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PAGEPAGE9垂直关系一、选择题1.已知直线l⊥平面α,直线m∥平面β,若α⊥β,则下列结论正确的是()A.l∥β或lβ B.l∥mC.m⊥α D.l⊥mA[直线l⊥平面α,α⊥β,则l∥β或lβ,A正确,故选A.]2.如图,在四面体DABC中,若AB=CB,AD=CD,E是AC的中点,则下列结论正确的是()A.平面ABC⊥平面ABDB.平面ABD⊥平面BDCC.平面ABC⊥平面BDE,且平面ADC⊥平面BDED.平面ABC⊥平面ADC,且平面ADC⊥平面BDEC[因为AB=CB,且E是AC的中点,所以BE⊥AC,同理有DE⊥AC,于是AC⊥平面BDE.因为AC在平面ABC内,所以平面ABC⊥平面BDE.又由于AC平面ACD,所以平面ACD⊥平面BDE.]3.在下列四个正方体中,能得出AB⊥CD的是()A.①B.①②C.②③D.④A[作出AB在CD所在平面的射影,当射影垂直于CD时,就有AB⊥CD,经检验知选A.]4.(2021·南宁模拟)在四棱锥PABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD是正方形,且PA=AB=2,则直线PB与平面PAC所成角为()A.eq\f(π,6)B.eq\f(π,4)C.eq\f(π,3)D.eq\f(π,2)A[连接BD,交AC于点O.因为PA⊥平面ABCD,底面ABCD是正方形,所以BD⊥AC,BD⊥PA.又因为PA∩AC=A,所以BD⊥平面PAC,故BO⊥平面PAC.连接OP,则∠BPO即为直线PB与平面PAC所成角.又因为PA=AB=2,所以PB=2eq\r(2),BO=eq\r(2).所以sin∠BPO=eq\f(BO,PB)=eq\f(1,2),所以∠BPO=eq\f(π,6).故选A.]5.在正方体ABCDA1B1C1D1中,E为棱CD的中点,则()A.A1E⊥DC1 B.A1E⊥BDC.A1E⊥BC1 D.A1E⊥ACC[如图,∵A1E在平面ABCD上的投影为AE,而AE不与AC,BD垂直,∴选项B,D错误;∵A1E在平面BCC1B1上的投影为B1C,且B1C⊥BC1,∴A1E⊥BC1,故选项C正确;(证明:由条件易知,BC1⊥B1C,BC1⊥CE,又CE∩B1C=C,∴BC1⊥平面CEA1B1.又A1E平面CEA1B1,∴A1E⊥BC1.)∵A1E在平面DCC1D1上的投影为D1E,而D1E不与DC1垂直,故选项A错误.故选C.]6.如图所示,在四边形ABCD中,AD∥BC,AD=AB,∠BCD=45°,∠BAD=90°.将△ADB沿BD折起,使平面ABD⊥平面BCD,构成三棱锥ABCD,则在三棱锥ABCD中,下列结论正确的是()A.平面ABD⊥平面ABCB.平面ADC⊥平面BDCC.平面ABC⊥平面BDCD.平面ADC⊥平面ABCD[∵在四边形ABCD中,AD∥BC,AD=AB,∠BCD=45°,∠BAD=90°,∴BD⊥CD.又平面ABD⊥平面BCD,且平面ABD∩平面BCD=BD,故CD⊥平面ABD,则CD⊥AB.又AD⊥AB,AD∩CD=D,AD平面ADC,CD平面ADC,故AB⊥平面ADC.又AB平面ABC,∴平面ADC⊥平面ABC.]二、填空题7.如图,在长方体ABCDA1B1C1D1中,AB=BC=2,若该长方体的体积为8eq\r(2),则直线AC1与平面BB1C1C所成的角为________.30°[连接BC1(图略),由AB⊥平面BB1C1C知∠AC1B就是直线AC1与平面BB1C1C所成的角.由2×2×AA1=8eq\r(2)得AA1=2eq\r(2),∴BC1=eq\r(BC2+CC\o\al(2,1))=2eq\r(3),在Rt△AC1B中,tan∠AC1B=eq\f(AB,BC1)=eq\f(2,2\r(3))=eq\f(\r(3),3),∴∠AC1B=30°.]8.四面体PABC中,PA=PB=PC,底面△ABC为等腰直角三角形,AC=BC,O为AB中点,请从以下平面中选出两个相互垂直的平面________.(只填序号)①平面PAB;②平面ABC;③平面PAC;④平面PBC;⑤平面POC.②⑤(答案不唯一)[∵四面体PABC中,PA=PB=PC,底面△ABC为等腰直角三角形,AC=BC,O为AB中点,∴CO⊥AB,PO⊥AB,CO∩PO=O,∴AB⊥平面POC.