高考数学(理科)总复习教师用书练习：53空间向量与立体几何含解析

5.3空间向量与立体几何.命.命题角度1空间位置关系证明与线面角求解高考真题体验对方向彳.<20##全国I18>如图，四边形ABCD为正方形，E,F分别为AD,BC的中点，以DF为折痕把4DFC折起，使点C到达点P的位置，且PFLBF.1>证明：平面PEFL平面ABFD;2>求DP与平面ABFD所成角的正弦值.1>怔明|由已知可得,BF，PF,BF，EF,所以BF，平面PEF.又BF?平面ABFD,所以平面PEFL平面ABFD.2>剧作PHLEF,垂足为H.由<1>得,PHL平面ABFD.以H为坐标原点，的方向为y轴正方向，||为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系H-xyz.由<1>可得,DE±PE.又DP=2,DE=1,所以PE=.又PF=1,EF=2,故PE±PF.可得PH=,EH=.则H<0,0,0>,P,D为平面ABFD的法向量.设DP与平面ABFD所成角为Q则sin0=.所以DP与平面ABFD所成角的正弦值为..<20##全国n20>如图在三棱锥P-ABC中,AB=BC=2,PA=PB=PC=AC=4,O为AC的中点.1>证明：POL平面ABC;2>若点M在^^BC上，且二面角M-PA-C为30°,求PC与平面FAM所成角的正弦值.1>怔明|因为AP=CP=AC=4,0为AC的中点，所以OPLAC,且OP=2.连接0B,因为AB=BC=AC，所以3BC为等腰直角三角形，且OB，AC,OB=AC=2.由OP2+OB2=PB2知POXOB.由OP^OBQP^AC知POL平面ABC.2>耐如图，以。为坐标原点，的方向为x轴正方向建立空间直角坐标系O-xyz.由已知得O<0,0,0>,B<2Q0>,A<0,-2,0>,C<020>,P<0,0,2>,=<022>.取平面PAC的法向量=<2,0,0>,设M<a,2-a,0><0<aw2>,贝U=<a,4-a,0>.设平面PAM的法向量为n=<x,y,z>.由n=0,n=0得可取n=<<a-4>,a,-a>,所以cos<,n>=.由已知可得|cos<,n>|=.所以，解得a=-4〈舍去〉,a=.所以n=.又=<0,2,-2>,所以cos<,n>=.所以PC与平面PAM所成角的正弦值为.<20##全国田19>如图，四棱锥P-ABCD中，PA，底面ABCD,AD//BC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M为线段AD上一点,AM=2MD,N为PC的中点.<1>证明MN//平面PAB;<2>求直线AN与平面PMN所成角的正弦值.<1>怔明］由已矢口得AM=AD=2.取BP的中点T,连接AT,TN,由N为PC中点知TN//BC,TN=BC=2.又AD//BC,故TNAM,四边形AMNT为平行四边形，于是MN//AT.因为AT?平面PAB,MN?平面PAB,所以MN//平面PAB.<2>回取BC的中点E,连接AE.由AB=AC得AELBC,从而AELAD,且AE=.以A为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz.由题意知，P<0,0,4>,M<0,2,0>,C<,2,0>,N=<0,2,-4>,.设n=<x,y,z>为平面PMN的法向量，则可取n=<0,2,1>.于是|cos<n,>|=..<20##全国I18>如图，四边形ABCD为菱形，/ABC=120°,E,F是平面ABCD同一侧的两点,BE,平面ABCD,DF，平面ABCD,BE=2DF,AE±EC.1>证明：平面AECL平面AFC;2>千直乎AE与直线CF所成角的余弦值.1>接BD,设BDAAC=G，连接EG,FG,EF.在菱形ABCD中，不妨设GB=1.由/ABC=120°，可得AG=GC=.由BE,平面ABCD,AB=BC,可知AE=EC.又AE±EC,所以EG=,且EGXAC.在RtAEBG中，可彳导BE=,故DF=.在RtAFDG中，可得FG=.在直角梯形BDFE中，由BD=2,BE=,DF=，可得EF=.从而EG2+FG2=EF2,所以EG±FG.又ACAFG=G，可彳导EG,平面AFC.因为EG?平面AEC,所以平面AEC±平面AFC.2>硒口图，以G为坐标原点，分别以的方向为x轴、y轴正方向，||为单位长，建立空间直角坐标系G-xyz.由<1>可得A<0,-,0>,E<1,0,>,F,C<0,,0>,所以=<1,>,.故cos<>==-.所以直线AE与直线CF所成角的余弦值为.新题演练提能刷高分<20####潍坊二模>如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AA尸AiD,AB=BC,/ABC=120<1>证明:AD±AiB;<2>若平面ADD1A1,平面ABCD,且A〔D=AB,求直线BA〔与平面AiBiCD所成角的正弦值.<1>何明］取AD中点O,连接OB,OAi,BD,.AA1=AiD,.,.AD±OAi,XZABC=120,AD=AB,「•祥BD是等边三角形，.,.ADXOB,「•AD，平面AiOB..AiB?平面AiOB,..AD_LB.<2>恻:平面ADDiAi±WABCD,平面ADDAn平面ABCD=AD,又AQ，AD,；AiO,平面ABCD,：OAQA3OB两两垂直,以。