江苏版2023版高三一轮总复习第一章物理运动的描述匀变速直线运动教案

58/58[高考备考指南]知能模块考点内容高考(江苏卷)五年命题情况对照分析20172018201920202021年适应考2021命题分析第1节描述运动的基本概念参考系、质点高考命题以选择题和实验题为主，偶有计算题。命题热点为基本规律的应用和图像问题，实验以测瞬时速度和加速度为主。位移、速度和加速度第2节匀变速直线运动的规律匀变速直线运动及其公式、图像第3节运动图像和追及相遇问题实验一研究匀变速直线运动T11：利用自由落体测重力加速度核心素养物理观念：参考系、质点、位移、加速度。科学思维：匀变速直线运动的公式、推论及图像。科学探究：研究匀变速直线运动的特点。科学态度与责任：以生产、生活实际为背景的匀变速直线运动规律的应用。描述运动的基本概念一、参考系质点1．参考系(1)定义：为了研究物体的运动而假定不动的物体。(2)选取原则：可任意选取，但对同一物体的运动，所选的参考系不同，对它运动的描述可能会不同。通常以地面为参考系。2．质点(1)定义：用来代替物体的有质量的点。(2)物体可看作质点的条件：研究一个物体的运动时，物体的大小和形状对研究问题的影响可以忽略。二、位移速度1．位移和路程(1)位移描述物体位置的变化，用从初位置指向末位置的有向线段表示，是矢量。(2)路程是物体运动轨迹的长度，是标量。(3)在单向直线运动中，位移的大小等于路程；其他情况下，位移的大小小于路程。2．速度和速率(1)平均速度：物体的位移与发生这段位移所用时间的比值，即eq\x\to(v)＝eq\f(Δx,Δt)，其方向与位移的方向相同，是矢量。(2)瞬时速度：运动物体在某一时刻或某一位置的速度，方向沿轨迹上物体所在点的切线方向指向前进的一侧，是矢量。(3)速率：瞬时速度的大小，是标量。(4)平均速率：路程与时间的比值，不一定等于平均速度的大小。三、加速度1．定义：速度的变化量与发生这一变化所用时间的比值。2．定义式：a＝eq\f(Δv,Δt)。3．方向：与速度变化的方向相同，是矢量。4．物理意义：描述物体速度变化快慢的物理量。一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)参考系必须是固定不动的物体。 (×)(2)质点是一种理想化模型，实际并不存在。 (√)(3)在某一段时间内物体运动的位移为零，则该物体一定是静止的。 (×)(4)平均速度的方向与位移方向相同。 (√)(5)甲的加速度a甲＝2m/s2，乙的加速度a乙＝－3m/s2，a甲>a乙。 (×)二、教材习题衍生1．(质点、参考系、时间与时刻)下列说法不正确的是()A．研究跆拳道比赛中运动员的动作时不能把运动员当成质点处理B．“太阳东升西落”中太阳以地球为参考系C．“火车8点42分到站”，“8点42分”指的是时刻D．“第3s末”和“第3s内”都是指的时间间隔1s[答案]D2．(位移、路程、速度与加速度)下列说法不正确的是()A．出租车的收费标准为1.60元/公里，其中的“公里”说的是路程B．沿曲线运动的质点，位移大小可能大于其路程C．两物体相比，一个物体的速度变化量比较大，而加速度却比较小D．物体具有向东的加速度，而速度的方向却向西[答案]B3．(位移、速度与加速度)一个质点做方向不变的直线运动，加速度的方向始终与速度的方向相同，但加速度大小先保持不变，再逐渐减小至零，则在此过程中()A．速度先逐渐增大，然后逐渐减小，当加速度减小到零时，速度达到最小值B．速度先均匀增大，然后增大得越来越慢，当加速度减小到零时，速度达到最大值C．位移逐渐增大，当加速度减小到零时，位移将不再增大D．位移先逐渐增大，后逐渐减小，当加速度减小到零时，位移达到最小值B[加速度方向与速度方向同向，速度应增大，当加速度不变时，速度均匀增大；当加速度减小时，速度仍增大，但增大得越来越慢；当加速度为零时，速度达到最大值，保持不变，选项A错误，B正确；因质点速度方向不变化，始终向同一方向运动，最终做匀速运动，所以位移一直在增大，选项CD错误。]质点、参考系、位移1．(对质点的理解)(2021·江苏省如皋高三测试)质点是一个理想化模型，下列说法中正确的是()A．研究运动员110m栏比赛的跨栏技术时，其身体可看成质点B．研究月球绕地球的运动轨迹时，月球可看成质点C．研究火车通过隧道所需的时间时，火车可看成质点D．研究“嫦娥一号”在轨道上的飞行姿态时，“嫦娥一号”可看成质点B[研究运动员110m栏比赛的跨栏技术时，需要分析不同的动作，所以此时其身体不能看成质点，所以A错误；研究月球绕地球的运动轨迹时，月球的大小相对于月球与地球之间距离的长度是很小的，可以忽略，此时月球可看成质点，所以B正确；研究火车通过隧道所需的时间时，火车的长度相对于隧道来说是不能忽略的，所以此时的火车不能看成质点，所以C错误；研究“嫦娥一号”在轨道上的飞行姿态时，看的就是它的形状如何，所以不能看成质点，所以D错误。]2．(参考系的选取)2021年7月1日，在中国共产党成立100周年庆祝活动空中梯队飞行庆祝表演中，下列关于飞行表演的说法不正确的是()A．地面上的人看到飞机飞过，是以地面为参考系B．飞行员看到观礼台向后掠过，是以飞机为参考系C．若飞机保持队形飞行时，以编队中某一飞机为参考系，其他飞机是静止的D．若飞机保持队形飞行时，以编队中某一飞机为参考系，其他飞机是运动的D[地面上的人看到飞机飞过，是以地面为参考系，飞行员看到观礼台向后掠过，是以飞机为参考系观察的结果，AB选项正确；因飞机保持队形飞行，速度相同，故无论以编队中的哪一架飞机为参考系，其他飞机都是静止的，故C正确，D错误。]3．(位移与路程)如图所示，在水平面上一只蚂蚁沿半径为r的半圆弧从a点爬到b点，下列关于它通过的位移和路程的说法，正确的是()A．路程为πr，方向沿圆弧由a指向bB．位移为2r，方向沿ab直线由a指向bC．位移为πr，方向沿圆弧由a指向bD．路程为2r，方向沿ab直线由a指向bB[蚂蚁经过的路程是它运动轨迹的长度，蚂蚁沿半圆由a爬到b，其路程的大小为πr。路程只有大小没有方向，是标量，所以说“路程的方向沿圆弧由a指向b”或“沿ab直线由a指向b”都是错误的。蚂蚁的位移是其位置的变化，该位移用出发点a指向终止点b的有向线段表示，所以位移的大小为2r，位移是矢量，其方向由出发点指向终止点，即由a指向b，所以只有选项B正确。]1．理解质点的“三情况”(1)多数情况下，平动的物体可看作质点。(2)当问题所涉及的物体位移远大于物体本身的大小时，可以看作质点。(3)转动的物体一般不可看作质点，但转动可以忽略时，可把物体看作质点。2．选取参考系的“两注意”(1)对同一物体的运动，所选的参考系不同，对其运动的描述可能会不同。(2)在同一个问题中，若要研究多个物体的运动或同一个物体在不同阶段的运动，一般选取同一个参考系。3．位移和路程的“三点”区别(1)物理意义不同：位移描述物体位置变化，路程描述物体运动轨迹的长度。(2)决定因素不同：位移由始、末位置决定，路程由实际的运动路径决定。(3)运算法则不同：位移应用矢量的平行四边形定则运算，路程应用标量的代数运算。平均速度、瞬时速度和平均速率1．平均速度与瞬时速度的区别与联系(1)区别：平均速度是过程量，表示物体在某段位移或某段时间内的平均运动快慢程度；瞬时速度是状态量，表示物体在某一位置或某一时刻的运动快慢程度。(2)联系：瞬时速度是运动时间Δt→0时的平均速度。2．平均速度与平均速率的区别和联系(1)平均速度等于位移与时间的比值，平均速率等于路程与时间的比值。(2)通常情况下，平均速度的大小不等于平均速率，在单方向的直线运动过程中二者大小相等。平均速度和瞬时速度的理解1．