2021年江苏省南京市百家湖中学高一数学文期末试题含解析

2021年江苏省南京市百家湖中学高一数学文期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设集合，集合＝正实数集，则从集合到集合的映射只可能是（

）A．

B．C．

D．参考答案：C2.在等差数列{an}中，，，则（

）A.10 B.12 C.14 D.16参考答案：C【分析】由题列出关于的方程组求解，即可求得【详解】由题知,解得,故故选：C【点睛】本题考查等差数列通项公式，熟记公式，准确计算是关键，是基础题3.一种放射性元素，最初的质量为500g，按每年10%衰减．则这种放射性元素的半衰期为(注：剩留量为最初质量的一半所需的时间叫做半衰期)．(精确到0.1．已知lg2＝0.3010，lg3＝0.4771)(

)A．5.2

B．6.6

C．7.1

D．8.3参考答案：B略4.若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是（

）Ａ． Ｂ．

Ｃ．

Ｄ．参考答案：C略5.若不等式的解集是R，则m的范围是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C略6.定义在R上的函数满足当（

）

A.335

B.338

C.1678

D.2012参考答案：B略7.已知角的顶点在坐标原点，始边与轴正半轴重合，终边在直线上，则等于

A.

B.

C.

D.参考答案：B略8.若直线和直线互相垂直，则k=(

)A.－3或－1 B.3或1 C.－3或1 D.－1或3参考答案：C【分析】直接利用两直线垂直的充要条件列方程求解即可.【详解】因为直线和直线互相垂直，所以，解方程可得或，故选C.【点睛】本题主要考查直线与直线垂直的充要条件，属于基础题.对直线位置关系的考查是热点命题方向之一，这类问题以简单题为主，主要考查两直线垂直与两直线平行两种特殊关系：在斜率存在的前提下，（1）（）；（2）（），这类问题尽管简单却容易出错，特别是容易遗忘斜率不存在的情况，这一点一定不能掉以轻心.9.直线y+2=k（x+1）恒过点（）A．（2，1） B．（﹣2，﹣1） C．（﹣1，﹣2） D．（1，2）参考答案：C【考点】恒过定点的直线．【分析】直接由直线的点斜式方程可得．【解答】解：∵直线y+2=k（x+1），∴由直线的点斜式方程可知直线恒过点（﹣1，﹣2）．故选：C．10.（3分）函数f（x）=2sin（﹣x）是（） A． 最小正周期为2π的奇函数 B． 最小正周期为2π的偶函数 C． 最小正周期为π的奇函数 D． 最小正周期为4π的偶函数参考答案：B考点： 正弦函数的图象．专题： 三角函数的图像与性质．分析： 由f（x）=2sin（﹣x）=2cosx，根据余弦函数的图象和性质可知函数为最小正周期为2π的偶函数．解答： ∵f（x）=2sin（﹣x）=2cosx∴由余弦函数的图象和性质可知函数为最小正周期为2π的偶函数．．故选：B点评： 本题主要考查了诱导公式的应用，和余弦函数的图象和性质，属于基础题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.对实数a和b，定义运算“?”：a?b=设函数f（x）=（x2﹣2）?（x﹣x2），x∈R，若函数y=f（x）﹣c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是．参考答案：c≤﹣2，或﹣1＜c＜﹣考点：函数的图象．专题：计算题；压轴题．分析：化简函数f（x）的解析式，作出函数y=f（x）的图象，由题意可得，函数y=f（x）与y=c的图象有2个交点，结合图象求得结果．解答：解：由题意可得f（x）==，函数y=f（x）的图象如右图所示：函数y=f（x）﹣c的图象与x轴恰有两个公共点，即函数y=f（x）与y=c的图象有2个交点．由图象可得c≤﹣2，或﹣1＜c＜﹣．故答案为c≤﹣2，或﹣1＜c＜﹣．点评：本题主要考查根据函数的解析式作出函数的图象，体现了化归与转化、数形结合的数学思想，属于基础题．12.若f(x)＝(x＋a)(x－4)为偶函数，则实数a＝__________.参考答案：4略13.函数y=2sinx﹣cosx的最大值为．参考答案：【考点】HW：三角函数的最值．【分析】利用辅角公式对函数解析式化简整理，利用正弦函数的性质求得其最大值．【解答】解：y=2sinx﹣cosx=sin（x+φ）≤故答案为：14.已知正四面体的棱长为2，则该四面体的内切球的表面积为

