备战2017年高考数学一轮热点难点一网打尽专题22平面向量中的两个定理

【备战2017年高考高三数学一轮热门、难点一扫而光】第22讲平面向量中的两个定理考大纲求:1．认识平面向量的基本定理及其意义．掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；2．会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算．理解用坐标表示的平面向量共线的条件．基础知识回首:1.向量的数乘运算：数λ与向量的积的运算，运算法例：(1)|λa|＝|λ||a|；(2)当λ＞0时，λ与的方向同样；当λ＜0时，λ的与的方向相反；当λ＝0时，λ＝0运算律：λ(μ)＝(λμ)；(λ＋μ)＝λ＋μ；λ(＋)＝λ＋λ2.共线向量定理向量(≠0)与共线，当且仅当有独一一个实数λ，使得＝λ2．平面向量基本定理及坐标表示uruur平面向量基本定理：假如e1,e2是同一平面的两个不共线向量，那么关于这一平面的uruur随意愿量，有且只有一对实数λ1，λ2，使a1e12e2.此中，不共线的向量e1,e2叫做表示这一平面全部向量的一组基底.平面向量的正交分解：把一个向量分解为两个相互垂直的向量，叫做把向量正交分解．平面向量的坐标表示：①在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向同样的两个单位向量i，j作为基底，xyrrr(x,y)关于平面的一个向量，有且只有一对实数，使axiyj，把有序数对叫做向，量的坐标，记作＝(x,y)，此中叫在x轴上的坐标，y叫在y轴上的坐标．uuurrruuur②设OAxiyj，则向量OA的坐标(x,y)就是终点A的坐标，即若

uuurOA(x,y)，则A点坐标为(x,y)，反之亦建立．(O是坐标原点)应用举例:种类一、共线向量定理的应用【例1】【2017省枣庄八中高三月考】设两个非零向量与b不共线，uuuruuuruuur(1)若AB＝＋，BC＝2＋8，CD＝3(－)，求证：A，B，D三点共线；(2)试确立实数k，使k＋和＋k同向．【答案】看法析；k＝1.【例2】【2017正定一中高三月考】如图，uuur在△ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，AE2uuuruuuruuur＝3AD，AB＝，AC＝uuuruuuruuuruuuruuur(1)用，b表示向量AD，AE，AF，BE，BF；(2)求证：B，E，F三点共线．【答案】看法析uuuruuuruuur【分析】(1)延伸AD到G，使AD＝1AG，连结BG，CG，获得?ABGC，所以AG＝＋，uuur22uuuruuur11uuur1则有AD＝2AG＝(＋)，AE＝AD＝(＋)，233uuur1uuur1uuuruuuruuur11AF＝2AC＝2，BE＝AE－AB＝3(＋)－＝3(b－2)，uuuruuuruuur11BF＝AF－AB＝2－＝2(b－2)．uuur2uuuruuuruuur(2)证明：由(1)可知BE＝3BF，又由于BE，BF有公共点B，所以B，E，F三点共线．评论：共线向量定理的3个应用(1)证明向量共线：关于向量，，若存在实数λ，使＝λ，则与共线．uuuruuur，则A，B，C三点共线．(2)证明三点共线：若存在实数λ，使AB＝λAC(3)求参数的值：利用共线向量定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值．提示]证明三点共线时，需说明共线的两向量有公共点．种类二、平面向量基本定理的应用【例3】【2017八中月考】假如e1，e2是平面α一组不共线的向量，那么以下四组向量中，不可以作为平面全部向量的一组基底的是()A．e与e＋eB．e－2e与e＋2e1121212C．e＋e与e－eD．e＋3e与6e＋2e12121221【答案】D【分析】选项A中，设e1＋e2＝λe1，则1＝λ，无解；选项B中，设e1－2e2＝λ(e1＋2e2)，1＝0λ＝1，无解；选项C中，设e1＋e2＝λ(e1－e2)，则λ＝1，无解；选项D中，e1＋则1＝－λ－2＝2λ13e2＝2(6e2＋2e1)，所以两向量是共线向量．【例4】【2017省怀仁县第一中学高三月考】uuuruuur如图，以向量OA＝，OB＝为邻边作?OADB，uuuur1uuuruuur1uuuruuuuruuuruuuurBM＝3BC，CN＝3CD，用，表示OM，ON，MN.【答案】看法析【例

