求在输入信号的作用下，系统的稳态误差。图8-22101例8-17已知采样系统的结构如图所示，其中，图8-2210解：采样系统的闭环特征方程为采样系统的开环脉冲传递函数为102解：采样系统的闭环特征方程为采样系统的开环脉冲传递函数为10该采样系统稳定在阶跃和斜坡函数作用下的稳态误差为零静态加速度误差系数为因此，在输入作用下的稳态误差为103该采样系统稳定在阶跃和斜坡函数作用下的稳态误差为零因此，在8-6采样系统的数字校正如图所示的闭环采样系统，闭环脉冲传递函数为图8-23含数字校正装置的采样系统返回子目录1048-6采样系统的数字校正如图所示的闭环采样系统，闭环脉冲传系统的误差为其中为的有限次多项式，若能选择合适的，使其中为关于的多项式，并且不含因子。设输入为时间的幂函数Atq（），其中为正整数，则105系统的误差为其中为的有限次多项式，若能选则稳态误差为零。（8-108）（8-109）将代入上式，便可确定所需要的数字校正装置的脉冲传递函数。又为了使系统能在尽可能少的周期内实现对输入的完全跟踪，应使中所含项的数目最少，为此应取106则稳态误差1.当时最少拍无差系统的闭环传递函数为此时误差信号的z变换为系统经过1拍便可以完全跟踪上输入信号。（8-110）（8-111）1071.当时最少拍无差系统的闭2.当时最少拍无差系统的闭环传递函数为此时误差信号的z变换为系统经过2拍便可以完全跟踪上输入信号。（8-112）（8-113）1082.当时最少拍无差系3.当时最少拍无差系统的闭环传递函数为此时误差信号的z变换为系统经过3拍便可以完全跟踪上输入信号。（8-114）（8-115）1093.当时最少拍无差系统的闭例8-18已知采样系统的结构如图所示，其中，采样周期s，，试设计使该系统在单位阶跃信号作用下为最少拍无差系统。图8-24最少拍无差系统110例8-18已知采样系统的结构如图所示，其中，采样周期解：将上式求z逆变换可得输出序列111解：将上式求z逆变换可得输出序列111本章主要知识点与主要线索稳态误差根轨迹开环脉冲传递函数闭环零、极点系统稳定性、品质系统型别(稳定系统)劳思判据双线性变换终值定理特征式D(z)稳定性一定条件下长除法部分分式分解求留数朱利判据闭环零、极点稳定性平稳性、快速性112本章主要知识点与主要线索稳态误差根轨迹开环脉冲闭环零、极点第八章采样系统理论113第八章采样系统理论18-1采样过程与采样定理主要内容8-2信号的恢复与零阶保持器8-3z变换与z逆变换8-4脉冲传递函数8-5采样系统的性能分析8-6采样系统的数字校正返回主目录1148-1采样过程与采样定理主要内容8-2信号的恢复与零阶保基本要求正确理解采样过程，采样定理，信号复观和零阶保持器的作用,了解采样系统与连续系统的区别与联系。z变换和z逆变换，熟练掌握几种典型信号的z变换和通过部分分式分解进行逆变换,了解用z变换法解差分方程的主要步骤和方法。正确理解脉冲传递函数的概念，熟练掌握简单采样系统开环脉冲传递函数和闭环脉冲传递函数的计算方法,掌握典型闭环采样系统输出的z变换表达式。返回子目录115基本要求正确理解采样过程，采样定理，信号复观和零阶保持熟练掌握z域稳定性的判别方法。熟练掌握采样瞬时的稳态误差的计算方法，正确理解终值定理的使用条件、积分环节与系统的型别的关系。熟练掌握瞬态响应与极点分布的对应关系。掌握最小拍采样系统的设计步骤。116熟练掌握z域稳定性的判别方法。4图8-1机载火力控制系统原理图117图8-1机载火力控制系统原理图58-1采样过程与采样定理一、采样过程——将连续信号转换成离散信号的过程返回子目录该过程可以看成是一个信号的调制过程，如图8-3所示，其中载波信号，