∵AB平面ABC,∴平面POC⊥平面ABC,∴两个相互垂直的平面为②⑤.]9.在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中,AA1=2AB=2,则点A1到平面AB1D1的距离是________.eq\f(2,3)[如图,△AB1D1中,AB1=AD1=eq\r(5),B1D1=eq\r(2),∴△AB1D1的边B1D1上的高为eq\r(\r(5)2-\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))eq\s\up12(2))=eq\f(3\r(2),2),∴Seq\s\do6(△AB1D1)=eq\f(1,2)×eq\r(2)×eq\f(3\r(2),2)=eq\f(3,2),设A1到平面AB1D1的距离为h;则有Seq\s\do6(△AB1D1)×h=Seq\s\do6(△A1B1D1)×AA1,即eq\f(3,2)h=eq\f(1,2)×2,解得h=eq\f(2,3).]三、解答题10.如图所示,在四棱锥PABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°,PA=AB=BC,E是PC的中点.证明:(1)CD⊥AE;(2)PD⊥平面ABE.[证明](1)在四棱锥PABCD中,∵PA⊥底面ABCD,CD平面ABCD,∴PA⊥CD.又∵AC⊥CD,PA∩AC=A,PA,AC平面PAC,∴CD⊥平面PAC.而AE平面PAC,∴CD⊥AE.(2)由PA=AB=BC,∠ABC=60°,可得AC=PA.∵E是PC的中点,∴AE⊥PC.由(1)知AE⊥CD,且PC∩CD=C,PC,CD平面PCD,∴AE⊥平面PCD,而PD平面PCD,∴AE⊥PD.∵PA⊥底面ABCD,AB平面ABCD,∴PA⊥AB.又∵AB⊥AD,且PA∩AD=A,∴AB⊥平面PAD,而PD平面PAD,∴AB⊥PD.又∵AB∩AE=A,AB,AE平面ABE,∴PD⊥平面ABE.11.(2021·茂名一模)如图,在三棱柱ABCA1B1C1中,AA1⊥平面ABC,点D是AB的中点,BC=AC,AB=2DC=2,AA1=eq\r(3).(1)求证:平面A1DC⊥平面ABB1A1;(2)求点A到平面A1DC的距离.[解](1)证明:∵在三棱柱ABCA1B1C1中,AA1⊥平面ABC,点D是AB的中点,BC=AC,CD平面ABC,∴CD⊥AB,CD⊥AA1,∵AB∩AA1=A,∴CD⊥平面ABB1A1,∵CD平面A1DC,∴平面A1DC⊥平面ABB1A1.(2)由题意,点D是AB的中点,BC=AC,AB=2DC=2,AA1=eq\r(3).设点A到平面A1DC的距离为d,∵Veq\s\do6(A1ACD)=Veq\s\do6(AA1CD),∴eq\f(1,3)×S△ACD×AA1=eq\f(1,3)×Seq\s\do6(△DCA1)×d,∴eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×1×eq\r(3)=eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×2×d,解得d=eq\f(\r(3),2),∴点A到平面A1DC的距离为eq\f(\r(3),2).1.(2021·武汉模拟)如图所示,在斜三棱柱ABCA1B1C1中,∠BAC=90°,BC1⊥AC,则点C1在平面ABC上的射影H必在()A.直线AB上B.直线BC上C.直线AC上D.△ABC的内部A[连接AC1(图略),因为AC⊥AB,AC⊥BC1,AB∩BC1=B,所以AC⊥平面ABC1,又AC平面ABC,所以平面ABC1⊥平面ABC,所以点C1在平面ABC上的射影H必在两平面的交线AB上,故选A.]2.