2023届高考数学一轮复习解答题之立体几何专练卷（含解析）

届高考数学一轮复习解答题之立体几何专练1.如图,和都是边长为2的正三角形,且它们所在平面互相垂直.平面,且.(1)设P是的中点,求证:平面.(2)求二面角的正弦值.2.如图，直三棱柱的体积为4，的面积为.

（1）求A到平面的距离；

（2）设D为的中点，，平面平面，求二面角的正弦值.3.如图，在三棱台中，底面是边长为2的正三角形，侧面为等腰梯形，且，D为的中点.（1）证明：；（2）记二面角的大小为，时，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围.4.如图，在棱柱中，平面ABCD，四边形ABCD是菱形，，点N为AD的中点，且.(1)设M是线段上一点，且.试问：是否存在点M，使得直线平面MNC？若存在，请证明平面MNC，并求出的值；若不存在，请说明理由；(2)求二面角的余弦值.5.已知四棱柱的底面为菱形,平面.(1)证明:平面;(2)求二面角的余弦值.6.如图，在四棱锥中，平面ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形，，M为线段PC上一点.(1)若平面平面，证明：；(2)若二面角的平面角为，求三棱锥的体积.7.如图，在多面体ABCDEF中，四边形BCEF是矩形，，.(1)证明：；(2)求直线AF与平面MBD所成角的正弦值.8.如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为1的菱形，，E为AD的中点，平面ABCD，F为PC上的一点，且.(1)证明：平面BEF；(2)若二面角的平面角为30°，求四棱锥的体积.9.如图，在平面五边形ABCDE中是边长为2的等边三角形，四边形ABCD是直角梯形，其中.将沿AD折起，使得点E到达点M的位置，且使.(1)求证：平面平面ABCD；(2)设点P为棱CM上靠近点C的三等分点，求平面PBD与平面MAD所成的二面角的正弦值.10.如图,四棱锥的底面为矩形,平面平面,是边长为2的等边三角形,,点E为的中点,点M为上一点(与点不重合).(1)证明:.(2)当为何值时,直线与平面所成的角最大?

答案以及解析1.答案：(1)见解析(2)解析：(1)证明：取的中点O,连接.是正三角形,.∵平面平面,平面平面,平面.平面,.在中,,.又,为等腰三角形.是的中点,.平面,.平面平面,平面.(2)由(1)知,,∴四边形为平行四边形,,.以点O为坐标原点,以的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向,建立如图的空间直角坐标系,则,,.设平面的法向量为,则即令,则,.设平面的法向量为,则即令,则,..,∴二面角的正弦值为.2.答案：（1）（2）解析：（1）设点A到平面的距离为h，

因为直三棱柱的体积为4，

所以，

又的面积为，，

所以，即点A到平面的距离为.

（2）取的中点E，连接AE，则，

因为平面平面，平面平面，

所以平面，所以，

又平面ABC，

所以，因为，所以平面，

所以.

