电子科技大学数学建模课件1

第一章

建模概念及建模方法论第一章

建模概念及建模方法论1一、数学科学的重要性

由于数学的重要性和广泛应用，在国际上“数学”（Mathematics）已逐渐被“数学科学”(MathematicalSciences）代替.

第二次世界大战后，新技术、特别是高技术像雨后春笋般出现.数学的应用，从传统的机械制造等领域迅速扩展到这些高新技术中.一、数学科学的重要性由于数学的重要性和广泛应用，在国2

目前，数学在航空航天技术，先进制造技术，信息技术，网络技术和网络安全，能源勘探开发，环境保护和生态，经济管理，城市规划和交通，基因工程和生物信息技术，生物医学和疾病防治等方面起着非常重要的作用.科学技术是第一生产力.目前，数学在航空航天技术，先进制造技术，信息技术，3*信息时代高科技的竞争本质上是数学的竞争；*“高技术”本质上是一种数学技术

(Mathematical-Technique)；*数学科学是一种关键的、普遍的、能够实行的技术；

*产生新的科研手段：基于数学基础的仿真技术.

*计算机的飞速发展促使数学得以广泛应用；*信息时代高科技的竞争本质上是数学的竞争；*“高技术4二、数学模型与数学建模数学模型(MathematicalModel):重结果；数学建模(MathematicalModeling):重过程

模型:所研究的客观事物有关属性的模拟,具有事物中感兴趣的主要性质.*对实体本身的模拟如:飞机形状进行模拟的模型飞机；*对实体某些属性的模拟如:对飞机性能进行模拟的航模比赛飞机；

二、数学模型与数学建模数学模型(MathematicalM5*对实体某些属性的抽象如:一张地质图是某地区地矿情况的抽象

任何一个模型仅为真实系统某一方面的理想化，决不是真实系统的重现.

数学模型(E.A.Bendar定义)：关于部分现实世界为一定目的而做的抽象、简化的数学结构.*对实体某些属性的抽象任何一个模型仅为真实系统6数学模型是现实世界简化而本质的描述.

是用数学符号、数学公式、程序、图、表等刻画客观事物的本质属性与内在联系的理想化表述.治愈瘫痪死亡

状态（可能）

行动（人能控制）等待治疗例1.1大夫的决策问题数学模型是现实世界简化而本质的描述.是用数学符号7

可使我们明确大夫的决策取决于目标的设定及治疗原则等.此模型表达了大夫能做什么,可能出现的结果.

数学模型是思考的工具

构造一个数学模型可帮助我们进行交流、获得理解、加强对所采取的行动及结果的预测能力，它应有助于思考过程.可使我们明确大夫的决策取决于目标的设定此模型表达了8

数学建模：创立一个数学模型的全过程

是运用数学的思维方法、数学的语言去近似地刻画实际问题，并加以解决的全过程.

数学建模法是一种数学的思考方法，是解决实际问题的一种强有力的数学工具.

例1.1生物医学专家根据药物浓度在人体内随时间和空间变化的数学模型，可用来分析药物的疗效，有效地指导临床用药.数学建模：创立一个数学模型的全过程是运用数学的9

例1.2.厂长经理们筹划出一个合理安排生产和销售的数学模型，可获取尽可能高的经济效益.诺贝尔经济学奖获得者建立了大量的数学模型，为世界经济发展做出卓越贡献：人类时间价格模型；教师与毕业生的增长模型；房屋出售问题模型；最优消费和组合投资问题；例1.2.厂长经理们筹划出一个合理安排生产和销售的数学模10Selton连锁店博弈模型；平稳人口模型；固定汇率和浮动汇率的货币动力学人类时间价格的度量；考虑技术进步的生产函数…….Selton连锁店博弈模型；平稳人口模型；固定汇率和浮动汇11三、