(2021·盐城调研)如图所示，物体沿曲线轨迹的箭头方向运动，沿AB、ABC、ABCD、ABCDE四段轨迹运动所用的时间分别是1s、2s、3s、4s。图中方格的边长均为1m。下列说法不正确的是()A．物体在AB段的平均速度大小为1m/sB．物体在ABC段的平均速度大小为eq\f(\r(5),2)m/sC．AB段的平均速度比ABC段的平均速度更能反映物体处于A点时的瞬时速度D．物体在B点时的速度大小等于物体在ABC段的平均速度大小D[物体在AB段的位移为1m，因此平均速度为v＝eq\f(x,t)＝eq\f(1,1)m/s＝1m/s，故A正确；物体在ABC段的位移大小为：x＝eq\r(12＋22)m＝eq\r(5)m，所以有v＝eq\f(x,t)＝eq\f(\r(5),2)m/s＝eq\f(\r(5),2)m/s，故B正确；当物体位移无限小，时间无限短时，物体的平均速度可以代替某点的瞬时速度，位移越小，平均速度越能代表某点的瞬时速度，故C正确；物体做曲线运动，物体在B点的速度不等于ABC段的平均速度，故D错误。]运用极限思想分析瞬时速度2．如图所示，气垫导轨上滑块经过光电门时，其上的遮光条将光遮住，电子计时器可自动记录遮光时间Δt。测得遮光条的宽度为Δx，用eq\f(Δx,Δt)近似代表滑块通过光电门时的瞬时速度。为使eq\f(Δx,Δt)更接近瞬时速度，正确的措施是()A．换用宽度更窄的遮光条B．提高测量遮光条宽度的精确度C．使滑块的释放点更靠近光电门D．增大气垫导轨与水平面的夹角A[eq\f(Δx,Δt)表示的是Δt时间内的平均速度，遮光条的宽度Δx越窄，则记录遮光时间Δt越小，eq\f(Δx,Δt)越接近滑块通过光电门时的瞬时速度，选项A正确。]平均速度和平均速率的理解与计算3．在平直的公路上，汽车启动后在第10s末，速度表的指针指在如图所示的位置，前10s内汽车运动的距离为150m。下列说法中正确的是()A．第10s末汽车的瞬时速度是70km/hB．第10s末汽车的瞬时速度是70m/sC．前10s内汽车的平均速度是15km/sD．前10s内的瞬时速度是150m/sA[汽车表盘中的速度为瞬时速度，所以图中数据为70km/h，故A正确，B错误；由于是沿平直的公路向前行驶，路程等于位移的大小，平均速度大小等于平均速率，根据平均速率定义，可知平均速率eq\o(v,\s\up6(－))＝eq\f(s,t)＝15m/s，速度大小为15m/s，故CD错误。]理解平均速度、瞬时速度的“四点”注意(1)判断是否为瞬时速度，关键是看该速度是否对应“位置”或“时刻”。(2)求平均速度要找准“位移”和发生这段位移所需的“时间”。(3)用v＝eq\f(Δx,Δt)求瞬时速度时，计算出的是粗略值，Δt(Δx)越小，计算出的结果越接近真实值。(4)对于匀变速直线运动，一段时间内的平均速度可以精确地表示物体在这一段时间中间时刻的瞬时速度。加速度的理解与计算1．速度、速度变化量和加速度的对比比较项目速度速度变化量加速度物理意义描述物体运动快慢和方向的物理量，是状态量描述物体速度改变的物理量，是过程量描述物体速度变化快慢和方向的物理量，是状态量定义式v＝eq\f(Δx,Δt)Δv＝v－v0a＝eq\f(Δv,Δt)＝eq\f(v－v0,t)决定因素由比值eq\f(Δx,Δt)决定由a与Δt决定(Δv＝aΔt)由F、m决定(a不是由v、t、v0决定的)方向即物体运动的方向与a的方向相同与Δv及F的方向相同，由F的方向决定，与v0、v的方向无关2．判断直线运动中“加速”或“减速”的方法eq\o([典例])(加速度与速度、速度的变化量的关系)赵凯华教授说过“加速度是人类认识史上最难建立的概念之一，也是每个初学物理的人最不易真正掌握的概念……”。所以对加速度的认识应该引起大家的重视。下列说法中正确的是()A．加速度是描述速度变化快慢的物理量，速度大，加速度一定大B．速度变化得越快，加速度就变化得越快C．物体加速度变大，则速度也一定是在变大D．加速度的方向与速度变化量的方向相同D[加速度是反映物体速度变化快慢的物理量，加速度的大小取决于速度的变化率，与速度的大小无关，故A错误；速度变化得越快，加速度就越大，但加速度的变化不一定越快，故B错误；物体加速度变大，但如果加速度和速度方向相反，则速度在减小，故C错误；根据加速度的定义可知，加速度的方向与速度变化量的方向相同，故D正确。]对速度、速度的变化量和加速度关系理解的三点误区(1)速度的大小和加速度的大小无决定关系。速度大，加速度不一定大，加速度大，速度也不一定大；加速度为零，速度可以不为零，速度为零，加速度也可以不为零。速度增大或减小是由速度与加速度的方向关系决定的。(2)速度的方向和加速度的方向无决定关系。加速度与速度的方向可能相同，也可能相反，两者的方向还可能不在一条直线上。(3)有速度变化量就必然有加速度，速度变化量的大小由加速度和速度变化的时间决定。eq\o([跟进训练])加速度的理解1．(2021·江苏省高淳模拟)雨滴从高空由静止下落，由于空气阻力作用，其加速度逐渐减小，直到为零，在此过程中雨滴的()A．速度不断减小，加速度为零时，速度最小B．速度不断增大，加速度为零时，速度最大C．加速度和速度方向相反D．速度对时间的变化率越来越大B[根据雨滴的运动情况知：雨滴先做加速运动，加速度减小，合力减小，说明空气阻力增大，当加速度为零时，做匀速运动，速度达到最大，故B正确，A错误；由于雨滴做加速运动，加速度与速度方向相同，故C错误；由上可知，加速度减小，而速度对时间的变化率即为加速度，则知速度对时间的变化率减小，故D错误。]加速度的计算2．一物体做匀变速直线运动，某时刻速度大小为4m/s，1s后速度的大小变为10m/s，在这1s内该物体的可能运动情况为()A．加速度的大小为6m/s2，方向与初速度的方向相同B．加速度的大小为6m/s2，方向与初速度的方向相反C．加速度的大小为14m/s2，方向与初速度的方向相同D．加速度的大小为16m/s2，方向与初速度的方向相反A[以初速度的方向为正方向，若初、末速度方向相同，加速度a＝eq\f(v－v0,t)＝eq\f(10－4,1)m/s2＝6m/s2，方向与初速度的方向相同，A正确，B错误；若初、末速度方向相反，加速度a＝eq\f(v－v0,t)＝eq\f(－10－4,1)m/s2＝－14m/s2，负号表示方向与初速度的方向相反，C错误，D错误。]加速度、速度与速度变化量的关系3．如图甲所示，火箭发射时，速度能在10s内由0增加到100m/s；如图乙所示，汽车以108km/h的速度行驶，急刹车时能在2.5s内停下来，下列说法中正确的是()甲乙A．10s内火箭的速度改变量为10m/sB．2.5s内汽车的速度改变量为－30m/sC．火箭的速度变化比汽车的快D．火箭的加速度比汽车的加速度大B[因火箭发射时，速度在10s内由0增加到100m/s，故10s内火箭的速度改变量为100m/s，选项A错误；汽车以108km/h＝30m/s的速度行驶，急刹车时能在2.5s内停下来，则2.5s内汽车的速度改变量为0－30m/s＝－30m/s，选项B正确；火箭的加速度为：a1＝eq\f(Δv1,Δt1)＝eq\f(100,10)m/s2＝10m/s2，汽车的加速度为：a2＝eq\f(Δv2,Δt2)＝eq\f(－30,2.5)m/s2＝－12m/s2，故火箭的速度变化比汽车的慢，火箭的加速度比汽车的加速度小，选项C错误，D错误。]