为坐标原点，分别以OAQBQAi所在射线为x,y,z轴建立如图空间直角坐标系O-xyz,设AB=AD=A2=2,则A<1,0,0>,Ai<0,0>,B<0,,0>,D<-1,0,0>.则二<1,0,>,=<-1,,0>,=<0,->,设平面AiBiCD的法向量n=<x,y,z>,则令乂=，则y=1,z=-1,可取n=<,1,-1>,设直线BA〔与平面AiBiCD所成角为0,贝1sin0=|cos<n>|=.20####抚顺一模>如图，在四棱锥P-ABCD中,PDL平面ABCD,底面ABCD为梯形,AB//CD,ZBAD=60°,PD=AD=AB=2,CD=4.E为PC的中点.1>证明：BE//平面PAD;2>求直线PB与平面BDE所成角的正弦值.1>M明|设F为PD的中点，连接EF.FA.因为EF为APDC的中位线，所以EF//CD,且EF=CD=2.又AB//CD,AB=2,所以ABEF,故四边形ABEF为平行四边形，所以BE//AF.又AF?平面FAD,BE?平面PAD,所以BE//平面PAD.<2>嗣设G为AB的中点，因为AD=AB，/BAD=60°,所以3BD为等边三角形，故DGXAB;因为AB//CD,所以DGLDC.又PDL平面ABCD,所以PD,DG,CD两两垂直.以D为坐标原点，为x轴、为y轴、为z轴建立空间直角坐标系D-xyz,则P<0,0,2>,B<,1,0>,E<0,2,1>,=<0,2,1>,=<,1,0>,设n=<x,y,z>为平面BDE的一个法向量,则令y=1,则n=.X=<,1,-2>,所以|cos<n>|=,即直线PB与平面BDE所成角的正弦值为..<20####福州3月质检〉在直三棱柱ABC-AiBiCi中，9BC为正三角形，点D在棱BC上，且CD=3BD,点E,F分别为棱AB,BBi的中点.<1>证明：AiC//平面DEF;<2>若AiC^EF,求直线AiCi与平面DEF所成的角的正弦值.<1>陋|］如图，连接ABi,AiB,交于点H,AiB交EF于点K,连接DK,因为ABBiAi为矩形，所以H为线段AiB的中点，因为点E,F分别为棱AB,BBi的中点，所以点K为线段BH的中点，所以AiK=3BK,又因为CD=3BD,所以AiC//DK,又AiC?平面DEF,DK?平面DEF,所以AiC//平面DEF.<2>恻由<i>知,EH//AAi,因为AA」平面ABC,所以EH，平面ABC,因为那BC为正三角形，且点E为棱AB的中点，所以CEXAB,故以点E为坐标原点，分别以的方向为x轴,y轴,z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系E-xyz,设AB=4,AAi=t<t>0>,则Ai<2,t,0>,C<0,0,2>,E<0,0,0>,f(-2,,0^,D1-,0/,所以=<-2,-t,2>,=L-2,,0,因为AiC^EF,所以二0,所以<-2>X<-2>-tX2X0=0,解得t=2.所以二<-2,,0>,二(-,0,),设平面DEF的法向量为n=<x,y,z>,则所以取x=i，则n=<i,>,又因为二<-2,0,2>,设直线AiCi与平面DEF所成的角为以所以sin9=|cos<n,>|二，所以直线AiCi与平面DEF所成的角的正弦值为..<20##东北三省三校二模>如图，四棱柱ABCD-AiBiCiDi的底面为菱形，/BAD=i20°,AB=2,E,F为CD,AAi的中点.<i>求证：DF//平面BiAE;<2>/AAi,底面ABCD,且直线ADi与平面BiAE所成线面角的正弦值为，求AAi的长.<i>画］设G为ABi的中点，连接EG,GF,因为FGAiBi,又DEAiBi,所以FGDE,所以四边形DEGF是平行四边形，所以DF//EG,又DF?平面BiAE,EG?平面BiAE,所以DF//平面BiAE.<2>耐因为ABCD是菱形，且/ABC=60°,所以那BC是等边三角形.取BC中点M,则AMLAD,因为AA」平面ABCD,所以AA」AM,AA」AD,建立如图的空间直角坐标系A-xyz,令AAi=t<t>0>,则A<0,0,0>,E,0',Bi<,-i,t>,Di<0,2,t>,J,。',=<,-i,t>,二<0,2,t>,设平面BiAE的一个法向量为n=<x,y,z>,

则n<x+y>=0且nx-y+tz=0,取n=<-t,t,4>,设直线ADi与平面BiAE所成角为&则sin片,解得t=2,故线段AAi的长为2..<20##湖南长沙一模，18>如图,在多面体ABCDEF中，四边形ABCD为梯形，那DE,ABCF均为等边三角形，EF//AB,EF=AD=AB.<1>过BD作截面与线段FC交于点N,使得AF//平面BDN,试确定点N的位置，并予以证明；>在<1>的条件下，求直线BN与平面ABF所成角的正弦值.丽<1>当N为线段FC的中点时，使得AF//平面BDN.证法如下：连接AC,BD,设ACABD=O,丁四边形ABCD为矩形，・•.O为AC的中点，又「N为FC的中点,「.ON为"CF的中位线，：AF//ON.「AF?平面BDN,ON?平面BDN,：AF//平面BDN,故N为FC的中点时，使得AF//平面BDN.<2>过点。作PQ//AB分另lJ与AD,BC交于点P,Q,因为。为AC的中点，所以P,Q分别为AD,BC的中点，Z^ADE与4BCF均为等边三角形，且AD=BC,「•△ADE^ABCF,连接EP,FQ,则得EP=FQ,.EF//AB,ABPQ,EF=AB,EF//PQ,EF=PQ,：四边形EPQF为等腰梯形.