测量误差基础知识-3课件

数字测图与GPS第三讲误差基础知识数字测图与GPS第三讲误差基础知识第三讲误差基础知识

观测误差

衡量观测质量的指标误差转播定律算数平均值及其中误差加权平均值及其中误差2第三讲误差基础知识观测误差23.1观测误差

测量中常见的问题距离测量

S1=56.743m≠S2=56.748m≠S3=56.745m

三角测量理论上：∠A+∠B+∠C=1800

实测中：∠A+∠B+∠C≠1800

高程测量理论上：h1+h2+h3+h4=0

实测中：

h1+h2+h3+h4≠033.1观测误差测量中常见的问题3

观测误差的概念

概念：被观测对象的观测值与真实值(理论值)的差值。一般用符号△表示：△=L观–X真（或X理论值）示例角度测量——三角形的闭合差：

W=∠A+∠B+∠C–180O

高程测量——闭合水准线路的高差闭合差：

fh

=Σhi43.1观测误差观测误差的概念43.1观测误差

观测误差产生的原因

测量设备：仪器及其附件

仪器制造：设计与实现间的差别。长期使用：部件磨损和环境影响。

观测者：作业员

仪器安置和操作目标瞄准和读数

外界环境：风、温度、日照等

大气折光、热胀冷缩等地球曲率、仪器升沉等

5

观测条件3.1观测误差观测误差产生的原因5观测条件3.1观测误差

观测误差原因示例

仪器的原因钢尺量距——刻划线刻划不均匀水准测量——水准仪的i角误差2022/10/2963.1观测误差观测误差原因示例2022/10/2263.1观测误差

观测人员的原因水准测量——标尺上读数2022/10/2971595?中丝读数：

1596?1597?3.1观测误差观测人员的原因2022/10/227

外界环境的原因高程测量——大气折光2022/10/298

水准测量

三角高程测量3.1观测误差外界环境的原因2022/10/228水准测量三角高程

观测误差的种类

误差产生原因与影响的性质不同，误差可分为：

系统误差:

各观测误差在大小、符号上表现出系统性；

具有一定的规律性，或为一常数；

偶然误差:

各观测误差在大小和符号上表现出偶然性；

单个误差而言，误差的大小和符号没有规律性；

大量的误差而言，具有一定的统计规律；

粗差：观测值中含有的误差较大或超过了规定的数值。93.1观测误差观测误差的种类93.1观测误差

系统误差的处理方法

系统误差处理方法1——采用数学模型改正

—钢尺量距—对钢尺鉴定获得丈量温度下实际尺长2022/10/29103.1观测误差系统误差的处理方法2022/10/22103.1观测误系统误差处理方法2—采用一定的作业方法消除与削弱

水准测量i角误差——观测作业：每测站前、后视距之差≤限值；

——数据处理：对观测数据进行改正；系统误差处理方法3—在测量数据处理将系统误差作为未知数中求解。113.1观测误差系统误差处理方法2—采用一定的作业方法消除与削弱113.

粗差的处理方法性质：观测值中所含“观测误差”已不属于误差范围，而是观测值中的“错误”。

解决办法：采取“多余观测”进行检核，予以剔除；

多余观测

对观测量进行重复观测；使多个观测量之间构成检核条件。

检核观测误差的大小、性质和观测质量，剔除粗差。123.1观测误差粗差的处理方法123.1观测误差

偶然误差的特性误差分布表13误差区间0.2”正误差负误差合计viVi/nviVi/nviVi/n0.0～0.2460.128450.126910.2540.2～0.4410.115400.112810.2270.4～0.6330.092330.092660.1840.6～0.8210.059230.064440.1230.8～1.0160.045170.047330.0921.0～1.2130.036130.036260.0721.2～1.450.01460.017110.0311.4～1.620.00640.01160.017>1.6000000和1770.4951810.5053581.0003.1观测误差偶然误差的特性13误差区间0.2”正误差负误差合计viVi

偶然误差的特性误差分布图——频率直方图2022/10/29143.1观测误差偶然误差的特性2022/10/22143.1观测误差

偶然误差的特性当观测次数足够多时偶然误差具有以下统计规律：限值特性——有界性在一定观测条件下，偶然误差的绝对值不超过一定的限值。小误差大概率特性——聚中性绝对值较小的偶然误差比绝对值大的出现的频率大。等值等概率特性——对称性绝对值相等的正负偶然误差出现的可能性大致相等。均值零特性