匀变速直线运动的规律一、匀变速直线运动的基本规律1．概念：沿一条直线且加速度不变的运动。2．分类(1)匀加速直线运动：a与v方向相同。(2)匀减速直线运动：a与v方向相反。3．基本规律eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(1速度—时间关系：v＝v0＋at,2位移—时间关系：x＝v0t＋\f(1,2)at2))eq\o(→,\s\up10(初速度为零),\s\do10(即v0＝0))eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(v＝at,x＝\f(1,2)at2))二、匀变速直线运动的重要关系式1．两个导出式eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(1速度—位移关系：v2－v\o\al(2,0)＝2ax,2位移—平均速度关系：x＝\o(v,\s\up6(－))t＝\f(v0＋v,2)t))eq\o(→,\s\up10(初速为零),\s\do10(v0＝0))eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(v2＝2ax,x＝\f(v,2)t))2．三个重要推论(1)位移差公式：Δx＝x2－x1＝x3－x2＝…＝xn－xn－1＝aT2，即任意两个连续相等的时间间隔T内的位移之差为一恒量。可以推广到xm－xn＝(m－n)aT2。(2)中间时刻速度veq\s\do10(eq\f(t,2))＝eq\x\to(v)＝eq\f(v0＋v,2)，即物体在一段时间内的平均速度等于这段时间中间时刻的瞬时速度，还等于初、末时刻速度矢量和的一半。(3)位移中点的速度veq\s\do10(eq\f(x,2))＝eq\r(\f(v\o\al(2,0)＋v2,2))。3．初速度为零的匀变速直线运动的四个常用推论(1)1T末、2T末、3T末…瞬时速度的比为v1∶v2∶v3∶…∶vn＝1∶2∶3∶…∶n。(2)1T内、2T内、3T内…位移的比为xⅠ∶xⅡ∶xⅢ∶…∶xN＝12∶22∶32∶…∶n2。(3)第一个T内、第二个T内、第三个T内…位移的比为x1∶x2∶x3∶…∶xn＝1∶3∶5∶…∶(2n－1)。(4)从静止开始通过连续相等的位移所用时间的比为t1∶t2∶t3∶…∶tn＝1∶(eq\r(2)－1)∶(eq\r(3)－eq\r(2))∶…∶(eq\r(n)－eq\r(n－1))。三、自由落体运动和竖直上抛运动自由落体运动运动条件(1)物体只受重力作用(2)由静止开始下落运动性质初速度为零的匀加速直线运动运动规律(1)速度公式：v＝gt(2)位移公式：h＝eq\f(1,2)gt2(3)速度—位移公式：v2＝2gh运动性质匀减速直线运动竖直上抛运动运动规律(1)速度公式：v＝v0－gt(2)位移公式：h＝v0t－eq\f(1,2)gt2(3)速度—位移关系式：v2－veq\o\al(2,0)＝－2gh(4)上升的最大高度：H＝eq\f(v\o\al(2,0),2g)(5)上升到最高点所用时间：t＝eq\f(v0,g)一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)匀变速直线运动是加速度均匀变化的直线运动。 (×)(2)匀加速直线运动的位移是均匀增加的。 (×)(3)在匀变速直线运动中，中间时刻的速度一定小于该段时间内位移中点的速度。 (√)(4)物体做自由落体运动的加速度一定等于9.8m/s2。 (×)(5)做竖直上抛运动的物体到达最高点时处于静止状态。 (×)(6)竖直上抛运动的上升阶段和下落阶段速度变化的方向都是向下的。 (√)二、教材习题衍生1．(匀变速直线运动的规律)以18m/s的速度行驶的汽车，制动后做匀减速运动，在3s内前进36m，则汽车在5s内的位移为()A．50m B．45mC．40.5m D．40mC[根据x＝v0t＋eq\f(1,2)at2得36＝18×3＋eq\f(1,2)a×32，即a＝－4m/s2。汽车停止所需时间为t′＝eq\f(－v0,a)＝eq\f(－18,－4)s＝4.5s<5s，所以4.5s末汽车停止运动，5s内的位移x＝eq\f(0－v\o\al(2,0),2a)＝eq\f(0－182,2×－4)m＝40.5m，故选项C正确。]2．(自由落体运动)一个质点正在做自由落体运动，用固定在竖直面上的照相机对该质点进行闪光照相，由闪光照片得到的数据，发现质点在第一次、第二次闪光的时间间隔内移动了s1＝2m；在第三次、第四次闪光的时间间隔内移动了s3＝8m。由此可求得()A．第一次闪光时质点的速度B．质点运动的加速度C．在第二、第三两次闪光时间间隔内质点的位移D．质点运动的初速度C[由于闪光时间未知，所以根据s2－s1＝s3－s2＝aT2，只能求出第二、三次闪光的时间间隔内质点的位移s2＝5m，选项C正确。]匀变速直线运动的基本规律1．重要公式的选择适宜选用公式题目中所涉及的物理量(包括已知量、待求量和为解题设定的中间量)没有涉及的物理量v＝v0＋atv0、v、a、txx＝v0t＋eq\f(1,2)at2v0、a、t、xvv2－veq\o\al(2,0)＝2axv0、v、a、xtx＝eq\f(v＋v0,2)tv0、v、t、xa2．运动学公式中正、负号的规定一般情况下，规定初速度方向为正方向，与正方向相同的物理量取正值，相反的取负值。3．两类特殊的匀减速直线运动(1)刹车类问题：指匀减速到速度为零后立即停止运动，加速度a突然消失，求解时要注意确定其实际运动时间。如果问题涉及最后阶段(到停止运动)的运动，可把该阶段看成反向的初速度为零的匀加速直线运动。(2)双向可逆类：如沿光滑斜面上滑的小球，到最高点后仍能以原加速度匀加速下滑，全过程加速度大小、方向均不变，故求解时可对全过程列式，但必须注意x、v、a等矢量的正负号及物理意义。eq\o([典例])(匀变速直线运动的基本公式的应用)(2021·湖北天门模拟)出租车载客后，从高速公路入口处驶入高速公路，并从10时10分55秒开始做初速度为零的匀加速直线运动，经过10s时，速度计显示速度为54km/h。求：(1)这时出租车离出发点的距离；(2)出租车继续做匀加速直线运动，当速度计显示速度为108km/h时，出租车开始做匀速直线运动。10时12分35秒时计价器里程表示数应为多少千米(车启动时，计价器里程表示数为零)?审题指导：解此题关键是画运动过程示意图，呈现运动情境[解析](1)由题意可知经过10s时，速度计上显示的速度为v1＝15m/s由速度公式v＝v0＋at得a＝eq\f(v－v0,t)＝eq\f(v1,t1)＝1.5m/s2由位移公式得x1＝eq\f(1,2)ateq\o\al(2,1)＝eq\f(1,2)×1.5×102m＝75m这时出租车离出发点的距离为75m。(2)当速度计上显示的速度为v2＝108km/h＝30m/s时，由veq\o\al(2,2)＝2ax2得x2＝eq\f(v\o\al(2,2),2a)＝300m，这时出租车从静止载客开始，已经经历的时间为t2，可根据速度公式得t2＝eq\f(v2,a)＝eq\f(30,1.5)s＝20s，这时出租车时间表应显示10时11分15秒。出租车继续匀速运动，匀速运动时间t3为80s，通过位移x3＝v2t3＝30×80m＝2400m，所以10时12分35秒时，计价器里程表应显示x＝x2＋x3＝(300＋2400)m＝2700m＝2.7km。[答案](1)75m(2)2.7km“一画、二选、三注”巧解匀变速直线运动问题eq\o([跟进训练])基本公式的应用1．空军特级飞行员李峰驾驶歼十战机执行战术机动任务，在距机场54km、离地1750m高度时飞机发动机停车失去动力。在地面指挥员的果断引领下，安全迫降机场，成为成功处置国产单发新型战机空中发动机停车故障、安全返航第一人。若飞机着陆后以6m/s2的加速度做匀减速直线运动，若其着陆速度为60m/s，则它着陆后12s内滑行的距离是()A．288m B．300mC．150m D．