取EF的中点M,连接MO,则MOXPQ,又,.AD±EP,AD±PQ,EPAPQ=P,：AD，平面EPQF,过点O作OGLAB于点G,则OG//AD,.-.OG±OM,OG±OQ.O-xyz,不妨设AB=4,则由条件可分别以的方向为x,y,z轴的正方向，建立空间直角坐标系O-xyz,不妨设AB=4,则由条件可设n=<x,y,z>是平面ABF的法向量，则所以可取n=<,0,1>,由，可得|cos<,n>|=,;可得|cos<,n>|=,;直线BN与平面ABF所成角的正弦值为.命题角度2空间位置关系证明与二面角求解高考真题体验对方向三号<20##全国m19>如图,边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧所在平面垂直,M是上异于C,D的点.<1>证明：平面AMD，平面BMC;<2>当三棱锥M-ABC体积最大时，求面MAB与面MCD所成二面角的正弦值.<1>怔明由题设知，平面CMD，平面ABCD,交线为CD.因为BC，CD,BC?平面ABCD,所以BCL平面CMD,故BCXDM.因为M为上异于C,D的点，且DC为直径，所以DMLCM.又BCnCM=C，所以DM，平面BMC.而DM?平面AMD,故平面AMD，平面BMC.<2>恻以。为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz.当三棱锥M-ABC体积最大时，M为的中点.由题设得D<0,0,0>,A<2,0,0>,B<2,2,0>,C<0,2,0>,M<0,1,1>,=<-2,1,1>,=<0,2,0>,=<2,0,0>.设n=<Xi,y,z>是平面MAB的法向量，则可取n=<1,0,2>,是平面MCD的法向量，因此cos<n,>=,sin<n,>=.所共面MAB与面MCD所成二面角的正弦值是.<20##全国I18>如图，在四棱锥P-ABCD中,AB//CD,且/BAP=/CDP=90°.1>证明：平面PABL平面PAD;2>若PA=PD=AB=DC，/APD=90°，求二面角A-PB-C的余弦值.1>怔明|由已知ZBAP=ZCDP=90°彳导AB，AP,CD，PD.由于AB//CD,故AB±PD,从而AB,平面PAD.又AB?平面PAB,所以平面PABL平面PAD.2>嗣在平面PAD内作PFLAD,垂足为F.由<1>可知,ABL平面PAD,故ABLPF,可得PFL平面ABCD.以F为坐标原点，的方向为x轴正方向，||为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系F-xyz.由<1>与已知可得A,P,B,C.所以=<,0,0>,=<0,1,0>.设n=<x,y,z>是平面PCB的法向量，则可取n=<0,-1,->.设m=<x,y,z>是平面PAB的法向量，则可取m=<1,0,1>.贝Ucos<n,m>==-.所以二面角A-PB-C的余弦值为-.3.<20##全国n19>如图，四棱车BP-ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD,AB=BC=AD，/BAD=ZABC=90°正是PD的中点.<1>证明：直线CE//平面PAB;<2>点M在^PC上,且直线BM与底面ABCD所成角为45°,求二面角M-AB-D的余弦值.<1>画］取PA的中点F,连接EF,BF.因为E是PD的中点，所以EF//AD,EF=AD.由/BAD=/ABC=90°得BC//AD,又BC=AD所以EFBC,四边形BCEF是平行四边形，CE//BF,又BF?平面PAB,CE?平面PAB,故CE//平面PAB.<2>耐由已知得BALAD,以A为坐标原点，的方向为x轴正方向，||为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,则A<0,0,0>,B<1,0,0>,C<1,1,0>,P<0,1,>,=<1,0,->,=<1,0,0>.设M<x,y,z><0<x<1>则=<x-1,y,z>,=<x,y-1,z->.因为BM与底面ABCD所成的角为45°,而n=<0,0,1>是底面ABCD的法向量，所以|cos<,n>|=sin45°,，即<x-1>2+y2-z2=0.①又M在^^PC上,设=入则x=4y=1,z=入②由①,②解得〈舍去>,所以M,从而.设m=<x0,y0,z0>是平面ABM的法向量，则所以可取m=<0,-,2>.于是cos<m,n>=.因此二面角M-AB-D的余弦值为.20##全国m19>如图，四面体ABCD中，祥BC是正三角形，9CD是直角三角形，/ABD=/CBD,AB=BD.1>证明：平面ACDL平面ABC;2>过AC的平面交BD于点E,若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角D-AE-C的余弦值.1>画］由题设可得，9BD^ACBD,从而AD=DC.又AACD是直角三角形，所以/ADC=90°.取AC的中点O,连接DO,BO,则DO±AC,DO=AO.又由于AABC是正三角形，故BOXAC.所以/DOB为二面角D-AC-B的平面角.在RtAAOB中,BO2+AO2=AB2,又AB=BD所以BO2+DO2=BO2+AO2=AB2=BD2,故/DOB=90°.所以平面ACDL平面ABC.<2>附由题设与<1>知,OA,OB,OD两两垂直，以。