上海交大杜秀华老师《现代控制理论》第五章4

5.4.9系统设计的分离性原理：观测器的引入对闭环系统的影响1、闭环系统设计的分离性原理在极点配置的设计过程中，假设真实状态X(t)可用于反馈。然而实际上，真实状态X(t)可能无法量测，所以必须设计一个观测器，并且将观测到的状态~(t)用于反馈，如图5.6所示。因此，该设计过程分为两个阶段，第一个阶图5.6带观测器的状态反馈控制系统段是确定反馈增益矩阵K，以产生期望的反馈闭环系统的特征方程；第二个阶段是确定观测器的增益矩阵K。，以产生期望的观测器特征方程。这里不采用真实状态x(t)而采用观测或重构的状态~(t)来实现系统的状态反馈。需要研究这种方式对闭环反馈系统的影响。考虑如下线性定常系统x—Ax+Buy—Cx且假定该系统状态完全能控且完全能观测。对基于重构状态~的线性状态反馈控制u=—K~+v利用该控制，状态方程为x=Ax一BK~+Bv=(A一BK)x+Bv+BK(x一~)(5.57)将真实状态x(t)和重构状态~(t)之差定义为误差e(t)，即e(t)—x(t)一~(t)将误差向量代入式(5.57)，得x=(A—BK)x+Bv+BKe(5.58)注意，观测器的误差方程由式(5.31)给出，重写为e=(A—KC)e (5.59)e将式(5.58)和(5.59)合并，可得Y]「A—BK BK「][B]"H0 A—KcIM}(5.60)式（5.60）描述了带观测器的状态反馈控制系统的动态特性。该系统的特征方程为sI—A+BK—BK=00 sI—A+KC或sI—A+B^|sI—A+KC|=0注意，带观测器的状态反馈控制系统的闭环极点由极点配置单独设计产生的极点和由观测器单独设计产生的极点两部分组成。这意味着，极点配置和观测器设计是相互独立的，它们可分别进行设计。通常称这个性质称为闭环系统设计的分离性原理，这就给闭环系统的设计带来了极大的方便。注意，如果系统的阶次为n,观测器的阶次也是n（如果采用全维状态观测器），因此整个闭环系统的阶次或特征方程为2n阶。由状态反馈（极点配置）选择所产生的期望闭环极点，应使系统满足性能要求。观测器极点的选取通常使得观测器响应比系统的响应快得多。一个经验法则是选择观测器的响应至少比系统的响应快2-5倍。因为观测器通常不是硬件结构，而是计算软件，所以它可以加快响应速度，使重构状态迅速收敛到真实状态，观测器的最大响应速度通常只受到控制系统中的噪声和灵敏性的限制。注意，由于在极点配置中，观测器极点位于期望的闭环极点的左边，所以前者在响应中起主导作用。2、传递函数的不变性带观测器的状态反馈系统和直接状态反馈系统具有相同的传递函数。W(s)=lc0J-1-sI-(A-BK) W(s)=lc0J-10 sI-(A-KC)L e=C^-(A^Bf^[sI-(^Bf)YiBfKsI-(^KQ}iB1 0 [sI-(^KC)]ie0」 g ■ ■=CISi-(A-BK)LB这是由于闭环系统是不完全能控的，而且不能控状态为e,所以这种不完全能控性不影响系统的期望控制目的。3、带观测器反馈与直接状态反馈的等效性由于x=(A一BK)x+Bv+BKe又观测器的设计保证!ime(t)=0成立tT8即带观测器的状态反馈系统当tT8时，与直接状态反馈系统等价。5.4.10降维观测器已讨论了重构所有系统状态变量的全维观测器。实际上，有一些状态变量可以准确量测的。对这些可准确量测的状态变量就不必估计了。假设状态向量x为n维向量，输出向量y为可量测的q维向量。由于q个输出变量是状态变量的线性组合，所以q个状态变量就不必进行估计，只需估计n-q个状态变量即可，因此，该降维观测器为n-q维观测器。这样的n-q维观测器就是最小阶观测器。图5.8所示为具有最小阶观测器的观测-状态反馈控制系统的方块图。图5.8具有最小阶观测器的观测-状态反馈控制系统

