2023届高考数学一轮复习作业垂直关系北师大版

PAGEPAGE9垂直关系一、选择题1．已知直线l⊥平面α，直线m∥平面β，若α⊥β，则下列结论正确的是()A．l∥β或lβ B．l∥mC．m⊥α D．l⊥mA[直线l⊥平面α，α⊥β，则l∥β或lβ，A正确，故选A．]2．如图，在四面体D­ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列结论正确的是()A．平面ABC⊥平面ABDB．平面ABD⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDED．平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDEC[因为AB＝CB，且E是AC的中点，所以BE⊥AC，同理有DE⊥AC，于是AC⊥平面BDE．因为AC在平面ABC内，所以平面ABC⊥平面BDE．又由于AC平面ACD，所以平面ACD⊥平面BDE．]3．在下列四个正方体中，能得出AB⊥CD的是()A．①B．①②C．②③D．④A[作出AB在CD所在平面的射影，当射影垂直于CD时，就有AB⊥CD，经检验知选A．]4．(2021·南宁模拟)在四棱锥P­ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，且PA＝AB＝2，则直线PB与平面PAC所成角为()A．eq\f(π,6)B．eq\f(π,4)C．eq\f(π,3)D．eq\f(π,2)A[连接BD，交AC于点O．因为PA⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，所以BD⊥AC，BD⊥PA．又因为PA∩AC＝A，所以BD⊥平面PAC，故BO⊥平面PAC．连接OP，则∠BPO即为直线PB与平面PAC所成角．又因为PA＝AB＝2，所以PB＝2eq\r(2)，BO＝eq\r(2)．所以sin∠BPO＝eq\f(BO,PB)＝eq\f(1,2)，所以∠BPO＝eq\f(π,6)．故选A．]5．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E为棱CD的中点，则()A．A1E⊥DC1 B．A1E⊥BDC．A1E⊥BC1 D．A1E⊥ACC[如图，∵A1E在平面ABCD上的投影为AE，而AE不与AC，BD垂直，∴选项B，D错误；∵A1E在平面BCC1B1上的投影为B1C，且B1C⊥BC1，∴A1E⊥BC1，故选项C正确；(证明：由条件易知，BC1⊥B1C，BC1⊥CE，又CE∩B1C＝C，∴BC1⊥平面CEA1B1．又A1E平面CEA1B1，∴A1E⊥BC1．)∵A1E在平面DCC1D1上的投影为D1E，而D1E不与DC1垂直，故选项A错误．故选C．]6．如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°．将△ADB沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A­BCD，则在三棱锥A­BCD中，下列结论正确的是()A．平面ABD⊥平面ABCB．平面ADC⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDCD．平面ADC⊥平面ABCD[∵在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，∴BD⊥CD．又平面ABD⊥平面BCD，且平面ABD∩平面BCD＝BD，故CD⊥平面ABD，则CD⊥AB．又AD⊥AB，AD∩CD＝D，AD平面ADC，CD平面ADC，故AB⊥平面ADC．又AB平面ABC，∴平面ADC⊥平面ABC．]二、填空题7．如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，若该长方体的体积为8eq\r(2)，则直线AC1与平面BB1C1C所成的角为________．30°[连接BC1(图略)，由AB⊥平面BB1C1C知∠AC1B就是直线AC1与平面BB1C1C所成的角．由2×2×AA1＝8eq\r(2)得AA1＝2eq\r(2)，∴BC1＝eq\r(BC2＋CC\o\al(2,1))＝2eq\r(3)，在Rt△AC1B中，tan∠AC1B＝eq\f(AB,BC1)＝eq\f(2,2\r(3))＝eq\f(\r(3),3)，∴∠AC1B＝30°．]8．