——抵偿性当观测次数无穷增多时，偶然误差的算术平均值为零。

偶然误差上述规律可以用数学公式加以描述。156.1观测误差偶然误差的特性156.1观测误差

误差分布图——分布曲线观测次数n→∞区间间隔d→0直方图→正态分布曲线163.1观测误差163.1观测误差误差分布曲线的特点

f(Δ)是偶函数，对称于纵轴；

当|Δ|减小时，f(Δ)增大；

——偶然误差的对称性、抵偿性

Δ=0时；f(Δ)有最大值

——偶然误差的聚中性

f(Δ)的渐近线为横轴，Δ→±∞时，f(Δ)→0；

——偶然误差的有界性173.1观测误差173.1观测误差误差分布曲线的特点曲线拐点Δ

=±σ

——当|σ|愈大时，曲线愈平缓，小误差的个数少且分散；

——当|σ|愈小时,曲线愈陡峭,小误差的个数多且集中。参数σ的值可以作为衡量观测质量的标准。2022/10/29183.1观测误差2022/10/22183.1观测误差3.2衡量观测质量的指标

观测质量的相关术语精度：指一组观测值的误差分布的密集或离散的程度。准确度：指观测值与真值的接近程度。精度好，表明观测误差分布得越密集，但并不等价于观测值离真值越接近，只说明观测值很稳定。准确度好则离真值越接近。同精度、不同精度观测条件相同——精度相同；观测条件不同——精度不同。193.2衡量观测质量的指标观测质量的相关术语19

评定观测质量的指标方差方差↘，精度↗；标准差中误差

——中误差m为标准差σ的估值20±σ=Δ拐（n→∞）（观测次数n→∞）（观测次数n→有限个数）6.2衡量观测质量的指标评定观测质量的指标20±σ=Δ拐（n→∞）（观测次数n

中误差21例1：某三角形用不同精度分别进行了2组各10次观测，三角形内角和的误差(闭合差)如下(单位秒)，求2组三角形闭合差的中误差。第一组：+3，-2，-4，+2，0，-4，+3，+2，-3，-1

第二组：0，-1，-7，+2，+1，+1，-8，0，+3，-1解：6.2衡量观测质量的指标中误差21例1：某三角形用不同精度分别进行了2组各10次观

极限误差（限差）——容许误差

由实验和误差理论可知，在大量同精度观测的一组误差中，误区间的概率分别为：

P（-σ＜Δ＜+σ）≈68.3%P（-2σ＜Δ＜+2σ）≈95.5%P（-3σ＜Δ＜+3σ）≈99.7%

大于3倍标准差的观测误差Δ出现的概率只有0.3%是小概率事件。因此，通常将2倍标准差作为偶然误差的极限值，称为极限误差。即：限=2σ或Δ限=2m226.2衡量观测质量的指标±σ=Δ拐226.2衡量观测质量的指标±σ=Δ拐

相对误差：误差的绝对值与相应观测值之比。23例2：线段AB长10m,线段CD长100m，均丈量两次，两次丈量值的差值分别为：ΔAB

=10㎝；ΔCD=20㎝,那条线段丈量的精度好？解：6.2衡量观测质量的指标23例2：线段AB长10m,线段CD长100m，均丈量两次

相对中误差：观测值中误差的绝对值与相应观测值之比。24例3:

丈量两段距离：L1=1000m；L2=80m，中误差分别为:

m1=±20mm，m2=±20mm，则那条线段丈量的精度好？解：6.2衡量观测质量的指标24例3:丈量两段距离：L1=1000m；L2=80

问题：

设有一般函数：Z=f（l1，l2，…lk）

式中li为独立观测值，其中误差为mi，(i=1，2，…k)，求

Z的中误差？例如256.3误差传播定律问题：256.3误差传播定律

误差传播定律的含义：

概念：阐述观测值中误差与观测值函数中误差之间关系的定律。其作用是根据观测值中误差求得观测值函数的中误差。

应用条件：在推导和运用误差传播定律时，函数中的自变量

观测值间应该是相互独立的，两两之间不能相互表达。例如：独立观测值：β1和β3、β2和β3、β3

和β4不独立的观测值：β1、β2和

β4

因为：β4

=β1

+

β2

263.3误差传播定律误差传播定律的含义：263.3误差传播定律6.3误差传播定律

误差传播定律的公式推导：

基本思想：由微分的定义式出发

Z=f（l1，l2，…lk）Z+△Z=Z真（或Z理）276.3误差传播定律误差传播定律的公式推导：27

误差传播定律的公式推导：286.3误差传播定律误差传播定律的公式推导：286.3误差传播定律

误差传播定律的特例

倍数关系29例4：设有函数Z=Cl，C为常数，l

为观测值。已知ml，求mZ。

函数Z的中误差：

解：

误差关系式：

构造中误差计算式：6.3误差传播定律误差传播定律的特例29例4：设有函数Z=Cl，C为常数

误差传播定律的特例

和差关系30例5：设有函数Z=l1

+l2

，

l1和l2互为独立观测值。

已知m1，m2，求mZ。

函数Z的中误差：

解：

误差关系式：

构造中误差计算式：0n→∞3.3误差传播定律误差传播定律的特例30例5：设有函数Z=l1+l

误差传播定律的特例

一般线性关系31例6：设有函数Z=C1

l1

+C2

l2

+…+Ck

lk

，

li互为独立观测值。

已知m1，m2，…

，mk，求mZ。

函数Z的中误差：

解：

误差关系式：

构造中误差计算式：3.3误差传播定律nCnCnCnkkz][][][][22222221212D++D+D=DÞL误差传播定律的特例31例6：设有函数Z=C1l132例7：已知A、B点坐标，观测了角度β和距离SAP，由A点求P点坐标的点位精度是多少？现已知：mxA、myA、