是一个周期为T，宽度为的脉冲序列，如图8-3（b）所示。幅值为幅值正比于采样瞬时值的脉冲序列，如图8-3（c）所示。

调制后得到的采样信号是一个周期为T，宽度为(1188-1采样过程与采样定理一、采样过程——将连续信号转换成离图8-3信号的采样过程T119图8-3信号的采样过程T7实现上述采样过程的装置称为采样开关可用图8-3（d）所示的符号表示。（8-1）由于载波信号是周期函数，故可以展成如下Fourier级数（8-2）120实现上述采样过程的装置称为采样开关（8-1）由于载波信号是周则采样信号可以表示为（8-4）（8-3）其中，为采样频率，Fourier系数由下式给出121则采样信号可以表示为（8-4）（8-3）其中，若连续信号的Fourier变换为，则采样信号的Fourier变换为连续信号与离散信号的频谱曲线如图8-4所示。（8-5）122若连续信号的Fourier变换为，则采样信号的图8-4连续信号与离散信号的频谱

123图8-4连续信号与离散信号的频谱11当时，主分量与补分量不再发生重叠，如图8-5所示。

图8-5连续信号与离散信号的频谱124当时，主分量与补分量不再发生重叠，如图8-香农（Shannon）采样定理若存在一个理想的低通滤波器，其频率特性如图8-6所示，便可以将采样信号完全恢复成原连续信号。由此可得如下著名的图8-6香农（Shannon）采样定理。125香农（Shannon）采样定理若存在一个理想的低通滤波器，如果采样频率满足以下条件式中为连续信号频谱的上限频率。则经采样得到的脉冲序列可以无失真地恢复为原连续信号。（8-6）126如果采样频率满足以下条件式中为连续信号频谱的上二、理想采样过程为了简化采样过程的数学描述，引入如下理想采样开关的概念。载波信号可以近似成如下理想脉冲序列（）（8-7）127二、理想采样过程为了简化采样过程的数学描述，引入如下理想采样再设当时，则采样过程的数学描述为此时，采样过程如图8-7所示。理想采样开关的输出是一个理想脉冲序列。（8-8）128再设当时，则采样过程的数学描述为此时，采图8-7理想采样开关的采样过程129图8-7理想采样开关的采样过程17同样，可以展成如下Fourier级数其中（8-10）则有（8-11）和（8-12）130同样，可以展成如下Fourier级数其中（8-图8-9连续信号和采样信号的频谱131图8-9连续信号和采样信号的频谱19注意：上述香农采样定理要求满足以下两个条件：频谱的上限频率是有限的。2.存在一个理想的低通滤波器。但可以证明理想的低通滤波器在物理上是不可实现的，在实际应用中只能用非理想的低通滤波器来代替理想的低通滤波器。132注意：上述香农采样定理要求满足以下两个条件：2.8-2信号的恢复与零阶保持器信号的恢复是指将采样信号恢复为连续信号的过程，能够实现这一过程的装置称为保持器。可将展成如下泰勒级数时，（8-13）返回子目录1338-2信号的恢复与零阶保持器信号的恢复是指将采样信号恢复为各阶导数的近似值由此类推，计算n阶导数的近似值需已知n+1个采样时刻的瞬时值。若式（8-13）的右边只取前n+1项，便得到n阶保持器的数学表达式。（8-14）134各阶导数的近似值由此类推，计算n阶导数的近似值需已知n+1零阶保持器的数学表达式为（8-16）图8-10信号的采样与保持过程135零阶保持器的数学表达式为（8-16）图8-10信号的采样理想采样开关的输出Laplace变换为零阶保持器的输出为(8-17)(8-18)136理想采样开关的输出Laplace变换为零阶保持器的输出为(8由上式可知零阶保持器的(8-20)(8-19)传递函数137由上式可知零阶保持器的(8-2零阶保持器的频率特性为相频特性为(8-22)(8-23)其幅频特性为138零阶保持器的频率特性为相频特性为(8-22)(8-23)其其中零阶保持器的频率特性曲线如图8-11所示，对比图8-6可知零阶保持器是一个低通滤波器，但不是理想的低通滤波器，它除了允许信号的主频谱分量通过外，还允许部分高频分量通过。139其中零阶保持器的频率特性曲线如图8-11所示，对比图8-6可图8-11零阶保持器的频率特性曲线幅频特性(b)相频特性140图8-11零阶保持器的频率特性曲线幅频特性(b)相频特8-3z变换与z逆变换一、z变换连续信号经采样后得到的脉冲序列为对上式进行Laplace变换，得（8-25）（8-26）返回子目录1418-3z变换与z逆变换一、z变换对上式进行Laplace引入一个新的复变量将式上式代入式（8-26）可得z变换的定义式如下称为的z变换，记作或由此可看出是关于复变量的幂级数。（8-28）（8-29）142引入一个新的复变量将式上式代入式（8-26）可得z变换的定例8-1

