高考数学专题《利用导数研究不等式恒成立问题 》

第04讲利用导数研究不等式恒成立问题(精讲+精练）目录第一部分：知识点精准记忆第二部分：课前自我评估测试第三部分：典型例题剖析高频考点一：分离变量法高频考点二：分类讨论法高频考点三：等价转化法第四部分：高考真题感悟第五部分：第04讲利用导数研究不等式恒成立问题（精练）第一部分：知第一部分：知识点精准记忆1、分离参数法用分离参数法解含参不等式恒成立问题，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式；步骤：①分类参数（注意分类参数时自变量的取值范围是否影响不等式的方向）②转化：若)对恒成立，则只需；若对恒成立，则只需．③求最值.2、分类讨论法如果无法分离参数，可以考虑对参数或自变量进行分类讨论求解，如果是二次不等式恒成立的问题，可以考虑二次项系数与判别式的方法(，或，)求解．3、等价转化法当遇到型的不等式恒成立问题时，一般采用作差法，构造“左减右”的函数或者“右减左”的函数，进而只需满足，或者，将比较法的思想融入函数中，转化为求解函数的最值的问题.第二部分：课前自我评估测试第二部分：课前自我评估测试1．（2022·全国·高二）设为正实数，函数，若，，则的取值范围是（

）A． B． C． D．2．（2022·全国·高二）若不等式对任意实数x都成立，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．3．（2022·全国·高二）已知函数，对都有成立，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．第三部分：典型例题剖析第三部分：典型例题剖析高频考点一：分离变量法1．（2022·全国·高三专题练习）设，若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．2．（2022·内蒙古乌兰察布·高二期末（文））已知函数，若对任意两个不等的正数，，都有恒成立，则a的取值范围为（

）A． B．C． D．3．（2022·全国·高三专题练习）已知对，不等式恒成立，则实数a的最小值是（

）A．e B． C． D．4．（2022·河南·高二阶段练习（理））已知当时，恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．5．（2022·湖南·临澧县第一中学高二阶段练习）已知函数（为常数）1）讨论函数的单调性；2）不等式在上恒成立，求实数的取值范围．6．（2022·重庆市育才中学高二阶段练习）已知函数，．(1)讨论函数在区间的极值；(2)若函数在处取得极值，对，恒成立，求实数的取值范围．7．（2022·四川省泸县第一中学高二阶段练习（理））已知函数.(1)讨论函数的单调性与极值；(2)若对任意，恒成立，求实数a的取值范围.8．（2022·河南·三模（文））已知函数（e是自然对数的底数），曲线在点处的切线为.(1)求a，b的值；(2)若不等式在上恒成立，求正实数m的取值范围.高频考点二：分类讨论法1．（2022·广西柳州·三模（文））已知函数．(1)讨论函数的单调性；(2)若为函数的极值点，当，不等式恒成立，求实数m的取值范围．2．（2022·陕西西安·二模（文））已知函数.(1)当时，求函数的单调减区间；(2)若不等式对恒成立，求实数的取值范围.3．（2022·河南·高二阶段练习（文））已知曲线在处的切线方程为，且.(1)求的解析式；(2)若时，不等式恒成立，求实数的取值范围.4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，曲线在点处的切线为．(1)证明：对于，；(2)当时，恒成立，求实数的取值范围．5．（2022·四川·树德中学高三开学考试（文））已知，设函数.(1)讨论函数的单调性；(2)若恒成立，求实数a的取值范围.6．（2022·贵州黔东南·一模（文））已知函数.(1)讨论的单调性；(2)当x>1时，恒成立，求a的取值范围.高频考点三：等价转化法1．（2022·河南·民权县第一高级中学高三阶段练习（文））已知函数，.(1)讨论f（x）的单调性；(2)当a=1时，若不等式恒成立，求m的取值范围.2．（2022·江苏·高二课时练习）已知函数，．若对一切正实数都成立，求实数的取值范围．3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，．(1)当时，求函数的最小值；(2)当时，若对任意都有成立，求实数的取值范围．4．（2022·江西·南昌市实验中学高二阶段练习（理））已知函数，.(1)若在点处的切线方程为，求实数a、b的值；(2)若对任意，都有成立，求实数的取值范围.5．（2022·山东日照·高三期末）已知函数，中.(1)当时，求的单调区间；(2)若，对任意实数恒成立，求的最大值.高频考点四：最值法1．（2022·重庆市朝阳中学高二阶段练习）已知函数，其中(1)若函数的极小值为0，求实数m的值；(2)当时，恒成立，求实数m的取值范围．2．（2022·重庆市长寿中学校高二阶段练习）已知函数(1)求的最大值(2)若恒成立，求的值3．（2022·江西·模拟预测（文））已知函数.(1)判断的单调性；(2)若对，不等式恒成立，求实数的取值范围.4．（2022·河南·高二阶段练习（文））已知函数在与处都取得极值.(1)求a，b的值；(2)若对任意，不等式恒成立，求实数c的取值范围.5．（2022·全国·高三专题练习）已知函数.(1)讨论函数的单调性；(2)若对，，不等式恒成立，求实数m的取值范围.6．（2022·全国·高三专题练习）已知曲线在点处的切线方程是.(1)求的解析式；(2)若对任意，都有，求实数的取值范围.第四部分：高考真题感悟第四部分：高考真题感悟1．（2019·天津·高考真题（理））已知，设函数若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为A． B． C． D．2．（2020·海南·高考真题）已知函数．（1）当时，求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；（2）若不等式恒成立，求a的取值范围．3．（2020·全国·高考真题（理））已知函数.（1）当a=1时，讨论f（x）的单调性；（2）当x≥0时，f（x）≥x3+1，求a的取值范围.4．（2019·全国·高考真题（文））已知函数f（x）=2sinx－xcosx－x，f′（x）为f（x）的导数．（1）证明：f′（x）在区间（0，π）存在唯一零点；（2）若x∈[0，π]时，f（x）≥ax，求a的取值范围．第五部分：第04讲利用导数研究不等式恒成立问题（精练）第五部分：第04讲利用导数研究不等式恒成立问题（精练）一、单选题1．（2022·河南南阳·高二期末（文））若函数在区间单调递增，则的取值范围是（