以B为坐标原点，分别以，，的方向为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，

由（1）知，，所以，，

因为的面积为，所以，所以，

所以，，，，，，

则，，

设平面ABD的法向量为，

则即

令，得，

又平面BDC的一个法向量为，

所以，

设二面角的平面角为，

则，

所以二面角的正弦值为.3.答案：（1）见解析（2）解析：（1）如图，取AC的中点M，连接DM，BM，在等腰梯形中，D，M分别为，AC的中点，.在正三角形ABC中，M为AC的中点，.，DM，平面BDM，平面BDM.又平面BDM，.（2），，为二面角的平面角，即.平面BDM，在平面BDM内作，以M为坐标原点，以，，的方向分别为x，y，z轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，，，则，.设平面的法向量为，则有即令，则，，则.设直线与平面所成角为，又，.，，.4.答案：(1)存在，.(2)余弦值为.解析：(1)取的中点P，连接CP交于点M，点M即为所求.证明：连接PN，因为N是AD的中点，P是的中点，所以，又平面MNC，平面MNC，所以直线平面MNC.因为，所以.所以.(2)连接AC.由(1)知.又平面ABCD，所以平面ABCD.因为，四边形ABCD是菱形，所以为正三角形，所以.以N为坐标原点，NC，ND，NP所在的直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系.又，所以，所以点，则.设平面的法向量，则即令，得.设平面的法向量，则即令，得，所以，由图易得二面角为锐角，所以二面角的余弦值为.5.答案：(1)见解析(2)解析：(1)连接交于点,连接,易知为的中点,为的中点,在中,,平面平面,平面.(2)连接平面,且为的中点,,平面且,平面.如图,以为坐标原点,所在直线分别为轴,建立空间直角坐标系.易得,,设平面的法向量为,则令,得,.同理可得平面的一个法向量为,,结合图形知,二面角为钝二面角,二面角的余弦值为.6.答案：(1)见解析.(2)见解析.解析：(1)因为底面ABCD是正方形，所以.又因为平面平面PCD，所以平面PCD.又平面平面，所以.又因为，所以.(2)由题易知AD，AB，AP两两垂直.以A为坐标原点，AD为x轴，AB为y轴，AP为z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，设，则，则.设平面AMB的法向量为，则，即，令，则.设平面AMD的法向量为，则，即，令，则，因为二面角的平面角为，是钝角，所以，解得，则，所以M为线段PC的中点，点M到平面PAD的距离为1，所以.7.答案：(1)证明过程见解析.(2)正弦值为.解析：(1)如图，取AD的中点O，连接OB，OF，则.因为，所以，所以四边形OBCD是正方形，.因为四边形BCEF是矩形，所以.因为，所以平面OBF，又平面OBF，所以，所以.因为，所以.因为，所以，所以.又，所以平面ADEF，又平面ADEF，所以.(2)以O为坐标原点，OA，OB，OF所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则.所以，由，得，所以，所以.设平面MBD的法向量，则，所以，令，则，所以.设直线AF与平面MBD所成的角为，则.直线AF与平面MBD所成角的正弦值为.8.答案：(1)见解析.(2)体积为.解析：(1)证明：如图，连接AC交BE于G，连接FG.因为底面ABCD是菱形，所以.又E为AD的中点，所以，所以.因为，即，所以，所以.又平面BEF，平面BEF，所以平面BEF.(2)在中，，所以由余弦定理得，即，所以，所以.如图，以E为坐标原点，EA所在直线为x轴，EB所在直线为y轴，EP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系.令，则，所以.因为，所以平面PBE，所以平面PBE的一个法向量为.设平面BEF的法向量为，由，可得.因为，所以，即有，令，则，所以.由二面角的平面角为30°，得，即，解得(负值舍去)，所以，所以.9.答案：(1)见解析.(2)正弦值为.解析：如图，取AD的中点N，连接MN，BN.因为是等边三角形，所以，且，在直角梯形ABCD中，因为，所以四边形BCDN是矩形，所以，且，所以，即，又，所以平面MAD.因为平面ABCD，所以平面平面ABCD.(2)由(1)知NA，NB，NM两两互相垂直，以N为坐标原点，直线NA为x轴、NB为y轴、NM为z轴建立如图所示的空间直角坐标系，根据题意，，由P是棱CM的靠近点C的三等分点得，，设平面PBD的一个法向量为，则即令，则，故平面BDP的一个法向量为.而平面MAD的一个法向量为，设平面PBD与平面MAD所成的二面角的平面角为，则，所以，所以平面PBD与平面MAD所成的二面角的正弦值为.10.答案：(1)见解析(2)30°解析：(1)证明：如图,连接,交于点F因为四边形为矩形,,点E为的中点,所以,,所以,则.因为,所以,所以,则.因为是边长为2的等边三角形,点E为的中点,所以.因为平面平面,平面平