四面体P­ABC中，PA＝PB＝PC，底面△ABC为等腰直角三角形，AC＝BC，O为AB中点，请从以下平面中选出两个相互垂直的平面________．(只填序号)①平面PAB；②平面ABC；③平面PAC；④平面PBC；⑤平面POC．②⑤(答案不唯一)[∵四面体P­ABC中，PA＝PB＝PC，底面△ABC为等腰直角三角形，AC＝BC，O为AB中点，∴CO⊥AB，PO⊥AB，CO∩PO＝O，∴AB⊥平面POC．∵AB平面ABC，∴平面POC⊥平面ABC，∴两个相互垂直的平面为②⑤．]9．在正四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝2，则点A1到平面AB1D1的距离是________．eq\f(2,3)[如图，△AB1D1中，AB1＝AD1＝eq\r(5)，B1D1＝eq\r(2)，∴△AB1D1的边B1D1上的高为eq\r(\r(5)2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))eq\s\up12(2))＝eq\f(3\r(2),2)，∴Seq\s\do6(△AB1D1)＝eq\f(1,2)×eq\r(2)×eq\f(3\r(2),2)＝eq\f(3,2)，设A1到平面AB1D1的距离为h；则有Seq\s\do6(△AB1D1)×h＝Seq\s\do6(△A1B1D1)×AA1，即eq\f(3,2)h＝eq\f(1,2)×2，解得h＝eq\f(2,3)．]三、解答题10．如图所示，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．证明：(1)CD⊥AE；(2)PD⊥平面ABE．[证明](1)在四棱锥P­ABCD中，∵PA⊥底面ABCD，CD平面ABCD，∴PA⊥CD．又∵AC⊥CD，PA∩AC＝A，PA，AC平面PAC，∴CD⊥平面PAC．而AE平面PAC，∴CD⊥AE．(2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA．∵E是PC的中点，∴AE⊥PC．由(1)知AE⊥CD，且PC∩CD＝C，PC，CD平面PCD，∴AE⊥平面PCD，而PD平面PCD，∴AE⊥PD．∵PA⊥底面ABCD，AB平面ABCD，∴PA⊥AB．又∵AB⊥AD，且PA∩AD＝A，∴AB⊥平面PAD，而PD平面PAD，∴AB⊥PD．又∵AB∩AE＝A，AB，AE平面ABE，∴PD⊥平面ABE．11．(2021·茂名一模)如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，点D是AB的中点，BC＝AC，AB＝2DC＝2，AA1＝eq\r(3)．(1)求证：平面A1DC⊥平面ABB1A1；(2)求点A到平面A1DC的距离．[解](1)证明：∵在三棱柱ABC­A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，点D是AB的中点，BC＝AC，CD平面ABC，∴CD⊥AB，CD⊥AA1，∵AB∩AA1＝A，∴CD⊥平面ABB1A1，∵CD平面A1DC，∴平面A1DC⊥平面ABB1A1．(2)由题意，点D是AB的中点，BC＝AC，AB＝2DC＝2，AA1＝eq\r(3)．设点A到平面A1DC的距离为d，∵Veq\s\do6(A1­ACD)＝Veq\s\do6(A­A1CD)，∴eq\f(1,3)×S△ACD×AA1＝eq\f(1,3)×Seq\s\do6(△DCA1)×d，∴eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×1×eq\r(3)＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×2×d，解得d＝eq\f(\r(3),2)，∴点A到平面A1DC的距离为eq\f(\r(3),2)．1．(2021·武汉模拟)如图所示，在斜三棱柱ABC­A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则点C1在平面ABC上的射影H必在()A．直线AB上B．直线BC上C．直线AC上D．△ABC的内部A[连接AC1(图略)，因为AC⊥AB，AC⊥BC1，AB∩BC1＝B，所以AC⊥平面ABC1，又AC平面ABC，所以平面ABC1⊥平面ABC，所以点C1在平面ABC上的射影H必在两平面的交线AB上，故选A．]2．