321lebesgue积分极限定理

1Lebesgue积分的极限定理fn

f若每个都可积，则是否可积？已接触的例子？在Riemann积分或Lebesgue积分框架下考虑问题：fn

f

.设是函数列且按照某种意义收敛到fn若f可积，那么

积分的极限是否为

f的积分？即积分与极限是否可以交换次序？在Riemann积分框架下，要附加很强条件，使得积分与极限可以交换次序，而在Lebesgue积分框架下，条件很弱！3.2.1Lebesgue积分与极限运算的交换定理定理3.2.1（Lebesgue基本定理）

nfn1设是可测集合E上非负可测函数列，f

x

fk

xk

1E

f

xdxk

1

Efk

xdx则证明关键：Levi渐升列积分定理。3注：非负可测函数的级数求和与积分次序可换。证明：令nSn

x

fk

xn故由Levi定理，f

xdx

ElimnnESx

dx

nkf

xdx

limnk

1Ek

1

E

fk

xdxk

1非负单调递增可测函数列且lim

Sn

x

f

x积分线性n1E

∪En

.推论3.2.2设En是可测集E中互不相交可测子集，f1)若在E上积分存在，则在每个En上积分存在；积分对积分域的可列可加性nf

xdx2）若f

L

E

，则f

L

En

，且n1E

f

xdx

E可列并！5证明：简记n

x为En

的特征函数，则nnfx

x

dx

f

xdx

EE

nfx

f

x

x

EEnf

x

dx

f

xdx.n1由于类似的，

nfx

x

dxEEnn1

n1f

xdxn1

f

xdxE6于是正项级数EnEf

n1x

dx

f

xdx

不妨设E

f

xdx

.fE若在上积分存在，EEf

xdx

与f

xdx至少一个有限，Enf

xdx

特别的，nf所以在En上积分存在。f

L

E

若，即Ef

xdx

Ef

xdx

EnEnf

xdx

f

xdx

因而对每个n故由可积定义，

f

L

En

.同时成立！8

EEEf

xdxx

dx

f

xdx

fEnEnf

f

xdxn1n1x

dx

f

xdxEnEnf

n1x

dx

nn1

Ef

xdx

nEx

dxlim

fn

nEfx

dx

limn注：Fatou引理中，不等号可能会出现。下面考虑非单调的函数列积分与极限是否换序？定理3.2.3(Fatou引理)设

fn

是可测集E

上非负可测函数列，则10gn

x

inf

f

j

x:

j

nnn证明：考虑非负函数则gn

非负可测单调递增，且lim

gn

x

lim

fn

x利用Levi定理，

nnEElim

gx

dxnlim

fnx dx

ng

xdxE

limnn

lim

E

fn

xdx.n

lim

E

gn

xdx11注：Fatou引理中，不等号可能会出现。e12n

x22nn

1,2,.R

fn

xdx

1.则例子：考虑R

上非负函数列fn

x

na.e.f

x

0但是当x

0时，

lim

fn

x

0

:

f

x即极限函数于是，

nlim

fnRx

dx

0

nRfx

dx1

limn分布12nn2）在对函数列

fn

应用1）的结果，并意到lim

fn

lim

fn即得2）。fn

g证明：1）对函数列 应用Fatou引理即得1）；

nnElim

fnfx

dx.Enx

dx

limfn

g练习：设fn

是一列可测函数。n若存在可积函数gna.e.

，则E

lim

fn

xdx

lim

E

fn

xdx;fn

g若存在可积函数ga.e.，则；k

lim

fk

(x)

f

(x)

a.e.fn

,

f

L

E

定理3.2.4(Lebesgue控制收敛定理)设

E

M,

fk

M(E)且有F

L

E

使得|

fn(x)|

F(x)若存在a.e.，则lim

fk

(x)dx

f

(x)dxk

E

E且注：可积函数F

称为函数列fk

的控制函数。13左侧极限存在！证明：由于k

lim

fk

(x)

f

(x)

a.e.f

为可测函数。进而由|

fn

(x)

|

F

(x)

a.e.因此fn

,f

L

E

a.e.知：

|

f

|

F考虑

E

上可积函数列gk

(x)

|

fk

(x)

f

(x)

|,

k

1,2,·0

|

gk

(x)|

2F

(x)

k

1,2,·

由Fatou引理，由于14k

Ek

Eklim(2F

(x)

g

(x))dx

lim

(2F

(x)

gk(x))dx15即k2

F

(x)dx

EkEEE(x)dxk

lim

g

(x)dx

2

F

(x)dx

lim

gk

k

lim

gk

(x)

0,klim

gEk

(x)dx

0，k

E

lim

gk

(x)dx

0.由于a.e.