从现实世界到数学模型

数学模型是沟通现实世界与数学世界的理想桥梁面对各类问题如何建立数学模型？三、从现实世界到数学模型数学模型是沟通现实世界与数学121.世界的末日？

当一个直径约为1000米的小行星正好在南极与南极洲大陆相撞,是否会产生灾难性的影响？1.世界的末日？当一个直径约为1000米的小行星132.如何控制喷泉的高度？

如何智能实时控制广场中央的喷泉高度，以避免水雾浸湿游客的衣衫？2.如何控制喷泉的高度？如何智能实时控制广场中143.地球会变暖了吗？能否根据地球过去50年的温度数据，推测地球气温将怎样变化？是否会即将出现“千年极寒”？3.地球会变暖了吗？能否根据地球过去50年的154.如何安排城市交通？巴黎凯旋门

在城市的交通要道，设置人流、汽车流的交通规则，避免交通阻塞，提高交通安全性.4.如何安排城市交通？巴黎凯旋门在城市的交通16

数学模型是对于现实世界的一个特定对象，为了一个特定目的，根据特有规律,做出必要的简化假设，运用适当的数学工具建立的一个数学结构.现实世界数学世界建立数学模型推理演绎求解翻译为实际解答数学模型是对于现实世界的一个特定对象，为了一个特17实际解答

对现实对象的描述、分析、预报、

决策、控制等结果始于现实世界并终于现实世界例1.3一场笔墨官司

美国原子能委员会（现为核管理委员会）处理浓缩放射性废物，是将废物放入密封性能很好的圆桶中，然后扔到水深300英尺的海里.

他们这种做法安全吗？实际解答对现实对象的描述、分析、预报、始于现实世界并终于18

分析可从各个角度去分析造成危险的因素，这里仅考虑圆桶泄露的可能.

联想：安全、危险问题的关键1）圆桶至多能承受多大的冲撞速度？

(40英尺/秒)2）圆桶和海底碰撞时的速度有多大？分析可从各个角度去分析造成危险的因素，这里仅考虑圆桶泄露19问题转为—求这种桶沉入300英尺的海底时的末速度.（原问题是什么?）可利用的数据条件：

圆桶的总重量W=527.327（磅）

圆桶受到的浮力B=470.327（磅）

圆桶下沉时受到的海水阻力D=Cv，C=0.08

思路利用牛顿第二定律，建立圆桶下沉位移y(t)满足的微分方程：

问题转为—求这种桶沉入300英尺的海底时的末速度.（原问题是20方程的解为方程的解为21

计算触底时的碰撞速度，需确定圆桶和海底的碰撞时间t0=？分析

考虑圆桶的极限速度≈713.86（英尺/秒）＞＞40（英尺/秒）

实际极限速度与圆桶的承受速度相差巨大！

计算触底时的碰撞速度，需确定圆桶和海底的碰撞时间t0=22结论

解决问题的方向是正确的.解决思路避开求t0的难点

令

v(t)=v(y(t)),其中y=y(t)是圆桶下沉位移

代入(1)得结论解决问题的方向是正确的.解决思路避开求t0的难点23两边积分得函数方程：

若能求出函数v=v(y),就可求出碰撞速度v(300).(试一试)两边积分得函数方程：若能求出函数v=v(y),就可24*用数值方法求出v(300)的近似值为

v(300)≈45.41（英尺/秒）＞40（英尺/秒）

*分析v=v(y)

是单调上升函数，而v

增大,y

也增大,可求出函数y=y(v)

两种解决思路：令v=40(英尺/秒)，g=32.2(英尺/秒)*用数值方法求出v(300)的近似值为v(300)≈4525y=238.4(英尺)＜300（英尺）问题的实际解答：

美国原子能委员会处理放射性废物的做法是极其危险的，必须改变.

算出y=238.4(英尺)＜300（英尺）问题的实际解答：26例1.2渡口模型(P22实例六)

一个渡口的渡船营运者拥有一只甲板长32米,可以并排停放两列车辆的渡船.他在考虑怎样在甲板上安排过河车辆的位置,才能安全地运过尽量多的车辆.

分析

怎样安排过河车辆，关心一次可以运多少辆各类车.