144mB[先求出飞机着陆后到停止所用时间t，由v＝v0＋at，得t＝eq\f(v－v0,a)＝eq\f(0－60,－6)s＝10s，由此可知飞机在12s内不是始终做匀减速运动，它在最后2s内是静止的，故它着陆后12s内滑行的距离为x＝v0t＋eq\f(at2,2)＝60×10m＋(－6)×eq\f(102,2)m＝300m。故B选项正确。]汽车“刹车问题”2．(2021·江苏连云港模拟)“礼让行人”是城市文明交通的体现。小王驾驶汽车以36km/h的速度匀速行驶，发现前方的斑马线上有行人通过，立即刹车使车做匀减速直线运动，直至停止，刹车过程加速度大小为10m/s2。若小王的反应时间为0.5s，则汽车距斑马线的安全距离至少为()A．5m B．10mC．15m D．36mB[汽车的初速度为v0＝36km/h＝10m/s，反应时间t1＝0.5s内做匀速直线运动，有：x1＝v0t1＝5m刹车过程的加速度大小为a＝10m/s2，由匀减速直线运动的规律02－veq\o\al(2,0)＝－2ax2，可得刹车距离为x2＝eq\f(v\o\al(2,0),2a)＝5m，故安全距离为：d≥(x1＋x2)＝10m，故B正确，ACD错误。]多过程问题3．有一部电梯，启动时匀加速上升的加速度大小为2m/s2，制动时匀减速上升的加速度大小为1m/s2，中间阶段电梯可匀速运行，电梯运行上升的高度为48m。问：(1)若电梯运行时最大限速为9m/s，电梯升到最高处的最短时间是多少；(2)如果电梯先加速上升，然后匀速上升，最后减速上升，全程共用时间为15s，上升的最大速度是多少？[解析](1)要想所用时间最短，则电梯只有加速和减速过程，而没有匀速过程，设最大速度为vm，由位移公式得h＝eq\f(v\o\al(2,m),2a1)＋eq\f(v\o\al(2,m),2a2)，代入数据解得vm＝8m/s因为vm＝8m/s<9m/s，符合题意加速的时间为t1＝eq\f(vm,a1)＝eq\f(8,2)s＝4s减速的时间为t2＝eq\f(vm,a2)＝eq\f(8,1)s＝8s运动的最短时间为t＝t1＋t2＝12s。(2)设加速的时间为t′1，减速的时间为t′2，匀速上升时的速度为v，且v<8m/s，则加速的时间为t′1＝eq\f(v,a1)，减速的时间为t′2＝eq\f(v,a2)匀速运动的时间为t＝15s－t′1－t′2上升的高度为h＝eq\f(v,2)(t′1＋t′2)＋v(15s－t′1－t′2)，联立解得v＝4m/s，另一解不合理，舍去。[答案](1)12s(2)4m/s双向可逆类问题4．在足够长的光滑斜面上，有一物体以6m/s的初速度沿斜面向上运动，物体的加速度始终为2m/s2，方向沿斜面向下，当物体的位移大小为5m时，下列不正确的是()A．物体的运动时间可能为1sB．物体的运动时间可能为5sC．物体的运动时间可能为(3＋eq\r(14))sD．此时的速度大小一定为4m/sD[以平行于斜面向上为正方向，物体的初速度v0＝6m/s，物体的加速度a＝－2m/s2，当物体在初位置上方时位移x＝5m，当物体在初位置下方时位移x′＝－5m由匀变速直线运动的位移—时间关系公式：x＝v0t＋eq\f(1,2)at2可得：5＝6t－eq\f(1,2)×2t2，－5＝6t′－eq\f(1,2)×2t′2，解得：t1＝1s，t2＝5s，t1′＝(3＋eq\r(14))s[t2′＝(3－eq\r(14))s不符合实际，舍去]故ABC正确；当t＝1s时物体的速度：v＝v0＋at＝6m/s－2×1m/s＝4m/s当t＝5s时物体的速度：v＝v0＋at＝6m/s－2×5m/s＝－4m/s当t＝(3＋eq\r(14))s时物体的速度：v＝v0＋at＝6m/s－2×(3＋eq\r(14))m/s＝－2eq\r(14)m/s物体的速度可能为4m/s，但不一定为4m/s，故D错误。故选D。]解决匀变速直线运动的常用方法解决匀变速直线运动问题常用的六种方法eq\o([典例])物体以一定的初速度从斜面底端A点冲上固定的光滑斜面，斜面总长度为l，到达斜面最高点C时速度恰好为零，如图所示。已知物体运动到距斜面底端eq\f(3,4)l处的B点时，所用时间为t，求物体从B滑到C所用的时间。思路点拨：解此题把握以下关键信息(1)“到达斜面最高点C时速度恰好为零”表明该物体做减速到零的匀减速运动，可考虑“逆向思维”。(2)“距斜面底端eq\f(3,4)l处的B点”表明BC的距离为eq\f(l,4)，可考虑“比例法”应用。[解析]方法一：基本公式法因为物体沿斜面向上做匀减速运动，设初速度为v0，物体从B滑到C所用的时间为tBC，由匀变速直线运动的规律可得veq\o\al(2,0)＝2axAC ①veq\o\al(2,B)＝veq\o\al(2,0)－2axAB ②xAB＝eq\f(3,4)xAC ③由①②③解得vB＝eq\f(v0,2) ④又vB＝v0－at ⑤vB＝atBC ⑥由④⑤⑥解得tBC＝t。方法二：平均速度法利用推论：匀变速直线运动中中间时刻的瞬时速度等于这段位移内的平均速度，然后进一步分析问题。eq\x\to(v)AC＝eq\f(v0＋0,2)＝eq\f(v0,2)又veq\o\al(2,0)＝2axAC，veq\o\al(2,B)＝2axBC，xBC＝eq\f(xAC,4)由以上三式解得vB＝eq\f(v0,2)可以看出vB正好等于AC段的平均速度，因此B点是这段位移的中间时刻，因此有tBC＝t。方法三：逆向思维法物体向上匀减速冲上斜面，其逆过程为由静止开始向下匀加速滑下斜面。设物体从B到C所用的时间为tBC由运动学公式得xBC＝eq\f(1,2)ateq\o\al(2,BC)，xAC＝eq\f(1,2)a(t＋tBC)2，又xBC＝eq\f(xAC,4)，由以上三式解得tBC＝t。方法四：比例法对于初速度为零的匀加速直线运动，在连续相等的时间内通过的位移之比为x1∶x2∶x3∶…∶xn＝1∶3∶5∶…∶(2n－1)因为xBC∶xAB＝eq\f(xAC,4)∶eq\f(3xAC,4)＝1∶3，而通过xAB的时间为t，所以通过xBC的时间tBC＝t。方法五：图像法根据匀变速直线运动的规律，画出v­t图像如图所示利用相似三角形的规律，面积之比等于对应边的平方比得eq\f(S△AOC,S△BDC)＝eq\f(CO2,CD2)，且eq\f(S△AOC,S△BDC)＝eq\f(4,1)，OD＝t，OC＝t＋tBC所以eq\f(4,1)＝eq\f(t＋tBC2,t2)，解得tBC＝t。[答案]t解决匀变速直线运动问题的两个技巧(1)把减速到0的匀减速直线运动转化为反向的初速度为0的匀加速直线运动，列方程将非常简便，如果可以进一步利用比例关系解题则更简单。(2)若已知匀变速直线运动的位移和时间，通常优先考虑应用平均速度公式，求出中间时刻的瞬时速度。eq\o([跟进训练])平均速度法1．一物体做匀加速直线运动，通过一段位移Δx所用时间为2t，紧接着通过下一段位移Δx所用时间为t。则物体运动的加速度大小为()A．eq\f(Δx,t2)B．eq\f(Δx,2t2)C．eq\f(Δx,3t2)D．eq\f(2Δx,3t2)C[物体做匀加速直线运动，在第一段位移Δx内的平均速度是v1＝eq\f(Δx,2t)；在第二段位移Δx内的平均速度是v2＝eq\f(Δx,t)；因为某段时间内的平均速度等于中间时刻的瞬时速度，则两个中间时刻的时间差为Δt＝t＋eq\f(t,2)＝eq\f(3,2)t，则物体加速度的大小a＝eq\f(Δv,Δt)＝eq\f(v2－v1,\f(3,2)t)，解得：a＝eq\f(Δx,3t2)，故选C。]推论法2．如图所示，物体从O点由静止开始做匀加速直线运动，途经A、B、C三点，其中|AB|＝2m，|BC|＝3m。