版选修正-1.1.1变化率问题

复习旧知微积分主要与四类问题的处理相关:一、已知物体运动的路程作为时间的函数，求物体在任意时刻的速度与加速度等;二、求曲线的切线;三、求已知函数的最大值与最小值;四、求长度、面积、体积和重心等.复习旧知导数研究的问题

变化率问题研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度．导数是微积分的概念之一.它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具.问题1气球膨胀率都吹

球.回忆一下吹气球的过程，可以发现，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加越来越慢.从数学角度，如何描述这种现象呢?知道，气球的体积V（单位：L）与半径r（单位：dm）之间的函数关系是3V

(r

)

4

r

3问题1气球膨胀率V

(r

)

4

r

33如果将半径r变为体积V的函数，那么3V4r(V

)

3问题1气球膨胀率知道，气球的体积V（单位：L）与半径r（单位：dm）之间的函数关系是问题1气球膨胀率当空气容量V从0增加到1L时，气球半径增加了多少？气球的平均膨胀率为多少？问题1气球膨胀率当空气容量V从0增加到1L时，气球半径增加了多少？r(1)

r(0)

0.62(dm)气球的平均膨胀率为多少？当空气容量V从0增加到1L时，气球半径增加了多少？r(1)

r(0)

0.62(dm))

01气球的平均膨胀率为多少？r

(r1()0)

0.62问题1气球膨胀率问题1气球膨胀率类似地，当空气容量V从1L增加到2L时，气球半径增加了多少？气球的平均膨胀率为多少？问题1气球膨胀率类似地，当空气容量V从1L增加到2L时，气球半径增加了多少？r(2)

r(1)

0.16(dm)气球的平均膨胀率为多少？问题1气球膨胀率类似地，当空气容量V从1L增加到2L时，气球半径增加了多少？r(2)

r(1)

0.16(dm)气球的平均膨胀率为多少？2

1r(2)

r(1)

0.16(dm/L

)问题1气球膨胀率类似地，当空气容量V从1L增加到2L时，气球半径增加了多少？r(2)

r(1)

0.16(dm)气球的平均膨胀率为多少？r(2)

r(1)

0.16(dm/L

)2

1可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了．思

考当空气容量从V1增加到V2时，气球的平均膨胀率为多少？思

考当空气容量从V1增加到V2时，气球的平均膨胀率为多少？3r

V2

(V

)

2

V1气球的平均膨胀率是：3问题2

高台跳水人们发现，在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系h(t)

4.9t

2

6.5t

10如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态?v思考计算0≤t≤0.5和1≤t≤2的平均速度v思考计算0≤t≤0.5和1≤t≤2的平均速度v在0≤t≤0.5这段时间里，平均速度是0.5

0v

h(0.5)

h(0)

4.05(m/s

)思考计算0≤t≤0.5和1≤t≤2的平均速度v在0≤t≤0.5这段时间里，平均速度是v

h(0.5)

h(0)

4.05(m/s

)0.5

0在1≤t≤2这段时间里，平均速度是2

1v

h(2)

h(1)

8.2(m/s

)探

究49计算运动员在

0

t

65这段时间里的平均速度，并思考下面的问题：运动员在这段时间里是

的吗？你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？平均变化率x2

x1表示，称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率.上述问题中的变化率可用式子

f

(

x2

)

f

(

x1

)平均变化率x2

x1表示，称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率.上述问题中的变化率可用式子

f

(

x2

)

f

(

x1

)1的一个则平均变化率为2增量，可用

1

替代

1

)，()(（对于函数

(

),

若设

xfy平均变化率x2

x1表示，称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率.上述问题中的变化率可用式子

f

(

x2

)

f

(

x1

)1的一个则平均变化率为2增量，可用

1

替代

1

)，()(（对于函数

(

),

若设

xfyy

f

(

x2

)

f

(

x1

)

f

(

x

x)

f

(

x)x x2

x1

x图象，平均变化率x x2

x1y

f

(

x2

)

f

(

x1

)表示什么？Oyxf

(x2

)1f

(

x

)x1x2y

f

(

x)f

(x2

)

f

(x1)x2

x1思

考观察函数y＝f(x)的.xy

A(1，

2)及附近一点B(1

x，

2

y)，则例1.

已知函数f

(

的图象上的一点例2.2在求课堂练习质点运动规律为s

t

2

3，则在时间(3，3

t

)中相应的而平均速度为

.物体按s(t

)

3t

2

t

4的规律作直线运动求在4s附近的平均变化