mTAB

、mβ和mS。解：1）列出函数关系式:Z=f（l1，l2，…lk）

3.3误差传播定律32例7：已知A、B点坐标，观测了角度β和距离SAP，由A点2022/10/29332）列出误差关系式3.3误差传播定律2022/10/22332）列出误差关系式3.3误差传播2022/10/29343）误差传播定律公式6.3误差传播定律2022/10/22343）误差传播定律公式6.3误差传2022/10/29353）计算P点点位中误差不考虑已知点位误差和已知方向误差3.3误差传播定律2022/10/22353）计算P点点位中误差不考虑已36例8：已知X=L1+L2，Y=(L1+L2)/2，Z=XY。

设L1，L2的中误差为m，

求X，Y，Z的中误差。解：3.3误差传播定律36例8：已知X=L1+L2，Y=(L1+

误差传播定律示例

由真误差计算中误差37例9：在相同条件下观测了24个三角形每一个内角，由观测值算得各三角形的角度闭合差如下（单位秒）：

-2.7，-0.6，+3.2，-1.9，+3.0，+1.7，+2.5，-0.8，-0.3，+2.6，-1.4，-0.1

+1.4，-0.6，-2.0，+3.6，+0.5，+1.2，-2.7，-0.6，+1.3，+1.5，-1.3，-0.8求每个三角形闭合差的中误差mω和三角形内角的测角中误差mβ。解：三角形闭合差为真误差Δω=ω-0=(A+B+C-1800）-0

即，Δω=ω=A+B+C-18003.3误差传播定律误差传播定律示例37例9：在相同条件下观测了24个三角形每38相同条件下观测了每一个内角(Ai、Bi、Ci

)，则有：3.3误差传播定律38相同条件下观测了每一个内角(Ai、Bi、Ci

误差传播定律示例

由双观测值的差数计算中误差

di=L1i-L2i

（i=1，2，3，…，n）39例10：对长度大致相同的8条边作等精度双次观测，结果如下。

编号：12345678

L1：103.478,99.556,100.373,101.763,103.350,98.885,101.004,102.293

L2：103.482,99.534,100.382,101.742,103.343,98.876,101.014,102.285求观测值中误差和每边的算术均值的中误差。3.3误差传播定律误差传播定律示例39例10：对长度大致相同的8条边作等精度40解：

8条长度大致相同边作等精度双次观测，则有：每条边的每次观测中误差相同3.3误差传播定律40解：8条长度大致相同边作等精度双次观测，则有：3.3

误差传播定律小结

应用步骤

第一步：列出函数式；

第二步：函数式求导，得出函数和观测值的误差关系式

第三步：套用误差传播定律。

注意事项

函数式中观测量（变量）相互间必须独立；

计算时各观测量的中误差的单位必须统一；如：点位中误差计算时，应将角度单位换算为弧度。412.3误差传播定律误差传播定律小结412.3误差传播定律3.4算术平均值及其中误差

算术平均值42例11：设在相同观测条件下，对未知量L观测了n

次，观测值为：

l1，l2，…，ln，求该未知量的最佳值？

解：L的观测值的算术平均值同精度条件下观测值的算术平均值可作为观测值的最佳值或最或然值同精度mi=m3.4算术平均值及其中误差算术平均值42例11：设在相算术平均值的中误差43例12：对观测值L观测n次，m1=m2

=…=mn

=m,求mx

?

解：结论：算术平均值的中误差为观测值中误差的倍3.4算术平均值及其中误差应用误差传播定律：算术平均值的中误差43例12：对观测值L观测n次，m1

改正数:概念：算术平均值(最或是值）与观测值之差称为观测值的改正数。一般用小写字母V表示：特性443.4算术平均值及其中误差改正数:443.4算术平均值及其中误差

由改正数计算中误差453.4算术平均值及其中误差453.4算术平均值及其中误差中误差计算公式解释3.4算术平均值及其中误差真误差计算中误差（真值已知，同精度，同一观测量）改正数计算中误差（真值未知，同精度，同一观测量）中误差计算一般公式（真值未知，同精度，t个观测量）多余观测量中误差计算公式解释3.4算术平均值及其中误差真误差计算中

改正数计算中误差示例47例13：对某段距离同精度测量了4次，四次丈量值分别为：

25.066m,25.068m,25.056m,25.062m；试求该段距离的最或然值、观测值中误差及最或然值中误差。解：次序观测值l/m改正数v/mmvv/mm2计算:m,mx125.066-39225.068-525325.056+749425.062+11∑x=25.0630.0843.4算术平均值及其中误差改正数计算中误差示例47例13：对某段距离同精度测量了4次