准备工作观察数日，发现每次情况不尽相同，得到下列数据和情况：例1.2渡口模型(P22实例六)一个渡口的渡船27(1)车辆随机到达，形成一个等待上船的车列；

这是一个机理较复杂的随机问题，是遵循“先到先服务”的随机排队问题.(2)来到车辆中,轿车约占40％，卡车约占55％,摩托车约占5％；(3)轿车车身长为3.5～5.5米,卡车车身长为8～10米.

(1)车辆随机到达，形成一个等待上船的车列；这28解决方法

采用模拟模型方法.分析

需考虑以下问题：(1)应该怎样安排摩托车？

(2)下一辆到达的车是什么类型？(3)怎样描述一辆车的车身长度？

(4)如何安排到达车辆加入甲板上两列车队中的哪一列中去？

解决方法采用模拟模型方法.分析需考虑以下问题：(1)29解决问题思路：(1)认为摩托车不会占有实际空间.(2)确定即将到达车辆类型，利用随机模拟方法00.550.951卡车轿车摩托车(3)确定随机到达车辆的身长车.解决问题思路：(1)认为摩托车不会占有实际空间.30汽车类型及车身长模拟原理分析(4)关于车辆的排放.

甲板可停放两列汽车，可供停车的总长为32×2=64米

排放原则两列尽可能均衡.(怎样实现？)

汽车类型及车身长模拟原理分析(4)关于车辆的排放.甲板可31

据人口学家们预测,到2033年,世界人口将突破100亿,每年增加近1亿人口,以后还会迅猛增长.人们开始考虑,我们赖以生存的地球究竟是否能承受如此的增长.现建立数学模型来预测人口的增长.

分析

设任意时刻的人口总数为N(t)，影响一个地区总人口数的最显著的因素应包括哪些？

例2.3人口增长模型据人口学家们预测,到2033年,世界人口将突破1032影响因素个体的出生、死亡

迁入、迁出

年龄结构

性别比例……影响因素个体的出生、死亡迁入、迁出年龄结构性别比例…33

现仅考虑出生和死亡对人口数的影响.

在时间段t内，出生和死亡人口数的变化将依赖于以下因素：1.时间间隔t的长短；

2.时间间隔开始时的人口基数.

1.建模过程

做最简单的假设：时间间隔t内的出生人数=b

N(t)t

时间间隔t内的死亡人数=d

N(t)t现仅考虑出生和死亡对人口数的影响.在时间段t34b和d分别是出生率和死亡率.得到一个初始模型N(t+t)N(t)=(bd)N(t)

t

（1）针对时间区间t的两种情况进一步讨论：1）t是一个确定的单位时间(比如t=1年)令

Nk=N(k)=N(k

t),k=1,2,3,…得到关于序列Nk,k=1,2,3,…的差分方程:Nk+1=(bd+1)Nk

k=1,2,3,…（2）b和d分别是出生率和死亡率.得到一个初始模型N(t+t35

根据上一年的人口数可推算出第二年的人口数以及逐年的人口数.

2）在很短的时间区间t内，将人口数Ｎ(t)视为一个连续变量.具有很小跃变的曲线可视为平滑曲线将(1)改写为根据上一年的人口数可推算出第二年的人口数以及逐年的人口数36令t0,有（3）

模型分析

等式左端（以及右端）可以理解为“相对增长率”

对相对增长率做不同的假设可以建立不同的数学模型，并得到不同的解曲线.1）假设人口净增长率b和净死亡率d均为常数，净相对增长率r=bd

也是常数.令t0,有（3）模型分析等式左端（以及右端）可37

初始条件N0=N(0)，方程(3)的解为

N(t)=N0ert,t≥0

模型分析

假若净增长率r>0,人口的预测值将以er为公比按几何级数无限增长.（参见P60例3.4.6）原因

假设条件过于简单.不太符合实际

英国神父Malthus在分析了一百多年人口统计资料的基础上建立的模型.

初始条件N0=N(0)，方程(3)的解为模型分析假若38

实际上随着人口不断增长，环境资源所能承受的人口容量的限制，以及人口中年龄和性别结构等都会对出生和死亡产生影响，只能在极小的时间段内才可以把人口净增长率r近似地看着常数.实际上随着人口不断增长，环境资源所能承受的人口容量的限393.

