全国硕士研究生入学统一考试真题试卷

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全国硕士研究生入学统一考试真题试卷《数学三》试题

一、选择题:1—8小题．每小题4分，共32分．

1

．若函数10

(),0xfxax

bx?->?=??≤?

在0x=处连续，则（A）1

2ab=（B）12

ab=-（C）0ab=（D）

2ab=

2．二元函数(3)zxyxy=--的极值点是（）

（A）(0,0)（B）03(,)（C）30(,)（D）11(,)3．设函数()fx是可导函数，且满足()()0fxfx'>，则

（A）(1)(1)ff>-（B）11()()ff-（D）11()()ff，且20AC==-，也就是()2

()fx是单调增加函数．也就得到()()2

2

(1)(1)(1)(1)ffff>-?>-，所以应该选（C）4．

解：ivn→∞时22221111111111sinln(1)(1)22kkkokonnnnnnnnn????????

--=+=++?????????????

显然当且仅当(1)0k+=，也就是1k=-时，级数的一般项是关于1

n

的二阶无穷小，级数收敛，从而选择（C）．

5．解：矩阵Tαα的特征值为1和1n-个0，从而,,2,2TTTTEEEEαααααααα-+-+的特征值分别为0,1,1,1L；2,1,1,,1L；1,1,1,,1-L；3,1,1,,1L．显然只有TEαα-存在零特征值，所以不可逆，应该选（A）．

6．解：矩阵,AB的特征值都是1232,1λλλ===．是否可对解化，只需要关心2λ=的情况．

对于矩阵A，0002001001EA??

?

-=-????

，秩等于1，也就是矩阵A属于特征值2λ=存在两个线性无关的特征向量，也就是可以对角化，也就是~AC．

对于矩阵B，010*******EB-??

?

-=????

，秩等于2，也就是矩阵A属于特征值2λ=只有一个线性无关的特征向量，也就是不可以对角化，当然,BC不相似故选择（B）．

7．解：

(())()()()()()()()()()PABCPACABPACPBCPABCPAPCPBPCPABC=+=+-=+-U()()(()()())()()()()()()()PABPCPAPBPABPCPAPCPBPCPABPC=+-=+-U

显然，ABU与C相互独立的充分必要条件是()()()PABCPABPC=，所以选择（C）．

8．

解：（1）显然22()~(0,1)()~(1),1,2,iiXNXinμμχ-?-=L且相互独立，所以

21

()n

i

iX

μ=-∑服从2()nχ分布，也就是（A）结论是正确的；

（2）2

2

2

22

1

(1)()(1)~(1)n

iinSXXnSnχσ

=--=-=

-∑，所以（C）结论也是正确的；

（3）注意221

~(,)()~(0,1)()~(1)XNXNnXn

μμμχ?-?-，所以（D）结论也是正确的；

（4）对于选项（B）

：22111

()~(0,2)~(0,1)()~(1)2nnXXNNXXχ-?

?-，

所以（B）结论是错误的，应该选择（B）

二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上）

9

．解：由对称性知3

3

0(sin22

xdxππ

ππ-==

??．

10．解：齐次差分方程120ttyy+-=的通解为2xyC=；设122tttyy+-=的特解为2ttyat=，代入方程，得1

2

a=；

所以差分方程122tttyy+-=的通解为122.2

tt

yCt=+

11．解：答案为1(1)QQe-+-．

平均成本()1QCQe-=+，则总成本为()()QCQQCQQQe-==+，从而边际成本为

()1(1).QCQQe-'=+-

12．解：(,)(1)()yyydfxyyedxxyedydxye=++=，所以(,)yfxyxyeC=+，由(0,0)0f=，

得0C=，所以(,)yfxyxye=．

13．解：对矩阵进行初等变换101101101112011011011011000A??????

???

=→→????????????

，知矩阵A的秩为2，由于123,,ααα为线性无关，所以向量组123,,AAAααα的秩为2．14．解：显然由概率分布的性质，知1

12

ab++=

12133102EXabab=-?+?+?=+-=，解得11

,44

ab==

29292EXab=++=，229

()2

DXEXEX=-=．

三、解答题

15．（本题满分10分）

解：令xtu

-=，则,

txudtdu

=-=-

，

00

txu

dtdu

-

=

??

0000

2limlimlimlim

33

txuuxxxxx

dtedudu

++++

→→→→

====16．（本题满分10分）

解：

33

242242

00

24

242

00

22

(1)(1)

1(1)

4(1)

111

1

41128

D

yy

dxdydxdy

xyxy

xy

dx

xy

dx

xx

π

+∞

+∞

+∞

=

++++

++

=

++

?

??

=-=

?

++

????

???

?

?

17．（本题满分10分）

解：由定积分的定义

1

20

11

12

1

limln1limln1ln(1)

11

ln(1)

24

nn

nn

kk

kkkk

xxdx

nnnnn

xdx

→∞→∞

==

????

+=+=+

??

????

=+=

∑∑?

?

18．（本题满分10分）

解：设11

(),(0,1)

ln(1)

fxx

xx

=-∈

+

，则

22

2222

11(1)ln(1)

()

(1)ln(1)(1)ln(1)

xxx

fx

xxxxxx

++-

'=-+=

++++

令22

()(1)ln(1)

gxxxx

=++-，则2

(0)0,(1)2ln21

gg

==-

2

()ln(1)2ln(1)2,(0)0

gxxxxg

''

=+-+-=

2(ln(1))

()0,(0,1)

1

xx

gxx

x

+-

''==L时

似然函数为2

2

1

121()(,)n

iinn