若物体通过AB和BC这两段位移的时间相等，则O、A两点之间的距离等于()A．eq\f(9,8)mB．eq\f(8,9)mC．eq\f(3,4)mD．eq\f(4,3)mA[设物体通过AB、BC所用时间均为T，则B点的速度为：vB＝eq\f(xAC,2T)＝eq\f(5,2T)，根据Δx＝aT2得：a＝eq\f(Δx,T2)＝eq\f(1,T2)，则有：vA＝vB－aT＝eq\f(5,2T)－eq\f(1,T2)·T＝eq\f(3,2T)，根据速度位移公式得，O、A两点之间的距离为：xOA＝eq\f(v\o\al(2,A),2a)＝eq\f(\f(9,4T2),\f(2,T2))m＝eq\f(9,8)m。故A正确，BCD错误。]自由落体运动和竖直上抛运动1．两种运动的特性(1)自由落体运动为初速度为零、加速度为g的匀加速直线运动。(2)竖直上抛运动的重要特性①对称性如图所示，物体以初速度v0竖直上抛，A、B为途中的任意两点，C为最高点，则：②多解性：当物体经过抛出点上方某个位置时，可能处于上升阶段，也可能处于下降阶段，造成多解，在解决问题时要注意这个特性。2．竖直上抛运动的研究方法分段法上升阶段：a＝g的匀减速直线运动下降阶段：自由落体运动全程法初速度v0向上，加速度g向下的匀变速直线运动，v＝v0－gt，h＝v0t－eq\f(1,2)gt2(向上方向为正方向)若v>0，物体上升，若v<0，物体下落若h>0，物体在抛出点上方，若h<0，物体在抛出点下方eq\o([典例])(自由落体运动与竖直上抛运动)在离地面高h处质点A做自由落体运动，与此同时，在A的正下方的地面上有质点B以初速度v0竖直上抛。若B在上升阶段能与A相遇，求出v0的取值范围；若B在下降阶段与A相遇，求出v0的取值范围。审题指导：解此题关键是画出两物体运动示意图，找到相遇点，利用好位移关系和时间关系。[解析]如图所示，以B的初位置为原点O，竖直向上为y轴正方向A做自由落体运动，它的位置坐标和时间的关系为y1＝h－eq\f(1,2)gt2B做竖直上抛运动，它的位置坐标和时间关系为y2＝v0t－eq\f(1,2)gt2两个质点相遇的条件是y1＝y2即h－eq\f(1,2)gt2＝v0t－eq\f(1,2)gt2，可见A、B相遇的时间t0＝eq\f(h,v0)。而B上升到最高点的时间t1＝eq\f(v0,g)若要使B在上升时与A相遇，必须满足t1≥t0，即eq\f(v0,g)≥eq\f(h,v0)所以B在上升时与A相遇的v0的取值范围为v0≥eq\r(gh)若B在下降过程中与A相遇，必须满足eq\f(v0,g)<eq\f(h,v0)，即v0<eq\r(gh)，但又要在B落地以前相遇，B落地的时间t2＝eq\f(2v0,g)，必须满足t2≥t0，即eq\f(2v0,g)≥eq\f(h,v0)得v0≥eq\r(\f(gh,2))因此，在B下降过程中与A相遇的v0的取值范围为eq\r(gh)>v0≥eq\r(\f(gh,2))。[答案]见解析解决自由落体运动与竖直上抛运动的两点注意(1)要注意速度、加速度、位移等的方向，一般以初速度方向为正方向。(2)竖直上抛运动为双向可逆运动，要注意其多解性，其在空中运动情况分析常有以下两种判断方法。①根据位移h判断：h>0在抛出点上方，h＝0恰好在抛出点，h<0在抛出点下方。②根据时间t判断：t<eq\f(v0,g)表示正处在上升过程，t＝eq\f(v0,g)恰好在最高点，t>eq\f(v0,g)表明在下降过程中，t>eq\f(2v0,g)表明在抛出点下方。eq\o([跟进训练])自由落体运动规律的应用1．把一条铁链自由下垂地悬挂在天花板上，放开后让铁链做自由落体运动，已知铁链通过悬点下方3.2m处的一点历时0.5s，g取10m/s2，则铁链的长度为()A．1.75m B．2.75mC．3.75m D．4.75mB[若铁链刚好长为3.2m，则整条铁链通过悬点下方3.2m处历时t0＝eq\r(\f(2h,g))＝eq\r(\f(2×3.2,10))s＝0.8s，而题设整条铁链通过该点只用了0.5s，说明铁链长度小于3.2m，则铁链下端到达悬点下方3.2m处用的时间为Δt＝t0－t＝(0.8－0.5)s＝0.3s。因h－l＝eq\f(1,2)g·Δt2，则l＝h－eq\f(1,2)g·Δt2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3.2－\f(1,2)×10×0.32))m＝2.75m。]竖直上抛运动规律的应用2．气球以10m/s的速度匀速上升，当它上升到离地175m的高处时，一重物从气球上脱落，则重物需要经过多长时间才能落到地面？到达地面时的速度是多大？(g取10m/s2)[解析]方法一：分段法设重物离开气球后，经过t1时间上升到最高点，则t1＝eq\f(v0,g)＝eq\f(10,10)s＝1s上升的最大高度h1＝eq\f(v\o\al(2,0),2g)＝eq\f(102,2×10)m＝5m故重物离地面的最大高度为H＝h1＋h＝5m＋175m＝180m重物从最高处自由下落，落地时间和落地速度分别为t2＝eq\r(\f(2H,g))＝eq\r(\f(2×180,10))s＝6sv＝gt2＝10×6m/s＝60m/s所以重物从气球上脱落至落地共历时t＝t1＋t2＝7s。方法二：全程法从物体自气球上脱落计时，经时间t落地，规定初速度方向为正方向，画出运动草图如图所示，则物体在时间t内的位移h＝－175m由位移公式h＝v0t－eq\f(1,2)gt2有－175＝10t－eq\f(1,2)×10t2解得t＝7s和t＝－5s(舍去)所以重物落地速度为v1＝v0－gt＝10m/s－10×7m/s＝－60m/s其中负号表示方向向下，与初速度方向相反。方法三：对称性根据速度对称，重物返回脱离点时，具有向下的速度v0＝10m/s，设落地速度为v，则v2－veq\o\al(2,0)＝2gh解得v＝60m/s，方向竖直向下经过h历时Δt＝eq\f(v－v0,g)＝5s从最高点到落地历时t1＝eq\f(v,g)＝6s由时间对称可知，重物脱落后至落地历时t＝2t1－Δt＝7s。[答案]7s60m/s

运动图像和追及相遇问题一、直线运动的图像1．x­t图像(1)物理意义反映了做直线运动的物体的位移随时间变化的规律。(2)两种特殊的x­t图像①若x­t图像是一条倾斜的直线，说明物体做匀速直线运动。②若x­t图像是一条平行于时间轴的直线，说明物体处于静止状态。(3)x­t图像中的“交点”“斜率”“截距”的意义①交点：两图线有交点，说明两物体相遇。②斜率：表示速度的大小及方向③截距：纵轴截距表示t＝0时刻的初始位置，横轴截距表示位移为零的时刻。2．v­t图像(1)物理意义反映了做直线运动的物体的速度随时间变化的规律。(2)两种特殊的v­t图像①若v­t图像是与横轴平行的直线，说明物体做匀速直线运动。②若v­t图像是一条倾斜的直线，说明物体做匀变速直线运动。(3)v­t图像中的“交点”“斜率”“截距”的意义①图像的斜率：v­t图线(或切线)的斜率表示物体的加速度。斜率的绝对值表示加速度的大小，斜率为正表示加速度沿规定的正方向，但物体不一定做加速运动；斜率为负，则加速度沿负方向，物体不一定做减速运动。②v­t图线与t轴所围“面积”表示这段时间内物体的位移。t轴上方的“面积”表示位移沿正方向，t轴下方的“面积”表示位移沿负方向，如果上方与下方的“面积”大小相等，说明物体恰好回到出发点。二、追及和相遇问题1．追及问题的两类情况(1)若后者能追上前者，追上时，两者处于同一位置，且后者速度一定不小于前者速度。(2)若后者追不上前者，则当后者速度与前者速度相等时，两者相距最近。2．相遇问题的两类情况(1)同向运动的两物体追及即相遇。