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第六章逻辑代数与逻辑控制系统第六章开关代数或布尔代数变量1——“有输入”“有输出”“有气”“接通”0——“无输入”“无输出”“无气”“切断”一、基本逻辑运算:
基本逻辑逻辑与逻辑或逻辑非布尔函数S=a·b·c…nS=a+b+c+…nS=ã符号(我国)
运算式1·1=11+1=1ī=01·0=01+0=0ō=10·1=00+1=10·0=00+0=0§6-1逻辑代数开关代数或布尔代数变量1——“有输入”“有输出”“有真值表abS110010101000说明:两个以上信号同时输入才有输出两个以上信号有任何一个输入时既有输出有信号输入时无输出反相器无信号输入时有输出真值表abS111说明:两个以上信号同时输入二、基本定律:
1、交换律:a+b=b+aa·b=b·a2、结合律:a+(b+c)=(a+b)+ca·(b·c)=(a·b)·c3、分配律:a(b+c)=ab+ac(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd三、形式定律:1、吸收律;a+(a·b)=a;a·(a+b)=a2、展开律;(a+b)(a+b)=a;a·b+ab=a3、反映律;a+a·b=a+b;a·(a+b)=a·b4、德·摩根定律(反相律):a·b=a+b,a+b=a·b5、重复律a+a+a=a、ab+ab+ab=ab、a·a·a=a、ab·ab·ab=ab;二、基本定律:6、过渡律:ab+ac+bc=ab+ac,(a+b)(a+c)(b+c)=(a+b)(a+c)7、交叉换位律:
(a+b)(a+c)=ac+ab,ab+ac=(a+c)(a+b)8、逆相结合律(a+a=1、a·a=0);9、否定之否定定律a=a四、运算规律和对偶定理:1、运算定律:按非与或,先括号内,后括号外的顺序2、对偶定律:逻辑代数存在或与、0、1对偶互换性6、过渡律:§6-2逻辑函数、真值表和基本逻辑门1、逻辑函数:由逻辑变量及逻辑关系组成的逻辑代数式S=f(a,b,c…)2、真值表:逻辑函数及逻辑自变量之间的全部数值罗列在一个表中。3、基本逻辑门:具有基本逻辑功能的元器件(基本逻辑单元)§6-2逻辑函数、真值表和基本逻辑门1、逻辑函数:第六章--逻辑代数与逻辑控制系统课件第六章--逻辑代数与逻辑控制系统课件4.逻辑图
逻辑图:将逻辑函数分解成若干基本逻辑门,再按逻辑函数要求构成逻辑图。由此可作出其逻辑原理图,如图6-4所示。4.逻辑图逻辑图:将逻辑函数分解成若干基本逻辑门6.3逻辑代数法设计逻辑线路控制系统的输入与输出之间的逻辑关系称为逻辑函数。逻辑函数的表写有两种方法:与.或法,或.与法。(1)与.或法与.或法是将真值表中s=1的变量组中的各变量先求积,再求所有s=1的积式的和。在s=1的积和式中,变量为“1”,则取该变量的本身;变量为“0”,则取该变量的非。(2)或.与法或.与法是将真值表中s=0变量组中的各变量先求和,再求所有s=0和式的积。在s=0和积式中,变量为“1”,则取该变量的本身;变量为“0”,则取该变量的非。6.3逻辑代数法设计逻辑线路第六章--逻辑代数与逻辑控制系统课件§6-4卡诺图法设计逻辑线路一、用卡诺图化简逻辑函数用卡诺图化简逻辑函数是一个既简单又直观的方法。卡诺图是真值表的变换,它比真值表更明确地表示出逻辑函数的内在联系。使用卡诺图可以直接写出最简逻辑函数避免了繁杂的逻辑代数运算。卡诺图是一个如同救生圈状的立体图形,为了便于观察和研究,将它沿内圈剖开,然后横向切断并展开得到一个矩形图形。若自变量为一个,则卡诺图上有两个方格,自变量为2个,则卡诺图上有四个方格,自变量为3个,有八个方格,……,方格数是自变量的可能排列组合数,即方格数为2"(n为自变量的个数)个。