已知圆锥的顶点为P，母线PA，PB所成角的余弦值为eq\f(3,4)，PA与圆锥底面所成角为60°，若△PAB的面积为eq\r(7)，则该圆锥的体积为________．eq\f(2\r(6),3)π[作示意图如图所示，设底面半径为r，PA与圆锥底面所成角为60°，则∠PAO＝60°，则PO＝eq\r(3)r，PA＝PB＝2r，又PA，PB所成角的余弦值为eq\f(3,4)，则sin∠APB＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))eq\s\up12(2))＝eq\f(\r(7),4)，则S△PAB＝eq\f(1,2)PA·PB·sin∠APB＝eq\f(1,2)·2r·2r·eq\f(\r(7),4)＝eq\r(7)，解得r＝eq\r(2)，故圆锥的体积为eq\f(1,3)·π·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(2)))eq\s\up12(2)·eq\r(6)＝eq\f(2\r(6),3)π．]3．(2021·郑州模拟)如图，在四棱锥P­ABCD中，底面四边形ABCD是菱形，点E在线段PC上，PA∥平面EBD．(1)证明：点E为线段PC的中点；(2)已知PA⊥平面ABCD，∠ABC＝60°，点P到平面EBD的距离为1，四棱锥P­ABCD的体积为2eq\r(3)，求PA．[解](1)证明：连接AC，与BD相交于点O，连接EO，则经过PA的平面PAC与平面EBD交线为EO．因为PA∥平面EBD，所以PA∥EO．因为四边形ABCD是菱形，所以O为AC的中点，所以EO是△PAC的中位线，于是E为线段PC的中点．(2)因为PA∥平面EBD，所以点A到平面EBD的距离等于点P到平面EBD的距离等于1．因为PA⊥平面ABCD，所以EO⊥平面ABCD，所以平面EBD⊥平面ABCD，平面EBD∩平面ABCD＝BD．因为AO⊥BD，所以AO⊥平面EBD，因此AO＝1．因为∠ABC＝60°，所以四边形ABCD是边长为2的菱形，面积为2×2×sin60°＝2eq\r(3)，所以四棱锥P­ABCD的体积为VP­ABCD＝eq\f(1,3)×2eq\r(3)×PA，由eq\f(1,3)×2eq\r(3)×PA＝2eq\r(3)，得PA＝3．1．(2019·全国卷Ⅰ)已知∠ACB＝90°，P为平面ABC外一点，PC＝2，点P到∠ACB两边AC，BC的距离均为eq\r(3)，那么P到平面ABC的距离为________．eq\r(2)[如图，过点P作PO⊥平面ABC于O，则PO为P到平面ABC的距离．再过O作OE⊥AC于E，OF⊥BC于F，连接PC，PE，PF，则PE⊥AC，PF⊥BC．又PE＝PF＝eq\r(3)，所以OE＝OF，所以CO为∠ACB的平分线，即∠ACO＝45°．在Rt△PEC中，PC＝2，PE＝eq\r(3)，所以CE＝1，所以OE＝1，所以PO＝eq\r(PE2－OE2)＝eq\r(\r(3)2－12)＝eq\r(2)．]2．(2021·浙江省诸暨中学月考)《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图，在阳马P­ABCD中，侧棱PD⊥底面ABCD，且PD＝CD，过棱PC的中点E，作EF⊥PB交PB于点F，连接DE，DF，BD，BE．(1)证明：PB⊥平面DEF．试判断四面体DBEF是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角(只需写出结论)；若不是，说明理由；(2)若平面DEF与平面ABCD所成二面角的大小为eq\f(π,3)，求eq\f(DC,BC)的值．[解](1)证明：因为PD⊥底面ABCD，所以PD⊥BC，由底面ABCD为长方形，有BC⊥CD，而PD∩CD＝D，所以BC⊥平面PCD．而DE平面PCD，所以BC⊥DE．又因为PD＝CD，点E是PC的中点，所以DE⊥PC．而PC∩BC＝C，所以DE⊥平面PBC．而PB平面PBC，所以PB⊥DE．又PB⊥EF，DE∩EF＝E，所以PB⊥平面DEF．由DE⊥平面PBC，PB⊥平面DEF，可知四面体BDEF的四个面都是直角三角形，即四面体BDEF是一个鳖臑，其四个面的直角分别为∠DEB，∠DEF，∠EFB，∠DFB．(2)如图，在平面PBC内，延长BC与FE交于点G，则DG是平面DEF与平面ABCD的交线．由(1)知，PB⊥平面DEF，所以PB⊥DG．又因为PD⊥底面ABCD，所以PD⊥DG．而PD∩PB＝P，所以DG⊥