问题：

在测量工作中，通常是对某一未知量进行了n次不同精度观测，如何根据这些不同精度的观测值求出未知量的最或然值，并评定它们的精度呢？2022/10/2948例13：某距离丈量了两组：

第一组4次丈量后得L1；第二组6次丈量后得L2

；若每次测量中误差为m，求该距离的最或然值及其中误差？

解：由误差传播定律3.5加权平均值及其中误差问题：2022/10/2248例13：某距离丈量了两组：2022/10/2949第一组：l1,l2,l3,l4

第二组：l5,l6,l7,l8,l9,l103.5加权平均值及其中误差2022/10/2249第一组：l1,l2,

权定义与广义算术平均值

广义算术平均值（加权平均值）定义

加权平均值的精度：50在误差理论中，定义权C是常数，又称为单位权中误差。一般用表示。3.5加权平均值及其中误差权定义与广义算术平均值50在误差理论中，定义权C是常数，又51

解：每一次测量中误差为m，则：第一组丈量：3次：第二组丈量：2次：第三组丈量：1次：计算加权平均值与单位权大小无关3.5加权平均值及其中误差

例14：某距离丈量了三组：第一组丈量：3次；第二组丈量：2次；第三组丈量：1次；若每次测量中误差为m，求该距离的最或然值？51解：每一次测量中误差为m，则：第一组丈量：3次：第二组52解：

例15：已知L1，L2，L3的中误差:

m1=±3mm；

m2=±4mm;

m3=±5mm，求各观测值的权。3.5加权平均值及其中误差52解：例15：已知L1，L2，L3的中误差:m1=权的特性

选定一个m0值就对应一组权，或一组权必对应一个m0值；权的大小随m0值不同而异,但权之间的比例关系始终不变

若观测值Li

是同类型的，其权是无单位；若观测值Li

是不同类型的，权的单位要视具体情况而定。53计算加权平均值时，观测值权的计算必须采用同一m0

值，否则将破坏权之间的比例关系。3.5加权平均值及其中误差权的特性53计算加权平均值时，观测值权的计算必须采用同一m

定权方法

54

例16：在每公里测距精度mkm的相同条件下测量了三条边，得：

S1=3km；S2=4km；S3=5km,求各边的中误差和权。每公里同精度测距时，测距中误差与距离S的平方根成正比，距离的权与距离S成反比

解：3.5加权平均值及其中误差定权方法54例16：在每公里测距精度mkm的相同条件下2022/10/2955例17：水准测量中每测站高差的测量中误差m站相同的条件下，测了三条水准路线，各路线测站数分别为：n1、n2、n3，求每条水准路线的高差中误差和权。

水准测量中，高差中误差与测站数n的平方根成正比，高差的权与测站数n成反比。

解：3.5加权平均值及其中误差2022/10/2255例17：水准测量中每测站高差的测量中2022/10/2956例18：水准测量中每公里高差的测量中误差mkm相同的条件下，测了三条水准路线，各路线长度分别为：S1、S2、S3，求每条水准路线的高差中误差和权。水准测量中，高差中误差与路线长度S的平方根成正比，高差的权与路线长度S成反比.

解：3.5加权平均值及其中误差2022/10/2256例18：水准测量中每公里高差的测量中57例19：对某角做三组观测，第1组测4测回，算术平均值β1；第2组测6测回，算术平均值β2；第3组测8测回，算术平均值β3。设每测回中误差均为m。求β1、β2、β3的中误差和权。

解：测角均值中误差与测回数的平方根成反比，其权与测回数成正比.3.5加权平均值及其中误差57例19：对某角做三组观测，第1组测4测回，算术平均值β13.5加权平均值及其中误差

定权方法小结

距离测量：

水准测量：

角度测量（m为一测回中误差）：58C为常数，其选取与单位权的选取一样3.5加权平均值及其中误差定权方法小结58C为常数权倒数传播律59例20：观测值函数为:Z=f(L1，L2，…，Ln)，L1，…，Ln

为独立观测值，中误差分别为：m1，…，mn；权分别为：P1，…，Pn；求观测值函数的Z权PZ=?

