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文档简介

届高考数学一轮复习解答题之立体几何专练1.如图,和都是边长为2的正三角形,且它们所在平面互相垂直.平面,且.(1)设P是的中点,求证:平面.(2)求二面角的正弦值.2.如图,直三棱柱的体积为4,的面积为.

(1)求A到平面的距离;

(2)设D为的中点,,平面平面,求二面角的正弦值.3.如图,在三棱台中,底面是边长为2的正三角形,侧面为等腰梯形,且,D为的中点.(1)证明:;(2)记二面角的大小为,时,求直线与平面所成角的正弦值的取值范围.4.如图,在棱柱中,平面ABCD,四边形ABCD是菱形,,点N为AD的中点,且.(1)设M是线段上一点,且.试问:是否存在点M,使得直线平面MNC?若存在,请证明平面MNC,并求出的值;若不存在,请说明理由;(2)求二面角的余弦值.5.已知四棱柱的底面为菱形,平面.(1)证明:平面;(2)求二面角的余弦值.6.如图,在四棱锥中,平面ABCD,底面ABCD是边长为2的正方形,,M为线段PC上一点.(1)若平面平面,证明:;(2)若二面角的平面角为,求三棱锥的体积.7.如图,在多面体ABCDEF中,四边形BCEF是矩形,,.(1)证明:;(2)求直线AF与平面MBD所成角的正弦值.8.如图,在四棱锥中,底面ABCD是边长为1的菱形,,E为AD的中点,平面ABCD,F为PC上的一点,且.(1)证明:平面BEF;(2)若二面角的平面角为30°,求四棱锥的体积.9.如图,在平面五边形ABCDE中是边长为2的等边三角形,四边形ABCD是直角梯形,其中.将沿AD折起,使得点E到达点M的位置,且使.(1)求证:平面平面ABCD;(2)设点P为棱CM上靠近点C的三等分点,求平面PBD与平面MAD所成的二面角的正弦值.10.如图,四棱锥的底面为矩形,平面平面,是边长为2的等边三角形,,点E为的中点,点M为上一点(与点不重合).(1)证明:.(2)当为何值时,直线与平面所成的角最大?

答案以及解析1.答案:(1)见解析(2)解析:(1)证明:取的中点O,连接.是正三角形,.∵平面平面,平面平面,平面.平面,.在中,,.又,为等腰三角形.是的中点,.平面,.平面平面,平面.(2)由(1)知,,∴四边形为平行四边形,,.以点O为坐标原点,以的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向,建立如图的空间直角坐标系,则,,.设平面的法向量为,则即令,则,.设平面的法向量为,则即令,则,..,∴二面角的正弦值为.2.答案:(1)(2)解析:(1)设点A到平面的距离为h,

因为直三棱柱的体积为4,

所以,

又的面积为,,

所以,即点A到平面的距离为.

(2)取的中点E,连接AE,则,

因为平面平面,平面平面,

所以平面,所以,

又平面ABC,

所以,因为,所以平面,

所以.