为坐标原点，的方向为x轴正方向，||为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz.贝UA<1,0,0>,B<0,,0>,C<-1,0,0>,D<0,0,1>.由题设知，四面体ABCE的体积为四面体ABCD的体积的，从而E到平面ABC的距离为D到平面ABC的距离的，即E为DB的中点相E.故=<-1,0,1>,=<-2,0,0>,.设n=<x,y,z>是平面DAE的法向量，则可取n=.设m是平面AEC的法向量，则同理可取m=<0,-1,>.贝Ucos<n,m>=.所以二面角D-AE-C的余弦值为.20##全国I18>如图，在以A,B,C,D,E,F为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，AF=2FD,/AFD=90°，且二面角D-AF-E与二面角C-BE-F都是60°.1>证明：平面ABEFL平面EFDC;2>求二面角E-BC-A的余弦值.1>品明|由已知可得AF±DF,AF±FE,所以AF，平面EFDC.又AF?平面ABEF,故平面ABEF，平面EFDC.<2>嗣过D作DG^EF,垂足为G,由<1>知DGL平面ABEF.以G为坐标原点，的方向为x轴正方向，||为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系G-xyz.由<1>知/DFE为二面角D-AF-E的平面角，故/DFE=60°，则|DF|=2,|DG|二,可得A<1,4,0>,B<-3,4,0>,E<-3,0,0>,D<0,0,>.由已知,AB//EF,所以AB//平面EFDC.又平面ABCDn平面EFDC=CD,故AB//CD,CD//EF.由BE//AF,可彳导BE,平面EFDC,所以/CEF为二面角C-BE-F的平面角，/CEF=60°.从而可得C<-2,0,>.所以=<1,0,>,=<0,4,0>,=<-3,-4,>,=<-4,0,0>,设n=<x,y,z>是平面BCE的法向量，则所以可取n=<3,0,->.设m是平面ABCD的法向量，则同理可取m=<0,,4>,贝Ucos<n,m>==-.故二面角E-BC-A的余弦值为-.新题演练提能刷高分1.<20##重庆二诊〉如图,在三棱柱ABC-AiBiCi中,AC=BC,CiCL平面ABC,侧面ABBiAi是正方形，点E为棱AB的中点，点M,N分别在棱AiBi,AAi上，且AiM=AiBi,AN=AAi.<1>证明：平面CMNL平面CEN;<2>在Ag^BC,求二面角M-CN-Ai的余弦值.<1>明快AB=8,贝UAiM=3,AN=2,AiN=6,tanZNEA=,tan/MNAi=,ZNEA=/MNAi,又/NEA=-/ENA，所以/MNAi=-/ENA，所以MN，EN.因为BC=AC,E为AB中点，所以CELAB.因为ABC-AiBiCi为直三棱柱，所以CEL平面AAiBiB,所以MN^CE,因为CEANE=N,所以MN,平面CEN,因为MN?平面CMN,所以平面CMN,平面CEN.<2>嗣由AC^BC,以C为原点，分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系M/,N<0,4,2>,设平面CMN的法向量为ni=<x,y,z>,解得ni=<9,-4>.平面CNAi的法向量n2=<i,0,0>,设所求二面角平面角为0,cos9=.2.<20####石家庄一模>四棱锥S-ABCD的底面ABCD为直角梯形AB//CD,AB±BC,AB=2BC=2CD=2,ASAD为正三角形.<1>点M为棱AB上一点，若BC//平面SDM,="##数入的值；<2>若BCLSD,求二面角A-SB-C的余弦值.恻<1>因为BC//平面SDM,BC?平面ABCD,平面SDM叶面ABCD=DM,所以BC//DM.因为AB//DC,所以四边形BCDM为平行四边形，又AB=2CD,所以M为AB的中点.因为=入…/=.<2>因为BC±SD,BC±CD,SDnCD=D,所以BCL平面SCD,又因为BC?平面ABCD,所以平面SCDL平面ABCD,平面SCDA平面ABCD=CD在平面SCD内过点S作SEL直线CD于点巳贝USEL平面ABCD,在Rt^SEA和RtASED中，因为SA=SD,所以AE==DE,又由题知/EDA=45°，所以AE^ED,所以AE=ED=SE=1,以下建系求解：以点E为坐标原点，EA方向为x轴,EC方向为y轴,ES方向为z轴建立如图所示空间坐标系，则E<0,0,0>,S<0,0,1>,A<1,0,0>,B<1,2,0>,C<0,2,0>,=<1,0,-1>,=<0,2,0>,=<0,2,-1>,=<1,0,0>,设平面SAB的法向量n1=<x,y,z>,则所以令x=1得％=<1,0,1>为平面SAB的一个法向量，同理得n2=<0,1,2>为平面SBC的一个法向量，cos<n1,n2>=,因为二面角A-SB-C为钝角，所以二面角A-SB-C余弦值为-.3.<20##海南期末>如图是一个半圆柱与多面体ABBiAiC构成的几何体，平面ABC与半圆柱的下底面共面，且AC，BC,P为弧上〈不与Ai,Bi重合〉的动点.<1>证明：PA1,平面PBBi;<2>若四边形ABBiAi为正方形，且AC=BC,/PBiAi=，求二面角P-AiBi-C的余弦值.回<1>在半圆柱中，BB」平面PAiBi,所以BBi^PAi.