(2)相向运动的物体，当各自发生的位移大小之和等于开始时两物体间的距离时即相遇。一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)无论是x­t图像还是v­t图像都只能描述直线运动。 (√)(2)x­t图像交点表示相遇，v­t图像的交点表示速度相同。 (√)(3)x­t图像与时间轴围成的面积表示物体运动的路程。 (×)(4)同一直线上运动的两物体，后者若追上前者时，后者速度必须大于前者。 (×)(5)同一直线上运动的两物体，速度相等时，两物体相距最远或最近。 (√)(6)两物体同向运动恰好不相碰，则此时两物体速度相等。 (√)二、教材习题衍生1．(x­t图像)如图所示为甲、乙两物体在同一直线上运动的位置坐标x随时间t变化的图像，已知甲对应的是图像中的直线，乙对应的是图像中的曲线，则下列说法正确的是()A．甲做匀减速直线运动B．乙做匀速直线运动C．0～t1时间内两物体平均速度大小相等D．两物体的运动方向相反D[结合题意分析题图易知，题图中图像的斜率等于速度，知甲沿负方向做匀速直线运动，故A项错误；乙图线切线的斜率不断增大，说明乙的速度不断增大，做变速直线运动，故B项错误；根据坐标的变化量等于位移知，0～t1时间内两物体位移大小不相等，方向相反，所以平均速度不相等，故C项错误；根据图像的斜率等于速度可知，甲的速度为负，乙的速度为正，即两物体的运动方向相反，故D项正确。]2．(v­t图像)一质点做直线运动的v­t图像如图所示，下列选项正确的是()A．在2～4s内，质点所受合外力为零B．质点在0～2s内的加速度比4～6s内的加速度大C．在第4s末，质点离出发点最远D．在0～6s内，质点的平均速度为3m/sA[由题图可知，在2～4s内，质点做匀速直线运动，所以所受合外力为零，A正确；由题图可知，质点在0～2s内加速度大小为5m/s2,4～6s内加速度大小为10m/s2，B错误；由题图可知，在第5s末，质点离出发点最远，C错误；在0～6s内，质点的平均速度eq\x\to(v)＝eq\f(x,t)＝5m/s，D错误。]3．(追及与相遇问题)一步行者以6.0m/s的速度跑去追赶被红灯阻停的公共汽车，在跑到距汽车25m处时，绿灯亮了，汽车以1.0m/s2的加速度匀加速启动前进，则()A．人能追上公共汽车，追赶过程中人跑了36mB．人不能追上公共汽车，人、车最近距离为7mC．人能追上公共汽车，追上车前人共跑了43mD．人不能追上公共汽车，且车开动后，人车距离越来越远B[在跑到距汽车25m处时，绿灯亮了，汽车以1.0m/s2的加速度匀加速启动前进，当汽车加速到6.0m/s时二者相距最近。汽车加速到6.0m/s所用时间t＝6s，人运动距离为6×6m＝36m，汽车运动距离为18m，二者最近距离为18m＋25m－36m＝7m，选项AC错误，B正确；人不能追上公共汽车，且车开动后，人车距离先减小后增大，选项D错误。]运动学图像1．x­t图像与v­t图像的比较x­t图像v­t图像图线含义图线①表示质点做匀速直线运动(斜率表示速度v)图线①表示质点做匀加速直线运动(斜率表示加速度a)图线②表示质点静止图线②表示质点做匀速直线运动图线③表示质点向负方向做匀速直线运动图线③表示质点做匀减速直线运动交点④表示此时三个质点相遇交点④表示此时三个质点有相同的速度点⑤表示t1时刻质点位移为x1(图中阴影部分的面积没有意义)点⑤表示t1时刻质点速度为v1(图中阴影部分的面积表示质点在0～t1时间内的位移)2．三点说明(1)x­t图像与v­t图像都只能描述直线运动，且均不表示物体运动的轨迹；(2)分析图像要充分利用图像与其所对应的物理量的函数关系；(3)识图方法：一轴、二线、三斜率、四面积、五截距、六交点。图像信息类问题[典例1]如图所示的x­t图像和v­t图像中给出四条图线，甲、乙、丙、丁代表四辆车由同一地点向同一方向运动的情况。则下列说法不正确的是()A．甲车速度不变，乙车速度逐渐减小B．t1时刻，甲的速度大于乙的速度C．丙、丁两车在t2时刻相遇D．t2时刻，丙的加速度大于丁的加速度审题指导：解此题的关键有两点(1)正确把握图像代表的物体运动规律。(2)正确区分两类图像中交点、斜率的物理意义。C[由x­t图像可知甲车做匀速直线运动，乙车做速度越来越小的变速直线运动，故A正确；x­t图像的斜率表示速度，t1时刻，甲图线的斜率大于乙图线的斜率，所以甲的速度大于乙的速度，故B正确；由v­t图像与时间轴围成的面积表示位移可知，丙、丁两车在t2时刻没有相遇，故C错误；v­t图像的斜率表示加速度，t2时刻，丙图线的斜率大于丁图线的斜率，所以丙的加速度大于丁的加速度，故D正确。]直线运动图像问题要根据物理情景中遵循的规律，由图像提取信息和有关数据，根据对应的规律公式对问题做出正确的解答。具体分析过程如下：eq\o([跟进训练])x­t图像的应用1．(2021·无锡高三模拟)甲、乙两物体从同一点出发且在同一条直线上运动，它们的位移—时间(x­t)图像如图所示，由图像可以看出在0～4s内()A．甲、乙两物体始终同向运动B．第2s末，甲、乙两物体间的距离最大C．甲的平均速度大于乙的平均速度D．乙物体一直做匀加速直线运动B[x­t图像的斜率表示速度，可知在0～2s内甲、乙都沿正向运动，同向运动，在2～4s内甲沿负向运动，乙仍沿正向运动，二者反向运动，故A错误；0～2s内两者同向运动，甲的速度大，两者距离增大，2s后甲反向运动，乙仍沿原方向运动，两者距离减小，则第2s末甲、乙两物体间的距离最大，故B正确；由题图知在0～4s内甲、乙的位移都是2m，平均速度相等，故C错误；根据x­t图像的斜率表示速度，可知乙物体一直做匀速直线运动，故D错误。]2．(2021·江苏南京师大附中高考模拟)如图所示为一个质点运动的位移x随时间t变化的图像，由此可知质点在0～4s内()A．先沿x轴正方向运动，后沿x轴负方向运动B．一直做匀变速运动C．t＝2s时速度一定最小D．速率为5m/s的时刻有两个D[从题图中可知正向位移减小，故质点一直朝着负方向运动，A错误；图像的斜率表示速度大小，故斜率先增大后减小，说明物体速率先增大后减小，做变速运动，但不能判断是不是做匀变速直线运动，t＝2s时，斜率最大，速度最大，BC错误；因为斜率先增大后减小，并且平均速度为5m/s，故斜率增大过程中有一刻速率为5m/s，斜率减小过程中有一刻速率为5m/s，共有两个时刻速度大小为5m/s，D正确。]v­t图像的应用3．(2021·南京、盐城二模)某次实验中，通过传感器获得小车的速度v与时间t的关系图像如图所示，则小车()A．在0～1.0s内位移先增大后减小B．在0～1.0s内加速度先增大后减小C．在0～1.0s内位移约为0.5mD．在0～0.5s内平均速度为0.35m/sC[在0～1.0s内物体的速度均为正值，则物体的位移一直增大，选项A错误；v­t图线的斜率等于加速度，则在0～1.0s内加速度先减小后增大，选项B错误；v­t图像与坐标轴围成的面积等于位移，则由图像可知，在0～1.0s内位移约为0.5m，选项C正确；在0～0.5s内的位移约为0.21m，则平均速度为eq\o(v,\s\up6(－))＝eq\f(x,t)＝0.42m/s，选项D错误。]4．甲、乙两个质点从同一位置开始做直线运动，v­t图像如图所示，两质点在t2时刻相遇，则下列说法正确的是()A．t1时刻两质点的运动方向相反B．相遇前两质点一定在t2时刻相距最远C．t1～t2时间内，一定有某一时刻两质点的加速度相同D．