．参考答案：15.的最大值是____________.参考答案：16.若变量x，y满足约束条件，则的最小值为

．参考答案：

－6

17.方程的解个数为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：A略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数（1）求函数的单调递减区间；（2）在锐角△ABC中，若角，求的值域.参考答案：（1），；（2）【分析】（1）利用二倍角、辅助角公式化简，然后利用单调区间公式求解单调区间；（2）根据条件求解出的范围，然后再求解的值域.【详解】（1），令，解得：，所以单调减区间为：，；（2）由锐角三角形可知：，所以，则，又，所以，，则.【点睛】本题考查三角恒等变换以及三角函数值域问题，难度较易.根据三角形形状求解角范围的时候，要注意到隐含条件的使用.19.已知函数,．（1）若,解不等式；（2）当时，若对任意的，关于的不等式恒成立，求实数a的取值范围．参考答案：(1)(2)【分析】（1）将代入函数得，分两种情况，当和时，解不等式即得；（2）根据题意可得不等式，对任恒成立，分情况去绝对值进行讨论：①当时，去绝对值得，由x的范围结合函数单调性可得此时a的范围；②当时，不等式为，在①的条件下进一步得出a的范围；③当时，可得，由②中a的范围最后确定a的范围即得。【详解】解：（1）时，由得:，当时，，无解；当时，，解得：.解集为：（2）由已知得即（*）对任恒成立，①当时，不等式（*）可化为对恒成立，因为在（0，a]为单调递增，只需，解得；②当时，将不等式（*）可化为对上恒成立，由①可知，因为在为单调递减，只需解得：或，所以；③当时，将不等式（*）可化为恒成立因为在为单调递增，由②可知都满足要求．综上实数a的取值范围为：．【点睛】本题考查解不等式，和恒成立情况下不等式中参数的取值范围，属于常考题型。20.已知，，，为坐标原点.（1），求的值；（2）若，且，求与的夹角.参考答案：（Ⅰ）；（Ⅱ）.（Ⅰ）,，，………3分∴，.

……5分（Ⅱ）∵,,，，即，，又，，

……7分又，，， ∴.

……10分21.已知数列{an}的前n项和为，，数列{bn}满足，点在直线上．（1）求数列{an}，{bn}的通项an和bn；（2）令，求数列{cn}的前n项和Tn；（3）若，求对所有的正整数n都有成立的k的范围．参考答案：（1），；（2）试题分析：（1）通过与作差，进而整理可知数列是首项为、公比为2的等比数列，通过将点代入直线计算可知，进而整理即得结论；（2）利用错位相减法计算即得结论；（3）通过（1）及作差法计算可知数列为单调递减数列，进而问题转化为求的最小值，利用基本不等式计算即得结论.试题解析：(1)解:∵，∴,当时，，∴，∴，∴是首项为，公比为2的等比数列，因此，当时，满足，所以，因为在直线上，所以，而，所以.(2)∵，∴③，因此④，③-④得：，∴(3)证明:由(1)知，，∵，∴数列为单调递减数列；∴当时，即最大值为1，由可得，，而当时，当且仅当时取等号，∴.点睛：本题主要考查的是等差数列和等比数列通项公式以及数列的前项和与作差法判断数列的单调性；解题中，在利用的同时一定要注意和两种情况，常见的数列求和的方法有公式法即等差等比数列求和公式，分组求和类似于，其中和分别为特殊数列，裂项相消法类似于，错位相减法类似于，其中为等差数列，为等比数列等.22.（14分）已知集合A={x|x＜﹣2或3＜x≤4}，B={x|x2﹣2x﹣15≤0}．求：（1）A∩B；（2）若C={x|x≥a}，且B∩C=B，求a的范围．参考答案：考点： 交集及其运算；集合关系中的参数取值问题．专题： 计算题．分析： （1）把集合B中的一元二次不等式的左边分解因式，根据两数相乘异号得负的取符号法则转化为两个不等式组，求出两不等式组解集的并集得到原不等式的解集，确定出集合B，找出A和B的公共部分即可得到两集合的交集；（2）由B和C的交集为集合B，得到集合B是集合C的子集，根据集合B及C中不等式解集的特点，列出关于a的不等式，得到a的范