因为AiBi是上底面对应圆的直径，所以PAiLPBi.因为PBiABBi=Bi,PBi?平面PBBi,BBi?平面PBBi,所以PA」平面PBBi.<2>以点C为坐标原点，以CA,CB为x,y轴，过点C作与平面ABC垂直的直线为z轴，建立空间直角坐标系C-xyz.如图所示，设CB=1,则B<1,0,0>,A<0,1,0>,Ai<0,1,>,Bi<1,0,>,P<1,1,>.所以=<0,1,>,=<1,0,>.平面PAiBi的一个法向量n1=<0,0,1>.设平面CAiBi的一个法向量n2=<x,y,z>,则令z=1,则所以可取n2=<-,-,1>,所以cos<n1,n2>=.由图可知二面角P-AiBi-C为钝角，所以所求二面角的余弦值为-.4.<20######一模〉如图，在四棱锥P-ABCD中,PAL底面ABCD,ABCD为直角梯形，AD//BC,AD±AB,AB=BC=AP=AD=3,ACABD=O,过O点作平面a平行于平面PAB,平面”与棱BC,AD,PD,PC分别相交于点E,F,G,H.<1>求GH的长度；<2>求二面角B-FH-E的余弦值.恻<1>因为all平面PAB,平面加平面ABCD=EF,0€EF,平面FABn平面ABCD=AB，所以EF//AB,同理EH//BP,FG//AP,因为BC//AD,AD=6,BC=3,所以ABOCs^DOA,且，所以,CE=CB=1,BE=AF=2,同理，连接HO,则有HO//PA,所以HO，EO,HO=1,所以EH=PB=,同理,FG=PA=2,过点H作HN//EF交FG于N,则GH=.<2>建立如图所示空间直角坐标系，则B<3,0,0>,F<0,2,0>,E<3,2,0>,H<2,2,1>,==设平面BFH的法向量为n=<x,y,z>,令z=-2彳导n=,因为平面EFGH//平面PAB,所以平面EFGH的法向量m=<0,1,0>.cos<m,n>=,故二面角B-FH-E的余弦值为.5.<20####淄博二模，18>如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB=CC1=2,/ACC尸/CC1B1,直线AC与直线BBi所成的角为60°.<1>求证:ABi±CCi;<2>若ABi=,M是ABi上的点，当平面MCCi与平面ABiC所成二面角的余弦值为时，求的值.<1>叵|在三棱柱ABC-A1B1C1中，各侧面均为平行四边形，所以BBi//CC1,则/ACC1即为AC与BB1所成的角，所以/ACC=/CCiBi=60°.连接ACi和BiC,因为CA=CB=CC1=2,所以9C1C和ABiCCi均为等边三角形.取CCi的中点。，连AO和BiO,则AO±CCi,BiO±CCi,又AOABiO=O,所以CCd平面AOB1.AB1?平面AOB1,所以ABi±CCi,<2>留由<1>知AO=BQ=,因为ABi=,则AO2+BiO2=A,所以AOLBiO,又AOXCC1,所以AOL平面BCCiBi.以OB1所在直线为x轴,OCi所在直线为y轴QA所在直线为z轴，如图建立空间直角坐标系，则A<0,0,>,C<0,-1,0>,Ci<0,1,0>,Bi<,0,0>,=<0,-1,->,=<,0,->,=<0,2,0>,设工,M<x,y,z>,则<x,y,z->=t<-x,-y,-z>,所以x=,y=0,z=,M,所以.设平面ACBi的法向量为ni=<xi,yi,zi>,平面MCCi的法向量为n2=<x2,y2,z2>,所以解得ni=<1,-,1>.解得n2=<1,0,-t>.所以cos㈱.解得1=或t=2,即=2..<20##湖北"荆、荆、襄、宜"四地七校联考>如图,在几彳S]■体ABCDEF中，平面ADEL平面ABCD,四边形ABCD为菱形，且/DAB=60°,EA=ED=AB=2EF,EF//AB,M为BC中点.<1>求证：FM//平面BDE;<2>求二面角D-BF-C的平面角的正弦值.<1>地明取CD中点N,连接MN,FN,因为N,M分别为CD,BC中点，所以MN//BD.又BD?平面BDE,且MN?平面BDE,所以MN//平面BDE,因为EF//AB,AB=2EF,所以EF//CD,EF=DN.所以四边形EFND为平行四边形.所以FN//ED.又ED?平面BDE且FN?平面BDE,所以FN//平面BDE,又FNAMN=N,所以平面MFN//平面BDE.又FM?平面MFN,所以FM//平面BDE.<2>刚取AD中点O,连接EO,BO.因为EA=ED,所以EOXAD.因为平面ADEL平面ABCD,所以EOL平面ABCD,EO±BO.因为AD=AB,/DAB=60°,所以那DB为等边三角形.因为。为AD中点，所以ADXBO.因为EO,BO,AO两两垂直，设AB=4,以O为原点，OA,OB,OE为x,y,z轴，如图建立空间直角坐标系O-xyz由题意得A<2,0,0>,B<0,2,0>,C<-4,2,0>,D<-2,0,0>,E<0,0,2>,F<-1,,2>.=<2,2,0>,=<1,,2>,=<3,-,2>,=<4,0,0>.设平面BDF的法向量为n=<x,y,z>,则令x=1则y=-,z=0,所以n=1,-,0.设平面BCF的法向量为m=<x,y,z>,则令z=1,则y=2,x=0，所以m=<0,2,1>.cos<m,n>==-,：二面角D-BF-C平面角的正弦值为..<20####大连一模>在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，PAL平面ABCD,E,F分别是线段AD,PB的中点,PA=AB=1.