t2时刻，甲刚好从后面追上乙C[由题图可知，在t1时刻，两质点的速度方向均为正方向，即两质点均沿正方向运动，故A错误；由图像可知，两质点从同一位置开始运动，在0～t1时间内，甲质点的速度始终大于乙质点的速度，故甲在前乙在后，在这段时间内，两质点的距离越来越远，在t1时刻速度达到相同，距离最远，B错误；若v­t图像是曲线，则曲线在某一时刻的切线斜率代表该时刻的瞬时加速度，所以在t1～t2时间内，可以在甲质点的图像上画出与乙质点图像相平行的切线，故在t1～t2时间内，一定有某一时刻两质点的加速度相同，C正确；由B选项的分析可知，在t2时刻之前，乙质点一直处于甲质点的后方，故在t2时刻，乙恰好从后方追上甲，D错误。]图像的转换[典例2]一物体做直线运动，其加速度随时间变化的a­t图像如图所示，则下列各v­t图像中可能正确描述此物体运动的是()ABCDD[物体在0～eq\f(T,2)时间内做加速度为a0的匀加速直线运动，eq\f(T,2)时刻速度达到最大值，在eq\f(T,2)～T时间内以最大速度做匀速直线运动，在T～eq\f(3T,2)时间内做加速度为a0的匀减速直线运动，a­t图线与t轴所围面积表示物体速度的变化量，可知eq\f(3T,2)时刻物体的速度减小为0，在eq\f(3T,2)～2T时间内物体开始反向做加速度大小为a0的匀加速直线运动。]图像的转换技巧非常规图像的分析及应用a­t图像[典例3]一物体由静止开始沿直线运动，其加速度随时间变化的规律如图所示。取物体开始运动的方向为正方向，则下列关于物体运动的描述正确的是()A．在1～2s内，物体做减速运动B．2s末时物体的速度最大，大小为3m/sC．在1～3s内，物体做匀变速直线运动D．在0～4s内，物体先沿正方向运动，后沿负方向运动B[物体由静止开始运动，所以物体的速度的方向一定与开始时加速度的方向相同，由a­t图可知，该物体在第1s内做匀加速直线运动，加速度的方向与速度的方向相同；在第2s内，物体做加速度减小的加速运动，第3s物体的加速度的方向与开始时相反，所以与速度的方向相反，物体做加速度增大的减速运动；第4s内物体继续减速，结合运动的对称性可知，在4s末物体的速度恰好减为0。由以上的分析可知，在第2s内，物体做加速度减小的加速运动，故A错误；物体从第2s末开始减速，所以在2s末时物体的速度最大，结合图像的意义可知，2s末物体的速度：v＝eq\f(1＋2,2)×2m/s＝3m/s，故B正确；由图可知，在1～3s内，物体的加速度不断变化，所以不是做匀变速直线运动，故C错误；由开始时的分析可知，物体在0～4s内始终沿相同的方向运动，故D错误。]a­t图像的信息(1)由v＝v0＋at可知，v－v0＝at＝Δv，a­t图像与t轴所围面积表示物体速度的变化量。(2)图像与纵轴的交点表示初始时刻的加速度。eq\f(x,t)­t图像[典例4]一个物体沿直线运动，从t＝0时刻开始，物体的eq\f(x,t)­t的图像如图所示，图线与纵、横坐标轴的交点分别为0.5m/s和－1s，由此可知不正确的是()A．物体做匀加速直线运动的加速度大小为1m/s2B．物体做匀变速直线运动C．物体的初速度大小为0.5m/sD．物体的初速度大小为1m/sD[由图可得：eq\f(x,t)＝(0.5t＋0.5)m/s，由匀变速直线运动的位移－时间公式x＝v0t＋eq\f(1,2)at2得：eq\f(x,t)＝v0＋eq\f(1,2)at，对比可得eq\f(1,2)a＝0.5m/s2，则物体的加速度为a＝1m/s2，初速度为v0＝0.5m/s，可知，物体做匀加速直线运动，故ABC正确，D错误。]eq\f(x,t)­t图像的信息x＝v0t＋eq\f(1,2)at2→eq\f(x,t)＝v0＋eq\f(1,2)at可知：(1)eq\f(x,t)­t图线的斜率k＝eq\f(1,2)a；(2)图线与纵轴的交点表示物体的初速度。v2­x图像[典例5]一辆高铁出站一段时间后，在长度为L(远大于列车的总长)的某平直区间提速过程中其速度的平方与位移的关系如图所示。L、b1、b2均已知，则列车通过该区间时，由图可知()A．加速度逐渐增大 B．加速度保持不变C．加速度先增大后减小 D．不可求出通过时间B[设列车的初速度为v0，末速度为v，加速度大小为a，则由速度位移关系v2－veq\o\al(2,0)＝2ax可得：v2＝2ax＋veq\o\al(2,0)，结合图像可得图像的斜率表示加速度的2倍，图像为倾斜直线，故加速度不变，故B正确，AC错误；由题意，L、b1、b2均已知，则加速度a＝eq\f(b2－b1,2L)，根据v＝v0＋at可知，t＝eq\f(2L\r(b2)－\r(b1),b2－b1)，可以求出通过时间，故D错误。]v2­x图像的信息v2－veq\o\al(2,0)＝2ax→v2＝veq\o\al(2,0)＋2ax可知：(1)v2­x图像的斜率k＝2a；(2)图线与v2轴的交点表示物体的初速度的平方，即veq\o\al(2,0)。追及相遇问题1．追及、相遇问题中的“一个条件、两个关系”(1)一个条件：即两者速度相等，它往往是物体间能够追上、追不上或两者距离最大、最小的临界条件，也是分析判断的切入点。(2)两个关系：即时间关系和位移关系，这两个关系可通过画运动示意图得到。2．追及、相遇问题的常见情景假设物体A追物体B，开始时两个物体相距x0，有三种常见情境：(1)A追上B时，必有xA－xB＝x0，且vA≥vB。(2)要使两物体恰好不相撞，两物体同时到达同一位置时速度相同，必有xA－xB＝x0，vA＝vB。(3)若使两物体保证不相撞，则要求当vA＝vB时，xA－xB<x0，且之后vA≤vB。追及、相遇问题的常用分析方法1．临界法：寻找问题中隐含的临界条件，例如速度小者加速追赶速度大者，在两物体速度相等时有最大距离；速度大者减速追赶速度小者，若追不上则在两物体速度相等时有最小距离。2．函数法：设两物体在t时刻相遇，然后根据位移关系列出关于t的方程f(t)＝0，若方程f(t)＝0无正实数解，则说明这两个物体不可能相遇；若方程f(t)＝0存在正实数解，说明这两个物体能相遇。3．图像法(1)若用位移图像求解，分别作出两个物体的位移图像，如果两个物体的位移图像相交，则说明两物体相遇。(2)若用速度图像求解，则注意比较速度图线与时间轴包围的面积。[典例1]在水平轨道上有两列火车A和B相距s，A车在后面做初速度为v0、加速度大小为2a的匀减速直线运动，而B车同时做初速度为零、加速度为a的匀加速直线运动，两车运动方向相同。要使两车不相撞，求A车的初速度v0满足什么条件。思路点拨：要使两车恰好不相撞，A车追上B车时其速度只能与B车相等。设A、B两车从相距s到A车追上B车时，A车的位移为sA、末速度为vA、所用时间为t，B车的位移为sB、末速度为vB，两者的运动过程如图所示。[解析]方法一：临界法利用位移公式、速度公式求解对A车有sA＝v0t＋eq\f(1,2)×(－2a)×t2vA＝v0＋(－2a)×t对B车有sB＝eq\f(1,2)at2，vB＝at对两车有s＝sA－sB追上时，两车不相撞的临界条件是vA＝vB联立以上各式解得v0＝eq\r(6as)故要使两车不相撞，A车的初速度v0应满足的条件是v0<eq\r(6as)。方法二：函数法利用判别式求解，由方法一可知sA＝s＋sB即v0t＋eq\f(1,2)×(－2a)×t2＝s＋eq\f(1,2)at2整理得3at2－2v0t＋2s＝0这是一个关于时间t的一元二次方程，当根的判别式Δ＝(－2v0)2－4×3a×2s<0时，t无实数解，即两车不相撞，所以要使两车不相撞，A车的初速度v0应满足的条件是v0<eq\r(6as)。方法三：图像法利用速度—时间图像求解，先作A、B两车的速度—时间图像，其图像如图所示，设经过t′时间两车刚好不相撞，则对A车有vA＝v′＝v0－2at′对B车有vB＝v′＝at′以上两式联立解得t′＝eq\f(v0,3a)经t′时间两车发生的位移大小之差，即原来两车间的距离s，它可用图中的阴影面积表示，由图像可知s＝eq\f(1,2)v0·t′＝eq\f(1,2)v0·eq\f(v0,3a)＝eq\f(v\o\al(2,0),6a)，所以要使两车不相撞，A车的初速度v0应满足的条件是v0<eq\r(6as)。