数学分析课件-第1章实数集与函数

记号与术语U

(a;

)

{x

| |

x

a

|

}:

点a

的

邻域U

(a;

)

{x

| 0

|

x

a

|

}:点a

的

空心邻域U

(a;

)

{

x

|

0

x

a

}:U

(a;

)

{

x

|

0

a

x

}:点a

的

右邻域点a

的

左邻域U

(;

M

)

{

x

| |

x

|

M

}

:U

(;

M

)

{

x

|

x

M

}

:U

(;M

)

{x

|

x

M

}:

max

S

:数集S

的最大值

的M

邻域

的M

邻域

的M

邻域min

S

:数集S的最小值一、有界集定义1

设S

R,

S

.若

M

R,

使得

x

S,

x

M

,

则称

M

为S

的一个上界,称S

为有上界的数集.若

L

R,

使得

x

S,

x

L,则称

L

为S的一个下界,称S

为有下界的数集.若

S

既有上界又有下界,

则称S

为有界集.其充要条件为:

M

0,

使x

S,有|

x

|

M

.(1)

若S

不是有上界的M

R,

x0

S,使得x0

M

.(2)

若

S

不是有下界的数集,

则称

S

无下界,

即L

R,

x0

S,使得x0

L.(3)

若

S

不是有界的数集,

则

S

集,

即M

0,

x0

S,

使得|

x0

|

M

.1

M

R,

若

M

1,

取

x0

2

M;若

M

1,[

M

]1取

x0

2

[M

]

1

M

,因此S

无上界.证

取

L

=

1,

则x

2n

S,

x

L,

故

S

有下界.例1

证明数集

S

{2n

|

n

N }

无上界,

有下界.

n2

1n

N+

有界.例2

证明数集

S

2n3证n

N+

,1

1

1n2

n2

1

1,2n3

2n3

2n3

2

2因此S

有界.二、确界若数集

S

有上界,

则必有无穷多个上界,

而其中最小的一个具有重要的作用.

最小的上界称为上确界.

同样,

若S

有下界,

则最大的下界称为下确界.定义2

设

S

R,

S

(i)

x

S

,x

;(ii)

,x0

S,

使得x0

,则称

是S

的上确界,记为

sup

S.xx0点击上图动画演示比

小的数都不是S

的上界,从而

是最小的上界,即上确界是最小的上界.注2

显然,条件(ii)亦可换成:

0,

x0

S,

x0

.注1

条件(i)

说明是

S

的一个上界,

条件(ii)说明定义3

设

S

R,

S

.

若

R

满足:(i)

x

S,

x

;(ii)

,

x0

S,

x0

;则称

是S

的下确界,记为

inf

S.注1由定义,下确界是最大的下界.注2

下确界定义中的(ii),亦可换成

0,

x0

S,

x0

.n(i)

x

S,

x

1

1

1

;2(ii)

设

1.

若

0，则取

x

1

1

S,

x

.0

0若

0,则令

1

0,由nx

1

1

,

n

1,

2,例2

设S

xsup

S

1，inf

S

0.证先证sup

S=1.,

求证因此，sup

S

1.性,

n0

,0

000nn使得

1

.

令x

1

1

S,

则

x

1

.再证inf

S

0.n(ii)

0,

x0

0

S,

x0

.因此inf

S

0.(i)

x

S,

x

1

1

0

;虽然定义了上确界,但并没有证明上确界的存在性,这是由于上界集是无限集,而无限数集不一定有最小值,例如(0,

)无最小值.以下确界原理也可作公理,不予证明.三、确界存在性定理定理1.1

(确界原理)设S

R,

S

.

若

S有上界,

则

S必有上确界;若

S

有下界,

则

S

必有下确界.注：证明此定理不妨设S

含有非负数.记

xSx0x}S|.{S

{

x

|

x

S，x

0}

.证明：不妨设S

中每个数都用正规的十进位小数表示x

a0

.a1a2

an

,把S

的每个数x

的整数部分取出来,M0

{a0

|

x

a0

.a1

an

S

}.若

M

是

S

的一个上界,

令

K

[M

]

1,

则M0

{0,

1,

2, ,

K

}.因此M0

是有限集,必有最大值n0

max

M0

.令S0

{

x

|

x

S，x

n0

.a1a2

},则S0

.

x0

S0

,x0

n0

;x

S,x

n0

1.设M1

{a1

|

x

n0

.a1a2

S0

}.由于

M1

{0,1,

2,

,9}

,

因此有

n1

max

M1

.

令S1

{

x

|

x

S

,

x

n0

.n1a2

},则

S1

,

x1

S1

,

x1

n0

.n1;

x

S,0

110x

n

.n

1

.一般地用归纳法可证明存在nk

N

及},nkak

1nk

;

x

S

,Sk

{

x

|

x

S

,

x

n0

.n1则

Sk

,

xk

Sk

,

xk

n0

.n11

.10kx

n0

.n1

nk

令

n0

.n1n2

nk

.以下证明

sup

S.(i)

x

S,

若

x

0,

则

x

.若x

0,

则x

S

,亦有x

..而ak

1nk

1

,

k,使

a0

.a1a2

ak

n0

.n1n2

nk

,1,若x

,则事实上,设

x

a0

.a1

ak此与x

S,x

n0

.n1

nk

10k(ii)

,

设

0

.1

k

.则

k,使0

.1

k

n0

.n1

nk而k

1

nk

1

.xk

1k

1n0

.n1nk

1

0

.1

.nk

1

.则由定义

xk

1

Sk

1

,xk

1

n0

.n1由(i)(ii)的证明,得到

sup

S.例3

设A,B

为非空数集.满足:

x

A,

y

B,有

x

y.证明：数集A

有上确界，数集B有下确界，且sup

A

inf

B.证由假设,B

中任一数y

都是A

的上界,A

中的任一数x

都是B

的下界.因此由确界原理,A

有上确界,B

有下确界.由定义,上确界sup

A

是最小的上界,因此,任意例4

设S

是R

中非空有上界的数集,(i)若a

R,定义

Ssup

{S

a}

sup

S

a;R+,定义bS

{bx

|

x

S},则sup

{bS}

b

sup

S.(ii)若yB; sup

A

y.

这样, sup

A

又是

B的一个下界,而

inf

B

是最大的下界,

因此

sup

A

inf

B.证(i)x

a

S

a,

其中x

S,必有x

sup

S

,于是x

a

sup

S

a.对于

0,

x0

S,

使

x0

sup

S

,x0

a

S

a,且x0

a

(sup

S

a)

,因此sup(

S

a)

sup

S

a.从而(ii)

bx

bS

,

0,令

b其中

x

S,

必有

x

sup

S

,

于是bx

b

sup

S

.0,0则存在

x

S,使x0

sup

S

,因此bxb0

S这就证明了psup.

四、 确界规定(i)a

R,

a

;(ii)若S

无上界,记sup

S

.若S

无下界,记inf

S

.

推广的确界原理:

非空数集必有上、下确界.例1

sup

N

, inf{2n

|

n

N }

.例2

设数集

xA

R ,

B

1

x

A.

求证:sup

A

的充要条件是inf

B

0.0

0令

M

=

1

,

则由于sup

A