<1>求证：EF//平面DCP;<2>求平面EFC与平面PDC所成锐二面角的余弦值.阴<1>〈方法一>取PC中点M,连接DM,MF.•••M,F分别是PC,PB中点,:MF//CB,MF=CB,E为DA中点,ABCD为正方形，：DE//CB,DE=CB,：MF//DE,MF=DE,：四边形DEFM为平行四边形,..EF//DM,/EF?平面PDC,DM?平面PDC,EF//平面PDC.〈方法二>取PA中点N,连接NE,NF「「E是AD中点，N是PA中点，：NE//DP,又二下是PB中点，N是FA中点，：NE//AB,.AB//CD,..NF//CD,又「NEnNFuN,NE?平面NEF,NF?平面NEF,DP?平面PCD,CD?平面PCD,：平面NEF//平面PCD.又「EF?平面NEF,：EF//平面PCD.〈方法三>取BC中点G,连接EG,FG,在正方形ABCD中,E是AD中点,G是BC中点，/.GE//CD,又「F是PB中点,G是BC中点，：GF//PC,又PCACD=C,GE?平面GEF,GF?平面GEF,PC?平面PCD,CD?平面PCD,;平面GEF//平面PCD.・「EF?平面GEF,:EF//平面PCD.<2>./PA，平面ABC,且四边形ABCD是正方形，：AD,AB,AP两两垂直，以A为原点,AP,AB,AD所在直线为x,y,z轴，建立空间直角坐标系A-xyz,则P<1,0,0>,D<0,0,1>,C<0,1,1>,E（0,oJ,』，0）.设平面EFC的法向量为ni=<xi,yi,zi>,即取ni=<3,-1,2>,则设平面PDC的法向量为n2=<x2,y2,z2>,=<-i,0,i>,=<-i,i,i>,则即取n2=<i,0,i>,cos<ni,n2>=.;平面EFC与平面PDC所成锐二面角的余弦值为.命题角度3折叠问题、点到平面的距离高考真题体验对方向.<20##全国fli9>如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O,AB=5,AC=6,点E,F分别在AD,CD上,AE=CF=,EF交BD于点H.将4DEF沿EF折到△D'EF的位置，OD'=.<i>证明:D'H，平面ABCD;<2>求二面角B-D'A-C的正弦值.<i>怔明|由已知得AC±BD,AD=CD.又由AE=CF得，故AC//EF.因此EF^HD,从而EFXD'H.由AB=5,AC=6得DO=BO==4.由EF//AC得.所以0H=1,DH=DH=3.于是D'H2+0H2=32+12=10=D'O2,故D'H±0H.又D'H，EF,而OHAEF=H,所以DH，平面ABCD.<2>陶如图，以H为坐标原点，的方向为x轴正方向建立空间直角坐标系H-xy乙则H<0,0,0>,A<-3,-1,0>,B<0,-5,0>,C<3,-1,0>,D'<0,0,3>,=<3,-4,0>,=<6,0,0>,=<3,1,3>.设m=<Xi,yi,zi>是平面ABD'的法向量，则所以可取m=<4,3,-5>.设n=<X2,y2,Z2>是平面ACD，的法向量,则所以可取n=<0,-3,1>.于是cos<m,n>==-.sin<m,n>=.因此二面角B-D'A-C的正弦值是..<20##陕西-18>如图①，在直角梯形ABCD中,AD//BC.ZBAD=,AB=BC=1,AD=2,E是AD的中点。是AC与BE的交点，将3BE沿BE折起到AAiBE的位置，如图②.<1>证明:CD，平面AiOC;<2>若平面AiBE,平面BCDE,求平面AiBC与平面AiCD夹角的余弦值.<1>怔明性题图①中，因为AB=BC=1,AD=2,E是AD的中点，/BAD=，所以BEXAC,即在题图②中,BE，OAi,BE，OC,从而BE,平面AiOC,又CD//B巳所以CD,平面AiOC.<2>刚由已知，平面ABEL平面BCDE,又由<1>知，平面ABEL平面BCDE,又由<1>知,BE，OAi,BE，OC,所以ZAiOC为二面角A1-BE-C的平面角,所以ZAiOC=.如图，以O为原点，建立空间直角坐标系，因为A〔B=AiE=BC=ED=1,BC//ED,所以B,EA,C^=<-,0,0>.设平面A〔bC的法向量n仔<xi,yi,zi>,平面AiCD的法向量ri2=<X2,y2,Z2>,平面AiBC与平面AiCD夹角为9,则取ni=<i,i;i>；>n2=<0,1,1>,从而cos@=|cos<n1,n2>|=,即平面AiBC与平面AiCD夹角的余弦值为.新题演练提能刷高分।1.<20##河南4月适应性考试>如图，在边长为2的菱形ABCD中,/DAB=60°.点E,F分别在边CD,CB上，点E与点C.D不重合，EF，AC,EFnAC=O.沿EF将4CEF翻折至I]APEF的位置，使平面PEFL平面ABFED.<1>求证：POL平面ABD;<2>当PB与平面ABD所成的角为45°时,求平面PBF与平面PAD所成锐二面角的余弦值.<>^j]<EFJ_AC,：PO，EF；.平面PEFL平面ABFED,平面PEF叶面ABFED=EF，且PO?平面PEF,：PO,平面ABD.<2>陋M图，以O为原点，建立空间直角坐标系O-xyz,连接BO,.-POL平面ABD,:/PBO为PB与平面ABD所成白^角，即/PBO=45°,:PO=BO.设AOABD=H,,.•/DAB=60°,:ABDA为等边三角形，..BD=2,HB=,HC=3.