解：3.5加权平均值及其中误差

权倒数传播定理：权倒数传播律59例20：观测值函数为:Z=f(L160

例21：求加权平均值x

的权Px。

解：加权平均值的权等于各观测值的权的和。3.5加权平均值及其中误差

其结论可以用权倒数传播定律导出（课堂练习）。60例21：求加权平均值x的权Px。解：加权平均

不同精度条件下的中误差由真误差计算单位权中误差和最或然值的中误差。61例22：不同精度独立观测值：

L1,…,Ln；权分别为：P1,…，Pn

；求单位权中误差、最或然值的中误差。

解：令则：因此，可得同精度的误差式：由误差传播定律得：为同精度观测值；3.5加权平均值及其中误差iL¢不同精度条件下的中误差61例22：不同精度独立观测值：L623.5加权平均值及其中误差623.5加权平均值及其中误差

由改正数计算单位权中误差和最或然值的中误差63例22：不同精度独立观测值：

L1,…,Ln；权分别为：P1,…，Pn

；求单位权中误差、最或然值的中误差。

解：3.5加权平均值及其中误差由改正数计算单位权中误差和最或然值的中误差63例22：不同64例23：从4个已知水准点经四条水准路线求得A点的高程分别为：H1=48.759m；H2=48.784m；H3=48.758m；H4=48.767m；四条路线长度为：S1=45.6km；S2=32.8km；S3=40.3km；S4=51.4km。求A点的最或然高程即其中误差。

解：3.5加权平均值及其中误差64例23：从4个已知水准点经四条水准路线求得A点的高程分别小结

最或然值及精度评定65项目等精度条件下不等精度条件下中误差真误差计算改正数计算最或然值最或然值中误差观测值中误差小结最或然值及精度评定65项目等精度条件下不等精度

误差传播律66

改正数：

真误差：

误差传播定律:

权倒数传播律:小结误差传播律66改正数：真误差：误差传播定律:权倒数第三讲课后思考题1.什么是测量误差？测量误差根据其所表现出来的特性可分为哪几种类型，不同类型的处理方式是怎样的？2.偶然误差有哪些特性？3.观测值的算术平均值为什么可作为其最佳估值（真值）？4.真误差与改正数有什么区别？5.误差传播定率应用的前提条件是什么？6.什么是权？权与观测值精度间有何关系？7.角度、距离和水准测量中是怎么样定权的?67第三讲课后思考题1.什么是测量误差？测量误差根据其所表现出8.某经纬仪的一测回一方向中误差为10″，求3测回测得的水角的中误差。9.由三角形闭合差计算得3测回水平角的平均值的中误差为2″，求一测回一方向的中误差。10.四等水准测量时某水准仪的每次读数的中误差为1.5mm，求：前后视距差的中误差、一个测站的高差中数（黑红面高差的平均值）的中误差、5个测站高差之和的中误差、黑红面高差之差的限差。11.用某经纬仪观测同一个角度，第一次测了10测回，第二次测了7测回，第三次测了4测回，设1测回角度的中误差为单位权中误差，求各次观测均值的权。68第六讲课后思考题8.某经纬仪的一测回一方向中误差为10″，求3测回测得的水角

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观测误差

衡量观测质量的指标误差转播定律算数平均值及其中误差加权平均值及其中误差71第三讲误差基础知识观测误差23.1观测误差

测量中常见的问题距离测量

S1=56.743m≠S2=56.748m≠S3=56.745m

三角测量理论上：∠A+∠B+∠C=1800

实测中：∠A+∠B+∠C≠1800

高程测量理论上：h1+h2+h3+h4=0

实测中：

h1+h2+h3+h4≠0723.1观测误差测量中常见的问题3

观测误差的概念

概念：被观测对象的观测值与真实值(理论值)的差值。一般用符号△表示：△=L观–X真（或X理论值）示例角度测量——三角形的闭合差：

W=∠A+∠B+∠C–180O

高程测量——闭合水准线路的高差闭合差：

fh

=Σhi733.1观测误差观测误差的概念43.1观测误差

观测误差产生的原因

测量设备：仪器及其附件

仪器制造：设计与实现间的差别。长期使用：部件磨损和环境影响。

观测者：作业员

仪器安置和操作目标瞄准和读数

外界环境：风、温度、日照等

大气折光、热胀冷缩等地球曲率、仪器升沉等

74

观测条件3.1观测误差观测误差产生的原因5观测条件3.1观测误差

观测误差原因示例

仪器的原因钢尺量距——刻划线刻划不均匀水准测量——水准仪的i角误差2022/10/29753.1观测误差观测误差原因示例2022/10/2263.1观测误差

观测人员的原因水准测量——标尺上读数2022/10/29761595?中丝读数：

1596?1597?3.1观测误差观测人员的原因2022/10/227

外界环境的原因高程测量——大气折光2022/10/2977

水准测量

三角高程测量3.1观测误差外界环境的原因2022/10/228水准测量三角高程

观测误差的种类

误差产生原因与影响的性质不同，误差可分为：

系统误差:

各观测误差在大小、符号上表现出系统性；

具有一定的规律性，或为一常数；

偶然误差:

各观测误差在大小和符号上表现出偶然性；

单个误差而言，误差的大小和符号没有规律性；

大量的误差而言，具有一定的统计规律；

粗差：观测值中含有的误差较大或超过了规定的数值。783.1观测误差观测误差的种类93.1观测误差

系统误差的处理方法

系统误差处理方法1——采用数学模型改正

—钢尺量距—对钢尺鉴定获得丈量温度下实际尺长2022/10/29793.1观测误差系统误差的处理方法2022/10/22103.1观测误系统误差处理方法2—采用一定的作业方法消除与削弱

水准测量i角误差——观测作业：每测站前、后视距之差≤限值；

——数据处理：对观测数据进行改正；系统误差处理方法3—在测量数据处理将系统误差作为未知数中求解。803.1观测误差系统误差处理方法2—采用一定的作业方法消除与削弱113.