模型改进将“人口净增长率”视为函数r(N),方程(3)改为（4）

解得由于r[N(t)]是未知函数,无法确定N(t).

3.模型改进（4）解得由于r[N(t)]是未知函数40

将净增长率r

看成人口数N的线性函数,设r(N)=a+cN,并设r(0)=r,且存在一个数值K使r(K)=0.即有求解得

r(N)=r(1N/K)，4.进一步改进将净增长率r看成人口数N的线性函数,设求解得41代入式(4)中,有得到Logistic模型：

代入式(4)中,有得到Logistic模型：42模型分析

模型实际检验

用Malthus模型和Logistic模型计算所得的美国十九世纪初人口预测数.其中K=197273000，r=0.03134.合乎实际模型分析模型实际检验用Malthus模型和Logi43

练习题请绘出Logistic曲线图,分析曲线特征,据此讨论：1.Logistic模型具有哪些特点？

3.请将此例的人口模型与新产品销售模型（讲义P20实例五）进行类比,它们在建模方法和模型描述方面有什么异同处?2.比较两个人口模型的优缺点.练习题请绘出Logistic曲线图,分析曲线特征,据此44第一章

建模概念及建模方法论第一章

建模概念及建模方法论45一、数学科学的重要性

由于数学的重要性和广泛应用，在国际上“数学”（Mathematics）已逐渐被“数学科学”(MathematicalSciences）代替.

第二次世界大战后，新技术、特别是高技术像雨后春笋般出现.数学的应用，从传统的机械制造等领域迅速扩展到这些高新技术中.一、数学科学的重要性由于数学的重要性和广泛应用，在国46

目前，数学在航空航天技术，先进制造技术，信息技术，网络技术和网络安全，能源勘探开发，环境保护和生态，经济管理，城市规划和交通，基因工程和生物信息技术，生物医学和疾病防治等方面起着非常重要的作用.科学技术是第一生产力.目前，数学在航空航天技术，先进制造技术，信息技术，47*信息时代高科技的竞争本质上是数学的竞争；*“高技术”本质上是一种数学技术

(Mathematical-Technique)；*数学科学是一种关键的、普遍的、能够实行的技术；

*产生新的科研手段：基于数学基础的仿真技术.

*计算机的飞速发展促使数学得以广泛应用；*信息时代高科技的竞争本质上是数学的竞争；*“高技术48二、数学模型与数学建模数学模型(MathematicalModel):重结果；数学建模(MathematicalModeling):重过程

模型:所研究的客观事物有关属性的模拟,具有事物中感兴趣的主要性质.*对实体本身的模拟如:飞机形状进行模拟的模型飞机；*对实体某些属性的模拟如:对飞机性能进行模拟的航模比赛飞机；

二、数学模型与数学建模数学模型(MathematicalM49*对实体某些属性的抽象如:一张地质图是某地区地矿情况的抽象

任何一个模型仅为真实系统某一方面的理想化，决不是真实系统的重现.

数学模型(E.A.Bendar定义)：关于部分现实世界为一定目的而做的抽象、简化的数学结构.*对实体某些属性的抽象任何一个模型仅为真实系统50数学模型是现实世界简化而本质的描述.

是用数学符号、数学公式、程序、图、表等刻画客观事物的本质属性与内在联系的理想化表述.治愈瘫痪死亡

状态（可能）

行动（人能控制）等待治疗例1.1大夫的决策问题数学模型是现实世界简化而本质的描述.是用数学符号51

可使我们明确大夫的决策取决于目标的设定及治疗原则等.此模型表达了大夫能做什么,可能出现的结果.

数学模型是思考的工具

构造一个数学模型可帮助我们进行交流、获得理解、加强对所采取的行动及结果的预测能力，它应有助于思考过程.可使我们明确大夫的决策取决于目标的设定此模型表达了52

数学建模：创立一个数学模型的全过程

是运用数学的思维方法、数学的语言去近似地刻画实际问题，并加以解决的全过程.