如果输出变量的测量中含有严重的噪声，且相对而言较不准确，那么利用全维观测器可以得到更好的系统性能。假定(A,C)能观，c为满秩，即rankC="降维观测器的最小维数就是n-q维。下面讨论降维观测器的设计方法。为了构建降维观测器，首先要将y中可利用的q个状态变量分离出来。为此我们定义如下非奇异的〃Xn方阵P(5-64)(5-65)(5-66)(5-67)(5-68)x-AA一x一(5-65)(5-66)(5-67)(5-68)x-AA一x一B一x=x1L2」=本11A21A221x2+蛆B2uy=tq0{?]=x11-2」(5-69)(5-70)根据假定，rankC=q，所以C中有q个独立的行向量，R为(n-q)xn矩阵，且将其取为有n-q个独立的行向量。这样做可保证P为非奇异的。则CP-1=[I0]这是由于C=[[q0][C卜[q0]P对系统做等价变换，即x=Px，得x=PAP-ix+PBu^Ax十Buy=CP-ix=Cx=h0】q设x=%xL2J七和&分别是qx1和(n-q)x1向量，将尸表示为则其中，A11，A12，A21和A22分别为qxq,qX(n-q),(n-q)xq和(n-q)x(n-q)矩阵，B1和B2分别是qxP和(n-q)xp矩阵。而式(5-70)中状态x1即为输出y，为可直接检测部分，无需对它重构。需要重构的仅是(n-q)x1状态向量x2，因此只要用(n-q)阶状态观测器就能达到状态重构的目的。为了重构状态向量x2，建立对于L子系统的状态空间描述：x=Ax+x=Ax+(Ax+Bu)2 222 211 2x一Ay-Bu=Ax11 1 122图5-17是其方块图。如果以矿为其输入则上述二方程可写成：•*x=Ax+u222w=Ax122(5-71)(5-72)作为其输出,(5-73)(5-74)式中w=y式中w=y-B1u-A11yu=(气1x1+B2u)(5-75)(5-76)图5图5-17系统方块图重构状态x2就是对上述n-q维x2子系统构造一个全维状态观测器，其前提条件是022012)是能观的。(互丁互！是能观的充分必要条件是(A,C)能观。则n-q维L子系统的全维状态观测器是. /▲ "Wk▲ \ ."Wk*2=(A22-KeA12)X2+KeW+u(5-77)并可通过选择K任意配置(A22-K卢12)的特征值。将w和丁代入上式，得’x=(A一KA)x+K(y一Bu一Ay)+(Ax+Bu)2 22e12 2e 1 11 211 2(5-78)但其中包含导数信号y，容易引入干扰信号。为了消去y,引入(5-79)由此可导出:A一.一一_「一一__一_z=X2-Ky=(A22-KA12)*2+(A21-KA11)y+(B2-KB1)u=(A—KA)z+[(A—KA)K+(A—KA)]y+(B—KB)u(5-80)这是一个以y和u为输入的n-q维的状态观测器，且(A22-KA12)的特征值可以任意配置。M2的重构状态即\=z+Ky (5-81)2 e而M的重构状态X则为y

z+Ky

e所以x=P-y

z+Ky

e所以x=P-1X=P-1zy+Kye(5-82)(5-83)图5-18是降维观测器的结构图。图5-18降维观测器的结构图计算步骤:⑴定义等价变换阵p，并计算其逆阵p-i_「C]

⑵对原系统作等价变换，得x「AA]x「B]1=ii121+1xAAxB1-2J122J1-2JL2Ju。】L2」并建-KB)u

e1⑶按(A-KA)并建-KB)u

e1A—— .———一「——— —_——_Z=x —K y =(A —KA )x +(A —K A )y+(B —KB=(A —KA)z+[(A —KA)K+(A—KA)]y+(B以及x=z+Ky2 e⑷原系统的状态观测器为-—八一x-—八一x=PTX=P-1[例5.4]y