设PO=x，则OH=3-x,由PO2=OH2+HB2,得x=2，即PO=2,OH=1.：P<0,0,2>,A<4,0,0>,B<1,,0>,D<1,-,0>,F（0,,0）.设平面PAD,平面PBF的法向量分别为m=<a,b,c>,n=<x,y,z>,由取a=1,得m=<1,-,2>.同理，得n=<-1,,1>,：cos<m,n>==-,;平面PBF与平面PAD所成锐二面角的余弦值为.2.<20##广东揭阳学业水平考试>如图所示，平面多边形ABCDE中AE=ED,AB=BD,且AB=,AD=2,AE=,CD=1,AD，CD,现沿直线AD,将"DE折起，得到四棱锥P-ABCD.<1>求证:PB±AD;<2>若PB=，求PD与平面PAB所成角的正弦值.<1>怔明|取AD的中点O,连接OB,OP「「BA=BD,EA=ED，即PA=PD,--OB±AD且OPLAD,又OBAOP=O,.AD,平面BOP,而PB?平面BOP,/.PBXAD.<2>网:OP=1,OB=2,OP2+OB2=5=PB2,•.POXOB,：OP,OB,OD两两互相垂直，以O为坐标原点，OB,OD,OP所在的直线为x,y,z轴建立如图所示空间直角坐标系O-xyz,则A<0,-1,0>,B<2,0,0>,D<0,1,0>,P<0,0,1>,=<0,-1,1>,=<0,1,1>,=<-2,0,1>,设m=<a,b,c>为平面PAB的一个法向量，则由令a=1,则得c=2,b=-2,：m=<1,-2,2>,设PD与平面PAB所成角为Q则sin0=，即PD与平面PAB所成角的正弦值为.3.<20##东北三省三校三模>已知等腰直角△S'AB,S'A=AB=4,S'A，AB,C,D分别为S'B,S'A的中点,将ASCD沿CD折到4SCD的位置，SA=2,取线段SB的中点为E.<1>求证：CE//平面SAD;<2>求二面角A-EC-B的余弦值.<1>画］取SA中点F,连接DF,EF,.SE=EB,SF=FA,,EFAB.又.CDAB,..CDEF,：四边形CDFE为平行四边形，：CE//FD,.CE?平面SAD,FD?平面SAD,..CE//平面SAD.<2>园:SD=AD=2,SA=2,St^+AD2=SA2.-.SD±AD.•.SDXCD.SD?WSOD,：SDL平面ABCD,•AD,CD?平面ABCD,/.SD±AD.SDXCD,又「AD，DC,：DA,DC,DS两两互相垂直,如图所示，分别以DA,DC,DS为x,y,z轴建立空间直角坐标系D-xyz,则A<2,0,0>,C<0,2,0>,S<0,0,2>,B<2,4,0>,E<1,2,1>,=<1,0,1>=<2,-2,0>=<2,2,0>,设平面ECA,平面ECB的法向量分别为m=<x1,yi,zi>,n=<X2,y2,Z2>,则取m=<1,1,-1>,取n=<1,-1,-1>.cos<m,n>=,」•二面角A-EC-B的平面角的余弦值为4.<20####济南一模〉如图1,在高为6的等腰梯形ABCD中AB//CD,且CD=6,AB=12,将它沿对称轴。。1折起,使平面ADOQ，平面BCOQ.如图2,点P为BC中点，点E在线段AB±<不同于A.B两点>，连接0E并延长至点Q,使AQII0B.<1>证明：0口，平面PAQ;<2>若BE=2AE,求二面角C-BQ-A的余弦值.<1>怔明|由题设知OAQBQOi两两垂直，所以以。为坐标原点QAQBQO1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设AQ的长度为m,则相关各点的坐标为0<0,0,0>,A<6,0,0>,B<0,6,0>,C<0,3,6>,D<3,0,6>,Q<6,m,0>.••点P为BC中点,P（O„3\--=<3,0,6>,=<0,m,0>,=^6,m--3^...•=0,=0,，,且不共线,：ODL平面FAQ.<2>同:BE=2AE,AQ//OB,：AQ=OB=3,则Q<6,3,0>,二.=<-6,3,0>,=<0,-3,6^.设平面CBQ的法向量为ni=<x,y,z>,,•令z=1,则y=2,x=1,故rii=<1,2,1>,又显然，平面ABQ的法向量为r）2=<0Q1>,设二面角C-BQ-A的平面角为Q由图可知，。为锐角，则cos9=.5.<20####安庆二模>如图，四边形ABCD是矩形，沿对角线AC将9CD折起,使得点D在平面ABC上的射影恰好落在边AB上.<1>求证:平面ACDL平面BCD;<2>当=2时，求二面角D-AC-B的余弦值.<1>画］设点D在平面ABC上的射影为点E,连接DE,则DEL平面ABC,所以DEXBC.因为四边形ABCD是矩形，所以ABLBC.因为ABADE=E，所以BCL平面ABD,所以BC,AD.又ADLCD,CDABC=C,所以AD±平面BCD，而AD?平面ACD,所以平面ACDL平面BCD.<2>邮以点B为原点，线段BC所在的直线为x轴，线段AB所在的直线为y轴，建立空间直角坐标系，如图所示.