数学建模法是一种数学的思考方法，是解决实际问题的一种强有力的数学工具.

例1.1生物医学专家根据药物浓度在人体内随时间和空间变化的数学模型，可用来分析药物的疗效，有效地指导临床用药.数学建模：创立一个数学模型的全过程是运用数学的53

例1.2.厂长经理们筹划出一个合理安排生产和销售的数学模型，可获取尽可能高的经济效益.诺贝尔经济学奖获得者建立了大量的数学模型，为世界经济发展做出卓越贡献：人类时间价格模型；教师与毕业生的增长模型；房屋出售问题模型；最优消费和组合投资问题；例1.2.厂长经理们筹划出一个合理安排生产和销售的数学模54Selton连锁店博弈模型；平稳人口模型；固定汇率和浮动汇率的货币动力学人类时间价格的度量；考虑技术进步的生产函数…….Selton连锁店博弈模型；平稳人口模型；固定汇率和浮动汇55三、

从现实世界到数学模型

数学模型是沟通现实世界与数学世界的理想桥梁面对各类问题如何建立数学模型？三、从现实世界到数学模型数学模型是沟通现实世界与数学561.世界的末日？

当一个直径约为1000米的小行星正好在南极与南极洲大陆相撞,是否会产生灾难性的影响？1.世界的末日？当一个直径约为1000米的小行星572.如何控制喷泉的高度？

如何智能实时控制广场中央的喷泉高度，以避免水雾浸湿游客的衣衫？2.如何控制喷泉的高度？如何智能实时控制广场中583.地球会变暖了吗？能否根据地球过去50年的温度数据，推测地球气温将怎样变化？是否会即将出现“千年极寒”？3.地球会变暖了吗？能否根据地球过去50年的594.如何安排城市交通？巴黎凯旋门

在城市的交通要道，设置人流、汽车流的交通规则，避免交通阻塞，提高交通安全性.4.如何安排城市交通？巴黎凯旋门在城市的交通60

数学模型是对于现实世界的一个特定对象，为了一个特定目的，根据特有规律,做出必要的简化假设，运用适当的数学工具建立的一个数学结构.现实世界数学世界建立数学模型推理演绎求解翻译为实际解答数学模型是对于现实世界的一个特定对象，为了一个特61实际解答

对现实对象的描述、分析、预报、

决策、控制等结果始于现实世界并终于现实世界例1.3一场笔墨官司

美国原子能委员会（现为核管理委员会）处理浓缩放射性废物，是将废物放入密封性能很好的圆桶中，然后扔到水深300英尺的海里.

他们这种做法安全吗？实际解答对现实对象的描述、分析、预报、始于现实世界并终于62

分析可从各个角度去分析造成危险的因素，这里仅考虑圆桶泄露的可能.

联想：安全、危险问题的关键1）圆桶至多能承受多大的冲撞速度？

(40英尺/秒)2）圆桶和海底碰撞时的速度有多大？分析可从各个角度去分析造成危险的因素，这里仅考虑圆桶泄露63问题转为—求这种桶沉入300英尺的海底时的末速度.（原问题是什么?）可利用的数据条件：

圆桶的总重量W=527.327（磅）

圆桶受到的浮力B=470.327（磅）

圆桶下沉时受到的海水阻力D=Cv，C=0.08

思路利用牛顿第二定律，建立圆桶下沉位移y(t)满足的微分方程：

问题转为—求这种桶沉入300英尺的海底时的末速度.（原问题是64方程的解为方程的解为65

计算触底时的碰撞速度，需确定圆桶和海底的碰撞时间t0=？分析

考虑圆桶的极限速度≈713.86（英尺/秒）＞＞40（英尺/秒）

实际极限速度与圆桶的承受速度相差巨大！

计算触底时的碰撞速度，需确定圆桶和海底的碰撞时间t0=66结论

解决问题的方向是正确的.解决思路避开求t0的难点

令

v(t)=v(y(t)),其中y=y(t)是圆桶下沉位移

代入(1)得结论解决问题的方向是正确的.解决思路避开求t0的难点67两边积分得函数方程：

若能求出函数v=v(y),就可求出碰撞速度v(300).(试一试)两边积分得函数方程：若能求出函数v=v(y),就可68*用数值方法求出v(300)的近似值为

v(300)≈45.41（英尺/秒）＞40（英尺/秒）

*分析v=v(y)