[答案]v0<eq\r(6as)牢记“一个思维流程”eq\o([跟进训练])函数法1．如图所示，A、B两物体相距s＝7m时，A在水平拉力和摩擦力作用下，正以vA＝4m/s的速度向右匀速运动，而物体B此时正在摩擦力作用下以vB＝10m/s的初速度向右匀减速运动，加速度a＝－2m/s2。则A追上B所经历的时间是()A．7s B．8sC．9s D．10sB[由题意知，t＝5s时，物体B的速度减为零，位移大小xB＝vBt＋eq\f(1,2)at2＝25m，此时A的位移xA＝vAt＝20m，A、B两物体相距Δs＝s＋xB－xA＝7m＋25m－20m＝12m，再经过Δt＝eq\f(Δs,vA)＝3s，A追上B，所以A追上B所经历的时间是5s＋3s＝8s，选项B正确。]临界法2．强行超车是道路交通安全的极大隐患之一。如图是汽车超车过程的示意图，汽车甲和货车均以36km/h的速度在路面上匀速行驶，其中甲车车身长L1＝5m、货车车身长L2＝8m，货车在甲车前s＝3m处。若甲车司机开始加速从货车左侧超车，加速度大小为2m/s2。假定货车速度保持不变，不计车辆变道的时间及车辆的宽度。求：(1)甲车完成超车至少需要多长时间；(2)若甲车开始超车时，看到道路正前方的乙车迎面驶来，此时二者相距110m，乙车速度为54km/h。甲车超车的整个过程中，乙车速度始终保持不变，请通过计算分析，甲车能否安全超车。[解析]本题考查追及问题在交通问题中的应用。(1)设甲车经过时间t刚好完成超车，在时间t内甲车位移x1＝v1t＋eq\f(1,2)at2货车位移x2＝v2t根据几何关系有x1＝x2＋L1＋L2＋s代入数据解得t＝4s甲车完成超车至少需要的时间为4s。(2)假设甲车能安全超车，在4s内，甲车位移x1＝v1t＋eq\f(1,2)at2＝56m乙车位移x3＝v3t＝60m由于x1＋x3＝116m>110m，故甲车不能安全超车。[答案](1)4s(2)不能安全超车与运动图像相结合的追及相遇问题近几年的高考追及和相遇问题常以v­t图像或x­t图像的形式考查，用图像描述两物理量关系时，比较直观、形象且信息量大，体现了数形结合法的应用。[典例2]如图所示是模拟在该高速公路上的甲、乙两车刹车过程中的v­t图像，甲车在后，乙车在前。若两车发生追尾，则以下判断正确的是()A．两车一定是在t＝15s至t＝20s之间的某时刻发生追尾B．两车可能是在t＝8s时发生追尾C．t＝0时刻两车间距可能大于28mD．甲车刹车的加速度大小是乙车的3倍B[根据速度—时间图像可知，15～20s内，甲车的速度小于乙车。不可能发生追尾，选项A错误；0～10s内任一时刻，甲车的速度大于乙车，这个时间段内可能发生追尾，选项B正确；t＝10s时两车的速度大小均为5m/s，在v­t图像中，图像与t轴所围成的面积表示位移，0～10s内，甲车位移大小x1＝eq\f(5＋15,2)×10m＝100m，乙车位移大小x2＝eq\f(5＋10,2)×10m＝75m，因两车发生追尾，所以两车间距离应小于Δx＝x1－x2＝25m，选项C错误；根据速度—时间图像的斜率表示加速度可得甲的加速度大小a1＝eq\f(15－0,15)m/s2＝1m/s2，乙的加速度大小a2＝eq\f(10－0,20)m/s2＝0.5m/s2，则a1＝2a2，选项D错误。]eq\o([跟进训练])1．(2021·江淮十校联考)甲、乙两车同时同地出发，在同一平直公路上行驶。其中甲车做匀速直线运动，乙车由静止开始做匀加速直线运动，其运动的x­t图像如图所示。则乙车追上甲车前两车间的最大距离为()A．15m B．20mC．25m D．50mC[由题知，v甲＝eq\f(100,5)m/s＝20m/s，100m＝eq\f(1,2)a(5s)2，可知v乙＝at＝8t。将x­t图像转化为v­t图像，如图所示。v­t图像与t轴围成的图形面积表示位移，可知t＝2.5s时，甲、乙速度相等，此时相距最远，所以最大距离是阴影部分面积，即25m，故选C。]2．具有我国自主知识产权的“歼­10”飞机的横空出世，证实了我国航空事业在飞速发展，而航空事业的发展又离不开风洞试验，其简化模型如图a所示。在光滑的水平轨道上停放相距x0＝10m的甲、乙两车，其中乙车是风力驱动车。在弹射装置使甲车获得v0＝40m/s的瞬时速度向乙车运动的同时，乙车的风洞开始工作，将风吹向固定在甲车上的挡风板，从而使乙车获得了速度，测绘装置得到了甲、乙两车的v­t图像如图b所示，设两车始终未相撞。ab(1)若甲车的质量与其加速度的乘积等于乙车的质量与其加速度的乘积，求甲、乙两车的质量比；(2)求两车相距最近时的距离。[解析](1)由题图b可知：甲车加速度的大小a甲＝eq\f(40－10,t1)m/s2乙车加速度的大小a乙＝eq\f(10－0,t1)m/s2因甲车的质量与其加速度的乘积等于乙车的质量与其加速度的乘积，所以有：m甲a甲＝m乙a乙解得eq\f(m甲,m乙)＝eq\f(1,3)。(2)在t1时刻，甲、乙两车的速度相等，均为v＝10m/s，此时两车相距最近对乙车有：v＝a乙t1对甲车有：v＝a甲(0.4s－t1)可解得t1＝0.3s车的位移等于v­t图线与时间轴所围的面积，有：x甲＝eq\f(40＋10×0.3,2)m＝7.5m，x乙＝eq\f(10×0.3,2)m＝1.5m两车相距最近时的距离为xmin＝x0＋x乙－x甲＝4m。[答案](1)eq\f(1,3)(2)4m

运动学是高中物理最重要、最基础的内容，与生活、体育、交通有紧密的联系，是高考命题的重点和热点。分析此类问题的关键是物理模型的构建，即将题给情景、过程、条件等转化为基本的运动学问题分析。通过对近几年高考STSE热点问题的归类研究，可归纳出以下三个STSE高考命题热点。以体育运动为背景的多过程问题[示例1]如图所示是某一次接力训练。已知甲、乙两运动员经短距离加速后都能达到并保持10m/s的速度跑完全程。设乙从起跑后到接棒前的运动是匀加速的，加速度大小为3m/s2。乙在接力区前端听到口令时起跑，在甲、乙相遇时完成交接棒。在某次练习中，甲以v＝10m/s的速度跑到接力区前端x0＝14.0m处向乙发出起跑口令。已知接力区的长度为L＝20m。求：(1)此次练习中交接棒处离接力区前端(即乙出发的位置)的距离；(2)为了达到理想成绩，需要乙恰好在速度达到与甲相同时被甲追上，则甲应在接力区前端多远时对乙发出起跑口令；(3)在(2)中，棒经过接力区的时间是多少？[解析](1)设乙加速到交接棒时运动时间为t，则在甲追乙过程中有：x0＋eq\f(1,2)at2＝vt代入数据得：t1＝2st2＝4.67s(不符合乙加速最长时间tm＝eq\f(v,a)＝eq\f(10,3)s实际，舍去)此次练习中交接棒处离接力区前端的距离为：x′＝eq\f(1,2)at2＝6m。(2)乙加速时间为：t乙＝eq\f(10,3)s设甲在距离接力区前端为x′时对乙发出起跑口令，则在甲追乙过程中有：x′＋eq\f(1,2)ateq\o\al(2,乙)＝vt乙代入数据得：x′＝16.7m。(3)棒在(2)过程以v＝10m/s速度运动，所以有：t＝eq\f(L,v)＝2s。[答案](1)6m(2)16.7m(3)2s以生活科技为背景的实际应用问题[示例2]高速公路的ETC电子收费系统如图所示，ETC通道的长度是识别区起点到自动栏杆的水平距离。某汽车以21.6km/h的速度匀速进入识别区，ETC天线用了0.3s的时间识别车载电子标签，识别完成后发出“滴”的一声，司机发现自动栏杆没有抬起，于是采取制动刹车，汽车