以B为坐标原点,分别以,,的方向为x,y,z轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系,

由(1)知,,所以,,

因为的面积为,所以,所以,

所以,,,,,,

则,,

设平面ABD的法向量为,

则即

令,得,

又平面BDC的一个法向量为,

所以,

设二面角的平面角为,

则,

所以二面角的正弦值为.3.答案:(1)见解析(2)解析:(1)如图,取AC的中点M,连接DM,BM,在等腰梯形中,D,M分别为,AC的中点,.在正三角形ABC中,M为AC的中点,.,DM,平面BDM,平面BDM.又平面BDM,.(2),,为二面角的平面角,即.平面BDM,在平面BDM内作,以M为坐标原点,以,,的方向分别为x,y,z轴正方向,建立如图所示空间直角坐标系,则,,,,,,则,.设平面的法向量为,则有即令,则,,则.设直线与平面所成角为,又,.,,.4.答案:(1)存在,.(2)余弦值为.解析:(1)取的中点P,连接CP交于点M,点M即为所求.证明:连接PN,因为N是AD的中点,P是的中点,所以,又平面MNC,平面MNC,所以直线平面MNC.因为,所以.所以.(2)连接AC.由(1)知.又平面ABCD,所以平面ABCD.因为,四边形ABCD是菱形,所以为正三角形,所以.以N为坐标原点,NC,ND,NP所在的直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系.又,所以,所以点,则.设平面的法向量,则即令,得.设平面的法向量,则即令,得,所以,由图易得二面角为锐角,所以二面角的余弦值为.5.答案:(1)见解析(2)解析:(1)连接交于点,连接,易知为的中点,为的中点,在中,,平面平面,平面.(2)连接平面,且为的中点,,平面且,平面.如图,以为坐标原点,所在直线分别为轴,建立空间直角坐标系.易得,,设平面的法向量为,则令,得,.同理可得平面的一个法向量为,,结合图形知,二面角为钝二面角,二面角的余弦值为.6.答案:(1)见解析.(2)见解析.解析:(1)因为底面ABCD是正方形,所以.又因为平面平面PCD,所以平面PCD.又平面平面,所以.又因为,所以.(2)由题易知AD,AB,AP两两垂直.以A为坐标原点,AD为x轴,AB为y轴,AP为z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则,设,则,则.设平面AMB的法向量为,则,即,令,则.设平面AMD的法向量为,则,即,令,则,因为二面角的平面角为,是钝角,所以,解得,则,所以M为线段PC的中点,点M到平面PAD的距离为1,所以.7.答案:(1)证明过程见解析.(2)正弦值为.解析:(1)如图,取AD的中点O,连接OB,OF,则.因为,所以,所以四边形OBCD是正方形,.因为四边形BCEF是矩形,所以.因为,所以平面OBF,又平面OBF,所以,所以.因为,所以.因为,所以,所以.又,所以平面ADEF,又平面ADEF,所以.(2)以O为坐标原点,OA,OB,OF所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则.所以,由,得,所以,所以.设平面MBD的法向量,则,所以,令,则,所以.设直线AF与平面MBD所成的角为,则.直线AF与平面MBD所成角的正弦值为.8.答案:(1)见解析.(2)体积为.解析:(1)证明:如图,连接AC交BE于G,连接FG.因为底面ABCD是菱形,所以.又E为AD的中点,所以,所以.因为,即,所以,所以.又平面BEF,平面BEF,所以平面BEF.(2)在中,,所以由余弦定理得,即,所以,所以.如图,以E为坐标原点,EA所在直线为x轴,EB所在直线为y轴,EP所在直线为z轴,建立空间直角坐标系.令,则,所以.因为,所以平面PBE,所以平面PBE的一个法向量为.设平面BEF的法向量为,由,可得.因为,所以,即有,令,则,所以.由二面角的平面角为30°,得,即,解得(负值舍去),所以,所以.9.答案:(1)见解析.(2)正弦值为.解析:如图,取AD的中点N,连接MN,BN.因为是等边三角形,所以,且,在直角梯形ABCD中,因为,所以四边形BCDN是矩形,所以,且,所以,即,又,所以平面MAD.因为平面ABCD,所以平面平面ABCD.(2)由(1)知NA,NB,NM两两互相垂直,以N为坐标原点,直线NA为x轴、NB为y轴、NM为z轴建立如图所示的空间直角坐标系,根据题意,,由P是棱CM的靠近点C的三等分点得,,设平面PBD的一个法向量为,则即令,则,故平面BDP的一个法向量为.而平面MAD的一个法向量为,设平面PBD与平面MAD所成的二面角的平面角为,则,所以,所以平面PBD与平面MAD所成的二面角的正弦值为.10.答案:(1)见解析(2)30°解析:(1)证明:如图,连接,交于点F因为四边形为矩形,,点E为的中点,所以,,所以,则.因为,所以,所以,则.因为是边长为2的等边三角形,点E为的中点,所以.因为平面平面,平面平

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