是单调上升函数，而v

增大,y

也增大,可求出函数y=y(v)

两种解决思路：令v=40(英尺/秒)，g=32.2(英尺/秒)*用数值方法求出v(300)的近似值为v(300)≈4569y=238.4(英尺)＜300（英尺）问题的实际解答：

美国原子能委员会处理放射性废物的做法是极其危险的，必须改变.

算出y=238.4(英尺)＜300（英尺）问题的实际解答：70例1.2渡口模型(P22实例六)

一个渡口的渡船营运者拥有一只甲板长32米,可以并排停放两列车辆的渡船.他在考虑怎样在甲板上安排过河车辆的位置,才能安全地运过尽量多的车辆.

分析

怎样安排过河车辆，关心一次可以运多少辆各类车.

准备工作观察数日，发现每次情况不尽相同，得到下列数据和情况：例1.2渡口模型(P22实例六)一个渡口的渡船71(1)车辆随机到达，形成一个等待上船的车列；

这是一个机理较复杂的随机问题，是遵循“先到先服务”的随机排队问题.(2)来到车辆中,轿车约占40％，卡车约占55％,摩托车约占5％；(3)轿车车身长为3.5～5.5米,卡车车身长为8～10米.

(1)车辆随机到达，形成一个等待上船的车列；这72解决方法

采用模拟模型方法.分析

需考虑以下问题：(1)应该怎样安排摩托车？

(2)下一辆到达的车是什么类型？(3)怎样描述一辆车的车身长度？

(4)如何安排到达车辆加入甲板上两列车队中的哪一列中去？

解决方法采用模拟模型方法.分析需考虑以下问题：(1)73解决问题思路：(1)认为摩托车不会占有实际空间.(2)确定即将到达车辆类型，利用随机模拟方法00.550.951卡车轿车摩托车(3)确定随机到达车辆的身长车.解决问题思路：(1)认为摩托车不会占有实际空间.74汽车类型及车身长模拟原理分析(4)关于车辆的排放.

甲板可停放两列汽车，可供停车的总长为32×2=64米

排放原则两列尽可能均衡.(怎样实现？)

汽车类型及车身长模拟原理分析(4)关于车辆的排放.甲板可75

据人口学家们预测,到2033年,世界人口将突破100亿,每年增加近1亿人口,以后还会迅猛增长.人们开始考虑,我们赖以生存的地球究竟是否能承受如此的增长.现建立数学模型来预测人口的增长.

分析

设任意时刻的人口总数为N(t)，影响一个地区总人口数的最显著的因素应包括哪些？

例2.3人口增长模型据人口学家们预测,到2033年,世界人口将突破1076影响因素个体的出生、死亡

迁入、迁出

年龄结构

性别比例……影响因素个体的出生、死亡迁入、迁出年龄结构性别比例…77

现仅考虑出生和死亡对人口数的影响.

在时间段t内，出生和死亡人口数的变化将依赖于以下因素：1.时间间隔t的长短；

2.时间间隔开始时的人口基数.

1.建模过程

做最简单的假设：时间间隔t内的出生人数=b

N(t)t

时间间隔t内的死亡人数=d

N(t)t现仅考虑出生和死亡对人口数的影响.在时间段t78b和d分别是出生率和死亡率.得到一个初始模型N(t+t)N(t)=(bd)N(t)

t

（1）针对时间区间t的两种情况进一步讨论：1）t是一个确定的单位时间(比如t=1年)令

Nk=N(k)=N(k

t),k=1,2,3,…得到关于序列Nk,k=1,2,3,…的差分方程:Nk+1=(bd+1)Nk

k=1,2,3,…（2）b和d分别是出生率和死亡率.得到一个初始模型N(t+t79

根据上一年的人口数可推算出第二年的人口数以及逐年