已知圆锥的顶点为P,母线PA,PB所成角的余弦值为eq\f(3,4),PA与圆锥底面所成角为60°,若△PAB的面积为eq\r(7),则该圆锥的体积为________.eq\f(2\r(6),3)π[作示意图如图所示,设底面半径为r,PA与圆锥底面所成角为60°,则∠PAO=60°,则PO=eq\r(3)r,PA=PB=2r,又PA,PB所成角的余弦值为eq\f(3,4),则sin∠APB=eq\r(1-\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))eq\s\up12(2))=eq\f(\r(7),4),则S△PAB=eq\f(1,2)PA·PB·sin∠APB=eq\f(1,2)·2r·2r·eq\f(\r(7),4)=eq\r(7),解得r=eq\r(2),故圆锥的体积为eq\f(1,3)·π·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(2)))eq\s\up12(2)·eq\r(6)=eq\f(2\r(6),3)π.]3.(2021·郑州模拟)如图,在四棱锥PABCD中,底面四边形ABCD是菱形,点E在线段PC上,PA∥平面EBD.(1)证明:点E为线段PC的中点;(2)已知PA⊥平面ABCD,∠ABC=60°,点P到平面EBD的距离为1,四棱锥PABCD的体积为2eq\r(3),求PA.[解](1)证明:连接AC,与BD相交于点O,连接EO,则经过PA的平面PAC与平面EBD交线为EO.因为PA∥平面EBD,所以PA∥EO.因为四边形ABCD是菱形,所以O为AC的中点,所以EO是△PAC的中位线,于是E为线段PC的中点.(2)因为PA∥平面EBD,所以点A到平面EBD的距离等于点P到平面EBD的距离等于1.因为PA⊥平面ABCD,所以EO⊥平面ABCD,所以平面EBD⊥平面ABCD,平面EBD∩平面ABCD=BD.因为AO⊥BD,所以AO⊥平面EBD,因此AO=1.因为∠ABC=60°,所以四边形ABCD是边长为2的菱形,面积为2×2×sin60°=2eq\r(3),所以四棱锥PABCD的体积为VPABCD=eq\f(1,3)×2eq\r(3)×PA,由eq\f(1,3)×2eq\r(3)×PA=2eq\r(3),得PA=3.1.(2019·全国卷Ⅰ)已知∠ACB=90°,P为平面ABC外一点,PC=2,点P到∠ACB两边AC,BC的距离均为eq\r(3),那么P到平面ABC的距离为________.eq\r(2)[如图,过点P作PO⊥平面ABC于O,则PO为P到平面ABC的距离.再过O作OE⊥AC于E,OF⊥BC于F,连接PC,PE,PF,则PE⊥AC,PF⊥BC.又PE=PF=eq\r(3),所以OE=OF,所以CO为∠ACB的平分线,即∠ACO=45°.在Rt△PEC中,PC=2,PE=eq\r(3),所以CE=1,所以OE=1,所以PO=eq\r(PE2-OE2)=eq\r(\r(3)2-12)=eq\r(2).]2.(2021·浙江省诸暨中学月考)《九章算术》中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马,将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.如图,在阳马PABCD中,侧棱PD⊥底面ABCD,且PD=CD,过棱PC的中点E,作EF⊥PB交PB于点F,连接DE,DF,BD,BE.(1)证明:PB⊥平面DEF.试判断四面体DBEF是否为鳖臑,若是,写出其每个面的直角(只需写出结论);若不是,说明理由;(2)若平面DEF与平面ABCD所成二面角的大小为eq\f(π,3),求eq\f(DC,BC)的值.[解](1)证明:因为PD⊥底面ABCD,所以PD⊥BC,由底面ABCD为长方形,有BC⊥CD,而PD∩CD=D,所以BC⊥平面PCD.而DE平面PCD,所以BC⊥DE.又因为PD=CD,点E是PC的中点,所以DE⊥PC.而PC∩BC=C,所以DE⊥平面PBC.而PB平面PBC,所以PB⊥DE.又PB⊥EF,DE∩EF=E,所以PB⊥平面DEF.由DE⊥平面PBC,PB⊥平面DEF,可知四面体BDEF的四个面都是直角三角形,即四面体BDEF是一个鳖臑,其四个面的直角分别为∠DEB,∠DEF,∠EFB,∠DFB.(2)如图,在平面PBC内,延长BC与FE交于点G,则DG是平面DEF与平面ABCD的交线.由(1)知,PB⊥平面DEF,所以PB⊥DG.又因为PD⊥底面ABCD,所以PD⊥DG.而PD∩PB=P,所以DG⊥
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