粗差的处理方法性质：观测值中所含“观测误差”已不属于误差范围，而是观测值中的“错误”。

解决办法：采取“多余观测”进行检核，予以剔除；

多余观测

对观测量进行重复观测；使多个观测量之间构成检核条件。

检核观测误差的大小、性质和观测质量，剔除粗差。813.1观测误差粗差的处理方法123.1观测误差

偶然误差的特性误差分布表82误差区间0.2”正误差负误差合计viVi/nviVi/nviVi/n0.0～0.2460.128450.126910.2540.2～0.4410.115400.112810.2270.4～0.6330.092330.092660.1840.6～0.8210.059230.064440.1230.8～1.0160.045170.047330.0921.0～1.2130.036130.036260.0721.2～1.450.01460.017110.0311.4～1.620.00640.01160.017>1.6000000和1770.4951810.5053581.0003.1观测误差偶然误差的特性13误差区间0.2”正误差负误差合计viVi

偶然误差的特性误差分布图——频率直方图2022/10/29833.1观测误差偶然误差的特性2022/10/22143.1观测误差

偶然误差的特性当观测次数足够多时偶然误差具有以下统计规律：限值特性——有界性在一定观测条件下，偶然误差的绝对值不超过一定的限值。小误差大概率特性——聚中性绝对值较小的偶然误差比绝对值大的出现的频率大。等值等概率特性——对称性绝对值相等的正负偶然误差出现的可能性大致相等。均值零特性

——抵偿性当观测次数无穷增多时，偶然误差的算术平均值为零。

偶然误差上述规律可以用数学公式加以描述。846.1观测误差偶然误差的特性156.1观测误差

误差分布图——分布曲线观测次数n→∞区间间隔d→0直方图→正态分布曲线853.1观测误差163.1观测误差误差分布曲线的特点

f(Δ)是偶函数，对称于纵轴；

当|Δ|减小时，f(Δ)增大；

——偶然误差的对称性、抵偿性

Δ=0时；f(Δ)有最大值

——偶然误差的聚中性

f(Δ)的渐近线为横轴，Δ→±∞时，f(Δ)→0；

——偶然误差的有界性863.1观测误差173.1观测误差误差分布曲线的特点曲线拐点Δ

=±σ

——当|σ|愈大时，曲线愈平缓，小误差的个数少且分散；

——当|σ|愈小时,曲线愈陡峭,小误差的个数多且集中。参数σ的值可以作为衡量观测质量的标准。2022/10/29873.1观测误差2022/10/22183.1观测误差3.2衡量观测质量的指标

观测质量的相关术语精度：指一组观测值的误差分布的密集或离散的程度。准确度：指观测值与真值的接近程度。精度好，表明观测误差分布得越密集，但并不等价于观测值离真值越接近，只说明观测值很稳定。准确度好则离真值越接近。同精度、不同精度观测条件相同——精度相同；观测条件不同——精度不同。883.2衡量观测质量的指标观测质量的相关术语19

评定观测质量的指标方差方差↘，精度↗；标准差中误差

——中误差m为标准差σ的估值89±σ=Δ拐（n→∞）（观测次数n→∞）（观测次数n→有限个数）6.2衡量观测质量的指标评定观测质量的指标20±σ=Δ拐（n→∞）（观测次数n

中误差90例1：某三角形用不同精度分别进行了2组各10次观测，三角形内角和的误差(闭合差)如下(单位秒)，求2组三角形闭合差的中误差。第一组：+3，-2，-4，+2，0，-4，+3，+2，-3，-1

第二组：0，-1，-7，+2，+1，+1，-8，0，+3，-1解：6.2衡量观测质量的指标中误差21例1：某三角形用不同精度分别进行了2组各10次观

极限误差（限差）——容许误差

由实验和误差理论可知，在大量同精度观测的一组误差中，误区间的概率分别为：

P（-σ＜Δ＜+σ）≈68.3%P（-2σ＜Δ＜+2σ）≈95.5%P（-3σ＜Δ＜+3σ）≈99.7%

大于3倍标准差的观测误差Δ出现的概率只有0.3%是小概率事件。因此，通常将2倍标准差作为偶然误差的极限值，称为极限误差。即：限=2σ或Δ限=2m916.2衡量观测质量的指标±σ=Δ拐226.2衡量观测质量的指标±σ=Δ拐