得即最后，由E

f

x

dx

E

fk

x

dx

E

gk

x

dx,令k

，即知命题成立。gk

(x)

|

fk

(x)

f

(x)

|,

k

1,2,·fn

m

f推论3.2.5设E

M

，fn

M(E)fn

F

a.e.fn

L(E

)，且若，满足F

L

E

，则，

limnnEEffx

dxx

dx

且17nlim

gEn(x)dx

0.gn

(x)

|

fn

(x)

f

(x)

|,n

1,2,.记：类似上面定理，只需要证明fn

m

f证明：由于

f

a.e.由Riesz定理，存在子列fnk由Lebesgue控制收敛定理，f

L

E

思考：若结论不成立呢？18i

1,

2,·

(*)n1

n2

·假如结论不成立，则存在

0fn

E与，使得mf

fm

gni

(

x

)dx

f，必有因为由Riesz定理，存在子列fni

jni

f

a.e.

，即gn

0

a.e.i

j于是i

jnlim

gEj这与（*）式。因此结论成立。jjE(x)dx

0(x)dx lim

gni19

nfn1一致有界，即存在常数M

0,若fn

x

M

,n

1,2,…,

x

Efn

m

fn则当

f

fa.e.

，或者时，有limnnE

Ef

(x)dx

f

(x)dx.

注：Fatou引理常用于判断非负极限函数的可积性质；控制收敛定理则给出积分与极限可换序的充分条件。应用控制收敛定理关键在于找出控制函数！进而注意到当

m

E

时，E

上常函数可积，有：推论3.2.6(有界收敛定理)设m

E

,

fn

L

E

.20|

fn

(x)

|dx

E

M,fn

L

E

.定理3.2.7(逐项积分)设若则级数

fn

(x)n1

E在

E

上几乎处处收敛。n1记和函数为f

x，则

fn

(x)dxn1

Ef

L

E

，且有

f

(x)dx.E证明：定义函数n1F

x

fn

x由非负可测函数列逐项积分定理（Lebesgue基本定理）n即F

L

E

，从而

F

x

a.e.nEi1n1

E

EF

x dx

limi

f

x

dx

|

fn

(x)

|dx

这说明

fn

(x)n1在

E

上几乎处处收敛，记和函数为f

x。可积则几乎处处有限22a.e.n1f

x

fn

x

F

x由于因此有：f

L

E

.记mn1Sm

x

fn

(x)，则mn1Sm

x

fn

(x)

F

xE由控制收敛定理，

f

xdx

mElim

Smx

dxmE

lim

Sm

xdx

fn

(x)dx.n1

E23在微积分

换积分与极限次序是研究含参变量积分的主要方法。定义：设E

脱n

是可测集，f

x,y

是E

a,b上实函数。设对于每个y

a,b，函数f

,y

L

E

，于是

y

:

E

f

x,

y

dx是定义

a,b

的有限实值函数，称为

a,b上参变积分。24f

x,

y

F

xx

E,

y

a,by

y0则若

lim

f

x,

y

在

E上几乎处处存在，就有定理3.2.8对于上述参变积分，如下结论成立：1)设存在F

L

E

使得

Elim

f x,

y

dxy

y0

y

y0lim

y

其中

y

:

E

f

x,

y

dx.f

y

'x,

y

F

xx

E,

y

a,b2)若f

x,y

的偏导数f

y

'x,y

存在，且存在F

L

E

:则

'

y

E

f

y

'x,

y

dx.25证明：1lim

y

lim

yn

y

y0

ny0yn

a,

b

收敛于

的序列

，则fn

x:

f

x,

yn

,fn

x

F