求单位脉冲信号的z变换。

解：设，则由于在时刻的脉冲强度为1，其余时刻的脉冲强度均为零，所以有143例8-1求单位脉冲信号的z变换。解：设例8-2

求单位阶跃信号的z变换。

解：设，则

该级数的收敛域为，在该收敛域内，上式可以写成如下闭合形式144例8-2求单位阶跃信号的z变换。解：设例8-3

求单位斜坡信号的z变换。

设，则上式两边对z求导数，并将和式与导数交换，得上式两边同乘，便得单位斜坡信号的z变换解：145例8-3求单位斜坡信号的z变换。设例8-4求指数函数的z变换。解：设，则146例8-4求指数函数的z变换。解：设例8-5设，求的z变换。解：上式两边求Laplace逆变换，得再由例8-2和例8-4有147例8-5设，求的z变换。解：上式注意：不能直接将代入来求，因为z变换是针对采样信号进行z变换。148注意：不能直接将代入36二、z变换的基本定理其中和为任意实数。1．线性定理（8-30）若和的z变换为和，则149二、z变换的基本定理其中和为任意实证明：150证明：382．实数位移定理若的z变换为，则（8-31）（8-32）1512．实数位移定理若的z变换为，则（8-证明：证明式（8-31）由于当时，，所以有152证明：证明式（8-31）40证明式（8-32）153证明式（8-32）413．复位移定理已知的z变换函数为，则证明：1543．复位移定理已知的z变换函数为，则证4．z域尺度定理若已知的z变换函数为，则证明：其中，为任意常数。（8-34）1554．z域尺度定理若已知的z变换函数为三、z逆变换z逆变换是z变换的逆运算。其目的是由象函数求出所对应的采样脉冲序列（或），记作（8-35）

z逆变换只能给出采样信号，而不能给出连续信号。注意156三、z逆变换z逆变换是z变换的逆运算。其目的是由象函数1.部分分式法上式两边同乘z，再取z反变换得（8-36）（8-37）（8-38）若象函数是复变量z的有理分式，且的极点互异，则可展成如下形式：1571.部分分式法上式两边同乘z，再取z反变换得（8-36）（例8-6已知z变换函数求其z逆变换。158例8-6已知z变换函数46解：首先将展成部分分式159解：首先将展成部分分式472.长除法对比式（8-29）可知若z变换函数是复变量z的有理函数，则可将展成的无穷级数，即（8-40）（8-41）1602.长除法对比式（8-29）可知若z变换函数例8-7已知z变换函数为求其z逆变换。161例8-7已知z变换函数为49解：由运用长除法得由此得于是脉冲序列可以写成162解：由运用长除法得由此得于是脉冲序列可以写成503.留数计算法由z变换的定义可知（8-43）1633.留数计算法由z变换的定义可知（8-43）51设的极点为，则包围了的所有极点。（8-48）164设的极点为例8-8已知z变换函数为试用围线积分方法求z逆变换。165例8-8已知z变换函数为53解：上式有两个极点和，且所以166解：上式有两个极点和，且所以四、初值定理和终值定理1.初值定理

设的z变换为，并且有极限存在，则

（8-49）167四、初值定理和终值定理1.初值定理（8-49）552终值定理

设的z变换为，且的极点均在z平面的单位圆内，则（8-50）1682终值定理设的z变换为五、用z变换法解线性常系数差分方程1.差分的定义假设在图8-1所示的采样系统中，模拟-数字转换器在离散时间对误差信号进行采样，并将瞬时值记为或，则的一阶前项差分定义为169五、用z变换法解线性常系数差分方程1.差分的定义57二阶前向差分定义为n阶前向差分定义为n阶后向差分定义为170二阶前向差分定义为n阶前向差分定义为582.线性定常差分方程线性n阶差分方程可表示为3.线性差分方程的求解例8-9已知差分方程为输入信号，初始条件，求响应。1712.线性定常差分方程线性n阶差分方程可表示为3.线性差分方程解对差分方程两边进行z变换，可得