图6-5作出了自变量为1~4个的卡诺图。§6-4卡诺图法设计逻辑线路一、用卡诺图化简逻辑函数若自变由逻辑函数填卡诺图的方法是先将函数化成与-或式,在卡诺图方格中,属于函数式之与项的格子填上“1”,不属于函数式之与项的格子填入“0”。因为有该项的格子表示该组函数傎为“1”。由逻辑函数填卡诺图的方法是先将函数化成与-或式,在卡诺图方格例:作出逻辑函数的卡诺图。由逻辑函数可知,该逻辑函数有三个变量,所以卡诺图应有8个格子。按上述填写卡诺图的方法可作出卡诺图如图6-6。
有了卡诺图便可直接由卡诺图写出逻辑函数的最简形式。在列写最简逻辑函数式时,也有两种方法,即“与-或”式和“或-与”式。a)由卡诺图写“与-或”式逻辑函数1、将卡诺图上值为“1”的格子分成若干组,分组的办法:(1)相邻的方格可划为一组,所说的相邻方格是指方格边线共用,应指出的是卡诺图的上、下两边是一个边分开的,两端边线也是一条线切开的。(2)每组取的方格数应按2"规律选取,且必须组成矩形(也包括方形)。(3)每组方格数应尽量按上述规定多取,卡诺图中任一方格均可被几个不同的组重复使用。每组方格数取得越多,则函数的逻辑表达式越简单。例:作出逻辑函数的卡诺图。由逻辑函数可知,该逻辑函数有三个变2、确定每组的“与”函数。确定的办法是:凡是在该组中取不同值的自变量均被消去,余下的自变量相乘便得出该组的“与”式。3、把各组写成的“与”式相加,就得出逻辑函数的最简“与-或”式。根据上述原则,将卡诺图6-6分成两组,见图6-7。第一组的“与”式为,第二组“与”式为ab,所以逻辑函数为2、确定每组的“与”函数。确定的办法是:凡是在该组中取不同值由上述方法,也可将卡诺图6-6分组成如图6-8所示。b)由卡诺图写“或-与”式逻辑函数由卡诺图写“或-与”式逻辑函数的方法与写“与-或”式逻辑函数的方法基本类似。1)把卡诺图中具有“0”的格子按上述原则分组。2)写出每组的“或”函数式,在同一组中自变量相反的消去,自变量与格内值相同的取原码,不同的取反码。并把其相加,得出该组的“或”式,再将各组“或”式相乘就得到逻辑函数最简“或-与”式。由上述方法,也可将卡诺图6-6分组成如图6-8所示。第一组“或”式为a,第二组“或”式为相乘后得最简“或-与”式逻辑函数为二、卡诺图法在逻辑线路设计中的应用逻辑代数是设计逻辑线路的重要数学工具,而卡诺图为逻辑函数化简提供了简便方法,从整个逻辑控制系统来说,还需要有启动信号(手动或自动)主控阀(双气控换向阀)及执行机构等,才能组成较完善的逻辑控制系统。下面举例说明应用卡诺图法设计逻辑控制中的问题。例1、设某逻辑控制系统,它由两个气动缸A,B及四个按钮a,b,c,d组成,其动作要求是:(1)按钮a接通:A缸进,B缸退;(2)按钮b接通:B缸进,A缸退;(3)按钮c接通:A缸进,B缸退;第一组“或”式为a,第二组“或”式为相乘后得最简“或-与”式(4)按钮d接通:A缸退,B缸退;(5)按钮a,b都通:A,B缸都退;(6)按钮a,b,c,d都不通:A,B两缸保持原状态。按上述设计要求,可列出它们相互关系的真值表,如表6-5所示。表6-5输入输出abcdA0A1B0B1100001100100100100100101000110101100101000000000(4)按钮d接通:A缸退,B缸退;(5)按钮a表中A0——表示A缸退;A1——表示A缸进;B0——表示B缸退;B1——表示B缸进。由真值表可知,四个逻辑函数A1,A0,B1,B0都包含有四个自变量a,b,c,d,即为了利用卡诺图设计逻辑线路,先根据真值表作出卡诺图如图6-9所示。