相对误差：误差的绝对值与相应观测值之比。92例2：线段AB长10m,线段CD长100m，均丈量两次，两次丈量值的差值分别为：ΔAB

=10㎝；ΔCD=20㎝,那条线段丈量的精度好？解：6.2衡量观测质量的指标23例2：线段AB长10m,线段CD长100m，均丈量两次

相对中误差：观测值中误差的绝对值与相应观测值之比。93例3:

丈量两段距离：L1=1000m；L2=80m，中误差分别为:

m1=±20mm，m2=±20mm，则那条线段丈量的精度好？解：6.2衡量观测质量的指标24例3:丈量两段距离：L1=1000m；L2=80

问题：

设有一般函数：Z=f（l1，l2，…lk）

式中li为独立观测值，其中误差为mi，(i=1，2，…k)，求

Z的中误差？例如946.3误差传播定律问题：256.3误差传播定律

误差传播定律的含义：

概念：阐述观测值中误差与观测值函数中误差之间关系的定律。其作用是根据观测值中误差求得观测值函数的中误差。

应用条件：在推导和运用误差传播定律时，函数中的自变量

观测值间应该是相互独立的，两两之间不能相互表达。例如：独立观测值：β1和β3、β2和β3、β3

和β4不独立的观测值：β1、β2和

β4

因为：β4

=β1

+

β2

953.3误差传播定律误差传播定律的含义：263.3误差传播定律6.3误差传播定律

误差传播定律的公式推导：

基本思想：由微分的定义式出发

Z=f（l1，l2，…lk）Z+△Z=Z真（或Z理）966.3误差传播定律误差传播定律的公式推导：27

误差传播定律的公式推导：976.3误差传播定律误差传播定律的公式推导：286.3误差传播定律

误差传播定律的特例

倍数关系98例4：设有函数Z=Cl，C为常数，l

为观测值。已知ml，求mZ。

函数Z的中误差：

解：

误差关系式：

构造中误差计算式：6.3误差传播定律误差传播定律的特例29例4：设有函数Z=Cl，C为常数

误差传播定律的特例

和差关系99例5：设有函数Z=l1

+l2

，

l1和l2互为独立观测值。

已知m1，m2，求mZ。

函数Z的中误差：

解：

误差关系式：

构造中误差计算式：0n→∞3.3误差传播定律误差传播定律的特例30例5：设有函数Z=l1+l

误差传播定律的特例

一般线性关系100例6：设有函数Z=C1

l1

+C2

l2

+…+Ck

lk

，

li互为独立观测值。

已知m1，m2，…

，mk，求mZ。

函数Z的中误差：

解：

误差关系式：

构造中误差计算式：3.3误差传播定律nCnCnCnkkz][][][][22222221212D++D+D=DÞL误差传播定律的特例31例6：设有函数Z=C1l1101例7：已知A、B点坐标，观测了角度β和距离SAP，由A点求P点坐标的点位精度是多少？现已知：mxA、myA、

mTAB

、mβ和mS。解：1）列出函数关系式:Z=f（l1，l2，…lk）

3.3误差传播定律32例7：已知A、B点坐标，观测了角度β和距离SAP，由A点2022/10/291022）列出误差关系式3.3误差传播定律2022/10/22332）列出误差关系式3.3误差传播2022/10/291033）误差传播定律公式6.3误差传播定律2022/10/22343）误差传播定律公式6.3误差传2022/10/291043）计算P点点位中误差不考虑已知点位误差和已知方向误差3.3误差传播定律2022/10/22353）计算P点点位中误差不考虑已105例8：已知X=L1+L2，Y=(L1+L2)/2，Z=XY。

设L1，L2的中误差为m，

求X，Y，Z的中误差。解：3.3误差传播定律36例8：已知X=L1+L2，Y=(L1+

误差传播定律示例

由真误差计算中误差106例9：在相同条件下观测了24个三角形每一个内角，由观测值算得各三角形的角度闭合差如下（单位秒）：

-2.7，-0.6，+3.2，-1.9，+3.0，+1.7，+2.5，-0.8，-0.3，+2.6，-1.4，-0.1

+1.4，-0.6，-2.0，+3.6，+0.5，+1.2，-2.7，-0.6，+1.3，+1.5，-1.3，-0.8求每个三角形闭合差的中误差mω和三角形内角的测角中误差mβ。解：三角形闭合差为真误差Δω=ω-0=(A+B+C-1800）-0

即，Δω=ω=A+B+C-18003.3误差传播定律误差传播定律示例37例9：在相同条件下观测了24个三角形每107相同条件下观测了每一个内角(Ai、Bi、Ci

)，则有：3.3误差传播定律38相同条件下观测了每一个内角(Ai、Bi、Ci

误差传播定律示例

由双观测值的差数计算中误差

di=L1i-L2i

（i=1，2，3，…，n）108例10：对长度大致相同的8条边作等精度双次观测，结果如下。

编号：12345678

L1：103.478,99.556,100.373,101.763,103.350,98.885,101.004,102.293

L2：103.482,99.534,100.382,101.742,103.343,98.876,101.014,102.285求观测值中误差和每边的算术均值的中误差。3.3误差传播定律误差传播定律示例39例10：对长度大致相同的8条边作等精度109解：