其中由所给初始条件得z逆变换得172解对差分方程两边进行z变换，可得其中由所给初始条件得z逆例8-10已知差分方程为初始条件为。解对方程两边进行z变换，得则逆变换得173例8-10已知差分方程为初始条件为8-4脉冲传递函数一、脉冲传递函数的定义脉冲传递函数定义为输出采样信号的z变换与输入采样信号的z变换之比（8-59）返回子目录图8-121748-4脉冲传递函数一、脉冲传递函数的定义脉冲传递函数定义系统输出的采样信号为经虚设采样开关得到的脉冲序列反映的是连续输出在采样时刻的瞬时值。175系统输出的采样信号为经虚设采样开关得到的脉冲序列二、开环脉冲传递函数1．开环脉冲传递函数的推导176二、开环脉冲传递函数1．开环脉冲传递函数的推导64（8-66）由此177（8-66）由此65求该开环系统的脉冲传递函数。例8-11系统结构如图8-12所示，其中连续部分的传递函数为178求该开环系统的脉冲传递函数。例8-11系统结构如图解：连续部分的脉冲响应函数为脉冲传递函数为179解：连续部分的脉冲响应函数为脉冲传递函数为67或由得查表得180或由得查表得682．串联环节的脉冲传递函数（1）串联环节间无采样开关时的脉冲传递函数（8-67）图8-131812．串联环节的脉冲传递函数（1）串联环节间无采样开关时的脉冲例8-12系统结构如图8-13所示，其中求开环脉冲传递函数。182例8-12系统结构如图8-13所示，其中解：183解：71(2)串联环节间有采样开关时的脉冲传递函数如图8-14所示，其脉冲传递函数为各个连续环节z变换的乘积，记为（8-68）图8-14串联环节间有采样开关的开环系统184(2)串联环节间有采样开关时的脉冲传递函数如图8-14所示，例8-13系统结构如图8-14所示，其中求开环脉冲传递函数。185例8-13系统结构如图8-14所示，其中73解：所以由于186解：所以由于74（3）有零阶保持器时的脉冲传递函数开环脉冲传递函数为

图8-15带零阶保持器的开环采样系统187（3）有零阶保持器时的脉冲传递函数开环脉冲传递函数为图8-例8-14系统结构如图8-15所示，其中采样周期s，求其开环脉冲传递函数。188例8-14系统结构如图8-15所示，其中76解：由于所以189解：由于77三、闭环脉冲传递函数图8-16闭环采样系统190三、闭环脉冲传递函数图8-16闭环采样系统78采样开关的输入和系统的输出分别为191采样开关的输入和系统的输出分别为79整理得于是闭环系统的脉冲传递函数为192整理得于是闭环系统的脉冲传递函数为80例8-15闭环采样系统的结构如图8-16所示，其中采样周期s，求闭环脉冲传递函数。若，求。193例8-15闭环采样系统的结构如图8-16所示，其中解：对于阶跃输入函数有194解：对于阶跃输入函数有82则输出信号的z变换为于是195则输出信号的z变换为于是83注意有些闭环采样系统不可能求出形式的闭环脉冲传递函数，而只能求出输出信号的表达式。如图8-17所示的闭环采样系统（8-17）196注意有些闭环采样系统不可能求出形式的闭8-5采样系统的性能分析一、稳定性1.从s平面到z平面的影射关系由z变换的定义（8-80）若令（8-81）则有（8-82）返回子目录1978-5采样系统的性能分析一、稳定性由z变换的定义（8-8左半s平面上的带称为主带，其他称为次带。图8-18从s平面到z平面的影射198左半s平面上的带称为主2.z域的稳定条件和稳定性判据在z平面上系统稳定的充分必要条件是，系统的特征根必须全部位于z平面的单位圆内。设采样系统的闭环脉冲传递函数为则闭环特征方程为（8-84）1992.z域的稳定条件和稳定性判据在z平面上系统稳定的充分必(1)朱利（Jury）稳定判据且，根据特征方程的系数构造朱利阵列，则特征方程的根均位于单位圆内的充分必要条件为共（n-1）个约束条件（8-86）（8-87）200(1)朱利（Jury）稳定判据且例8-16已知采样系统的闭环特征方程为试判断该系统的稳定性。解：201例8-16已知采样系统的闭环特征方程为解：89朱利阵列行数1-0.1250.75-1.5121-1.50.75-0.1253-0.981.41-0.564-0.561.41-0.96系统是稳定的202朱利阵列行数1-0.1250.75-1.5121-1.50.(2)劳思(Routh)稳定判据在分析连续系统时，曾应用Routh稳定判据判断系统的特征根位于s右半平面的个数，并依此来判断系统的稳定性。对于采样系统，也可用Routh判据分析其稳定性，但由于在z域中稳定区域是单位圆内，而不是左半平面，因此不能直接应用Routh判据。203(2)劳思(Routh)稳定判据在分析连续系统时引入如下双线性变换此时可用Routh判据判断采样系统的稳定性。204引入如下双线性变换此时可用Routh判据判断采样系统92(3)z平面的根轨迹方法以上述例8-15的闭环采样系统为例，其特征方程为