表中A0——表示A缸退;A1——表示A缸进;B0——表示第六章--逻辑代数与逻辑控制系统课件用“与-或”法由卡诺图写出最简逻辑函数为:卡诺图中没有确定值的空格是生产中不出现的情况,可以任意假定。根据写出来的四个逻辑函数,可画出气动逻辑线路图如图6-10所示。除了用气动元件组成逻辑线路外,还可用逻辑元件组成控制图如图6-11所示。用“与-或”法由卡诺图写出最简逻辑函数为:卡诺图中没有确定TTTTTTTTnbcdTTTTababA0=d+bA1=c+abB0=a+dB1=c+abBA图6-10TTTTTTT第六章--逻辑代数与逻辑控制系统课件例2电厂四个气动阀门A.B.C.D,生产中可能出现如下八种情况其中1.4.6为报警状况试设计汽笛自动报警逻辑控制线路例2电厂四个气动阀门A.B.C.D,生产中可能出现如下八种情第六章逻辑代数与逻辑控制系统第六章开关代数或布尔代数变量1——“有输入”“有输出”“有气”“接通”0——“无输入”“无输出”“无气”“切断”一、基本逻辑运算:
基本逻辑逻辑与逻辑或逻辑非布尔函数S=a·b·c…nS=a+b+c+…nS=ã符号(我国)
运算式1·1=11+1=1ī=01·0=01+0=0ō=10·1=00+1=10·0=00+0=0§6-1逻辑代数开关代数或布尔代数变量1——“有输入”“有输出”“有真值表abS110010101000说明:两个以上信号同时输入才有输出两个以上信号有任何一个输入时既有输出有信号输入时无输出反相器无信号输入时有输出真值表abS111说明:两个以上信号同时输入二、基本定律:
1、交换律:a+b=b+aa·b=b·a2、结合律:a+(b+c)=(a+b)+ca·(b·c)=(a·b)·c3、分配律:a(b+c)=ab+ac(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd三、形式定律:1、吸收律;a+(a·b)=a;a·(a+b)=a2、展开律;(a+b)(a+b)=a;a·b+ab=a3、反映律;a+a·b=a+b;a·(a+b)=a·b4、德·摩根定律(反相律):a·b=a+b,a+b=a·b5、重复律a+a+a=a、ab+ab+ab=ab、a·a·a=a、ab·ab·ab=ab;二、基本定律:6、过渡律:ab+ac+bc=ab+ac,(a+b)(a+c)(b+c)=(a+b)(a+c)7、交叉换位律:
(a+b)(a+c)=ac+ab,ab+ac=(a+c)(a+b)8、逆相结合律(a+a=1、a·a=0);9、否定之否定定律a=a四、运算规律和对偶定理:1、运算定律:按非与或,先括号内,后括号外的顺序2、对偶定律:逻辑代数存在或与、0、1对偶互换性6、过渡律:§6-2逻辑函数、真值表和基本逻辑门1、逻辑函数:由逻辑变量及逻辑关系组成的逻辑代数式S=f(a,b,c…)2、真值表:逻辑函数及逻辑自变量之间的全部数值罗列在一个表中。3、基本逻辑门:具有基本逻辑功能的元器件(基本逻辑单元)§6-2逻辑函数、真值表和基本逻辑门1、逻辑函数:第六章--逻辑代数与逻辑控制系统课件第六章--逻辑代数与逻辑控制系统课件4.逻辑图
逻辑图:将逻辑函数分解成若干基本逻辑门,再按逻辑函数要求构成逻辑图。由此可作出其逻辑原理图,如图6-4所示。4.逻辑图逻辑图:将逻辑函数分解成若干基本逻辑门6.3逻辑代数法设计逻辑线路控制系统的输入与输出之间的逻辑关系称为逻辑函数。逻辑函数的表写有两种方法:与.或法,或.与法。(1)与.或法与.或法是将真值表中s=1的变量组中的各变量先求积,再求所有s=1的积式的和。在s=1的积和式中,变量为“1”,则取该变量的本身;变量为“0”,则取该变量的非。(2)或.与法或.与法是将真值表中s=0变量组中的各变量先求和,再求所有s=0和式的积。在s=0和积式中,变量为“1”,则取该变量的本身;变量为“0”,则取该变量的非。