8条长度大致相同边作等精度双次观测，则有：每条边的每次观测中误差相同3.3误差传播定律40解：8条长度大致相同边作等精度双次观测，则有：3.3

误差传播定律小结

应用步骤

第一步：列出函数式；

第二步：函数式求导，得出函数和观测值的误差关系式

第三步：套用误差传播定律。

注意事项

函数式中观测量（变量）相互间必须独立；

计算时各观测量的中误差的单位必须统一；如：点位中误差计算时，应将角度单位换算为弧度。1102.3误差传播定律误差传播定律小结412.3误差传播定律3.4算术平均值及其中误差

算术平均值111例11：设在相同观测条件下，对未知量L观测了n

次，观测值为：

l1，l2，…，ln，求该未知量的最佳值？

解：L的观测值的算术平均值同精度条件下观测值的算术平均值可作为观测值的最佳值或最或然值同精度mi=m3.4算术平均值及其中误差算术平均值42例11：设在相算术平均值的中误差112例12：对观测值L观测n次，m1=m2

=…=mn

=m,求mx

?

解：结论：算术平均值的中误差为观测值中误差的倍3.4算术平均值及其中误差应用误差传播定律：算术平均值的中误差43例12：对观测值L观测n次，m1

改正数:概念：算术平均值(最或是值）与观测值之差称为观测值的改正数。一般用小写字母V表示：特性1133.4算术平均值及其中误差改正数:443.4算术平均值及其中误差

由改正数计算中误差1143.4算术平均值及其中误差453.4算术平均值及其中误差中误差计算公式解释3.4算术平均值及其中误差真误差计算中误差（真值已知，同精度，同一观测量）改正数计算中误差（真值未知，同精度，同一观测量）中误差计算一般公式（真值未知，同精度，t个观测量）多余观测量中误差计算公式解释3.4算术平均值及其中误差真误差计算中

改正数计算中误差示例116例13：对某段距离同精度测量了4次，四次丈量值分别为：

25.066m,25.068m,25.056m,25.062m；试求该段距离的最或然值、观测值中误差及最或然值中误差。解：次序观测值l/m改正数v/mmvv/mm2计算:m,mx125.066-39225.068-525325.056+749425.062+11∑x=25.0630.0843.4算术平均值及其中误差改正数计算中误差示例47例13：对某段距离同精度测量了4次

问题：

在测量工作中，通常是对某一未知量进行了n次不同精度观测，如何根据这些不同精度的观测值求出未知量的最或然值，并评定它们的精度呢？2022/10/29117例13：某距离丈量了两组：

第一组4次丈量后得L1；第二组6次丈量后得L2

；若每次测量中误差为m，求该距离的最或然值及其中误差？

解：由误差传播定律3.5加权平均值及其中误差问题：2022/10/2248例13：某距离丈量了两组：2022/10/29118第一组：l1,l2,l3,l4

第二组：l5,l6,l7,l8,l9,l103.5加权平均值及其中误差2022/10/2249第一组：l1,l2,

权定义与广义算术平均值

广义算术平均值（加权平均值）定义

加权平均值的精度：119在误差理论中，定义权C是常数，又称为单位权中误差。一般用表示。3.5加权平均值及其中误差权定义与广义算术平均值50在误差理论中，定义权C是常数，又120

解：每一次测量中误差为m，则：第一组丈量：3次：第二组丈量：2次：第三组丈量：1次：计算加权平均值与单位权大小无关3.5加权平均值及其中误差

例14：某距离丈量了三组：第一组丈量：3次；第二组丈量：2次；第三组丈量：1次；若每次测量中误差为m，求该距离的最或然值？51解：每一次测量中误差为m，则：第一组丈量：3次：第二组121解：

例15：已知L1，L2，L3的中误差:

m1=±3mm；

m2=±4mm;

m3=±5mm，求各观测值的权。3.5加权平均值及其中误差52解：例15：已知L1，L2，L3的中误差:m1=权的特性

选定一个m0值就对应一组权，或一组权必对应一个m0值；权的大小随m0值不同而异,但权之间的比例关系始终不变

若观测值Li

是同类型的，其权是无单位；若观测值Li

是不同类型的，权的单位要视具体情况而定。122计算加权平均值时，观测值权的计算必须采用同一m0

值，否则将破坏权之间的比例关系。3.5加权平均值及其中误差权的特性53计算加权平均值时，观测值权的计算必须采用同一m

定权方法

123

例16：在每公里测距精度mkm的相同条件下测量了三条边，得：

S1=3km；S2=4km；S3=5km,求各边的中误差和权。每公里同精度测距时，测距中误差与距离S的平方根成正比，距离的权与距离S成反比

解：3.5加权平均值及其中误差定权方法54例16：在每公里测距精度mkm的相同条件下2022/10/2