）A． B． C． D．2．（2022·全国·高二）函数f(x)＝x3－x2＋a，函数g(x)＝x2－3x，它们的定义域均为[1，＋∞)，并且函数f(x)的图象始终在函数g(x)图象的上方，那么a的取值范围是（

）A．(0，＋∞) B．(－∞，0) C． D．3．（2022·全国·高三阶段练习（理））已知，，且，，且，恒成立，则a的取值范围是（

）A． B． C． D．4．（2022·全国·高二）已知函数在上是减函数，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．5．（2022·重庆市清华中学校高二阶段练习）已知函数，若对任意的，且，都有，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．6．（2022·山西临汾·二模（理））已知函数，若恒成立．则a的取值范围为（

）A． B． C． D．7．（2022·浙江·义乌市商城学校高二阶段练习）已知m，n为实数，不等式恒成立，则的最小值为（

）A． B． C．1 D．28．（2022·宁夏中卫·一模（理））已知定义域为的函数满足，且，e为自然对数的底数，若关于x的不等式恒成立，则实数a的取值范围为（

）A． B．C．D．二、填空题9．（2022·全国·高二课时练习）当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是______．10．（2022·上海交大附中高二阶段练习）已知，若对任意，都有，则实数的取值范围是______.11．（2022·江苏省石庄高级中学高二阶段练习）已知函数．若对任意，都有成立，则实数的最小值是________．12．（2022·河南·民权县第一高级中学高三阶段练习（文））设函数f（x）在区间I上有定义，若对和，都有，那么称f（x）为I上的凹函数，若不等号严格成立，即“<”号成立，则称f（x）在I上为严格的凹函数.对于上述不等式的证明，19世纪丹麦数学家琴生给出了如下的判断方法：设定义在（a，b）上的函数f（x），其一阶导数为，其二阶导数为（即对函数再求导，记为），若，那么函数f（x）是严格的凹函数（，均可导）.试根据以上信息解决如下问题：函数在定义域内为严格的凹函数，则实数m的取值范围为___________.三、解答题13．（2022·福建省厦门集美中学高二阶段练习）已知函数，(1)求过点的函数的切线方程(2)若对任意，都有成立，求正数a的取值范围.14．（2022·四川·成