z+Ky

e考虑系统x=Ax+Buy=Cx式中-010--0-A=001,B=0_—6—11—6_.1.,C=[100]假设输出y可准确量测，因此状态变量］（等于y）不需

1要估计。试设计一个降阶观测器（显然该观测器是二阶的）。此外，假设降阶观测器的期望特征值为七=-2+顶2、/3, 口2=-2-顶2、/3该降阶观测器的特征方程为sI—气2+KA2=(s-")(s-日2)=(s+2—顶2/3)(s+2+j2捉)=s2+4s+16=0x「011_010-x=…,A=001,B=...x02—6—11—6xJ—11L3」1——1可得A11=0，A12=[1 0]，A21=—6A=「01■,B==0,B=「0122—11—6_121所以A——.——.. ——.— z=x-KV=(A-KA)x+(A-KA)y+(B-KB)u2e22e122 21e11 2e1注意到A--KA=-01_-■-2-[10]=-21_22e12一11-6_17一28一6_最小阶观测器为•z=一21_X+<〔■0_-■-2-0〕>y+<〔■0--■-2-0〕>u-28-62-6_17_Jr1〔1_17_>1—217■21-■-2-■0-•z=X+y+1u■-28-6_2-23—2—217;xL3」如果采用观测-状态反馈，则控制输入为u=-u=-KX=-Kxx21-3」式中的K为状态反馈增益矩阵(矩阵K不是在本例中确定的)。5.5利用MATLAB设计状态观测器本节将介绍用MATLAB设计状态观测器的若干例子。我们将举例说明全维状态观测器和降阶状态观测器设计的MATLAB方法。［例5.5］考虑一个调节器系统的设计。给定线性定常系统为x=Ax+Buy=Cx式中00]A=0]20.6且闭环极点为s=、(/=1,2)，其中R=-1.8+j2.4,R=-1.8-j2.41 2期望用观测-状态反馈控制，而不是用真实的状态反馈控制。观测器的期望特征值为日=日=—8试采用MATLAB确定出相应的状态反馈增益矩阵K和观测器增益矩阵爪。［解］对于题中给定的系统，可利用如下MATLABProgram5.5来确定状态反馈增益矩阵K和观测器增益矩阵k。MATLABProgram5.5%Poleplacementanddesignofobserver %*****Designofacontrolsystemusingpole-placement%techniqueandstateobserver.Solvepole-placement%problem*****%*****EntermatricesA,B,C,andD*****A=[01;20.60];B=[0;1]C=[10];controllabilitymatrixQ%EnterthedesiredcharacteristicpolynomialbydefiningthefollowingmatrixJandcomputingpoly(J)*****controllabilitymatrixQEnterthedesiredcharacteristicpolynomialbydefiningthefollowingmatrixJandcomputingpoly(J)*****Q=[BA*B];Rank(Q)ans=%*****Sincetherankofthe%*****SincetherankofthecontrollabilitymatrixQis2,possible*****arbitrarypoleplacementispossible*****J=[-1.8+2.4*i~~0;0-1.8-2.4*i];Poly(J)ans=1.000 3.6000 9.0000%*****EntercharacteristicpolynomialPhi*****Phi=polyvalm(poly(J),A);%*****StatefeedbackgainmatrixKcanbegivenby*****K=[01]*inv(Q)*PhiK=29.6000 3.6000%*****ThefollowingprogramdeterminestheobservermatrixKe*****张 ， • 5 ……， 1 /o*****EntertheobservabilitymatrixRTandcheckitsrank*****RT=[C’A’*C’];rank(RT)ans=2张 〜 1 ， . .c1 「/o*****Sincetherankoftheobservabilitymatrixis2,designof%theobserverispossible*****.... ./o****Enterthedesiredcharacteristicpolynomialbydefining%thefollowingmatrixJ0andenteringstatementpoly(JO)*****JO=[-80;0-8];Poly(JO)ans=1664%*****EntercharacteristicpolynomialPh*****Ph=polyvalm(ply(JO),A);*****TheobservergainmatrixKeisobtainedfrom*****Ke=Ph*(inv(RT’))*[0;1]Ke=16.000084.60000求出的状态反馈增益矩阵K为K=(29.63.6]观测器增益矩阵^^为「16]K=e_84.6_该观测-状态反馈控制系统是4阶的，其特征方程为sI-A+BKsI-A+KC=0e通过将期望的闭环极点和期望的观测器极点代入上式，可得sI—A+BKsI—A+KC=(s+1.8-j2.4)(s+1.8+j2.4)(s+8)2=s4+19.6s3+130.6s2+374.4s+576这个结果很容易通过MATLAB得到，如MATLABProgram5.6所示(MATLABProgram5.6是MATLABProgram5.5的继续。矩阵A、B、C、K和k已在MATLABProgram5.5中给定)。% Characteristicpolynomial 张 r1 ， • ，• 1 /o*****Thecharacteristicpolynomialforthedesignedsystem%isgivenby|sI-A+BK||sI-A+KeC|*****%*****Thischaracteristicpolynomialcanbeobtainedbyuseof%eigenvaluesofA-BKandA-KeCasfollows*****X=[eig(A-B*K);eig(A-Ke*C)]X=-1.8000+2.4000i-1.8000-2.4000i-8.0000-8.0000poly(X)ans=11.0000 19.6000 130.6000 374.4000576.0000［例5.6］考虑与例5.4讨论的最小阶观测器设计相同的问题。该给定线性定常系统为x=Ax+Buy=Cx式中0-11假定状态变量x（等于y）是可量测的，但未必是能观测的。试确定最小阶观测器的增益矩阵爪。期望的特征值为PP12j23七=-2+顶2、/3, 口2=-2-顶2、/3PP12j23试利用MATLAB方法求解。［解］下面介绍该问题的两个MATLAB程序。MATLABProgram5.7采用变换矩阵p的方法，MATLABPorgram5.8采用爱克曼公式。MATLABProgram5.7% Designofminimum-orderobserver 张 … 「 ，• ，• 「 /o*****ThisprogramusestransformationmatrixP*****%*****EntermatricesAandB*****A=[010;001;-6-11-6];B=[0;0;1];%*****EntermatricesAaa,Aab,Aba,Abb,Ba,andBb.Note%thatA=[AaaAab;AbaAbb]andB=[Ba;Bb]*****Aaa=[0];Aab=[10];Aba=[0;-6];Abb=[01;-11-6];Ba=[0];Bb=[0;1];*****Determinealanda2ofthecharacteristicpolynomial%fortheunobservedportionofthesystem*****P=poly(Abb)P=1611a1=P(2);a2=P(3);%*****EnterthereducedobservabilitymatrixRTandmatrixW*****RT=[Aab’Abb’*Aab’];W=[a11;10];% ./o*****Enterthedesiredcharacteristicpolynomialbydefining0—…• ， •T， ， • ， ， ， 1 ，『、 /°thefollowingmatrixJandenteringstastementpoly(J)*****J=[-2+2*sqrt(3)*i~~0;0-2-2*sqrt(3)*i];JJ=poly(J)JJ=1.0000 4.0000 16.0000% … 1 ，./o*****Determineaalandaa2ofthedesiredcharacteristic%polynomial*****aa1=JJ(2);aa2=JJ(3);%*****Observergainmatr