5】【2017

省襄阳市第四中学高三月考】

如图，G是△OAB

的重心，

P，Q分别是边

OA，OB

上的动点，且

P，G，Q

三点共线．uuuruuuruuuruuuruuur(1)设PG＝λPQ，将OG用λ，OP，OQ表示；uuuruuuruuuruuur1是定值．(2)设OP＝xOA，OQ＝yOB，证明：1＋xy【答案】看法析uuuruuuruuuruuuruuur【分析】(1)OG＝OP＋PG＝OP＋λPQuuuruuuruuuruuuruuur＋λ(－＋λuuur＝(1－λ)uuuruuuruuuruuur(2)证明：一方面，由(1)，得OGOP＋λ＝(1－λ)xOA＋λy；①OQOB另一方面，∵G是△OABuuur＝2uuuur21uuuruuur)＝1uuur＋1uuur.的重心，∴OG3OM＝×(＋OB3OA3OB32OA②uuuruuur1，1＝3－3λ，1－λx＝3x∴1＋1＝而OA，OB不共线，∴由①②，得解得λy＝11＝3λ.xy3.y3(定值)．方法、规律概括:1.应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法例或三角形法例进行向量的加、减或数乘运算．2.用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再经过向量的运算来解决．3.解题过程中，常利用向量相等则其坐标同样这一原则，经过列方程(组)来进行求解．实战操练:uuur1．【2017一中高三月考】如图，在平行四边形ABCD中，E为DC边的中点，且AB＝a，uuuruuurAD＝b，则BE＝()1111A．b－2aB．b＋2aC．a＋2bD．a－2b【答案】Auuuruuur2．【2017省市高三月考试题】已知O，A，B，C为同一平面的四个点，若2AC＋CB＝0，uuur则向量OC等于()A.2uuur－1uuurB．－1uuur2uuur3OA3OB3OA＋3OB．uuuruuurD．－uuuruuur－OB＋2OBC2OAOA【答案】Cuuuur3uuuur3uuuur3．【2017省市一中高三月考】设M是△ABC所在平面上的一点，且MB＋2MA＋2MC＝uuuur0，D是AC的中点，则|MD|)|uuuur的值为(BM|11A.3B.2C．1D．2【答案】A【分析】∵D是AC的中点，延伸MD至E，使得DE＝MD，∴四边形MAEC为平行四边uuuuruuuuruuuuruuuuruuuuruuuuruuuuruuuuruuuur形，∴MD＝1ME＝1(MA＋MC)．∵MB＋3MA＋3MC＝0，∴MB＝－3(MA＋22222uuuuruuuuruuuuruuuur|MD||MD|1MC)＝－3MD，∴，应选A.uuuur＝uuuur＝|BM||－3MD|3uuur4．【2017一中高三月考】设D，E，F分别是△ABC的三边BC，CA，AB上的点，且DC＝uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur2BD，CE＝2EA，AF＝2FB，则AD＋BE＋CF与BC()A．反向平行B．同向平行C．相互垂直D．既不平行也不垂直【答案】Auuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur【分析】由题意得AD＝AB＋BD＝AB＋1BC，BE＝BA＋AE＝BA＋1AC，uuuruuuruuuruuur3uuuruuuruuuruuur3uuuruuuruuuruuurCF＝CB＋BF＝CB＋1BA，所以AD＋BE＋CF＝CB＋1(BC＋AC－AB)＝uuuruuuruuur3uuuruuur3uuuruuurCB＋2BC＝－1BC，故AD＋BE＋CF与BC反向平行．33uuur5.【2017省市如东县一中高三月考】如图，在△OAB中，P为线段AB上的一点，OP＝uuuruuuruuuruuurxOA＋yOB，且BP＝2PA，则()2112A．x＝3，y＝3B．x＝3，y＝31，y＝33，y＝1C．x＝44D．x＝44【答案】Auuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur【分析】由题意知OP＝OB＋BP，又BP＝2PA，所以OP＝OB＋2BA＝OB＋2(OA33uuuruuuruuurOB)＝2OA＋1OB，所以x＝2，y＝1.3333uuuruuuruuur6．【2017省永州市高三月考】设O在△ABC的部，D为AB的中点，且OA＋OB＋2OC＝0，则△ABC的面积与△AOC的面积的比值为()A．3B．4C．5D．6【答案】B7．【2017省定州中学高三月考】在直角梯形ABCD中，∠A＝90°，∠B＝30°，AB＝23，uuuruuuruuur，则μ的取值围是________．BC2ECDAE＝＋μ在线段上，若ADAB＝，点【答案】0，1.2uuuruuuruuur【分析】由题意可求得AD＝1，CD＝3，所以AB＝2DC.∵点E在线段CD上，∴DEuuur＝λDC(0≤λ≤．1)uuuruuur2μuuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur2μ∵AE＝AD＋DE，又AE＝AD＋μAB＝AD＋2μDC＝AD＋DE，∴＝1，λλλ10，1.即μ＝.∵0≤λ≤1，∴0≤μ≤.即μ的取值围是22218．【2017省市高三月考】如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，且AD＝3BC，E，F分别为线uuuruuuruuuruuuruuur段AD与BC的中点．设BA＝a，BC＝b，试用a，b为基底表示向量EF，DF，CD.【答案】看法析uuuruuuruuuruuur111uuuruuuruuur1【分析】EF＝EA＋AB＋BF＝－b－a＋b－a，DF＝DE＋EF＝－b＋6b＝36211uuuruuuruuur112b－a，CD＝CF＋FD＝－b－a＝b－6b－a＝a－b.36239．【2017林芝市高三月考】设e1，e2是两个不共线的向量，已知uuur＋3e2，CD＝2e1－e2.

uuuruuurAB＝2e1－8e2，CB＝e1(1)求证：A，B，D三点共线；uuur(2)若BF＝3e12，且B，D，F三点共线，求k的值．－ke【答案】看法析uuuruuuruuur10．【2017泰兴中学高三月考】已知O，A，B是不共线的三点，且OP＝mOA＋nOB(m，n∈R)．(1)若m＋n＝1，求证：A，P，B三点共线；(2)若A，P，B三点共线，求证：m＋n＝1.【答案】看法析uuuruuuruuuruuuruuuruuur【分析】证明：(1)若m＋n＝1，则OP＝mOA＋(1－m)OB＝OB＋m(OA－OB)，uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur∴OP－OB＝m(OA－OB)，即BP＝mBA，∴BP与BA共线．uuu