高考数学导数及三角函数压轴题综合归纳总结计划教师

高考数学导数及三角函数压轴题综合归纳总结计划教师版高考数学导数及三角函数压轴题综合归纳总结计划教师版高考数学导数及三角函数压轴题综合归纳总结计划教师版导数与三角函数压轴题归纳总结近几年的高考数学试题中频频出现含导数与三角函数零点问题，内容主要包括函数零点个数的确定、依照函数零点个数求参数范围、隐零点问题及零点存在性赋值理论.其形式逐渐多样化、综合化.一、零点存在定理例1.【2019全国Ⅰ理20】函数f(x)sinxln(1x),f(x)为f(x)的导数．证明：1）f(x)在区间(1,)存在唯一极大值点；22）f(x)有且仅有2个零点．【剖析】（1）设gxfx,则gxcosx1,gxsinx12.1x1x当x1,时,g'(x)单一递减,而g00,g0,22可得g'(x)在1,有唯一零点,设为.2则当x1,时,gx0；当x,时,g'(x)0.2所以g(x)在1,单一递加,在,单一递减,故g(x)在1,存在唯一极22大值点,即fx在1,存在唯一极大值点.2（2）fx的定义域为(1,).（i）由（1）知,fx在1,0单一递加,而f00,所以当x(1,0)时,f'(x)0,故fx在(1,0)单一递减,又f(0)=0,从而x0是fx在(1,0]的唯一零点.（ii）当x0,时,由（1）知,f'(x)在(0,)单一递加,在,单一递减,22而f'(0)=0,f0,所以存在,,使得f'( )0,且当x(0,)22时,f'(x)0；当x,时,f'(x)0.故f(x)在(0,)单一递加,在,单22调递减.又f(0)=0,f1ln10,所以当x0,时,f(x)0.222从而fx在0,没有零点.2（iii）当x,时,fx0,所以fx在,单一递减.而22f0,f0,所以fx在,有唯一零点.22（iv）当x(,)时,lnx11,所以f(x)<0,从而fx在(,)没有零点.综上,fx有且仅有2个零点.【变式训练1】【2020·天津南开中学月考】已知函数f(x)axsinx3(aR),且2在,0,上的最大值为3，22（1）求函数f(x)的剖析式；判断函数f(x)在（0，π）内的零点个数，并加以证明【剖析】(1)由已知得f(x)a(sinxxcosx)对于任意的x∈(0,)，2有sinxxcosx0,当a=0时,f(x)=-3，不合题意；2当a<0时,x∈(0,),f′(x)<0,从而f(x)在(0,)单一递减，22又函数f(x)axsinx3(a∈R)在[0,]上图象是连续不断的，22故函数在[0,]上的最大值为f(0)，不合题意；2当a>0时,x∈(0,2),f′(x)>0,从而f(x)在(0,)单一递加，2又函数f(x)axsinx3]上图象是连续不断的，(a∈R)在[0,22故函数在[0,]上上的最大值为f(2)=a-3=3，解得a=1，2222综上所述,得f(x)xsinx3(aR),；2函数f(x)在(0,π)内有且仅有两个零点。证明以下：由(I)知,f(x)axsinx3从而有f(0)=-3<0,f()=π-32>0，222又函数在[0,]上图象是连续不断的,所以函数f(x)在(0,)内最少存在一22个零点，又由(I)知f(x)在(0,)单一递加,故函数f(x)在(0,)内仅有一个22零点。当x∈[,π]时,令g(x)=f′(x)=sinx+xcosx，2由

g(

)=1>0,g(

π)=-

π<0,且

g(x)

在[

,π]上的图象是连续不断的，2

2故存在

m∈

,π),使得

g(m)=0.2由g′(x)=2cosx-xsinx,知

x∈(

,π)时,有

g′(x)<0

，从而

g(x)

在[

,π]2

2上单一递减。当x∈,m),g(x)>g(m)=0,即f′(x)>0，从而f(x)在(,m)内单一递加22故当x∈(,m)时,f(x)>f(π2)=π-32>0，从而(x)在(,m)内无零点；22当x∈(m,π)时,有g(x)<g(m)=0,即f′(x)<0，从而f(x)在(,m)内单一递减。2又f(m)>0,f(π)<0且f(x)在[m,π]上的图象是连续不断的，从而f(x)在[m,π]内有且仅有一个零点。综上所述,函数f(x)在(0,π)内有且仅有两个零点。【变式训练2】【2020·山东枣庄期末】已知函数fxlnxx2sinx,fx为x的导函数.求证:fx在0，上存在唯一零点;求证:fx有且仅有两个不同样的零点.【剖析】(1)设gxf112cosx，xx当x0,时，gx2sinx10，所以gx在0,上单一递减，x2又因为g3110，g21032所以gx在3,2上有唯一的零点，所以命题得证．(2)①由(1)知：当x0,时，fx0，fx在0,上单一递加;当x,时，fx0，fx在,上单一递减;所以fx在0,上存在唯一的极大值点32所以ff2ln222202又因为f1112120，所以fx在0,上恰有一个e2222sin2e2ee零点．又因为fln20，所以fx在,上也恰有一个零点．②当x,2时，sinx0，fxlnxx，设hxlnxx，hx110x所以hx在,2上单一递减，所以hxh0所以当x,2时，fxhxh0恒成立所以fx在,2上没有零点．③当x2,时，fxlnxx2设xlnxx2，x110x所以x在2,上单一递减，所以x20所以当x2,时，fxx20恒成立所以fx在2,上没有零点．综上，fx有且仅有两个零点．【变式训练3】（2020年3月武汉市高三质检文）（1）研究函数fxsinx在0，上的单一性；x（2）求函数gxx2cosx的最小值剖析（1）略【变式训练4】（2020年3月武汉市高三质检理）（1）证明函数yex2sinx2xcosx在区间,上单一递加；2（2）证明函数fxex,0上有且仅有一个极大值点，且2sinx在x0fx02【变式训练5】（2020年河北省九校高三第二次联考理科数学）【变式训练6】（2020年四川省八校高三第三次质检理科数学）剖析：二、零点存在性赋值理论例、（2020年安徽省淮北一中模拟）已