6.3逻辑代数法设计逻辑线路第六章--逻辑代数与逻辑控制系统课件§6-4卡诺图法设计逻辑线路一、用卡诺图化简逻辑函数用卡诺图化简逻辑函数是一个既简单又直观的方法。卡诺图是真值表的变换,它比真值表更明确地表示出逻辑函数的内在联系。使用卡诺图可以直接写出最简逻辑函数避免了繁杂的逻辑代数运算。卡诺图是一个如同救生圈状的立体图形,为了便于观察和研究,将它沿内圈剖开,然后横向切断并展开得到一个矩形图形。若自变量为一个,则卡诺图上有两个方格,自变量为2个,则卡诺图上有四个方格,自变量为3个,有八个方格,……,方格数是自变量的可能排列组合数,即方格数为2"(n为自变量的个数)个。图6-5作出了自变量为1~4个的卡诺图。§6-4卡诺图法设计逻辑线路一、用卡诺图化简逻辑函数若自变由逻辑函数填卡诺图的方法是先将函数化成与-或式,在卡诺图方格中,属于函数式之与项的格子填上“1”,不属于函数式之与项的格子填入“0”。因为有该项的格子表示该组函数傎为“1”。由逻辑函数填卡诺图的方法是先将函数化成与-或式,在卡诺图方格例:作出逻辑函数的卡诺图。由逻辑函数可知,该逻辑函数有三个变量,所以卡诺图应有8个格子。按上述填写卡诺图的方法可作出卡诺图如图6-6。
有了卡诺图便可直接由卡诺图写出逻辑函数的最简形式。在列写最简逻辑函数式时,也有两种方法,即“与-或”式和“或-与”式。a)由卡诺图写“与-或”式逻辑函数1、将卡诺图上值为“1”的格子分成若干组,分组的办法:(1)相邻的方格可划为一组,所说的相邻方格是指方格边线共用,应指出的是卡诺图的上、下两边是一个边分开的,两端边线也是一条线切开的。(2)每组取的方格数应按2"规律选取,且必须组成矩形(也包括方形)。(3)每组方格数应尽量按上述规定多取,卡诺图中任一方格均可被几个不同的组重复使用。每组方格数取得越多,则函数的逻辑表达式越简单。例:作出逻辑函数的卡诺图。由逻辑函数可知,该逻辑函数有三个变2、确定每组的“与”函数。确定的办法是:凡是在该组中取不同值的自变量均被消去,余下的自变量相乘便得出该组的“与”式。3、把各组写成的“与”式相加,就得出逻辑函数的最简“与-或”式。根据上述原则,将卡诺图6-6分成两组,见图6-7。第一组的“与”式为,第二组“与”式为ab,所以逻辑函数为2、确定每组的“与”函数。确定的办法是:凡是在该组中取不同值由上述方法,也可将卡诺图6-6分组成如图6-8所示。b)由卡诺图写“或-与”式逻辑函数由卡诺图写“或-与”式逻辑函数的方法与写“与-或”式逻辑函数的方法基本类似。1)把卡诺图中具有“0”的格子按上述原则分组。2)写出每组的“或”函数式,在同一组中自变量相反的消去,自变量与格内值相同的取原码,不同的取反码。并把其相加,得出该组的“或”式,再将各组“或”式相乘就得到逻辑函数最简“或-与”式。由上述方法,也可将卡诺图6-6分组成如图6-8所示。第一组“或”式为a,第二组“或”式为相乘后得最简“或-与”式逻辑函数为二、卡诺图法在逻辑线路设计中的应用逻辑代数是设计逻辑线路的重要数学工具,而卡诺图为逻辑函数化简提供了简便方法,从整个逻辑控制系统来说,还需要有启动信号(手动或自动)主控阀(双气控换向阀)及执行机构等,才能组成较完善的逻辑控制系统。下面举例说明应用卡诺图法设计逻辑控制中的问题。例1、设某逻辑控制系统,它由两个气动缸A,B及四个按钮a,b,c,d组成,其动作要求是:(1)按钮a接通:A缸进,B缸退;(2)按钮b接通:B缸进,A缸退;(3)按钮c接通:A缸进,B缸退;第一组“或”式为a,第二组“或”式为相乘后得最简“或-与”式(4)按钮d接通:A缸退,B缸退;(5)按钮
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