设|AD|二a，则|AB|=2a,所以A<0,-2a,0>,C<-a,0,0>.由<1>知ADLBD,又=2,所以ZDBA=30,ZDAB=60,那么|AE|=|AD|cosZDAB=a,|BE|=|AB|-|AE|=a,|DE|=|AD|sinZDAB=a,所以D（0,-a,a）,所以=\0,a,a■,=<-a,2a,0>.设平面ACD的一个法向量为m=<x,y,z>,则取y=1,取y=1,则x=2,z=-,所以m=（1,2-因为平面ABC的一个法向量为n=<0,0,1>,所以cos<m,n>==-.故所求二面角D-AC-B的余弦值为-命-命题角度4探究性问题高考真题体验对方向<20##17>如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD，平面ABCD,融±PD,PA=PD,AB±AD,AB=1,AD=2,AC=CD=.<1>求证：PDL平面PAB;<2>求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；<3>在棱融上是否存在点M,使得BM//平面PCD?若存在，求的值；若不存在，说明理由.<1>怔明|因为平面PAD，平面ABCD.ABXAD,所以ABL平面PAD.所以ABXPD.又因为PALPD,所以PDL平面PAB.<2>初取AD的中点O,连接PO,CO.因为PA=PD,所以POXAD.又因为PO?平面PAD,平面FAD，平面ABCD,所以POL平面ABCD.因为CO?平面ABCD,所以POXCO.因为AC=CD，所以CO±AD.如图建立空间直角坐标系O-xyz.由题意得,A<0,1,0>,B<1,1,0>,C<2,0,0>,D<0,-1,0>,P<0,0,1>.设平面PCD的法向量为n=<x,y,z>,则令z=2,贝Ux=1,y=-2.所以n=<1,-2,2>.又=<1,1,-1>,所以cos<n,>==-.所以直线PB与平面PCD所成角的正弦值为.<3>嗣设M是棱融上一点，则存在入C[0,1]使得=入因此点=因为BM?平面PCD,所以BM//平面PCD当且仅当n=0,即<-1,-入Q<1,-2,2>=0.解得心.所以在棱PA上存在点M使得BM//平面PCD,此时.新题演练提能刷高分I1.<20####青岛二模>如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱BB」底面ABC,BBi=4,AB1BC,且AB=BC=3,点M,N为棱AB.BC上的动点，且AM=BN,D为BiCi的中点.<1>当点M,N运动时，能否出现AD//平面BiMN的情况，请说明理由.<2>若BN=，求直线AD与平面BiMN所成角的正弦值.阿<1>当M,N为各棱中点时，AD//平面BiMN.证明如下：连接CD,•CNIIB1D且CN=BiD=BC,：四边形BiDCN为平行四边形，.二DC//B1N.又DC?平面BiMN,B〔N?平面BiMN,■-DC//平面BiMN.「M,N为各棱中点，:AC//MN,又AC?平面BiMN,MN?平面BiMN,「•AC//平面BiMN.•••DCnAC=C,•.・平面ADCII平面BiMN,又「AD?平面ADC,/.AD//WBiMN.<2>如图，设AC中点为O,作OELOA,以OAQEQB分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，,.BN=,AB=BC=3,.,.AC=6.,.,M<2,0,1>,N<-1,0,2>,A<3,0,0>,Bk0,-4,3>,D,/.=<-3,0,1>,=<2,4,-2>.设平面BiMN的法向量为n=<x,y,z>,则有n±,n1,:可得平面BiMN的一个法向量n=<1,1,3>,又，cos<n>==-.设直线AD与平面BiMN所成角为w贝1sinof|cos<n>|=.2.<20##湖北宜昌调研〉如图，在四棱锥P-ABCD中，平面融D，平面ABCD.AD//BC,AB=BC=PA=1,AD=2,ZFAD=ZDAB=ZABC=90，点E在棱PC上，且CE=TCP.<1>求证:CD±AE;<2>是否存在实数入使得二面角C-AE-D的余弦值为漕存在，求出实数入的值;若不存在，请说明理由.<1>品明I过点C作CF//AB交AD于点F,.AB=BC=1,AD=2,ZDAB=ZABC=90,四边形ABCF为正方形，且AF=FD=1,AC=.在RtACFD中,CD=，在4ACD中，CD2+AC2=4=AD2,：cd±AC.,.ZR^D=90PAXAD.又平面PAD，平面ABCD,平面PADn平面ABCD=AD，:PAL平面ABCD,/.RMCD..R\,AC?平面PAC,且融AAC=A,「.CD，平面PAC./.CDXAE.<2>副「/¥D=90',/.PA±AD.又平面PA"平面ABCD,平面PADn平面ABCD=AD，:PAL平面ABCD.R^±CD,FA±AB,以点A为坐标原点，AB,AD,AP所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，A<0,0,0>,P<0,0,1>,C<1,1,0>,D<0,2,0>,=<-1,1,0>,=<0,2,0>,假设存在实数人使得二面角C-AE-D的余弦值为，令二入.「点E在棱PC上,；衣[0,1].设E<x,y,z>,='<x-1,y-1,z>=K-1,-1,1>,••E<1-41-14,则=<1-11-入,「CD,平面PAC,：平面AEC的一个法向量为n==<-1,1,0>,设平面AED的一个法向量为m=<xi,yi,zi>,由得令z=1彳导m=(,0,1'=<-7,0,1-Q,取m=<-10,1-4,：|cos<m,n>|=化简得3%-8H4=0.又入C[0,1],：.•・存在实数F使得二面角C-AE-D的余弦值为.3.<20##四川##三诊〉如图，四边形